Riduzioni notevoli SAT 3SAT MAXSAT INDEPENDENT SET EXSACT COVER HAMILTON CYCLE KNAPSACK TWO MACHINE SCHEDULING UNDIRECT HAMILTON CYCLE PARTITION

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1 Riduzioni notevoli SAT 3SAT MAXSAT INDEPENDENT SET EXSACT COVER HAMILTON CYCLE KNAPSACK CLIQUE NODE COVER UNDIRECT HAMILTON CYCLE PARTITION TWO MACHINE SCHEDULING TRAVELING SALESMAN

2 NP completezza di Independent set Si riduce 3SAT al problema in oggetto. Si considera una formula F con clausole C 1,C 2,...C m formate al più da tre letterali. (Se ci sono meno di tre letterali si normalizza il numero a tre replicando uno o due letterali). A partire dalla formula F, si costruisce un grafo non diretto G e si determina un intero K tale che esiste un insieme di K nodi di G con nessun arco che li colleghi sse F è soddisfacibile. Sia C i la i-esima clausola della formula F, i tre letterali presenti nella clausola vengono associati a tre nodi del grafo G e collegati tra loro come una sorta di triangolo (cricca). Esempio 1 x1 x1 Essendo m le clausole in F, G avrà complessivamente 3m nodi. Dopo la codifica delle singole clausole come triangoli, il passo successivo è quello di codificare i conflitti come archi tra nodi che rappresentano un letterale positivo ed il suo negato. [Conflitto! una variabile compare contemporanemente in forma positiva e in forma negata.] Il nostro obiettivo è quello si selezionare un letterale da ciascuna clausola (ovvero un nodo da ciascun triangolo del grafo) in modo che l elenco dei letterali selezionati non abbia conflitti.

3 Esempio 2 NP completezza di Independent set cont. t = x1, x2 Supposto l esistenza di un insieme indipendente I (di cardinalità K= m) in G, ci deve essere un nodo per ogni triangolo appartenente ad I. Tale nodo rappresenta un letterale e deve avere valore di verità Vero. Poiché non ci sono archi tra i nodi di I, si ha che nessuno di questi è la negazione dell altro (per come è stato costruito il grafo). Ne consegue che essi possono essere alla base di un assegnamento di verità t. [Si osservi come l assegnamento può non essere definito per tutte le variabili, ad esempio x 3 può assumere qualunque valore] D altro canto dato un assegnamento t soddisfacente le clausole F è possibile ottenere un insieme indipendente I di dimensione m prendendo da ciascuna clausola un nodo corrispondente a un letterale soddisfatto.

4 Problemi alla Frontiera Problemi in P Problemi NP-completi EDGE COVER VERTEX COVER EULER CYCLE HAMILTONIAN CYCLE 2SAT 3SAT UNARY PARTITION BINARY PARTITION

5 Cenni sulla semantica dei linguaggi di programmazione Si è studiata in questo corso, seppur da un punto di vista teorico,la sintassi dei linguaggi di programmazione, arrivando ad accennare alle procedure che permettono di costruire degli analizzatori sintattici (Parser) per tali linguaggi. Non si è affrontata la semantica dei linguaggi di programmazione: dato un programma P (una parola valida di un linguaggio di programmazione L), la semantica deve associare a P la funzione, dal dominio degli input al dominio degli output, che viene calcolata da P. --> Se il linguaggio è Turing-equivalent, la semantica di P è in genere una funzione calcolabile parziale Due approcci principali alla definizione formale della semantica di un linguaggio di programmazione: Semantica denotazionale Semantica operazionale Entrambi gli approcci devono basarsi sulle strutture sintattiche del linguaggio di programmazione dandone il relativo significato

