Programmi utilizzati durante il corso ed esercizi

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1 Università di Roma La Sapienza Programmi utilizzati durante il corso ed esercizi Dott. Francesco Battista a.a Laboratorio di Calcolo di Aerodinamica Laurea in Ingegneria Aerospaziale

2 Chapter 1 Prefazione Questo libretto è stato creato per raccogliere alcuni dei programmi che vengono mostrati durante il Laboratorio di Calcolo di Aerodinamica. Esso è in continuo aggiornamento quindi si consiglia di controllare di tanto in tanto sul sito se vi è una versione aggiornata. La maggior parte dei codici mostrati sono senza errori, alcuni, non indicati, presentano errori il cui scopo è mostrare esplicitamente la corretta sintassi. Si consiglia vivamente perciò di utilizzare questo libretto come linea guida per la scrittura dei programmi e non come una dispensa tradizionale: la semplice lettura dei codici non è di alcuna utilià. I passi da seguire sono i seguenti: leggete la traccia dell esercizio provate a risolvere l esercizio scrivendo il programma in autonomia ovvero senza vederne la soluzione sul libretto compilate il programma: il successo di questo passo vi permette di passare al passo successivo in quanto il vostro programma non presenta errori sintattici, altrimenti cercate di correggere l errore. Ricordate in caso di errore il compilatore vi indica posizione e tipo di errore quindi leggete con attenzione i messaggi del compilatore. eseguite il programma. A questo punto l unica domanda che dovete porvi è: il programma esegue le istruzioni richieste dall esercizio? Se sì, non vi sono errori, altrimenti bisogna rivedere il programma e le istruzioni in esso contenute. confrontate il vostro programma con quello riportato in questo libretto, ricordate Non esiste un unico modo per eseguire ognuno degli esercizi in questo libretto!! quindi non necessariamente i vostri programmi devono essere uguali a quelli riportati nel libretto. Alcuni codici per il corretto funzionamento necessitano di un file di input che in questo libretto non è riportato. Infine si ricorda ancora una volta che questo libretto è solo un aiuto allo studio che raccoglie tutti i programmi che sono stati discussi in modo approfondito durante le lezioni. Buon Lavoro 2

3 Chapter 2 I primi programmi Questo primo capitolo è dedicato ai primi programmi visti a lezione. Sono da ritenersi utili per avere degli esempi della sintassi di base necessaria per poter scrivere programmi più complicati. 2.1 Scrivere a schermo il saluto Ciao Mondo : definizione delle sezioni (esecutiva e conclusiva) fondamentali ed imprescindibili di un programma. 1! File : hello. f90 2! The first program in Fortran 90 3! This code print a message on the screen 4 PROGRAM hello 5 6! Executive section 7 WRITE (*,*) Hello world! 8 9! End section 10 STOP 11 END PROGRAM hello 2.2 Scrivere un numero, scelto dall utente, a schermo: definizione della sezione dichiarativa. 1! File : assegnazione. f90 2! This program reads and prints a number on the screen 3 PROGRAM assegnazione 4 5! declaration section 6 IMPLICIT NONE 7 INTEGER :: i 8 9! execution section 10 WRITE (*,*) write and integer on the screen 11 READ (*,*) i WRITE (*,*) You write,i 14 15! end section 3

4 16 STOP 17 END PROGRAM assegnazione 2.3 Scrivere due numeri scelti dall utente a schermo ed effettuare calcoli aritmetici con essi scrivendo a schermo il risultato: assegnazione del valore ad una variabile Operazione eseguita n 2 = 10 n 1 1! File : assegnazione2. f90 2 PROGRAM assegnazione2 3 4! Sezione dichiarativa 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER :: num1, num2 7 8! Sezione esecutiva 9 WRITE (*,*) Inserisci due interi ( separati da spazio ) e premi INVIO 10 READ (*,*) num1, num WRITE (*,*) Hai scritto :,num1, num num2 = num1 * WRITE (*,*) Le nuove variabili sono :,num1, num ! Sezione conclusiva 19 STOP 20 END PROGRAM assegnazione Operazione eseguita n 2 = 10 + n 1 1! File : assegnazione3. f90 2 PROGRAM assegnazione3 3 4! Sezione dichiarativa 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER :: num1, num2 7 8! Sezione esecutiva 9 WRITE (*,*) Inserisci due interi ( separati da spazio ) e premi INVIO 10 READ (*,*) num1, num WRITE (*,*) Hai scritto :,num1, num num2 = num WRITE (*,*) Le nuove variabili sono :,num1, num ! Sezione conclusiva 4

5 19 STOP 20 END PROGRAM assegnazione Operazione eseguita n 1 = 10 + n 1 1! File : assegnazione4. f90 2 PROGRAM assegnazione4 3 4! Sezione dichiarativa 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER :: num1, num2 7 8! Sezione esecutiva 9 WRITE (*,*) Inserisci due interi ( separati da spazio ) e premi INVIO 10 READ (*,*) num1, num WRITE (*,*) Hai scritto :,num1, num num1 = num WRITE (*,*) Le nuove variabili sono :,num1, num ! Sezione conclusiva 19 STOP 20 END PROGRAM assegnazione Operazione eseguita n = n 1 1! File : assegnazione5. f90 2 PROGRAM assegnazione5 3 4! Sezione dichiarativa 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER :: num1, num2 7 8! Sezione esecutiva 9 WRITE (*,*) Inserisci due interi ( separati da spazio ) e premi INVIO 10 READ (*,*) num1, num WRITE (*,*) Hai scritto :,num1, num num = num WRITE (*,*) Le nuove variabili sono :,num1, num ! Sezione conclusiva 19 STOP 20 END PROGRAM assegnazione Operazione eseguita n 2 = n 1 + n 2 5

6 1! File : assegnazione6. f90 2 PROGRAM assegnazione6 3 4! Sezione dichiarativa 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER :: num1, num2 7 8! Sezione esecutiva 9 WRITE (*,*) Inserisci due interi ( separati da spazio ) e premi INVIO 10 READ (*,*) num1, num WRITE (*,*) Hai scritto :,num1, num num2 = num1 + num WRITE (*,*) Le nuove variabili sono :,num1, num ! Sezione conclusiva 19 STOP 20 END PROGRAM assegnazione6 2.4 Dato il raggio (numero reale) scrivere l area ed il perimetro del cerchio: definizione di varibili ed utilizzo delle stesse. 1! File : cerchio. f90 2! Questo programma legge un reale dallo schermo 3! e calcola l area e la circonferenza del cerchio 4! di cui il reale e il raggio 5 PROGRAM cerchio 6 7! Sezione dichiarativa 8 IMPLICIT NONE 9 REAL :: radius 10 REAL, PARAMETER :: pi = ! Sezione esecutiva 13 WRITE (*,*) Qual il raggio del cerchio? 14 READ (*,*) radius WRITE (*,*) Il perimetro del cerchio e :,2. * pi * radius 17 WRITE (*,*) L area del cerchio e :, pi * radius ** ! Sezione conclusiva 20 STOP 21 END PROGRAM cerchio 2.5 Dati due interi calcolarne il massimo. 6

7 2.5.1 Utilizzo della funzione max(a,b). 1! File : massimo1. f90 2! Calcolo del massimo dati due numeri 3 PROGRAM massimo 4 5! Sezione dichiarativa 6 IMPLICIT NONE 7 INTEGER :: num1, num2, massimo 8 9! Sezione esecutiva 10 WRITE (*,*) Inserisci due interi ( separati da spazio ) 11 READ (*,*) num1, num massimo = max (num1, num2 ) WRITE (*,*) Il massimo e :, massimo 16 17! Sezione conclusiva 18 STOP 19 END PROGRAM massimo Utilizzo della sintassi if-then-else. 1! File : massimo. f90 2! Calcolo del massimo dati due numeri 3 PROGRAM massimo 4 5! Sezione dichiarativa 6 IMPLICIT NONE 7 INTEGER :: num1, num2, massimo 8 9! Sezione esecutiva 10 WRITE (*,*) Inserisci due interi ( separati da spazio ) 11 READ (*,*) num1, num IF ( num1.gt. num2 ) then 14 massimo = num1 15 ELSE 16 massimo = num2 17 ENDIF WRITE (*,*) Il massimo e :, massimo 20 21! Sezione conclusiva 22 STOP 23 END PROGRAM massimo 2.6 Dato un intero scelto dall utente dire se è pari o dispari: utilizzo della struttura if-then-else e della funzione mod(a,b). 7

