3 Ricerca per Giochi e CSP

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1 Esercizio 3.1 Dire quale tecnica usereste per risolvere i seguenti giochi: 1. Backgammon 2. Scarabeo 3. Scacchi 4. Go 5. Monpoli 6. Poker Motivate le risposte con adeguate ragioni basate sulle caratteristiche del gioco. Esercizio 3.2 Considerare un problema in cui due ropicapi spaccaquindici devono essere risolti. 1. Fornire la formulazione del problema di ricerca. 2. Quanto è grande lo spazio degli stati? 3. Formulare il problema come un gioco in cui due giocatori giocano a turno e la scelta su quale dei due spaccaquindici deve essere modificato è dato dal lancio di una moneta (bilanciata). Il gioco finisce quando uno dei due giocatori finisce uno dei due rompicapi. 4. Quale algoritmo potreste usare per risolvere il gioco? 5. Come finirà il gioco se entrambi giocatori massimizzassero il proprio valore atteso di vittoria? Motivate le risposte. Esercizio 3.3 1

2 Considerare il seguente gioco: due agenti muovono sul seguente grafo a turni: Il giocatore G (guardia) deve cercare di arrivare sul nodo di L (ladro) mentre il ladro deve cercare di non farsi prendere. Il costo della guardia è pari al numero di passi fatti dai due giocatori prima della cattura. 1. Costruire un albero di ricerca che rappresenti il gioco descritto fino al secondo livello. 2. Calcolare il valore dei nodi per il giocatore G 3. Possiamo dare un limite inferiore al valore del gioco? 4. Possiamo dire qualcosa sull esito del gioco? Motivate le risposte. Esercizio 3.4 Mostrare un esempio di strategia subottima in un gioco MAX-MIN che ottiene più utilità contro un avversario subottimo di quanta ne ottenga la strategia ottima contro un avversario che gioca in maniera ottima. Esercizio 3.5 Applicare gli algoritmi di MINIMAX e α-β pruning al seguente albero di gioco: A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 2

3 per trovare la strategia ottima del giocatore MAX. Esercizio 3.6 Applicare gli algoritmi di MINIMAX e α-β pruning al sequente albero di gioco: per trovare la strategia ottima del giocatore MAX. Considerare il seguente gioco: Esercizio 3.7 A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 3

4 in cui ognuno dei due giocatori decide se muovere in avanti o indietro di una posizione (se si trova ai lati del campo di gioco deve necessariamente muoversi). Nel caso in cui un giocatore si trovi nella casella adiacente a quella dell altro pu `muoversi nella prima casella libera dopo il giocatore avversario. Gli stati terminali sono quelli in cui un giocatore riesce a raggiungere il lato opposto della scacchiera di gioco. Muove per primo il giocatore A. 1. Disegnare l albero di ricerca del gioco. Nel caso in cui si raggiungano delle posizioni già esplorare non si espanda ulteriormente l albero. 2. Possiamo usare l algoritmo MINIMAX per questo gioco? Se sì, applicarlo e trovare la strategia per i due giocatori. Se no, proporre una modifica all algoritmo perché sia applicabile a questo problema. 3. Generalizzare tramite induzione la soluzione del problema nel caso in cui abbiamo n caselle invece che 4. Esercizio 3.8 Considerare il seguente gioco con nodi di casualità: A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 4

5 1. Calcolare il valore di ogni nodo 2. Conosciuti i valori dei primi 6 nodi foglia (partendo da sinistra), posso potare gli ultimi due nodi? 3. E se conoscessi che il range di valori di utilità nella foglie è nell intervallo [ 2, 2]? 4. Avrei potuto anche non valutare altre foglie? Esercizio 3.9 Rispondere alle sequenti domande e giustificare appropriatamente la risposta. 1. Un gioco che ha una trasformazione lineare degli outcame di un altro gioco a due giocatori ha la stessa strategia ottima, anche quando sono presenti nodi di casualità. 2. In un gioco completamente osservabile, a turni, a somma zero tra due giocatori razionali, è utile per il primo giocatore sapere quale strategia sta utilizzando il secondo giocatore. 3. Un agente perfettamente razionale non perderà mai a backgammon. 4. In un gioco parzialmente osservabile, a turni, a somma zero tra due giocatori razionali, è utile per il primo giocatore sapere quale strategia sta utilizzando il secondo giocatore. A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 5

