A. Introduzione a Matlab

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1 Controlli Automatici A. Introduzione a Matlab Prof. Cesare Fantuzzi Ing. Cristian Secchi Ing. Federica Ferraguti ARSControl - DISMI - Università di Modena e Reggio Emilia {nome.cognome}@unimore.it

2 Matlab Matlab (Matrix Laboratory) è un programma per l analisi numerica e la simulazione dei sistemi dinamici. Esso contiene un nucleo di funzioni di base general purpose; esistono poi delle estensioni (Toolbox) che consentono di estendere le funzionalità del programma aggiungendo funzioni specialistiche. Matlab, tra le altre cose, può essere utilizzato per Analisi dei sistemi dinamici Sintesi di sistemi di controllo Toolbox di nostro interesse: Control System Toolbox Controlli Automatici Introduzione a Matlab 2

3 Variabili Matlab è un ambiente a riga di comando: quando si apre il programma si trova un prompt dal quale è possibile immettere un comando. In Matlab qualsiasi dato viene trattato come una variabile Per introdurre una variabile basta assegnarle un nome ed un valore in questo modo: >> x = 12 La variabile x vale 12. Omettendo il punto e virgola alla fine del comando, il nome della variabile ed il suo valore vengono stampati nel prompt. Se si digita soltanto un valore e non lo si assegna ad una variabile, Matlab assegna di default tale valore alla variabile ans. Controlli Automatici Introduzione a Matlab 3

4 Vettori e matrici Possiamo definire una matrice con la seguente sintassi: >> A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9] Gli elementi della stessa riga sono separati da, Le differenti righe sono separate da ; Per accedere ad un elemento della matrice basta specificare la riga e la colonna dell elemento. La chiamata: >> element = A(1,2) associa alla variabile element il valore dell elemento di riga 1 e colonna 2 della matrice A. In particolare sarà element = 2 Controlli Automatici Introduzione a Matlab 4

5 Vettori e matrici Per accedere ad intere righe o colonne di una matrice, si usa la wildcard : Ad esempio, la prima riga di A si seleziona con: >> A(1,:) ans = E la prima colonna con: >> A(:,1) ans = Selezione di una sottomatrice: >> B = A(2:3,1:2) B = Controlli Automatici Introduzione a Matlab 5

6 Vettori e matrici Un vettore è una particolare matrice. Vettore colonna >> c = [4;5;6]; Vettore riga >> r = [4,5,6]; Si può far generare a Matlab un vettore automaticamente. >> t = [0:0.1:10]; Il comando genera un vettore riga con valori che vanno da 0 a 10 con passo 0.1. Possiamo operare con le variabili: possiamo costruire una variabile utilizzando i valori memorizzati in altre variabili. Possiamo costruire vettori con variabili scalari, matrici con vettori e matrici con altre matrici. Controlli Automatici Introduzione a Matlab 6

7 Vettori e matrici I vettori hanno due funzioni fondamentali in Matlab: Rappresentazione dei polinomi Un polinomio è descritto dal vettore dei suoi coefficienti Rappresentazione di segnali Un segnale è rappresentato mediante la sequenza dei valori che assume in un insieme di istanti di tempo, quindi mediante un vettore Controlli Automatici Introduzione a Matlab 7

8 Matrici notevoli Esistono comandi che generano automaticamente alcune matrici notevoli: A è la matrice identità di ordine n >> A = eye(n); A è una matrice quadrata di ordine n i cui elementi sono 0 >> A = zeros(n); A è una matrice quadrata di ordine n i cui elementi sono 1 >> A = ones(n); Controlli Automatici Introduzione a Matlab 8

9 Principali comandi sulle matrici Trasposta Assegna a B il valore di A T >> B = A Oppure >> B = transpose(a) Determinante >> d = det(a) Assegna alla variabile d il valore del determinante di A, se A è quadrata Rango >> r = rank(a) Assegna alla variabile r il valore del rango di A Controlli Automatici Introduzione a Matlab 9

10 Principali comandi sulle matrici Inversa >> I = inv(a) Assegna a I l inversa della matrice A (se esiste!) Traccia >> t = trace(a) Assegna alla variabile t il valore della traccia di A Autovalori >> e = eig(a) Assegna alla variabile e un vettore contenente gli autovalori di A Controlli Automatici Introduzione a Matlab 10

11 Definiamo il polinomio con l istruzione: >> pol = [3 2 1]; pol = pol = 3s 2 + 2s + 1 I polinomi e le operazioni Calcolo delle radici del polinomio pol = 0 >> roots(pol) ans = i i Valutazione del polinomio in un punto >> polyval(pol,1) ans = 6 Controlli Automatici Introduzione a Matlab 11

12 Calcolo dei residui di una funzione razionale fratta 2s 3 + 5s 2 + 3s + 6 s 3 + 6s s + 6 = 6 s s s >> num = [ ]; den = [ ]; >> [r,p,k] = residue(num,den) r = p = k = I polinomi e le operazioni Controlli Automatici Introduzione a Matlab 12

13 I polinomi e le operazioni Prodotto di polinomi pol3 = (s + 1)(s + 1) >> pol1 = [1 1]; pol2 = [1 1]; >> pol3 = conv(pol1,pol2) pol3 = Divisione di polinomi s 2 + 2s + 2 = q s s r(s) >> pol1 = [1 2 2]; pol2 = [1 1]; >> [q,r] = deconv(pol1,pol2) q = 1 1 r = Controlli Automatici Introduzione a Matlab 13

14 In Matlab il valore 0 rappresenta il valore booleano FALSE mentre tutti gli altri valori numerici rappresentano il valore booleano TRUE. Si dispone di 6 operatori: Operatori comparativi Se l espressione è vera ritorna 1 altrimenti 0 Un paragone tra due matrici viene eseguito elemento per elemento. Controlli Automatici Introduzione a Matlab 14

