Controventi e Centro delle Rigidezze

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1 Controventi e Centro delle Rigidezze La struttura e i controventi L edificio che abbiamo preso in esame (estratto dal nostro progetto del semestre) è composto da due livelli con quello superiore aggettante rispetto a quello inferiore, ma l aggetto non lavora come una mensola. Esso è sostenuto da un tirante diagonale collegato alla testa del pilastro del livello superiore. Il suo comportamento è quello di una trave incernierata con un vincolo inclinato rispetto l asse della trave. Pianta del livello 0 1

2 Pianta del livello 1 E necessario fare alcune considerazioni sulla disposizione dei controventi, sulle loro rigidezze e come questo influisce sul comportamento dell edificio quando questo è sottoposto a delle forze orizzontali. Negli schemi preliminari abbiamo utilizzato per i pilastri dei profili HEA generici, nel prosieguo proveremo ad ipotizzare un dimensionamento di massima. I profili di questo tipo sono fortemente direzionati, ovvero hanno momenti di inerzia diversi nelle due direzioni. Se i pilastri fossero incastrati alle travi, allora si trasferirebbe momento dalle travi anche solo per il peso che esse portano. Sarebbe quindi stato opportuno direzionare i pilastri in modo da resistere alla flessione indotta dai carichi verticali e quindi ortogonalmente alla direzione dei travetti. Non è così però dal momento che i pilastri sono 2

3 incernierati alle travi per la semplicità intrinseca nel realizzare giunti di questo tipo tra le aste d acciaio. In ogni caso i pilastri devono poter rispondere a delle sollecitazioni orizzontali e quindi ad una flessione e per questo motivo abbiamo deciso di orientare i pilastri alternativamente nelle due direzioni. Zoom sull orientamento dei pilastri Per calcolare la rigidezza di ciascun controvento (sia in senso stretto, ovvero quella parte di telaio irrigidita mediante croci di Sant Andrea, che in senso lato, considerando tutte quelle strutture che con la loro rigidezza si oppongono alle spinte orizzontali, quindi anche i pilastri semplicemente incastrati a terra) esaminiamo gli schemi di Bernoulli di ciascun impalcato, provando ad ipotizzare una deformata e quindi riconducendo la struttura a degli schemi noti. 3

4 Analizzeremo il controvento a tutt altezza, ma poi le formule della rigidezza saranno espresse per ciascun piano in modo da poter valutare separatamente le rotazioni e gli spostamenti di tutti i punti. Per tutta l analisi considereremo le forze orizzontali sui due livelli come diverse. Il motivo risiede nel fatto che le piante dei due piani sono diverse e lo saranno anche le masse e quindi in proporzione le forze sismiche, ma questo modo di operare si può applicare anche ad altri tipi di sollecitazioni orizzontali. Dove possibile abbiamo inteso irrigidire la struttura con dei tipici controventi della tecnologia dell acciaio, ovvero le croci di Sant Andrea. Non è possibile in genere per ogni campata, laddove è necessario praticare delle aperture e quindi nel nostro caso quando le superfici devono essere vetrate abbiamo lasciato la campata libera, provando a controventare quella adiacente, e quando era necessario aprire delle porte allora abbiamo utilizzato una sola diagonale. Ovviamente questo verrà contemplato nel calcolo delle rigidezze. 4

5 Come si vede nei calcoli il contributo dei pilastri incastrati è inversamente proporzionale al cubo della loro altezza, mentre la rigidezza della croce di Sant Andrea è inversamente proporzionale alla sola prima potenza e quindi è decisamente più grande. Il pilastro 14,0 è orientato secondo una direzione inclinata quindi il contributo del momento di inerzia deve essere calcolato in funzione del diverso orientamento degli assi locali della sezione. In questo ci aiuta AutoCAD. Abbiamo disegnato i profili HEA 260 che sono ruotati localmente con una polilinea, l abbiamo convertita in regione e poi abbiamo utilizzato il comando proprietà massa/regione che ci calcola, tra gli altri parametri, anche i momenti di inerzia, ovviamente avendo cura di avere il sistema di riferimento uguale a quello che abbiamo fissato per il nostro telaio e il profilo centrato nell origine del sistema di riferimento. 5

6 I pilastri del livello 1 che sono semplicemente incernierati non danno contributo alla rigidezza, formano con le travi dei quadrilateri incernierati, sistemi di trasmissione del moto che quindi non fanno nulla per ostacolarlo. Infine è plausibile immaginare che i pilastri del livello 0 siano più caricati rispetto a quelli del livello 1 e quindi abbiano una sezione resistente maggiore. Abbiamo quindi differenziato le aree dei profili in base al livello in cui si trovano. Su questo telaio si vede che su alcune campate è presente una sola diagonale. Questo è necessario, come accennato prima, per motivi progettuali, dovendo alloggiare in quelle 6