6 Esercizio Se esiste, l algoritmo AC-3 trova la soluzione ottima ad un problema di CSP. 2. Un problema di CSP può essere risolto efficientemente con algoritmi di ricerca informata. 3. Specificare l ordine di assegnamento delle variabili è significativo per la soluzione di un CSP. 4. Nella rappresentazione ad albero della ricerca di un CSP, un solo stato è quello corrispondente alla soluzione. Esercizio 3.11 Formalizzare il problema delle 8 regine come un CSP e risolverlo tramite ricerca in profondità con MAC (verifica di consistenza d arco). Esercizio 3.12 Formalizzare i seguenti problemi come CSP: 1. rectilinear floor planning: trovare all interno di un rettangolo la posizione di altri rettangoli in modo che non si sovrappongano 2. orario delle lezioni: dato un insieme di professori, di aule, di lezioni e degli orari delle lezioni, trovare uno schedule delle lezioni. Ricordarsi che ogni professore potrà tenere solo un sottoinsieme di tutte le possibili lezioni 3. tour hamiltoniano: data una rete di città, trovare un ordine per cui le città vengono tutte visitate una e una sola volta Esercizio 3.13 Risolvere il problema della colorazione (RGB) del seguente grafo: A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 6

7 Prima di risolvere il problema, quale dei nodi pensate che sia il più critico? Il problema ha una sola soluzione? Esercizio 3.14 Formalizzare il problema di costruire un cruciverba. Sia dato lo schema iniziale e un dizionario di parole ammesse. Come suggerimento valutare se l azione da compiere è sia l inserimento di una parola o di una lettera nello schema. 1. Formulare il problema come un problema di ricerca. Specificare se l utilizzo di un euristica può essere di aiuto in questo problema specifico. 2. Formulare il problema come un CSP. 3. Quale delle due formulazioni pensate possa essere più efficiente? Perché? Esercizio 3.15 Mostrare che un vincolo ternario del tipo A+B = C può essere trasformato in tre vincoli binari. Suggerimento: introdurre una nuova variabile che tenga conto dei valori di A e B allo stesso tempo. Generalizzare il procedimento per vincoli N-ari. A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 7

8 Answers Soluzione dell esercizio Backgammon: expectiminimax, in quanto abbiamo la presenza di nodi di casualità 2. Scarabeo: se il problema venisse solamente visto nel limite del turno, allora non sarebbe neanche un algoritmo di ricerca con avversari, differente è il discorso se ragionassi sulla partita completa. In quel caso devo introdurre degli stati di credenza, in quanto non conosco le lettere a disposizione dell altro giocatore. 3. Scacchi: α-β pruning con profondità limitata, in quanto lo spazio per la ricerca in profondità completa sarebbe troppo complessa computazionalmente. 4. Go: UCT, in quanto lo spazio dell esplorazione è troppo vasto. 5. Monpoli: expectiminimax, in quanto il lancio del dado implica la presenza di nodi di casualità. 6. Poker: non avendo una conoscenza completa dello stato, dobbiamo utilizzare algoritmi che prendano in considerazione degli stati di credenza. Soluzione dell esercizio Insieme degli stati: disposizione delle 14 tessere sulla scacchiera sui due rompicapi Stato iniziale: una configurazione delle tessere Azioni ammissibili: spostare una delle quattro tessere adiacenti nella posizione libera in uno dei due rompicapi Modello di transizione: deterministico Test obbiettivo: le tessere sono ordinate dall uno al quattrodici in entrambi i rompicapi Costo di passo: uno per ogni mossa (azione) 2. Nella prima posizione della scacchiera possono esserci 15 differenti tessere (considerando anche quella vuota), in quella successiva ci possono essere 14 differenti tessere (tutte quelle avanzate) e cos`via. Avremo quindi uno spazio degli stati con 15! differenti stati. Se dobbiamo considerare i due rompicapi contemporaneamente avremmo uno spazio degli stati di cardinalità (15!) 2. A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 8