8 1! file even_ odd. f90 2! This code reads one integer and say if it is even or odd 3 PROGRAM even_ odd 4! sezione dichiarativa 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER i1 7 CHARACTER (4) num 8! sezione esecutiva 9 WRITE (*,*) Insert one integer, then press ENTER 10 READ (*,*) i1 11 if ( mod (i1,2).eq.0) then 12 num = even 13 else 14 num = odd 15 endif 16 write (*,*) the inserted number is,num 17! sezione conclusiva 18 STOP 19 END 2.7 Data una sequenza di 3 numeri (interi) calcolarne la somma e scriverla a schermo: utilizzo dell istruzione ciclica do-loop 1! file : somma. f90 2! Show the cicle statements use 3 PROGRAM somma 4! Declaration section 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER :: amount, num1, summ, i 7! Execution section 8 amount =3 9 WRITE (*,*) Insert, amount, integer and press each time ENTER : 10 summ =0 11 DO i=1, amount 12 READ (*,*) num1 13 summ = summ + num1 14 ENDDO 15 WRITE (*,*) The sum reads :, summ 16! End section 17 STOP 18 END 2.8 Dato un intero, scelto dall utente, calcolare il fattoriale del numero stesso: utilizzo dell istruzione ciclica do-loop 1! file : fattoriale. f90 2! This program reads a number and compute the factorial 3 PROGRAM fattoriale 4! sezione dichiarativa 5 IMPLICIT NONE 8

9 6 INTEGER :: n, m 7 INTEGER :: fact 8! sezione esecutiva 9 WRITE (*,*) Write the number on the screen and press ENTER 10 READ (*,*) n 11 fact =n 12 DO m=1,n fact = fact *(n-m) 14 ENDDO 15 if (n.eq.0) fact =1 16 WRITE (*,*) The factorial of, n, is:,fact 17! sezione esecutiva 18 STOP 19 END PROGRAM fattoriale 2.9 Data una sequenza di interi (di 0 e 1) scelta dall utente dire da quanti zeri é formata la sequenza di zeri, consecutivi, più lunga: utilizzo dell istruzione ciclica indefinita do-loop 1! file : sequenza. f90 2! This program is an example of the undefined DO - LOOP 3 PROGRAM sequenza 4! declaration section 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER :: bit, cont, maxleng 7 cont = 0 8 maxleng = 0 9! execution section 10 WRITE (*,*) Insert a 0,1,2 sequence ( press ENTER each time ) 11 DO 12 WRITE (*,*) Insert a number (no 0 or 1 to end ): 13 READ (*,*) bit 14 IF ( bit.ne. 1. and. bit.ne. 0) EXIT 15 IF ( bit. eq. 0) THEN 16 cont = cont IF ( cont. gt. maxleng ) maxleng = maxleng ELSE 19 cont = 0 20 ENDIF 21 ENDDO 22 WRITE (*,*) The most length sequence of only 0 counts & 23,maxleng, zeros 24! end section 25 STOP 26 END 2.10 Dati due numeri interi scelti dall utente calcolare il massimo comune denominatore: utilizzo delle istruzioni if-then-else, do-loop e della funzione mod(a,b) 1! file : mcd. f90 2! This program prints the greater common divisor of two integers 9

10 3 PROGRAM mcd 4! sezione dichiatativa 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER :: a, b, m 7! sezione esecutiva 8 WRITE (*,*) Insert two number separated by a space : 9 READ (*,*) a, b m=a 12 IF (b.lt.a) m=b 13 DO 14 IF ( mod (b,m).eq.0. and. mod (a,m).eq.0) EXIT 15 m = m ENDDO 17 WRITE (*,*) The greater common divisor is,m 18! sezione conclusiva 19 STOP 20 END 2.11 Dati due numeri interi scelti dall utente calcolare il massimo: Utilizzo della sotto-unità subroutine 1! File : massimo. f90 2! Calcolo del massimo dati due numeri 3 PROGRAM massimo 4! Sezione dichiarativa 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER :: num1, num2, mas 7! Sezione esecutiva 8 WRITE (*,*) Inserisci due interi ( separati da spazio ) 9 READ (*,*) num1, num2 10 call calc (num1,num2, mas ) 11 WRITE (*,*) Il massimo e :,mas 12! Sezione conclusiva 13 STOP 14 END PROGRAM massimo 15! 16! 17 SUBROUTINE calc (x,y, z) 18 IMPLICIT NONE 19 INTEGER :: x,y,z 20 IF (x.gt.y) then 21 z = x 22 ELSE 23 z = y 24 ENDIF 25 RETURN 26 END SUBROUTINE calc 10

11 Utilizzo della sotto-unità function 1! File : massimo. f90 2! Calcolo del massimo dati due numeri 3 PROGRAM massimo 4! Sezione dichiarativa 5 IMPLICIT NONE 6 INTEGER :: num1, num2, mas, calc 7! Sezione esecutiva 8 WRITE (*,*) Inserisci due interi ( separati da spazio ) 9 READ (*,*) num1, num2 10 mas = calc (num1, num2 ) 11 WRITE (*,*) Il massimo e :,mas 12! Sezione conclusiva 13 STOP 14 END PROGRAM massimo 15! 16! 17 FUNCTION calc (x, y) 18 IMPLICIT NONE 19 INTEGER :: x,y, calc 20 IF (x.gt.y) then 21 calc = x 22 ELSE 23 calc = y 24 ENDIF 25 RETURN 26 END FUNCTION calc 2.12 Creare una stringa (nome di un file) concatenando tre stringhe: la versione a il tempo 10 l estensione.dat. La stringa finale sarà a00010.dat 1! File : name_file. f90 2! Gestire e creare una stringa corrispondende 3! al nome di un file 4 PROGRAM name_ file 5 IMPlICIT NONE 6 CHARACTER (30) :: name 7 CHARACTER (1) :: ver 8 CHARACTER (6) :: time 9 CHARACTER (4) :: ext 10 INTEGER :: it it = ext =. dat 11

12 15 ver = a 16 WRITE (time, (i6.6) ) it 17 name = ver // time // ext WRITE (*,*) Apro il file,name STOP 22 END PROGRAM name_ file 2.13 Leggere un numero da un file chiamato input.dat e scrivere il numero a schermo 1! File : name_file. f90 2! Gestire e creare una stringa corrispondende 3! al nome di un file 4 PROGRAM read_ file 5 IMPlICIT NONE 6 CHARACTER (30) :: name_ file 7 CHARACTER (7) :: ver 8 CHARACTER (4) :: ext 9 REAL :: pi ext =. dat 12 ver = input 13 name_file = trim ( ver )// ext WRITE (*,*) Apro il file, name_file 16 OPEN ( UNIT =1, FILE = name_file, STATUS = old,action = read ) 17 READ (1,*) pi 18 CLOSE (1) WRITE (*,*) Il contenuto del file,name_file, e, pi 21 WRITE (*,10) name_file, pi FORMAT ( Il contenuto del file,a9, e, F7.4) 24 STOP 25 END PROGRAM read_ file 12

13 Chapter 3 Soluzione di ODE 3.1 Calcolare e la soluzione esatta della seguente equazione differenziale ordinaria: nel punto x=10, tramite l uso di una subroutine. 1 PROGRAM main 2 IMPLICIT NONE 3 REAL :: y,x,alpha,y0 4 5 x =1.0 6 alpha =3.0 7 y0 =1.0 8 CALL exact_sol (y,x,y0, alpha ) 9 dy = 3y dx (3.1) y(0) = y 0 = 1 (3.2) 10 WRITE (*,*) La soluzione al tempo t=,x, e uguale a y=,y STOP 13 END PROGRAM main 14! SUBROUTINE exact_sol (y,x,y0,a) 17 IMPLICIT NONE 18 REAL, INTENT (IN):: y0,x,a 19 REAL, INTENT ( OUT ):: y y = y0*exp (-x*a) RETURN 24 END SUBROUTINE exact_ sol 13

