Si consideri un gioco del filetto di dimensione 3 con i seguenti stati iniziali e finali:

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1 Strategie di ricerca Esercizio Si consideri un gioco del filetto di dimensione con i seguenti stati iniziali e finali: Stato Iniziale Stato Finale Si assuma che si preferisca prima muovere il tassello bianco a destra, poi a sinistra, poi in alto e infine in basso e si mostri lo spazio di ricerca per il problema. Si mostri poi come viene esplorato tale spazio nei casi di depth-first e breadth-first. SOLUZIONE Lo spazio di ricerca è indipendente dal modo in cui viene esplorato. Quindi quando si chiede di mostrare lo spazio di ricerca è necessario espandere tutti i nodi, evidenziando casi di loop, ossia quando si incontra un nodo identico a uno precedentemente visitato sullo stesso ramo. Strategie di Ricerca

2 A loop goal loop L E H loop loop loop loop A D F G C loop loop H F loop goal D L E loop A C G Strategie di Ricerca

3 ESERCIZIO Si consideri un gioco del filetto di dimensione con i seguenti stati iniziali e finali: Stato Iniziale Stato Finale Si assuma che si preferisca prima muovere il tassello bianco a destra, poi a sinistra, poi in alto ed infine in basso e si mostri lo spazio di ricerca per il problema. Si mostri poi come viene esplorato tale spazio nei casi di depth-first e breadth-first. Si mostri poi come cambia lo spazio degli stati se non consentiamo che una mossa torni a uno stato precedente. Strategie di Ricerca

4 A {} () {} {} () {4} {5} C {6} {7} {8} C A Loop {9} Goal Loop D C Loop E Loop A F D E Loop G Loop H F G Loop L Loop H Loop L Goal Strategie di Ricerca 4

5 I numeri in parentesi tonda corrispondono a una esplorazione depth first, mentre in parentesi graffa a breadth first. La depth first va in loop mentre la breadth first arriva al goal in 9 espansioni di nodi. Se eliminassimo i loop otterremmo uno spazio di ricerca ridotto. In tal caso, eliminando i loop, il depth first arriva direttamente al goal e lo raggiunge alla terza espansione mentre il breadth first lo raggiunge alla quinta. Strategie di Ricerca 5

6 {}() {} {}() {4} {5}() Goal Strategie di Ricerca 6

7 ESERCIZIO Il problema dei tre missionari e dei tre cannibali consiste nel determinare come essi possano tutti e sei trasferirsi da un lato all altro di un fiume utilizzando una barca che può portare al massimo due persone evitando che i cannibali mangino i missionari. I cannibali mangiano i missionari ogni volta che li superano in numero. Si mostri lo spazio di ricerca del problema dei tre missionari e dei tre cannibali. Si supponga, per semplicità, che non si possa riproporre durante la ricerca uno spazio già presente nell albero ad un livello precedente (tali stati quindi non devono essere descritti nell albero di ricerca). SOLUZIONE Nel risolvere questo problema come ricerca nello spazio degli stati, è necessario porre attenzione alla descrizione di stato che deve essere completa, ossia deve descrivere tutta l informazione che caratterizza un nodo. Descrizione stato: Numero Missionari e Cannibali sulla riva Sx Numero Missionari e Cannibali sulla riva Dx Posizione barca Gli stati di fallimento (numero di cannibali maggiore a quello dei missionari su una sponda) non sono stati rappresentati. Potevamo rappresentarli ed etichettarli con fail. Strategie di Ricerca 7

8 Sx= M, C Dx= 0M, 0C arca a Sx Sx= M, C Dx= M, C arca a Dx Sx= M, C Dx= 0M,C arca a Sx Sx=M, 0C Dx= 0M,C arca a Dx Sx= M, C Dx= 0M, C arca a Sx Sx=M, C Dx= 0M,C arca a Dx Uguale a Sx= M, C Dx= 0M,C arca a Dx Sx= M, C Dx= OM, C arca a Sx Uguale a Sx= M, C Dx= 0M, C arca a Dx Unica possibile mossa successiva: ->loop Sx= M, C Dx= M, C arca a Dx Sx= M, C Dx= M,C arca a Sx Sx= 0M, C Dx= M, C arca a Dx Sx= 0M,C Dx=M, 0C arca a Sx Sx= 0M, C Dx= M,C arca a Dx Sx= 0M, C Dx= M, C arca a Sx Sx= M, C Dx= M, C arca a Sx Sx= 0M, 0C Dx= M, C GOAL Strategie di Ricerca 8