9 3. Dobbiamo introdurre il turno dei due giocatori, quindi in questo caso dobbiamo specificare che i due giocatori giocano in maniera sequenziale. Inoltre dovremo limitare la giocata del giocatore sul rompicapo scelto dal lancio della moneta. 4. expectiminimax, in quanto avremmo un nodo di casualità ogni volta che lanciamo la moneta 5. Considerate lo stato in cui uno dei due rompicapi è a due passi dalla configurazione obbiettivo. Il giocatore attivo dovrà chiedersi se c è più probabilità di vittoria nel caso in cui muovo verso la soluzione o mi ci allontano. Se muovo verso la soluzione, l avversario vince se: al primo lancio la moneta lo fa giocare su quel rompicapo (con probabilità 1/2) entrambi i giocatori lanciano e giocano sull altro rompicapo e poi l avversario lancia e può giocare sul primo rompicapo (con probabilità 1/8) entrambi i giocatori lanciano e giocano sull altro rompicapo per due volte e poi l avversario lancia e può giocare sul primo rompicapo (con probabilità 1/32) etc. Quindi la probabilità che l avversario vinca è di: = 1 2 i 4 i = = 2 3. Da qui la mossa migliore è quella di tornare indietro per cercare di far evitare di vincere l avversario. Soluzione dell esercizio 3.3 Un limite inferiore al costo della guardia è il numero di nodi tra la guardia e il ladro. L albero del gioco diventa: A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 9

10 Essendo un grafo finito e non essendoci percorsi ciclici, prima o poi la guardia prenderà il ladro. Soluzione dell esercizio 3.4 Per esempio in un gioco a somma zero con due azioni per il primo giocatore e due azioni per il secondo in cui i payoff siano u(a 11, a 21 ) = 2, u(a 11, a 22 ) = 12, u(a 12, a 21 ) = 3, u(a 12, a 22 ) = 5, se il primo giocatore dovesse giocare in maniera razionale avremmo che l utilità del primo giocatore sarebbe 3. Se invece il secondo fosse meno razionale e dovesse giocare randomicamente, allora la sua migliore strategia sarebbe quella di giocare a 11 ottenendo un utilità attesa di 7. Soluzione dell esercizio 3.5 Applicando MINIMAX avremo che il primo ramo darà un utilità di 2, il secondo di 1 ed il terzo di 0. Quindi la migliore azione per il giocatore MAX è la prima con cui prende 2. Utilizzando α-β pruning, supponendo di esplorare i nodi da sinistra a destra, esploreremmo tutto il primo ramo, nel secondo ci limiteremmo a controllare la prima foglia e nel terzo le prime due. Soluzione dell esercizio 3.6 I valori per il MIN sono (da sinistra a destra) 2, 8, 3, 5, 4, 6, 1, 7. Dopodiché quelli per il livello superiore del giocatore MAX sono (da sinistra a destra) 2, 3, 4, 1. Infine il MIN sceglierebbe 3, 4, quindi il valore finale sarebbe 3. Soluzione dell esercizio 3.7 A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 10

11 1. 2. L algoritmo MINIMAX, essendo un algoritmo in profondità, andrebbe all infinito in profondità. Se invece decidessimo di fermarci nell esplorazione ogniqualvolta raggiungessimo uno stato già visitato, allora possiamo trovare una soluzione. 3. Con 4 caselle vince chi inizia, con 5 chi parte per secondo. L analisi del problema a n caselle utilizza dimostrazione per induzione su questi due casi. Soluzione dell esercizio I nodi al livello più basso hanno valore (da sinistra a destra) 2, 1, 0, 1. I nodi di casualità hanno valore 1.5, 0.5 e quindi il valore del nodo più altro è 1.5. A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 11