14 3.2 Calcolare e la soluzione esatta della seguente equazione differenziale ordinaria: dal punto x=0 al punto x=10, tramite l uso di una subroutine. 1 PROGRAM main 2 IMPLICIT NONE 3 INTEGER, PARAMETER :: Nx =10 4 INTEGER :: i 5 REAL :: y,x,alpha,y0 6 REAL :: Dx, x_max, x_min 7 8 x_max =2. 9 x_min =0. 10 Dx =( x_max - x_min )/( Nx) 11 alpha = y0 = do i=0, Nx 15 x= x_min +Dx*i 16 CALL exact_sol (y,x,y0, alpha ) WRITE (*,*) x,y 19 enddo WRITE (*,*) Fine della simulazione STOP 24 END PROGRAM main dy = 3y dx (3.3) y(0) = y 0 = 1 (3.4) 25! SUBROUTINE exact_sol (y,x,y0,a) 28 IMPLICIT NONE 29 REAL, INTENT (IN):: y0,x,a 30 REAL, INTENT ( OUT ):: y y = y0*exp (-x*a) RETURN 35 END SUBROUTINE exact_ sol 3.3 Calcolare e la soluzione esatta e la soluzione approssimata con il metodo di eulero della seguente equazione differenziale ordinaria: dal punto x=0 al punto x=10. Scrivere infine la soluzione su un file. dy = 3y dx (3.5) y(0) = y 0 = 1 (3.6) 14

15 1 PROGRAM main 2 IMPLICIT NONE 3 INTEGER, PARAMETER :: Nx =10 4 INTEGER :: i 5 REAL :: y,x,alpha,y0 6 REAL :: Dx, y_old, y_new 7 REAL :: rhs, x_max, x_min 8 REAL :: error, err_max 9 10 error = err_max = call input ( x_min, x_max, alpha,y0) 14 Dx =( x_max - x_min )/ float (Nx) 15 y_old =y call write_sol ( x_min,y0,y0) do i=1, Nx 20 x= x_min +Dx*i 21 CALL exact_sol (y,x,y0, alpha ) y_new = y_old + Dx*rhs ( y_old, alpha ) call write_sol (x,y, y_new ) y_old = y_new error = abs ( y_new -y) 30 err_max = max ( err_max, error ) 31 enddo WRITE (*,*) Dx, errore,dx, error 34 WRITE (*,*) Fine della simulazione STOP 37 END PROGRAM main 38! 39! 40 SUBROUTINE exact_sol (y,x,y0,a) 41 IMPLICIT NONE 42 REAL, INTENT (IN):: y0,x,a 43 REAL, INTENT ( OUT ):: y y = y0*exp (-x*a) RETURN 48 END SUBROUTINE exact_ sol 49! 50 SUBROUTINE input ( x_min, x_max, alpha,y0) 51 IMPLICIT NONE 52 REAL, INTENT ( OUT ):: y0, alpha, x_min, x_max OPEN ( UNIT =1, FILE = input. dat, STATUS = old,action = read ) 55 READ (1,*) x_min 56 READ (1,*) x_max 15

16 57 READ (1,*) y0 58 READ (1,*) alpha 59 CLOSE (1) RETURN 62 END SUBROUTINE input 63! 64 FUNCTION rhs (y, a) 65 IMPLICIT NONE 66 REAL, INTENT (IN) :: a,y 67 REAL :: rhs rhs =-a*y RETURN 72 END FUNCTION rhs 73! 74 SUBROUTINE write_sol (x,ye,ya) 75 IMPLICIT NONE 76 REAL, INTENT (IN)::x,ye,ya OPEN ( UNIT =1, FILE = output. dat, STATUS = unknown,action = write,access = append ) 79 WRITE (1,*) x,ye,ya 80 CLOSE (1) RETURN 83 END SUBROUTINE write_ sol 84! 3.4 Risolvere il problema della sezione 3.3 con il metodo di Heun 1 PROGRAM main 2 IMPLICIT NONE 3 INTEGER, PARAMETER :: Nx =10 4 INTEGER :: i 5 REAL :: y,x,alpha,y0 6 REAL :: Dx, y_old, y_new, y_ast 7 REAL :: rhs, x_max, x_min 8 REAL :: error, err_max 9 10 error = err_max = call input ( x_min, x_max, alpha,y0) 14 Dx =( x_max - x_min )/ float (Nx) 15 y_old =y call write_sol ( x_min,y0,y0) do i=1, Nx 20 x= x_min +Dx*i 21 CALL exact_sol (y,x,y0, alpha ) y_ast = y_old + Dx*rhs ( y_old, alpha ) 16

17 24 y_new = y_old + Dx *.5*( rhs ( y_old, alpha )+ rhs ( y_ast, alpha )) error = abs ( y_new -y) 28 err_max = max ( err_max, error ) call write_sol (x,y, y_new ) y_old = y_new 33 enddo WRITE (*,*) ERRORE MAX,Dx, err_max 36 WRITE (*,*) Fine della simulazione STOP 39 END PROGRAM main 40! 41! 42 SUBROUTINE exact_sol (y,x,y0,a) 43 IMPLICIT NONE 44 REAL, INTENT (IN):: y0,x,a 45 REAL, INTENT ( OUT ):: y y = y0*exp (-x*a) RETURN 50 END SUBROUTINE exact_ sol 51! 52 SUBROUTINE input ( x_min, x_max, alpha,y0) 53 IMPLICIT NONE 54 REAL, INTENT ( OUT ):: y0, alpha, x_min, x_max OPEN ( UNIT =1, FILE = input. dat, STATUS = old,action = read ) 57 READ (1,*) x_min 58 READ (1,*) x_max 59 READ (1,*) y0 60 READ (1,*) alpha 61 CLOSE (1) RETURN 64 END SUBROUTINE input 65! 66 FUNCTION rhs (y, a) 67 IMPLICIT NONE 68 REAL, INTENT (IN) :: a,y 69 REAL :: rhs rhs =-a*y RETURN 74 END FUNCTION rhs 75! 76 SUBROUTINE write_sol (x,ye,ya) 77 IMPLICIT NONE 78 REAL, INTENT (IN)::x,ye,ya 79 17

18 80 OPEN ( UNIT =1, FILE = output. dat, STATUS = unknown,action = write, POSITION = append ) 81 WRITE (1,*) x,ye,ya 82 CLOSE (1) RETURN 85 END SUBROUTINE write_ sol 86! 3.5 Risolvere il problema della sezione 3.3 con il metodo di Runge-Kutta al IV ordine 1 PROGRAM main 2 IMPLICIT NONE 3 INTEGER, PARAMETER :: Nx = INTEGER, PARAMETER :: nrk =4 5 INTEGER :: i,l 6 REAL :: y,x,alpha,y0 7 REAL :: Dx, y_old, y_new, y_ast 8 REAL :: rhs, x_max, x_min 9 REAL :: error, err_max 10 REAL, DIMENSION (1: nrk ) :: crk1, crk2 11 REAL, DIMENSION (0: nrk ) :: k 12 REAL :: rhsrk crk1 = (/0.,.5,.5, 1./) 15 crk2 = (/1., 2., 2., 1./) error = err_max = call input ( x_min, x_max, alpha,y0) 21 Dx =( x_max - x_min )/ float (Nx) 22 y_old =y call write_sol ( x_min,y0,y0) do i=1, Nx 27 x= x_min +Dx*i 28 CALL exact_sol (y,x,y0, alpha ) rhsrk =0. 31 y_new = y_old 32 k (0) =0. 33 do l=1, nrk 34 y_old = y_new + crk1 ( l) * Dx * k(l -1) 35 k(l) = rhs ( y_old, alpha ) 36 rhsrk = rhsrk + k( l)* crk2 ( l) 37 enddo y_new = y_new + Dx /6.* rhsrk error = abs ( y_new -y) 43 err_max = max ( err_max, error ) 44 18