7 specchiature delle porte. La campata avrà ancora un azione controventante, ma pari esattamente alla metà di quella che avrebbe la controventatura a croce di Sant Andrea. Si considerano diversi gli angoli delle diagonali perché lo span è diverso. La rigidezza del telaio al livello 0 sembra uguale a quella del telaio visto prima, ma non lo è nei numeri, essendo diverso l orientamento di alcuni pilastri e quindi diverso il momento di inerzia. Passiamo quindi al telaio 3, che comprende la sola gabbia scale Qui sono tutte croci di Sant Andrea, avremmo solo cura a definire gli angoli. La rigidezza del livello 0 e quella del livello 1 sarebbero uguali se lo fossero i pilastri, ma abbiamo sezioni diverse: 7

8 Procediamo con l ultimo telaio sulla direzione x: Al livello 0, è necessario aprire una porta che dia direttamente all esterno dalla gabbia scale per questo manca una diagonale. Per i pilastri 1 e 5 è necessario valutare l orientamento della sezione, ricordandoci che il pilastro 1 è ruotato rispetto agli altri. Passiamo ora ai controventi nell altra direzione. 8

9 Come si vede su questi telai è presente l aggetto. Come abbiamo già detto esso non si comporta come una mensola non essendo incastrato, ma come una trave doppiamente incernierata. Le cerniere su cui è ancorato il sistema, traslando orizzontalmente con due traslazioni diverse, provocano una rotazione del punto più esterno. Nonostante le apparenze (la presenza di una diagonale) questa struttura non fa da controvento, d altro canto non è in grado di scaricare a terra. Le uniche strutture controventati sono le croci di Sant Andrea, con valori diversi dell area dei profili. Per il telaio successivo valgono molte delle considerazioni fatte finora 9

10 La necessità di aprire delle porte impone di non poter inserire la doppia diagonale. Si potrebbero fare delle considerazioni su quale sia la configurazione più efficace, non dal punto di vista della rigidezza dell intero telaio che non ha variazioni, ma dal punto di vista della rigidezza dei nodi ad esempio, che sono tanto più rigidi quante più aste vi convergono. 10

11 Proseguendo abbiamo il telaio D Si tratta di un telaio molto rigido. Ed infine il telaio E che è inclinato rispetto alle direzioni. La sua rigidezza andrà quindi proiettata sugli assi e andrà ad incrementare, con la sua componente orizzontale, la rigidezza del controvento 1 che si trova in corrispondenza 11

12 Una volta calcolate le rigidezze, ciascun livello può essere schematizzato come un unico corpo rigido vincolato con delle molle ciascuna posizionata nella direzione del relativo controvento e ciascuna dotata di una rigidezza pari a quella del controvento. 12

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14 A questo punto il calcolo del centro delle rigidezze è semplice, ascissa e ordinata sono infatti date dal rapporto tra la somma dei prodotti delle rigidezze per le distanze dall origine del Sistema di Riferimento fratto la sommatoria delle rigidezze. In pratica: Dal momento che le rigidezze sono in forma parametrica utilizzeremo Excel per il calcolo delle coordinate, ma prima è necessario fare un dimensionamento di massima dei pilastri, in modo da inserire i giusti momenti di inerzia e le giuste aree di sezione dove necessari. Dimensionamento Di Massima Delle Strutture Per dimensionare i pilastri procederemo valutando il carico che deve sopportare il pilastro più caricato ed in base a questo dimensioneremo tutti i pilastri. Per conoscere il carico sui pilastri però è necessario dimensionare anche le travi che costituiscono buona parte del carico che i pilastri devono sopportare. Schematizzando in un dettaglio tecnologico il solaio che andremo ad utilizzare, possiamo calcolare il carico strutturale (al netto della travatura principale), il sovraccarico permanente ed il sovraccarico accidentale e poi procedere al dimensionamento mediante un foglio Excel. Prenderemo come riferimento la trave tra 10 e 15, sulla quale insiste la maggior area di influenza che ha una luce di 6 mt ed un interasse di 6,12 mt. 14