9 ESERCIZIO 4 Anche il linguaggio Prolog per risolvere una query esplora uno spazio di ricerca in profondità. Si consideri il programma che descrive quanto segue: Due individui sono colleghi se lavorano presso la stessa ditta collega(x,y):- lavora(x,z), lavora(y,z), div(x,y). lavora(emp,ibm). lavora(emp,ibm). lavora(emp,txt). lavora(emp4,olivetti). lavora(emp5,txt). div(emp,emp). div(emp,emp). div(emp,emp).... :- collega(x,y). X=emp Y=emp; X=emp Y=emp; X=emp Y=emp5; X=emp5 Y=emp NOTA: Il seguente albero NON E un albero SLD!!! Strategie di Ricerca 9

10 collega(x,y) lavora(x,z) lavora(emp,ibm) lavora(y,ibm) lavora(emp,ibm) div(emp,emp) FAIL lavora(emp,ibm) lavora(y,ibm) lavora(emp,ibm) div(emp,emp) soluzione lavora(emp,txt) lavora(emp4,oliv) lavora(y,txt) lavora(emp,txt) div(emp,emp) FAIL lavora(y,oliv) lavora(emp4,oliv) lavora(emp,txt) div(emp4,emp4) FAIL lavora(emp5,txt) lavora(emp5,txt) lavora(y,txt) div(emp5,emp) soluzione lavora(emp5,txt) lavora(emp,ibm) div(emp,emp) soluzione lavora(emp,ibm) div(emp,emp) FAIL div(emp,emp5) soluzione div(emp5,emp5) FAIL Strategie di Ricerca 0

11 ESERCIZIO 5 Si consideri il seguente problema. Si hanno due contenitori per liquidi, uno da cinque litri completamente pieno d'acqua e uno da due litri vuoto. Vogliamo ottenere precisamente un litro d'acqua nel contenitore da due litri. Possiamo trasferire acqua da un contenitore all'altro, o buttarla, ma non ottenerne di nuova. Si mostri tutto lo spazio degli stati per risolvere il problema. Si indichi, inoltre, dopo quanti passi si giungerebbe alla soluzione se si utilizzasse una strategia breadth-first e depth-first FAIL A LOOP FAIL 0 0 FAIL 0 LOOP 0 0 FAIL 0 0 Nodo A 0 LOOP 0 GOAL 0 0 FAIL Strategie di Ricerca

12 ESERCIZIO Si supponga di avere monete ripartite in tre distinte pile. La prima pila è formata da 4 monete, la seconda da 7 e la terza da. Lo spostamento delle monete deve avvenire secondo la seguente regola: ogni volta che si spostano delle monete da una pila A ad un'altra, le monete in devono raddoppiare di numero. Si mostri lo spazio di ricerca con stato iniziale rappresentato dalla tripla <4,7,> e stato finale dalla tripla <4,4,4> generato in due spostamenti e lo si esplori con strategia in ampiezza e profondità. () [] <4,7,> A [] () <,7,> D [] <4,6,> [4] <8,,> () [5] [6] [7] [8] [9] [0] <,7,4> <6,4,> <,5,4> <,6,4> <8,,> <4,4,4> <5,6,> <7,,> <8,,> A C soluz. D C Il depth first (numeri in parentesi tonda) va in loop supponendo di avere un criterio preferenziale che seleziona le mosse come in figura <4,7,>, <,7,>, <,7,4>, <,7,>... Se invece si suppone di fermarsi a due livelli di esplorazione (senza generare ed esplorare i livelli sottostanti), il depth first trova una soluzione in 9 passi. In breadth first (numeri in parentesi quadra) trova la soluzione in 0 passi. Strategie di Ricerca