19 45 call write_sol (x,y, y_new ) y_old = y_new 48 enddo WRITE (*,*) ERRORE MAX,Dx, err_max 51 WRITE (*,*) Fine della simulazione STOP 54 END PROGRAM main 55! 56! 57 SUBROUTINE exact_sol (y,x,y0,a) 58 IMPLICIT NONE 59 REAL, INTENT (IN):: y0,x,a 60 REAL, INTENT ( OUT ):: y y = y0*exp (-x*a) RETURN 65 END SUBROUTINE exact_ sol 66! 67 SUBROUTINE input ( x_min, x_max, alpha,y0) 68 IMPLICIT NONE 69 REAL, INTENT ( OUT ):: y0, alpha, x_min, x_max OPEN ( UNIT =1, FILE = input. dat, STATUS = old,action = read ) 72 READ (1,*) x_min 73 READ (1,*) x_max 74 READ (1,*) y0 75 READ (1,*) alpha 76 CLOSE (1) RETURN 79 END SUBROUTINE input 80! 81 FUNCTION rhs (y, a) 82 IMPLICIT NONE 83 REAL, INTENT (IN) :: a,y 84 REAL :: rhs rhs =-a*y RETURN 89 END FUNCTION rhs 90! 91 SUBROUTINE write_sol (x,ye,ya) 92 IMPLICIT NONE 93 REAL, INTENT (IN)::x,ye,ya OPEN ( UNIT =1, FILE = output. dat, STATUS = unknown,action = write, POSITION = append ) 96 WRITE (1,*) x,ye,ya 97 CLOSE (1) RETURN 100 END SUBROUTINE write_ sol 19

20 101! 3.6 Risolvere il problema di una particella inerziale sottoposta a gravità ed a resistenza di Stokes: dv p dt = v p τ p + g (3.7) v p (0) = 0 (3.8) Il sistema precedente ha la seguente soluzione esatta: ) v p (t) = (1 e t/τp g τ p (3.9) Si usi un metodo di integrazione accurato al primo ordine. 1 PROGRAM main 2 IMPLICIT NONE 3 INTEGER, PARAMETER :: Nt = INTEGER :: n 5 REAL :: v,t,tau,v0,g 6 REAL :: Dt, v_old, v_new 7 REAL :: rhs, t_max, t_min 8 REAL :: error, err_max 9 10 error = err_max = CALL input ( t_min, t_max,tau,g,v0) 14 Dt =( t_max - t_min )/ float (Nt) 15 v_old =v CALL write_sol ( t_min,v0,v0, error ) DO n=1, Nt 20 t= t_min +Dt*n 21 CALL exact_sol (v,t,v0,tau,g) v_new = v_old + rhs (Dt, v_old,tau,g) error = abs ( v_new -v) 27 err_max = max ( err_max, error ) CALL write_sol (t,v,v_new, error ) v_old = v_new 32 ENDDO WRITE (*,*) ERRORE MAX,Dt, err_max 35 WRITE (*,*) Fine della simulazione STOP 38 END PROGRAM main 39! 20

21 40! 41 SUBROUTINE exact_sol (v,t,v0,tau,g) 42 IMPLICIT NONE 43 REAL, INTENT (IN):: v0,t,tau,g 44 REAL, INTENT ( OUT ):: v v = (v0 -g* tau )* exp (-t/ tau )+g* tau RETURN 49 END SUBROUTINE exact_ sol 50! 51 SUBROUTINE input ( t_min, t_max,tau,g,v0) 52 IMPLICIT NONE 53 REAL, INTENT ( OUT ):: v0,tau,g,t_min, t_max OPEN ( UNIT =1, FILE = input. dat, STATUS = old,action = read ) 56 READ (1,*) t_min 57 READ (1,*) t_max 58 READ (1,*) v0 59 READ (1,*) tau 60 READ (1,*) g 61 CLOSE (1) 62 RETURN 63 END SUBROUTINE input 64! 65 FUNCTION rhs (dt,v,tau,g) 66 IMPLICIT NONE 67 REAL, INTENT (IN) :: dt,tau,g,v 68 REAL :: rhs rhs = (- v/ tau + g) * dt RETURN 73 END FUNCTION rhs 74! 75 SUBROUTINE write_sol (x,ye,ya, err ) 76 IMPLICIT NONE 77 REAL, INTENT (IN)::x,ye,ya, err OPEN ( UNIT =1, FILE = output. dat, STATUS = unknown,action = write, POSITION = append ) 80 WRITE (1,*) x,ye,ya, err 81 CLOSE (1) RETURN 84 END SUBROUTINE write_ sol 85! 3.7 Al problema della sezione precedente, 3.6 si aggiunga l equazione per la posizione della particella: dx p dt = v p (3.10) x p (0) = 0 (3.11) 21

22 La soluzione esatta per questa nuova equazione : ( )] x p (t) = τ p g [t + τ p e t/τp 1 (3.12) 1 PROGRAM main 2 IMPLICIT NONE 3 INTEGER, PARAMETER :: Nt = INTEGER :: n 5 REAL :: x,v,t,tau,x0,v0,g 6 REAL :: Dt, v_old, v_new 7 REAL :: x_old, x_new 8 REAL :: rhs_x, rhs_v, t_max, t_min 9 REAL :: error, err_max error = err_max = CALL input ( t_min, t_max,tau,g,v0,x0) 15 Dt =( t_max - t_min )/ float (Nt) 16 v_old =v CALL write_sol ( t_min,v0,v0,x0,x0) DO n=1, Nt 21 t= t_min +Dt*n 22 CALL exact_sol (v,x,t,v0,tau,g) v_new = v_old + rhs_v (Dt, v_old,tau,g) 25 x_new = x_old + rhs_x ( Dt, v_old ) CALL write_sol (t,v,v_new,x, x_new ) v_old = v_new 30 x_old = x_new 31 ENDDO WRITE (*,*) ERRORE MAX,Dt, err_max 34 WRITE (*,*) Fine della simulazione STOP 37 END PROGRAM main 38! 39! 40 SUBROUTINE exact_sol (v,x,t,v0,tau,g) 41 IMPLICIT NONE 42 REAL, INTENT (IN):: v0,t,tau,g 43 REAL, INTENT ( OUT ):: v,x x = tau *g*(t+ tau *( exp (-t/ tau ) -1.)) 46 v = (1. - exp (-t/ tau ))*g* tau RETURN 49 END SUBROUTINE exact_ sol 50! 51 SUBROUTINE input ( t_min, t_max,tau,g,v0,x0) 52 IMPLICIT NONE 22

23 53 REAL, INTENT ( OUT ):: x0,v0,tau,g,t_min, t_max OPEN ( UNIT =1, FILE = input. dat, STATUS = old,action = read ) 56 READ (1,*) t_min 57 READ (1,*) t_max 58 READ (1,*) x0 59 READ (1,*) v0 60 READ (1,*) tau 61 READ (1,*) g 62 CLOSE (1) 63 RETURN 64 END SUBROUTINE input 65! 66 FUNCTION rhs_v (dt,v,tau,g) 67 IMPLICIT NONE 68 REAL, INTENT (IN) :: dt,tau,g,v 69 REAL :: rhs_v rhs_v = (- v/ tau + g) * dt RETURN 74 END FUNCTION rhs_v 75! 76 FUNCTION rhs_x ( dt, v) 77 IMPLICIT NONE 78 REAL, INTENT (IN) :: dt,v 79 REAL :: rhs_x rhs_x = v * Dt RETURN 84 END FUNCTION rhs_x 85! 86 SUBROUTINE write_sol (x,ye,ya,xe,xa) 87 IMPLICIT NONE 88 REAL, INTENT (IN)::x,ye,ya,xe,xa OPEN ( UNIT =1, FILE = output. dat, STATUS = unknown,action = write, POSITION = append ) 91 WRITE (1,*) x,ye,ya,xe,xa 92 CLOSE (1) RETURN 95 END SUBROUTINE write_ sol 96! 23

24 Chapter 4 Soluzione di PDE 4.1 Scrivere un programma per il calcolo della soluzione dell equazione di convezione lineare se ne confronti il risultato approssimato con quello analitico. Il sistema differenziale da risolvere : u t + a u = 0 x [0, 1] [0, 10] (4.1) u(0, t) = 0 (4.2) u(x, 0) = u 0 (x) = max [0, (x 0.25)(0.5 x)] (4.3) Scrivere il risultato su diversi file per diversi istanti temporali ed integrare il sistema con un metodo esplicito accurato al primo ordine nel tempo e nello spazio. 1!. file : eulero_upwind. f90 2!. This program applies the eulero integration to the 3!. linear convection partial differential equation 4 PROGRAM main 5!. 6 IMPLICIT NONE 7 INTEGER :: it, j 8 INTEGER :: itmin, itmax, itout 9 INTEGER, PARAMETER :: Nx =100, Ng =1 10!. 11 REAL, DIMENSION (1 - Ng:Nx+Ng):: v_new, v_old, v_exact,x 12 REAL :: delta_t, delta_x, a_conv,rhs, rhs_uw, rhs_uw2 13 REAL :: error, error_max,time,v0 14!. 15! metric definition 16 CALL griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 17!. 18! some initializations 19 DO j=1 -ng,nx+ng 20 v_old (j)=v0(x(j)) 21 ENDDO 22 error =0. 23 error_ max = !. 25! read on file input. dat 26 CALL input ( itmin, itmax, itout, a_conv, delta_t ) 27!. 24