15 L ipotesi è che la trave sia una IPE 400. Antonio Magarò e Ottavio Minella Passiamo ora al dimensionamento di massima dei pilastri, prendendo sempre come esempio il pilastro più caricato (sul quale grava la più ampia area di influenza) e teniamo conto che abbiamo ipotizzato dei profili di tipo HEA. Il pilastro su cui grava la più ampia area di influenza è il pilastro 10 del piano terreno. Su quel pilastro gravano 2 solai di 28 mq, un pilastro del secondo piano, e le 8 porzioni di travi IPE 400 collegate in testa. Dimensioniamo prima il pilastro 10 del secondo piano e ne calcoliamo il peso, poi il pilastro 10 del livello sottostante. Per il dimensionamento cerchiamo l area della sezione del profilo in funzione dello sforzo normale centrato e della sigma ammissibile, calcolata maggiorando il coefficiente di sicurezza del 25% per considerare che la sollecitazione può non essere solo uno sforzo normale centrato. L ipotesi è quindi che i pilastri siano HEA 260 al piano terreno e HEA 160 al piano superiore. Ripartizione Delle Forze Orizzontali Un esempio tipico di una sollecitazione orizzontale (intesa sul piano xy) che può vedersi applicata alla struttura di un edificio è la forza sismica. Essa è proporzionale alla massa dell edificio moltiplicata per l accelerazione media del terreno. Questa forza la si deve immaginare applicata al centro di massa dell edificio, ma è attorno al centro delle rigidezze che l edificio eventualmente ruota in funzione del fatto che la forza viene assorbita dai controventi in proporzione alla rispettiva rigidezza. Se centro di massa e centro delle 15

16 rigidezze sono tra loro vicini (nel piano (x,y) ovvero laddove avviene la rotazione) allora l edificio subirà una rotazione molto piccola, viceversa la rotazione sarà più grande perché alla forza sarà associato un braccio grande e quindi un grande momento. Abbiamo calcolato le rigidezze di tutti i controventi dell edificio in forma parametrica, e dopo un dimensionamento di massima degli elementi strutturali, in particolare dei pilastri, possiamo andare ad inserire dei dati realistici al posto dei nostri parametri. Il foglio di calcolo ci fornirà i valori delle rigidezze che combinati con le distanze dal centro di un sistema di riferimento cartesiano ci daranno le coordinate (in quel sistema di riferimento) del centro delle rigidezze. Per prima cosa inseriamo i dati al posto dei parametri nelle formule ricavate sopra: 16

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19 Una volta calcolate le rigidezze di ciascun controvento è necessario valutare le distanze dei controventi dall origine del sistema di riferimento scelto. Per comodità sceglieremo un sistema di riferimento centrato in un punto dove è possibile annullare, durante i calcoli per le coordinate del centro delle rigidezze, uno o più prodotti. 19

20 Applichiamo ora la formula citata prima per il calcolo delle coordinate del centro delle rigidezze: 20

21 Considerazioni su spostamenti e rotazioni Qualora si presentasse una forza sul piano x,y essa sarebbe sempre scomponibile nelle due direzioni, così come si vede nello schema. Una volta calcolate le rigidezze totali sugli assi, è necessario valutare un altra grandezza che è la rigidezza torsionale, sugli assi e totale (intesa come somma di quelle sugli assi). Una volta calcolate le rigidezze totali sugli assi è possibile determinare gli spostamenti in relazione alle componenti della forza sul piano x,y. Allo stesso modo è possibile determinare le rotazioni attorno al centro delle rigidezze in funzione del momento che la forza genera 21

22 sul piano x,y attorno al centro delle rigidezze ed in funzione della rigidezza torsionale, secondo le formule: Si capisce subito che per ridurre la rotazione γ è necessario diminuire le componenti del momento generato dalla forza sul piano x,y. Certamente non si può intervenire sulla sua intensità, perché significherebbe intervenire sul peso dell edificio, che è comunque consistente. Si può intervenire incrementando la rigidezza dei controventi, ma questa sarebbe un azione non mirata e soprattutto in una tecnologia, irrigidire oltre un certo limite può significare cambiare tecnologia, il modo migliore e più efficace è quello di intervenire sui bracci della rotazione, diminuendo la distanza tra il centro di massa ed il centro delle rigidezze, quindi anziché aumentare la rigidezza si può immaginare di disporre meglio la rigidezza esistente. Dal momento che la rigidezza è maggiore verso i controventi di destra e che non si può incrementare la rigidezza di quelli più a sinistra perché fermo restando la tecnologia utilizzata, la loro rigidezza è la massima possibile, è immaginabile diminuire la rigidezza dei controventi a destra. 22

23 Ipotesi di comportamento in caso di sisma La forza sismica è proporzionale al peso dell edificio e si può immaginare come applicata al centro di massa dell edificio stesso. Nel nostro caso valuteremo separatamente i due livelli. Per calcolare la forza sismica quindi è necessario valutare il peso dell edificio, sommando i carichi strutturali con gli altri carichi permanenti non strutturali e considerando anche i carichi accidentali, valutandoli però in una percentuale che chiamiamo coefficiente di contemporaneità che sta ad indicare proprio la maggiore o minore probabilità che la totalità dei carichi accidentali sia presente in caso di sisma. Nel nostro caso il livello 1 è popolato solo saltuariamente a causa della sua destinazione d uso (mensa aziendale) per cui il coefficiente di contemporaneità sarà più basso. La massa dell edificio va poi moltiplicata per un coefficiente di intensità sismica che rappresenta l accelerazione del terreno prevista in caso di sisma. Roma è divisa per 23