12 2. No perché la media degli ultimi due valori potrebbe essere alta in maniera arbitraria e quindi il valore del nodo di casualità di destra avrebbe potuto avere un valore arbitrariamente alto. 3. In questo caso la media del ramo di destra non sarebbe potuta essere più alta di quella del ramo di sinistra. 4. Sì la sesta, perché essendo un nodo di minimo avrei una media tra un numero minore o uguale a zero e un numero al massimo 2, che è comunque inferiore a 1.5 Soluzione dell esercizio VERO: per la proprietà di linearità della media. 2. FALSO: normalmente posso dire quale azione fa il secondo giocatore razionale. Questo solo se non esistono pareggi o se è stato codificato il comportamento in caso di pareggi. 3. FALSO: la razionalità sta nel massimizzare l utilità attesa e non quella istantanea. 4. VERO: è un informazione che normalmente non avrei e che potrebbe portarmi ad un vantaggio strategico. Il gioco non sarebbe più parzialmente osservabile ma completamente osservabile. Soluzione dell esercizio MAL FORMULATA: non esiste il concetto di ottimo nelle soluzioni dei problemi di CSP. 2. FALSO: i problemi di ricerca informata considerano anche l ordinamento delle variabili assegnate nel processo di ricerca, il che non è necessario nei CSP. 3. FALSO: la soluzione di un CSP richiede solo che vengano assegnate tutte le variabili, l ordine con cui abbiamo effettuato questo procedimento non conta. Differente questione è quella dell ordinamento delle variabili durante il processo di ricerca, dove invece l ordine può condizionare la velocità dell algoritmo di ricerca. 4. FALSO: I problemi di CPS possono avere multiple soluzioni. Per esempio, il problema del coloramento dell Australia ha almeno 3 soluzioni (una per ogni colorazione della Tasmania). Soluzione dell esercizio 3.11 Variabili: X = {X 1,..., X 8 } posizione di ognuna delle regine; A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 12

13 Domini: D i = {1,..., 8} riga sulla scacchiera; Vincoli: X i X j, X i X i+k + k, k {1, 8 i}. 1. rectilinear floor planning: Soluzione dell esercizio 3.12 Variabili: {X 1,..., X n } posizione degli angoli in alto a sinistra dei rettangoli, {Y 1,..., Y n } angoli in basso a destra dei rettangoli; Domini: se il rettangolo è definito da Ω R 2, ogni angolo deve stare in Ω; Vincoli: i j, X i > Y j dove con relazione d ordine si intende che entrambe le coordinate soddisfano la diseguaglianza. 2. orario delle lezioni: Variabili: Domini: Vincoli: 3. tour hamiltoniano: Variabili: Domini: Vincoli: Soluzione dell esercizio 3.13 Il nodo più critico sembra essere il nodo H, poiché ha lo stessa cardinalità del dominio degli altri nodi ma ha molti più vincoli binari con le altre variabili. Decidiamo innanzitutto un ordine delle variabili da assegnare e un ordine sui colori. Diciamo H, A 1, A 2, A 3, A 4, T, F 2, F 2 e R, G, B. Facciamo una ricerca in profondità. (H, R) (A 1, R) Fallimento (H, R) (A 1, G) (A 2, R) Fallimento (H, R) (A 1, G) (A 2, G) Fallimento A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 13

14 Sembra essere un po macchinoso. Utilizziamo anche la verifica della consistenza d arco. (H, R) (A 1, G) (A 2, B) (A 3, G) (A 4, B) (T, G) (F 1, R) (F 2, R) Soluzione dell esercizio 3.14 Soluzione dell esercizio 3.15 Definiamo la variabile AB che prende come valore tutte le coppie (A, B) valide. Ora possiamo definire un vincolo binario tra A e AB che è verificato solo per le coppie per cui il valore del primo elemento di AB è uguale ad A. La stessa cosa possiamo definirla per B e AB. Infine, possiamo definire un nuovo vincolo tra AB e C che è verificato solo se la somma dei due elementi di AB è uguale a C. I vincoli N-ari possono essere trattati nello stesso modo, creando un vincolo binario per ogni variabile nell espressione a destra dell uguale e un vincolo finale che vada a considerare la somma. A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 14