25 28! compute maximun number of iterations and open write unit 29!. 30 write (*,*) cfl, delta_t * a_conv / delta_x 31 CALL write_disk (x,v_old, v_old,0,nx,ng) 32 DO it = itmin, itmax 33 DO j=1, nx 34 rhs = rhs_uw ( v_old (j),v_old (j -1),a_conv, delta_x ) 35 v_new ( j) = v_old ( j) + delta_t * rhs 36 ENDDO 37 time = it* delta_t 38!. boundary conditions 39 DO j=1 -ng,0 40 v_new (j) =0. 41 ENDDO 42!. update the solution 43 DO j=1 -ng,nx+ng 44 v_old (j)= v_new (j) 45 ENDDO 46!. compute the error 47 CALL exact_sol (Nx,Ng,x,time, a_conv, v_exact ) error =0. 50 DO j=1, Nx 51 error = error + abs ( v_new (j)-v_exact (j)) 52 ENDDO 53 error_max = max ( error_max, error / float (Nx)) 54!. write on disk 55 if ( mod (it, itout ).eq.0) CALL write_disk (x,v_new, v_exact,it,nx,ng) 56 ENDDO WRITE (*,*) dt, error =,delta_t, error_max 59 WRITE (*,*) solution stored in file velocity. dat 60 WRITE (*,*) Simulation ended! 61 STOP 62 END 63!. 64!. 65!. 66!. 67 FUNCTION rhs_uw (vj,vjm,a,dx) 68 IMPLICIT NONE 69 REAL :: rhs_uw,vj,vjm,a,dx rhs_uw =-a*(vj - vjm )/Dx RETURN 74 END 75!. 76!. 77 FUNCTION v0( x) 78 IMPLICIT NONE 79 REAL :: v0,x,fx fx =(.25 - x)*(x -.5) v0=max (0., fx) 25

26 84 85 RETURN 86 END 87!. 88!. 89 SUBROUTINE exact_sol (Nx,Ng,x,time, a_conv, v_exact ) IMPLICIT NONE 92 INTEGER :: Nx,Ng,j 93 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x, v_exact 94 REAL :: v0, appo, time, a_conv DO j=1 -ng,nx+ng 97 appo =x(j)-a_conv * time 98 v_exact (j)=v0( appo ) 99 ENDDO RETURN 102 END 103!. 104!. 105 SUBROUTINE write_disk (x,v,u,it,nx,ng) IMPLICIT NONE 108 INTEGER :: it,nx,ng,j 109 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x,v,u 110 CHARACTER (32) :: opfile opfile = bcl dat 113 WRITE ( opfile (4:11),1000) it 114!!!!! WRITE ( opfile (4:11), (i8.8) ) it 115 opfile =./ DATA / // opfile FORMAT ( i8.8) OPEN ( UNIT =13, FILE = opfile, STATUS = unknown,action = write ) 119 DO j=1 -Ng,Nx 120 WRITE (13,*) x(j),v(j),u(j) 121 ENDDO 122 CLOSE (13) RETURN 125 END 126!. 127!. 128 SUBROUTINE griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 129 IMPLICIT NONE 130 INTEGER Nx,Ng,j 131 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x 132 REAL L, delta_x 133 L = delta_x =L/ float (Nx +1) DO j=1 -ng,nx+ng 137 x( j) =j* delta_x 138 ENDDO

27 140 RETURN 141 END 142!. 143!. 144 SUBROUTINE input ( itmin, itmax, itout, a_conv, delta_t ) 145 IMPLICIT NONE 146 INTEGER :: itmin, itmax, itout 147 REAL :: a_conv, delta_t 148 OPEN ( UNIT =1, FILE = input. dat,status = old,action = read ) 149 READ (1,*) itmin 150 READ (1,*) itmax 151 READ (1,*) itout 152 READ (1,*) a_conv 153 READ (1,*) delta_t 154 CLOSE (1) 155 RETURN 156 END SUBROUTINE input 4.2 Integrare il sistema della sezione precedente, 4.1, con un metodo esplicito accurato al primo ordine nel tempo e al secondo ordine nello spazio. 1!. file : eulero_upwind2. f90 2!. This program applies the eulero integration to the 3!. linear convection partial differential equation 4 PROGRAM main 5!. 6 IMPLICIT NONE 7 INTEGER :: it, j 8 INTEGER :: itmin, itmax, itout 9 INTEGER, PARAMETER :: Nx =100, Ng =2 10!. 11 REAL, DIMENSION (1 - Ng:Nx+Ng):: v_new, v_old, v_exact,x 12 REAL :: delta_t, delta_x, a_conv,rhs, rhs_uw, rhs_uw2 13 REAL :: error, error_max,time,v0 14!. 15! metric definition 16 CALL griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 17!. 18! some initializations 19 DO j=1 -ng,nx+ng 20 v_old (j)=v0(x(j)) 21 ENDDO 22 error =0. 23 error_ max = !. 25! read on file eulero_ stokes. dat 26 CALL input ( itmin, itmax, itout, a_conv, delta_t ) 27!. 28! compute maximun number of iterations and open write unit 29!. 30 write (*,*) cfl, delta_t * a_conv / delta_x 31 CALL write_disk (x,v_old, v_old,0,nx,ng) 32 DO it = itmin, itmax 27

28 33 DO j=1, nx 34 rhs = rhs_uw2 ( v_old (j),v_old (j -1),v_old (j -2),a_conv, delta_x ) 35 v_new ( j) = v_old ( j) + delta_t * rhs 36 ENDDO 37 time = it* delta_t 38!. boundary conditions 39 DO j=1 -ng,0 40 v_new (j) =0. 41 ENDDO 42!. update the solution 43 DO j=1 -ng,nx+ng 44 v_old (j)= v_new (j) 45 ENDDO 46!. compute the error 47 CALL exact_sol (Nx,Ng,x,time, a_conv, v_exact ) error =0. 50 DO j=1, Nx 51 error = error + abs ( v_new (j)-v_exact (j)) 52 ENDDO 53 error_max = max ( error_max, error / float (Nx)) 54!. write on disk 55 if ( mod (it, itout ).eq.0) CALL write_disk (x,v_new, v_exact,it,nx,ng) 56 ENDDO WRITE (*,*) dt, error =,delta_t, error_max 59 WRITE (*,*) solution stored in file velocity. dat 60 WRITE (*,*) Simulation ended! 61 STOP 62 END 63!. 64!. 65!. 66!. 67 FUNCTION rhs_uw2 (vj,vjm,vjmm,a,dx) 68 IMPLICIT NONE 69 REAL :: rhs_uw2,vj,vjm,vjmm,a,dx rhs_uw2 =-a *(3.* vj -4.* vjm + vjmm ) /(2.* Dx) RETURN 74 END 75!. 76!. 77 FUNCTION v0( x) 78 IMPLICIT NONE 79 REAL :: v0,x,fx fx =(.25 - x)*(x -.5) v0=max (0., fx) RETURN 86 END 87!. 88!. 28

29 89 SUBROUTINE exact_sol (Nx,Ng,x,time, a_conv, v_exact ) IMPLICIT NONE 92 INTEGER :: Nx,Ng,j 93 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x, v_exact 94 REAL :: v0, appo, a_conv, time DO j=1 -ng,nx+ng 97 appo =x(j)-a_conv * time 98 v_exact (j)=v0( appo ) 99 ENDDO RETURN 102 END 103!. 104!. 105 SUBROUTINE write_disk (x,v,u,it,nx,ng) IMPLICIT NONE 108 INTEGER it,nx,ng,j 109 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x,v,u 110 CHARACTER (32) opfile opfile = acl dat 113 WRITE ( opfile (4:11),1000) it 114 opfile =./ DATA / // opfile FORMAT ( i8.8) OPEN ( UNIT =13, FILE = opfile, STATUS = unknown,action = write ) 118 DO j=1 -Ng,Nx 119 WRITE (13,*) x(j),v(j),u(j) 120 ENDDO 121 CLOSE (13) RETURN 124 END 125!. 126!. 127 SUBROUTINE griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 128 IMPLICIT NONE 129 INTEGER :: Nx,Ng,j 130 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x 131 REAL :: L, delta_x 132 L = delta_x =L/ float (Nx) DO j=1 -ng,nx+ng 136 x( j) =j* delta_x 137 ENDDO RETURN 140 END 141!. 142!. 143 SUBROUTINE input ( itmin, itmax, itout, a_conv, delta_t ) 144 IMPLICIT NONE 29