15 Operatori logici Operatori binari Il formato dell operazione logica è Ris = operatore(a,b). Gli operatori sono: Operatori monari Il formato dell operazione logica è Ris = operatore(a). Gli operatori sono: Controlli Automatici Introduzione a Matlab 15

16 Help online Digitando help dal prompt di comando compare la lista completa dei Toolbox presenti. Digitando help < nome toolbox > si ha l elenco completo delle funzioni disponibili per quel Toolbox. Digitando help < nome funzione > si accede alla descrizione di quel comando. Dal menu Help Help window: Non è altro che l help che si può ottenere da linea di comando messo sotto forma di finestra grafica di più agevole consultazione. Help Desk: Un help in HTML molto completo e di facile navigazione fornito anche di svariati esempi. Per avere maggiori informazioni sugli operatori visti finora e su altri operatori su matrici, consultare la sezione dell help window matlab/matfun Controlli Automatici Introduzione a Matlab 16

17 Esempio: Risoluzione di un sistema lineare Si risolva il seguente sistema: x 1 + x 2 + x 3 x 4 = 1 x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2x 2 3x 3 = 2 Abbiamo un sistema del tipo Ax = b Passi per la risoluzione: 1. Costruire A e b 2. Verificare se A è invertibile 3. Trovare la soluzione Controlli Automatici Introduzione a Matlab 17

18 Costrutti per la programmazione MATLAB Utilizzati per una programmazione evoluta Molto simili ai costrutti del C Consentono elaborazioni complesse dei dati Costrutti fondamentali: IF FOR WHILE Controlli Automatici Introduzione a Matlab 18

19 IF Utilizzato quando l esecuzione di un certo numero di istruzioni è vincolato dal soddisfacimento di una certa espressione logica Sintassi: if(espressione logica) istruzioni; elseif(espressione logica) else end istruzioni; istruzioni; I blocchi elseif e else sono opzionali Controlli Automatici Introduzione a Matlab 19

20 IF - Esempio Controllo della temperatura di una stanza if(temperatura > 25) ariafredda = 1; elseif(temperatura > 20) ariafredda = 0; ariacalda = 0; else ariacalda = 1; end Controlli Automatici Introduzione a Matlab 20

21 FOR Utilizzato quando un blocco di istruzioni deve essere ripetuto un ben determinato numero di volte Sintassi: for indice = init:step:end end istruzioni; step è l incremento del contatore ad ogni ciclo. E opzionale, se omesso vale 1. Controlli Automatici Introduzione a Matlab 21

22 FOR - Esempio Vettore che contenga i valori da 0 a 5 passo 0.1 i = 1 for t = 0:0.1:5 y(i) = t; i = i + 1; end Otteniamo: y = [0, 0.1, 0.2,, 5] Controlli Automatici Introduzione a Matlab 22

23 WHILE Utilizzato quando un blocco di istruzioni deve essere ripetuto finchè una condizione logica risulta vera Sintassi: while(espressione logica) end istruzioni; Controlli Automatici Introduzione a Matlab 23

24 WHILE - Esempio Controllo della temperatura di una stanza while (temperatura < 25) end ariacalda = 1; Controlli Automatici Introduzione a Matlab 24

25 BREAK Utilizzato quando si deve interrompere un ciclo (for o while) prima del previsto Esempio: for i = 1:1000 a(i) = y(i); if(a(i) > 1000) break; end end Per avere maggiori informazioni consultare la sezione dell help window matlab/lang Controlli Automatici Introduzione a Matlab 25

26 Matlab dispone di un editor a cui si accede mediante il comando edit. M-files I file prodotti con questo editor vengono salvati con l estensione.m e sono eseguibili da Matlab. Possiamo costruire dei file, con estensione.m, che contengono una serie di comandi e costrutti Matlab. Chiamando il file dal prompt dei comandi eseguiamo tutti i comandi in esso contenuti. Un M-file è solo un modo di raggruppare i comandi. Le modifiche sulle variabili non sono locali ma si riflettono direttamente sul workspace. Esercizio: Costruire un M-file per la risoluzione di un sistema lineare Controlli Automatici Introduzione a Matlab 26

27 M-function Possiamo aggiungere alle funzioni preesistenti, funzioni costruite da noi per risolvere problemi specifici. Le variabili definite all interno di una function sono LOCALI Sintassi: function [output] = nomefunction (input) istruzioni; All interno del blocco di istruzioni le variabili output vengono settate e il loro valore viene restituito al termine della funzione stessa. Non occorre usare return come in C. Anche le function vengono salvate con estensione.m Il nome del file che le contiene deve essere lo stesso di nomefunction Controlli Automatici Introduzione a Matlab 27

28 Grafici in Matlab Per graficare l andamento di una variabile si utilizza il comando plot. >> plot(x,y) Crea un grafico nella cui ordinata sono presenti i valori del vettore y e nella cui ascissa i valori del vettore x. ATTENZIONE! I vettori x e y devono avere le stesse dimensioni! Esercizio: Plottare semplici funzioni come sin(t) e cos(t) Controlli Automatici Introduzione a Matlab 28

29 Grafici in Matlab Il comando plot traccia un grafico sull ultima figura aperta, cancellando il grafico precedente. Per creare una nuova figura si usa il comando figure. Il comando hold consente di «bloccare» l immagine sul grafico. Il prossimo comando plot disegnerà sulla stessa finestra ma non cancellerà il grafico precedente. E possibile tracciare grafici di diversi colori e con diverse tipologie di linea e disegnare più grafici nella stessa figura (comando subplot ) Per ulteriori dettagli: help plot Controlli Automatici Introduzione a Matlab 29