6 Semantica denotazionale In questo approccio, ad ogni categoria sintattica si associa un oggetto semantico, detto Denotazione: tipicamente, in un linguaggio imperativo, la denotazione di un comando è una funzione da una memoria a una memoria (dove la memoria è un mapping tra nome di variabile e valore) e la denotazione di un espressione è una funzione da una memoria in un valore, ad esempio: Eval: Exp! ( (Var! Val)! Val) Sem: Statem! ((Var! Val)! (Var! Val) ) Alcune clausole semantiche tipiche potrebbero essere (dove S è una memoria, e R[a\b] significa associare il nuovo valore b alla variabile a in R): Eval(x)(S) = v se S(x) = v Eval(x + y)(s) = Eval(x)(S) + Eval(y)(S) Sem(x:= y)(s) = S[x\Eval(y)(S)] Sem(p; q)(s) = Sem(q)(Sem(p)(S)) Sem(if c then p)(s) = Id se Eval(c)(S) = false = Sem(p)(S) altrimenti Occorrono poi definizioni particolari per legare la memoria iniziale all input dato al programma, e la memoria finale all output fornito dal programma. Dare la semantica di cicli richiede l applicazione di tecniche di punto fisso.

7 Semantica operazionale In questo approccio, si definiscono le computazioni di un programma come computazioni di una macchina a stati di qualche tipo (in genere di una estensione Turing-equivalent di un automa a stati finiti), per cui ogni comando definisce una transizione della macchina. La valutazione delle espressioni e il concetto di memoria possono essere gli stessi visti per la semantica denotazionale. Una configurazione della macchina è data dallo stato della memoria e dal program counter, ovvero dal puntatore alla prossima istruzione da eseguire. In analogia alla descrizione di una MdT, una configurazione si può ad esempio esprimere come: <S, prossima istruzione. istruzioni seguenti>, dove S è la memoria Ed una transizione da una configurazione a quella successiva come: <S, prossima istruzione. istruzioni seguenti >! <S, istruzioni seguenti> Ad esempio: <S, x:= y. restodelprogramma>! <S[x\Eval(y)(S)], restodelprogramma> Anche in questo caso occorrono regole similari che definiscano le transizioni indotte da ogni comando sintatiticamente corretto, e in particolare regole che trattino opportunamente la configurazione iniziale e l input, o la configurazione finale è l output del programma. Le regole introdotte permettono di trattare naturalmente i cicli come cicli nell automa risultante

8 Cenni sulla semantica dei linguaggi di programmazione La complessità dei moderni linguaggi di programmazione necessita di un approfondimento decisamente complesso di vari temi legati alla definizione formale della loro semantica. Basti pensare al trattamento dei tipi e dei dati strutturati, puntatori inclusi, che tra l altro fanno riferimento a domini finiti che introducono problemi di overflow o errori di memoria a runtime. Ancor più se si introducono thread concorrenti. Tale approfondimento esula dalle finalità di questo corso, ma i cenni che si sono dati manifestano come sia effettivamente possibile formalizzare il significato di un programma scritto in un lignuaggio di programmazione. In teoria, una volta data la semantica formale di un linguaggio di programmazione, sarebbe possibile costruirne un interprete che quindi sia in grado di dare il significato (ovvero eseguire) un qualsiasi programma scritto in tale linguaggio (sempre rimanendo nei limiti della computabilità). Così come è ormai possibile produrre un parser dalla grammatica di un linguaggio, sarebbe quindi possibile produrre un compilatore/interprete in modo automatico a partire dalla definizione della semantica del linguaggio. A parte i problemi di computabilità che ne limiterebbero comunque il campo di applicazione, i tentativi di definizione formale di linguaggi reali fatti negli ultimi quasi cinquanta anni, a causa delle complessità incontrate, non hanno potuto produrre strumenti di questo tipo, e nessuna delle definizioni standard di un linguaggio ne include la definizione formale della semantica (mentre vi sono standard che includono sintassi date in Backus Normal Form) Gli studi fatti a riguardo hanno però permesso di far evolvere i linguaggi di programmazione dando un significato preciso ad alcuni aspetti particolari e critici.