30 145 INTEGER :: itmin, itmax, itout 146 REAL :: a_conv, delta_t 147 OPEN ( UNIT =1, FILE = input. dat,status = old,action = read ) 148 READ (1,*) itmin 149 READ (1,*) itmax 150 READ (1,*) itout 151 READ (1,*) a_conv 152 READ (1,*) delta_t 153 CLOSE (1) 154 RETURN 155 END SUBROUTINE input 4.3 Scrivere un programma per il calcolo della soluzione dell equazione del calore se ne confronti il risultato approssimato con quello analitico. Il sistema differenziale da risolvere : u t = ν 2 u x 2 [0, 1] [0, 10] (4.4) u(0, t) = 100 (4.5) u(1, t) = 100 (4.6) 400 u(x, 0) = u 0 (x) = u(0, t) + [v(1, t) v(0, t)] x sin((2 m 1)πx) (2 m 1)π (4.7) La cui soluzione esatta : u(x, t) = u(0, t) + [v(1, t) v(0, t)] x m=1 m=1 400 (2 m 1)π sin((2 m 1)πx) exp( ν (2 m 1)2 π 2 t) Scrivere il risultato su diversi file per diversi istanti temporali ed integrare il sistema con un metodo esplicito accurato al primo ordine nel tempo e al secondo ordine nello spazio. 1!. file : FTCS. f90 2!. This program applies the eulero explicit time integration 3!. and a second order spatial discretization to the 4!. Fourier partial differential equation 5 PROGRAM main 6!. 7 IMPLICIT NONE 8 INTEGER :: it, j 9 INTEGER :: itmin, itmax, itout 10 INTEGER, PARAMETER :: Nx =20, Ng =1 11!. 12 REAL, DIMENSION (1 - Ng:Nx+Ng):: v_new, v_old, v_exact,x 13 REAL :: delta_t, delta_x,nu, rhs_cent,rhs,va,vb 14 REAL :: error, error_max,time,v0 15!. 16! metric definition 17 CALL griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 18!. 19! read on file eulero_ stokes. dat 20 CALL input ( itmin, itmax, itout,nu, delta_t,va,vb) 21!. 30

31 22! some initializations 23 call exact_sol (Nx,Ng,x,0.,nu,va,vb, v_exact ) DO j=1, nx 26 v_old (j) =0.! v_exact (j) 27 ENDDO 28 v_old (0) =1. 29 v_old (Nx +1) = error =0. 32 error_ max = !. 34! compute maximun number of iterations and open write unit 35!. 36 write (*,*) cfl, delta_t *nu/ delta_x **2 37 CALL write_disk (x,v_old, v_old,0,nx,ng) 38 DO it = itmin, itmax 39 DO j=1, nx 40 rhs = rhs_cent ( v_old (j +1),v_old (j),v_old (j -1),nu, delta_x ) 41 v_new ( j) = v_old ( j) + delta_t * rhs 42 ENDDO 43 time = it* delta_t 44!. boundary conditions 45 DO j=1 -ng,0 46 v_new ( j) = v_new (Nx +1+ j) = ENDDO 49!. update the solution 50 DO j=1 -ng,nx+ng 51 v_old (j)= v_new (j) 52 ENDDO 53!. compute the error 54 CALL exact_sol (Nx,Ng,x,time,nu,va,vb, v_exact ) error =0. 57 DO j=1, Nx 58 error = error + abs ( v_new (j)-v_exact (j)) 59 ENDDO 60 error_max = max ( error_max, error / float (Nx)) 61!. write on disk 62 if ( mod (it, itout ).eq.0) CALL write_disk (x,v_new, v_exact,it,nx,ng) 63 ENDDO WRITE (*,*) dt, error =,delta_t, error_max 66 WRITE (*,*) Simulation ended! 67 STOP 68 END 69!. 70!. 71!. 72!. 73 FUNCTION rhs_cent (vjp,vj,vjm,a,dx) 74 IMPLICIT NONE 75 REAL :: rhs_cent,vjp,vj,vjm,a,dx rhs_cent =a*( vjp -2.* vj+vjm )/Dx **2 31

32 78 79 RETURN 80 END 81!. 82!. 83 SUBROUTINE exact_sol (Nx,Ng,x,time,nu,va,vb, v_exact ) IMPLICIT NONE 86 INTEGER :: Nx,Ng,j, MW, m 87 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x, v_exact 88 REAL :: appo, va, vb, vs, appo2,time,nu 89 REAL, PARAMETER :: pi= acos ( -1.) MW = DO j=1 -ng,nx+ng 94 vs = va + ( vb - va) * x( j) 95 appo2 = DO m = 1, MW 97 appo = (2 * m -1) * pi 98 appo2 = appo / appo * sin ( appo * x( j)) & 99 * exp (-nu* appo **2* time ) 100 ENDDO v_exact ( j) = - appo2 + vs 103 ENDDO RETURN 106 END 107!. 108!. 109 SUBROUTINE write_disk (x,v,u,it,nx,ng) IMPLICIT NONE 112 INTEGER :: it,nx,ng,j 113 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x,v,u 114 CHARACTER (32) :: opfile opfile = acl dat 117 WRITE ( opfile (4:11),1000) it 118 opfile =./ DATA / // opfile FORMAT ( i8.8) OPEN ( UNIT =13, FILE = opfile, STATUS = unknown,action = write ) 122 DO j=1 -Ng,Nx+ng 123 WRITE (13,*) x(j),v(j),u(j) 124 ENDDO 125 CLOSE (13) RETURN 128 END 129!. 130!. 131 SUBROUTINE griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 132 IMPLICIT NONE 133 INTEGER :: Nx,Ng,j 32

33 134 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x 135 REAL :: L, delta_x 136 L = delta_x =L/ float (Nx +1) DO j=1 -ng,nx+ng 140 x( j) =j* delta_x 141 ENDDO RETURN 144 END 145!. 146!. 147 SUBROUTINE input ( itmin, itmax, itout,nu, delta_t,va,vb) 148 IMPLICIT NONE 149 INTEGER :: itmin, itmax, itout 150 REAL :: nu, delta_t,va,vb 151 OPEN ( UNIT =1, FILE = input. dat,status = old,action = read ) 152 READ (1,*) itmin 153 READ (1,*) itmax 154 READ (1,*) itout 155 READ (1,*) nu 156 READ (1,*) delta_t 157 READ (1,*) va 158 READ (1,*) vb 159 CLOSE (1) 160 RETURN 161 END SUBROUTINE input 4.4 Scrivere un programma per il calcolo della soluzione dell equazione del calore, sistema differenziale presentato nella $ 4.3, con un metodo implicito applicando il metodo di Jacobi per la soluzione del sistema lineare, 1!. file : jacobi_btcs. f90 2!. This program uses the Jacobi method to integrate 3!. the heat equation with an implicit method. 4 PROGRAM main 5!. 6 IMPLICIT NONE 7 INTEGER :: it, j 8 INTEGER :: itmin, itmax, itout 9 INTEGER, PARAMETER :: Nx =20, Ng =1 10!. 11 REAL, DIMENSION (1 - Ng:Nx+Ng):: v_new, v_old, v_exact,x 12 REAL :: delta_t, delta_x,nu, rhs_cent,rhs,va,vb 13 REAL :: error, error_max,time,v0 14!. 15! metric definition 16 CALL griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 17!. 18! read on file eulero_ stokes. dat 19 CALL input ( itmin, itmax, itout,nu, delta_t,va,vb) 20!. 33