24 circoscrizioni e a ciascuna è attribuito un coefficiente di intensità sismica (tra 0,1 e 0,3 a seconda della composizione media del terreno). Nel sito di progetto il coefficiente è 0,2. A questo punto abbiamo trovato tutti gli ingredienti per fare una stima di massima del comportamento del nostro edificio sottoposto all azione di una forza orizzontale di tipo sismico. Siamo infatti in grado di valutare il momento torcente in base alla forza sismica e al braccio, inteso come la distanza tra le coordinate di centro delle rigidezze e centro di massa. In funzione del momento torcente e della rigidezza torsionale possiamo calcolare la rotazione e prevederne il verso, quindi anche valutarne l intensità. 24

25 Con le rigidezze dei controventi ed in proporzione, possiamo anche valutare la quota parte di forza sismica sarà deputato ad assorbire ciascun controvento. Nella trattazione si noterà che i controventi in una direzione assorbono una quota di forza sismica anche nell altra direzione. Questo accade per la presenza di rotazioni, se esse non ci fossero reagirebbero solo i controventi nella direzione considerata. Una considerazione preliminare sugli spostamenti va fatta: Si nota un diverso ordine di grandezza tra lo spostamento di traslazione orizzontale e quello di traslazione verticale. Questo è dovuto al fatto che, se le forze sismiche calcolate sono molto simili tra loro nelle due direzioni, le rigidezze dei controventi verticali, tranne in 2 casi, sono 10 o addirittura 100 volte maggiori di quelle dei controventi orizzontali. Da questo ci aspettiamo che, una volta portato il modello in SAP e fatta partire l analisi, la traslazione su X sia prevalente rispetto a quella su Y. Questo ha ripercussioni anche sulla rotazione, che, sebbene presente, è molto piccola, essendo prevalente uno spostamento rispetto all altro. Confronti con il modello in SAP Abbiamo riportato il modello in SAP partendo da AutoCAD secondo la procedura esposta di seguito: Abbiamo creato un modello a filo di ferro della struttura in AutoCAD e lo abbiamo salvato nel formato *.dxf 2004 per avere la garanzia della migliore compatibilità con SAP (non è necessario sia per la semplicità del nostro modello, sia per le versioni dei 25

26 software che utilizziamo, aggiornate all ultima release). Abbiamo avuto cura di tenere tutte le aste su un unico livello diverso dal livello 0 di default di AutoCAD. Nel file di AutoCAD abbiamo avuto l accortezza di inserire due aste in più libere che fungessero da segnaposto per i centri di massa di ciascun livello. Abbiamo importato il file *.dxf in SAP Abbiamo cancellato le aste segnaposto non prima di aggiungere al loro estremo un punto che ci ricordasse la posizione del centro di massa. Abbiamo selezionato tutti i punti del solaio del livello 0 e associato loro un vincolo interno di tipo Diaframma che ci permette di far risentire a tutti i punti associati ad esso l effetto di un carico puntuale associato ad uno di essi. Abbiamo reiterato il procedimento per il solaio del livello 1. Abbiamo proceduto ad associare a ciascuna asta il corretto profilo ad essa relativo (travi principali IPE 400, travi secondarie IPE 200, pilastri, puntoni e tiranti del livello 0 HEA 260, pilastri puntoni e tiranti del livello 1 HEA 160). E stato necessario provvedere alla rotazione di alcuni pilastri secondo lo schema che abbiamo impostato all inizio del nostro lavoro usando il comando definisci assi locali e ruotando sull asse 3 di 90. Abbiamo inserito INCASTRI a terra su tutti i vincoli, ma poi abbiamo operato il rilascio dei momenti (comando rilasci rigidezze parziali ) su tutti i nodi in elevazione e su quelli alla base che avevamo previsto, avendo l accortezza di farlo solo nelle direzioni previste (alcuni pilastri sono incernierati sulla direzione X e incastrati su quella Y) Abbiamo definito 4 casi di carico differenti, 2 sull asse X, e 2 sull asse Y, ciascuno per livello e li abbiamo applicati ai punti dove abbiamo previsto i centri di massa. Abbiamo salvato e fatto partire l analisi 26

27 Dalla deformata 3D non si capisce molto, mentre sono molto più esplicative le deformate di esempio delle viste dall alto di ciascun piano e di alcune viste laterali, che avvengono come previsto 27

28 DEFORMATA DEL LIVELLO 0 DEFORMATA DEL LIVELLO 0 28

29 DEFORMATA TELAIO 2 DEFORMATA TELAIO C Anche i risultati dell analisi corrispondono a quelli che abbiamo previsto mediante il foglio di calcolo, a meno di decimali. 29