13 STRATEGIA DI RICERCA INFORMATA Si consideri un puzzle con la seguente configurazione iniziale: N N N V Ci sono tre tessere Nere (N) e tre tessere bianche () e una cella vuota (V). Il puzzle ha le mosse seguenti: (a) Una tessera si può spostare in una adiacente vuota con costo unitario. (b) Una cella si può spostare ed inserirsi nella cella vuota saltando al più due altre tessere con costo uguale alla distanza coperta (al numero delle tessere saltate più ). Il goal del puzzle è avere tutte le tessere bianche a sinistra di quelle nere, indipendentemente da dove sia la tessera vuota. Si costruisca una funzione euristica f = g + h' per questo problema dove g è stato specificato precedentemente e si mostri l'albero di ricerca prodotto dall'algoritmo A*. Esempi di EURISTICHE: Strategie di Ricerca

14 . Si può considerare il numero di tessere fuori posto: le tessere nere sono fuori posto se occupano le caselle,, mentre le bianche sono fuori posto se occupano le celle 5, 6, N N N V h =5. Come euristica si può considerare la distanza che separa le tessere nere dalle posizioni 4, 5, 6. Euristica non ammissibile: infatti, nella configurazione goal N N N h=0 h = il costo dell'euristica è mentre il costo vero è 0 essendo già arrivati al goal. Euristica ammissibile: min distanza delle tessere nere da qualunque posizione goal. Strategie di Ricerca 4

15 Euristica: numero di tessere fuori posto. () N N N f=+5 () f=+5 f=+6 N N N N N N N N N f=4+4 f=+5 () f=+6 N N N N N N N N N f=4+4 (4) N N N N N N f=5+4 N N N f=5+4 (5) f=6+4 (8) f=5+4 N N N f=4+5 N N N N N N N N N f=7+ f=6+4 (6) f=7+4 N N N N N N f=9+4 (7) N N N N N N f=7+ f=8+ N N N ecc... Strategie di Ricerca 5

16 Euristica: min distanza delle tessere nere da qualunque posizione goal. () N N N f=+9 () f=+9 f=+9 N N N N N N N N N f=4+6 () f=+9 f=+9 N N N N N N N N N f=5+5 (4) f=6+4 f=5+6 N N N N N N N N N f=6+4 (5) f=7+5 f=8+5 N N N N N N N N N.. f=9+4 (6) f=0+4 N N N N N N f=0+ (7) f=+.. N N N N N N Strategie di Ricerca 6

17 Esercizio Si consideri il puzzle con le seguenti configurazioni iniziale e finale: STATO INIZIALE GOAL Ci sono 0 palline che devono essere opportunamente spostate al fine di raggiungere la configurazione finale. Il puzzle ha le mosse seguenti: (a) Si possono spostare solo le palline nere con costo unitario. Le palline possono essere spostate solo in posizioni adiacenti ad altre palline. Una possibile mossa può essere la seguente: (b) È inoltre possibile spostare una fila intera (palline bianche e nere) con costo pari al numero di palline della fila solo se la fila è esterna. Strategie di Ricerca 7

18 Nella configurazione iniziale le file che possono essere spostate sono quelle contrassegnate dalla freccia, quindi una possibile mossa è la seguente: Si costruisca una funzione euristica ammissibile f = g + h' per questo problema dove g è stato specificato precedentemente. Ad ogni nodo si considerino solo tre strade alternative dell'albero di ricerca prodotto dall'algoritmo A* tra cui quella che arriva ad una soluzione. Si calcoli, per ciascun nodo, la funzione euristica corrispondente. SOLUZIONE L'euristica per essere ammissibile deve essere ottimistica ossia il costo stimato dall'euristica per raggiungere il goal deve essere sempre inferiore al costo vero. Nella posizione iniziale il costo minimo per raggiungere il goal è di tre mosse. Pertanto, l'euristica, nella posizione iniziale deve avere un costo al massimo di. Strategie di Ricerca 8

19 Si costruisca un triangolo (con un vertice rivolto verso il basso) contenente il massimo numero di palline. L'euristica è uguale al numero di palline che cadono all'esterno del triangolo. f=+ f=4+ f=+ f=+ f=+ f=+ f=+0 Goal Strategie di Ricerca 9

20 GRAFI AND/OR Dato il seguente albero AND/OR: A C D E F G H I J K L M N O P Q R S Si indichino quali nodi devono essere di successo affinché venga dimostrato A. Si trasformi inoltre l'albero AND/OR in un albero OR equivalente, supponendo che tutte le foglie siano di successo. Esiste un solo albero OR equivalente o ne possono esistere più di uno? Strategie di Ricerca 0