34 21! some initializations 22 call exact_sol (Nx,Ng,x,0.,nu,va,vb, v_exact ) 23 DO j=1 -ng,nx+ng 24 v_old (j)= v_exact (j) 25 ENDDO 26 error =0. 27 error_ max = !. 29 write (*,*) cfl, delta_t *nu/ delta_x **2 30 CALL write_disk (x,v_old, v_old,0,nx,ng) 31 DO it = itmin, itmax call jacobi (Nx,Ng, v_old, v_new, delta_x, delta_t,nu) 34 time = it* delta_t 35 36!. boundary conditions 37 DO j=1 -ng,0 38 v_new ( j) = va 39 v_new (Nx +1+ j) = vb 40 ENDDO 41 42!. update the solution 43 DO j=1 -ng,nx+ng 44 v_old (j)= v_new (j) 45 ENDDO 46 47!. compute the error 48 CALL exact_sol (Nx,Ng,x,time,nu,va,vb, v_exact ) error =0. 51 DO j=1, Nx 52 error = error + abs ( v_new (j)-v_exact (j)) 53 ENDDO 54 error_max = max ( error_max, error / float (Nx)) 55!. write on disk 56 if ( mod (it, itout ).eq.0) CALL write_disk (x,v_new, v_exact,it,nx,ng) 57 ENDDO WRITE (*,*) dt, error =,delta_t, error_max 60 WRITE (*,*) Simulation ended! 61 STOP 62 END 63!. 64!. 65!. 66!. 67 SUBROUTINE jacobi (nx,ng, v_old, v_new, delta_x,dt,nu) 68!. 69 IMPLICIT NONE 70 INTEGER :: nx,ng,i,j,m, itmax 71 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng),intent ( OUT ):: v_new 72 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng),intent (IN):: v_old 73 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: v_it 74 REAL :: tol, error,appo, delta_x, cfl, dt, nu tol =1. E

35 77 m=0 78 cfl = Dt*nu/ delta_x ** DO j=1 -ng,nx+ng 82 v_it (j)= v_old (j) 83 ENDDO DO 86 error =0. 87 DO j=1, nx 88 v_new (j)=( v_old (j)+ cfl *( v_it (j -1) + v_it (j +1) )) /(1.+ cfl *2.) 89 error = error + abs ( v_new (j)-v_it (j)) 90 ENDDO 91 if ( error / float (Nx).lt.tol ) then 92 exit 93 else 94 DO j=1, nx 95 v_it (j)= v_new (j) 96 ENDDO 97 endif 98 m = m ENDDO 100 write (*,*) it=,m, error =,error 101!. 102 RETURN 103 END SUBROUTINE jacobi 104!. 105!. 106 SUBROUTINE exact_sol (Nx,Ng,x,time,nu,va,vb, v_exact ) IMPLICIT NONE 109 INTEGER :: Nx,Ng,j, MW, m 110 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x, v_exact 111 REAL :: appo, va, vb, vs, appo2,time,nu 112 REAL, PARAMETER :: pi= acos ( -1.) MW = DO j=1 -ng,nx+ng 117 vs = va + ( vb - va) * x( j) 118 appo2 = DO m = 1, MW 120 appo = (2 * m -1) * pi 121 appo2 = appo2 + 4./ appo * sin ( appo * x( j)) & 122 * exp (-nu* appo **2* time ) 123 ENDDO v_exact ( j) = - appo2 + vs 126 ENDDO RETURN 129 END SUBROUTINE exact_ sol 130!. 131!. 132 SUBROUTINE write_disk (x,v,u,it,nx,ng) 35

36 IMPLICIT NONE 135 INTEGER :: it,nx,ng,j 136 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x,v,u 137 CHARACTER (32) :: opfile opfile = acl dat 140 WRITE ( opfile (4:11),1000) it 141 opfile =./ DATA / // opfile FORMAT ( i8.8) OPEN ( UNIT =13, FILE = opfile, STATUS = unknown,action = write ) 145 DO j=1 -Ng,Nx+ng 146 WRITE (13,*) x(j),v(j),u(j) 147 ENDDO 148 CLOSE (13) RETURN 151 END SUBROUTINE write_ disk 152!. 153!. 154 SUBROUTINE griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 155 IMPLICIT NONE 156 INTEGER :: Nx,Ng,j 157 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x 158 REAL :: L, delta_x 159 L = delta_x =L/ float (Nx +1) DO j=1 -ng,nx+ng 163 x( j) =j* delta_x 164 ENDDO RETURN 167 END SUBROUTINE griglia 168!. 169!. 170 SUBROUTINE input ( itmin, itmax, itout,nu, delta_t,va,vb) 171 IMPLICIT NONE 172 INTEGER :: itmin, itmax, itout 173 REAL :: nu, delta_t,va,vb 174 OPEN ( UNIT =1, FILE = input. dat,status = old,action = read ) 175 READ (1,*) itmin 176 READ (1,*) itmax 177 READ (1,*) itout 178 READ (1,*) nu 179 READ (1,*) delta_t 180 READ (1,*) va 181 READ (1,*) vb 182 CLOSE (1) 183 RETURN 184 END SUBROUTINE input 36

37 4.5 Scrivere un programma per il calcolo della soluzione dell equazione del calore, sistema differenziale presentato nella $ 4.3, con un metodo implicito applicando il metodo di Gauss-Seidel per la soluzione del sistema lineare, 1!. file : gauss_seidel_btcs. f90 2!. This program uses the Gauss - Seidel method to integrate 3!. the heat equation with an implicit method. 4 PROGRAM main 5!. 6 IMPLICIT NONE 7 INTEGER :: it, j 8 INTEGER :: itmin, itmax, itout 9 INTEGER, PARAMETER :: Nx =20, Ng =1 10!. 11 REAL, DIMENSION (1 - Ng:Nx+Ng):: v_new, v_old, v_exact,x 12 REAL :: delta_t, delta_x,nu, rhs_cent,rhs,va,vb 13 REAL :: error, error_max,time,v0 14!. 15! metric definition 16 CALL griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 17!. 18! read on file eulero_ stokes. dat 19 CALL input ( itmin, itmax, itout,nu, delta_t,va,vb) 20!. 21! some initializations 22 call exact_sol (Nx,Ng,x,0.,nu,va,vb, v_exact ) 23 DO j=1 -ng,nx+ng 24 v_old (j)= v_exact (j) 25 ENDDO 26 error =0. 27 error_ max = !. 29 write (*,*) cfl, delta_t *nu/ delta_x **2 30 CALL write_disk (x,v_old, v_old,0,nx,ng) 31 DO it = itmin, itmax call gauss_seidel (Nx,Ng, v_old, v_new, delta_x, delta_t,nu) 34 time = it* delta_t 35 36!. boundary conditions 37 DO j=1 -ng,0 38 v_new ( j) = va 39 v_new (Nx +1+ j) = vb 40 ENDDO 41 42!. update the solution 43 DO j=1 -ng,nx+ng 44 v_old (j)= v_new (j) 45 ENDDO 46 47!. compute the error 48 CALL exact_sol (Nx,Ng,x,time,nu,va,vb, v_exact ) error =0. 51 DO j=1, Nx 37

38 52 error = error + abs ( v_new (j)-v_exact (j)) 53 ENDDO 54 error_max = max ( error_max, error / float (Nx)) 55!. write on disk 56 if ( mod (it, itout ).eq.0) CALL write_disk (x,v_new, v_exact,it,nx,ng) 57 ENDDO WRITE (*,*) dt, error =,delta_t, error_max 60 WRITE (*,*) Simulation ended! 61 STOP 62 END 63!. 64!. 65!. 66!. 67 SUBROUTINE gauss_seidel (nx,ng, v_old, v_new, delta_x,dt,nu) 68!. 69 IMPLICIT NONE 70 INTEGER nx,ng,i,j,m, itmax 71 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng),intent ( OUT ):: v_new 72 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng),intent (IN):: v_old 73 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: v_it 74 REAL tol, error,appo, delta_x, cfl, dt, nu tol =1. E m=0 78 cfl = Dt*nu/ delta_x ** DO j=1 -ng,nx+ng 82 v_it (j)= v_old (j) 83 ENDDO DO 86 error =0. 87 DO j=1, nx 88 v_new (j)=( v_old (j)+ cfl *( v_new (j -1) + v_it (j +1) )) /(1.+ cfl *2.) 89 error = error + abs ( v_new (j)-v_it (j)) 90 ENDDO 91 if ( error / float (Nx).lt.tol ) then 92 exit 93 else 94 DO j=1, nx 95 v_it (j)= v_new (j) 96 ENDDO 97 endif 98 m = m ENDDO 100 write (*,*) it=,m, error =,error 101!. 102 RETURN 103 END SUBROUTINE gauss_ seidel 104!. 105!. 106 SUBROUTINE exact_sol (Nx,Ng,x,time,nu,va,vb, v_exact )