21 SOLUZIONE I nodi che devono essere di successo affinché si dimostri A sono H e I oppure J o K o L assieme a M o N con S Q ed R. Può esistere più di un albero OR, ma non cambiano i rami di successo. D,C,C E,C A H I I C C J C K C L C C F,G C C (uguali) C N G G M,G G O O P,Q,R S Q R QR P,Q,R S Q R QR R SUCCESSO R SUCCESSO Strategie di Ricerca

22 ESERCIZIO Dato lo stato iniziale A, lo stato finale H e le seguenti regole: A--> A-->C -->F C-->D C-->E D-->G D-->I E-->H disegnare l albero OR forward generato e mostrare l ordine con cui vengono visitati i nodi dell albero adottando: - strategia depth-first - strategia breadth-first. e discutere i vantaggi delle due strategie. Nel caso si aggiunga la regola: G-->C che cosa avviene nei due casi? Strategie di Ricerca

23 SOLUZIONE A () () 4 C () F (4) 5 D (5) 8 E (6) (7) 6 G 7 I (8) 9 H (9) I numeri fra parentesi mostrano l'ordine dello sviluppo dell'albero OR in breadth-first; gli altri in depth-first. Aggiungendo la clausola G--> C la ricerca in depth-first andrebbe il loop. Strategie di Ricerca

24 Grafi AND-OR Risoluzione per scomposizione in sottoproblemi. Sia dato un problema P: - se P è un problema elementare di cui si conosce la soluzione, allora P è risolto; - se P è un problema complesso, allora si cerca di scomporre P in un certo numero di sottoproblemi P, P,..., Pn. Si passa poi a risolvere i problemi P, P,..., Pn (che dovrebbero essere più facili di P) e quindi si costruisce la soluzione per P a partire delle soluzioni per P, P,..., Pn. Lo spazio dei problemi può essere rappresentato mediante un particolare tipo di grafo, un grafo AND/OR in cui: - a ogni problema P corrisponde un nodo; - se P è un problema elementare o un problema non decomponibile, allora P è una foglia nel grafo (ossia è un nodo senza successori); - se un problema P può essere decomposto in n modi alternativi, allora P ha n successori P,P,..., Pn in OR. - se un problema P può essere decomposto in m sottoproblemi, allora P ha m successori P,P,...,Pm in AND. P P P' P" P n P P P m Strategie di Ricerca 4

25 Esempio Si consideri il problema di pianificare un viaggio da Torino a ologna e si supponga di avere le seguenti regole di scomposizione p (da Torino a ologna) -> [p (da Torino a ologna in aereo)]. p (da Torino a ologna) -> [p (da Torino a ologna in treno)]. p (da Torino a ologna in aereo) -> [p (da Torino a Roma in aereo), p (da Roma a ologna in aereo)]. p (da Torino a ologna in treno) -> [p (da Torino a Milano in treno), p4 (da Milano a ologna in treno)]. p (da Torino a ologna in treno) -> [p7 (da Torino a Piacenza in treno), p6 (da Piacenza a ologna in treno)]. p4 (da Milano a ologna in treno) -> [p5 (da Milano a Piacenza in treno), p6 (da Piacenza a ologna in treno)]. p,p,p,p5,p7 elementari Il grafo AND/OR relativo a tale problema è: P P' P P P" P" () P" () P P 4 P 7 P 5 P 6 Strategie di Ricerca 5

26 Più in generale, dato un problema, saranno note delle regole generali di scomposizione di un problema in sottoproblemi. Ad esempio, una regola generale di scomposizione in un sistema per la pianificazione di viaggi potrebbe avere una forma del tipo: p(da X a Y con Z) -> [p (da X a W con Z), p (da W a Y con Z)]. (si noti che in questo caso si hanno dipendenze tra sottoproblemi). Una soluzione per un problema P è data da un sottografo del grafo AND/OR che rappresenta P che permetta di etichettare P come risolto. Un nodo di un grafo AND/OR può essere etichettato come un problema risolto secondo le seguenti regole: - un nodo terminale corrispondente a un problema elementare di cui è nota la soluzione è risolto; - un nodo terminale corrispondente a un problema non elementare e non decomponibile è un problema irrisolvibile; - un nodo i cui successori sono in OR è risolto se almeno uno dei suoi successori è risolto; altrimenti il problema è irrisolvibile; - un nodo i cui successori sono in AND è risolto se tutti i suoi successori sono risolti; altrimenti il problema è irrisolvibile. Strategie di Ricerca 6