39 108 IMPLICIT NONE 109 INTEGER :: Nx,Ng,j, MW, m 110 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x, v_exact 111 REAL :: appo, va, vb, vs, appo2, time, nu 112 REAL, PARAMETER :: pi= acos ( -1.) MW = DO j=1 -ng,nx+ng 117 vs = va + ( vb - va) * x( j) 118 appo2 = DO m = 1, MW 120 appo = (2 * m -1) * pi 121 appo2 = appo2 + 4./ appo * sin ( appo * x( j)) & 122 * exp (-nu* appo **2* time ) 123 ENDDO v_exact ( j) = - appo2 + vs 126 ENDDO RETURN 129 END SUBROUTINE exact_ sol 130!. 131!. 132 SUBROUTINE write_disk (x,v,u,it,nx,ng) IMPLICIT NONE 135 INTEGER :: it,nx,ng,j 136 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x,v,u 137 CHARACTER (32) opfile opfile = acl dat 140 WRITE ( opfile (4:11),1000) it 141 opfile =./ DATA / // opfile FORMAT ( i8.8) OPEN ( UNIT =13, FILE = opfile, STATUS = unknown,action = write ) 145 DO j=1 -Ng,Nx+ng 146 WRITE (13,*) x(j),v(j),u(j) 147 ENDDO 148 CLOSE (13) RETURN 151 END SUBROUTINE write_ disk 152!. 153!. 154 SUBROUTINE griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 155 IMPLICIT NONE 156 INTEGER :: Nx,Ng,j 157 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x 158 REAL :: L, delta_x 159 L = delta_x =L/ float (Nx +1) DO j=1 -ng,nx+ng 163 x( j) =j* delta_x 39

40 164 ENDDO RETURN 167 END SUBROUTINE griglia 168!. 169!. 170 SUBROUTINE input ( itmin, itmax, itout,nu, delta_t,va,vb) 171 IMPLICIT NONE 172 INTEGER :: itmin, itmax, itout 173 REAL :: nu, delta_t,va,vb 174 OPEN ( UNIT =1, FILE = input. dat,status = old,action = read ) 175 READ (1,*) itmin 176 READ (1,*) itmax 177 READ (1,*) itout 178 READ (1,*) nu 179 READ (1,*) delta_t 180 READ (1,*) va 181 READ (1,*) vb 182 CLOSE (1) 183 RETURN 184 END SUBROUTINE input 4.6 Risolvere il seguente problema di Poisson attraverso il metodo di Jacobi/Gauss-Seidel: La soluzione esatta : d 2 u = 1 x [ 1.1]u( 1, t) = u(1, t) = 0 (4.8) dx2 u(x, t) = 1 2 (1 x2 ) Si considerino i metodi di risoluzione del sistema algebrico lineare convergenti quando due iterate successive presentano una differenza pari al pi a Scrivere il numero di iterate necessarie ad ogni metodo per la convergenza. 1!. file : poisson. f90 2!. This program applies the Jacobi / Gauss - Seidel 3!. iterative method to integrate 4!. an ordinary differential equation of second order 5 PROGRAM poisson 6!. 7 IMPLICIT NONE 8 INTEGER :: i,j 9 INTEGER :: ntime, nout 10 INTEGER, PARAMETER :: Nx =100, Ng =1 11!. 12 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: v_new, v_old, v_exact, x 13 REAL :: delta_t, delta_x,rhs, rhs_cent 14 REAL :: time, cfl 15 REAL :: error, error_ max 16!. 17! metric definition 18 call griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 19!. 40

41 20! some initializations 21 call exact_sol (Nx,Ng,x,0., v_exact ) DO i=1 -Ng,Nx+Ng 24 v_old (i) =0. 25 ENDDO 26 error =0. 27 error_ max = ! ! call jacobi (nx,ng, v_old, v_new, delta_x ) 31 call gauss_seidel (nx,ng, v_old, v_new, delta_x ) error =0. 34 DO j=1, Nx 35 error = error + abs ( v_new (j)-v_exact (j)) 36 ENDDO 37 error_max = max ( error_max, error / float (Nx)) 38 39!. write on disk 40 call write_disk (x,v_new, v_exact,0,nx,ng) WRITE (*,*) dt, error =,delta_t, error_max 43 WRITE (*,*) solution stored in file velocity. dat 44 WRITE (*,*) the end falks! 45 STOP 46!. 47 END 48!. 49!. 50!. 51!. 52 SUBROUTINE jacobi (nx,ng, v_old, v_new, delta_x ) 53!. 54 IMPLICIT NONE 55 INTEGER :: nx,ng,i,j,m, itmax 56 REAL, DIMENSION (1 - Ng:Nx+Ng):: v_new, v_old 57 REAL :: tol, error,appo, delta_x tol =1. E m= DO 63 error =0. 64 DO j=1, nx 65 v_new (j)=( - delta_x **2+ v_old (j -1) + v_old (j +1) ) /2. 66 error = error + abs ( v_new (j)-v_old (j)) 67 ENDDO 68 do j=1 -ng,0 69 v_new (j) =0. 70 v_new (-j+nx +1) =0. 71 enddo 72 if ( error / float (Nx).lt.tol ) then 73 exit 74 else 75 DO j=1, nx 41

42 76 v_old (j)= v_new (j) 77 ENDDO 78 endif 79 m = m ENDDO 81 write (*,*) it=,m, error =,error 82!. 83 RETURN 84 END SUBROUTINE jacobi 85!. 86!. 87 SUBROUTINE gauss_seidel (nx,ng, v_old, v_new, delta_x ) 88!. 89 IMPLICIT NONE 90 INTEGER :: nx,ng,i,j,m, itmax 91 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: v_new, v_old 92 REAL :: tol, error,appo, delta_x tol =1. E itmax =40 96 m= write (*,*) sono qui 100 DO 101 error = DO j=1, nx 103 v_new (j)=( - delta_x **2+ v_new (j -1) + v_old (j +1) ) / error = error + abs ( v_new (j)-v_old (j)) 105 ENDDO 106 if ( error.lt.tol ) then 107 exit 108 else 109 DO j=1, nx 110 v_old (j)= v_new (j) 111 ENDDO 112 endif 113 m = m ENDDO 115 write (*,*) it=,m, error =,error 116!. 117 RETURN 118 END SUBROUTINE gauss_ seidel 119!. 120!. 121 SUBROUTINE exact_sol (Nx,Ng,x,time, v_exact ) IMPLICIT NONE 124 INTEGER :: Nx,Ny,Ng,i,j,WN,m,n 125 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng)::x, v_exact 126 REAL :: appo, appo1, appo2, pi, time WN = pi = acos ( -1.) DO i=1 -Ng,Nx+Ng 42

43 132 v_exact (i)= 0.5*( x(i) **2-1.) 133 ENDDO RETURN 136 ENDSUBROUTINE exact_ sol 137!. 138!. 139 SUBROUTINE write_disk (x,v,u,it,nx,ng) IMPLICIT NONE 142 INTEGER :: it,nx,ny,ng,i,j 143 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x,v,u 144 CHARACTER (32) :: opfile opfile = acl dat 147 WRITE ( opfile (4:11),1000) it FORMAT ( i8.8) OPEN ( UNIT =13, FILE = opfile, STATUS = unknown,action = write ) DO i=1 -Ng,Nx+ng 153 WRITE (13,*) x(i),v(i),u(i) 154 ENDDO CLOSE (13) RETURN 159 END SUBROUTINE write_ disk 160!. 161!. 162 SUBROUTINE griglia (Nx,Ng,x, delta_x ) 163 IMPLICIT NONE 164 INTEGER :: Nx,j,Ng 165 REAL, DIMENSION (1 - ng:nx+ng):: x 166 REAL :: L, delta_x 167 L = delta_x =L/ float (Nx +1) DO j=1 -ng,nx+ng 172 x(j) = -1.+ j* delta_x 173 ENDDO RETURN 176 ENDSUBROUTINE griglia 43