27 P P' P P P" P" () P" () P P 4 P 7 P 5 P 6 Ad esempio, il sottografo formato dai nodi P, P, P permette di etichettare come risolto il problema P. Il processo di risoluzione di un problema corrisponde quindi alla ricerca in un grafo AND/OR di un sottografo che permetta di etichettare come risolto il nodo che rappresenta il problema iniziale (al solito il grafo viene costruito durante il processo di ricerca). In tale ricerca possono essere utilizzate strategie in profondità, in ampiezza o euristiche. Strategie di Ricerca 7

28 ESERCIZIO: Ricerca Locale Si consideri la funzione di valutazione (da massimizzare) f: {0,} 4 {,,...}, così definita: f(x,x,x,x4) = 5, se x = x = x = x4 = f(x,x,x,x4) = (-x) + (-x) + (-x) + (-x4), altrimenti Si applichi l'algoritmo Hill-climbing (partendo dallo stato (0,,0,)) utilizzando di volta in volta una delle seguenti strutture dei vicini: siano X = (x,x,x,x4), Y = (y,y,y,y4), con x i e y j variabili binarie; ) N(X) = {Y distanza di Hamming (X,Y) = } es.: (,,0,) è vicino di (,,,) ) N(X) = {Y distanza di Hamming (X,Y) = } es.: (,,0,) è vicino di (0,,,) ) N(X) = {Y Y è ottenuto scambiando due valori in X} es.: (,,0,) è vicino di (,0,,) Strategie di Ricerca 8

29 SOLUZIONE: [tra parentesi quadra si indica il valore corrispondente della funzione obiettivo] N(X) = {Y distanza di Hamming (X,Y) = } (0,,0,) [] (,,0,) [] (0,0,0,) [] (0,,,) [] (0,,0,0) [] (0,0,0,) [] (,0,0,) [] (0,,0,) [] (0,0,,) [] (0,0,0,0) [4] (0,0,0,0) [4] (,0,0,0) [] (0,,0,0) [] (0,0,,0) [] (0,0,0,) [] (0,0,0,0) non ha vicini "migliori" quindi l'algoritmo si arresta. Lo stato raggiunto è un ottimo locale. Analogamente nel caso si scegliesse come successore di (0,,0,) lo stato (0,,0,0). Da quali (e quanti) stati è raggiungibile l'ottimo globale (,,,) con questa struttura dei vicini. Strategie di Ricerca 9

30 N(X) = {Y distanza di Hamming (X,Y) = } (0,,0,) [] (,0,0,) [] (,,,) [5] (,,0,0) [] (0,0,,) [] (0,0,0,0) [4] (0,,,0) [] (,,,) [5] (0,0,,) [] (0,,0,) [] (0,,,0) [] (,0,0,) [] (,0,,0) [] (,,0,0) [] (,,,) non ha vicini "migliori" quindi l'algoritmo si arresta. Lo stato raggiunto è un ottimo globale. Da quali (e quanti) stati è raggiungibile l'ottimo globale (,,,) con questa struttura dei vicini? E come cambierebbero le cose se si considerasse la seguente struttura N4(X) = N(X) N(X)? Strategie di Ricerca 0

31 N(X) = {Y Y è ottenuto scambiando due valori in X} (0,,0,) [] (,0,0,) [] (0,,0,) [] (,,0,0) [] (0,0,,) [] (0,,,0) [] Qualunque vicino si scelga si rimarrà sempre nello stesso insieme di stati (si è in un plateau, senza uscita!!). OSSERVAZIONI: - come si può osservare un intorno "più ampio", cioè un insieme di vicini con più alta cardinalità, aumenta la probabilità di trovare l'ottimo globale. Tuttavia, in problemi di grosse dimensioni, un ampio intorno aumenta il costo computazionale. - la funzione f è totalistica (cioè dipende solo dalla somma dei valori delle variabili) e la scelta dell'intorno N è quantomeno inopportuna. Da questo si vede come anche la scelta della struttura dei vicini possa dipendere dalla natura del problema e dalla funzione obiettivo. - uno stato è un ottimo locale in funzione di f ed N. Strategie di Ricerca