Prova scritta di Geometria 0/0/019 A soluzioni Ing Meccanica aa 018/19 Cognome Nome Matricola L esame consiste di sei esercizi, e ha la durata di tre ore Rispondere negli spazi predisposti, e giustificare le risposte in modo chiaro e conciso (se occorre, usare il retro del foglio Risposte senza spiegazione non riceveranno credito Non saranno accettati fogli di brutta copia Esercizio 1 a Calcolare l area del triangolo dello spazio di vertici A = (1, 1, 1, B = (, 3,, C = (0, 1, 3 b Determinare la matrice canonica della proiezione ortogonale sulla retta r : x 3y = 0, e il simmetrico del punto Q = (1, 1 rispetto a r x y kz = 0 c Discutere la compatibilità del sistema lineare x + z = k k + 1 al variare di k y kz = 1 Soluzione a AB = (1,, 3 t, AC = ( 1, 0, t quindi AB AC = 5 Ne segue Area = 1 5 b Abbiamo una base ortonormale di r: u = 1 ( 3, u t = 1 (3, 1 10 1 10 dunque La riflessione R = A 1 dunque A = uu t = 1 10 R = 1 5 ( 9 3 3 1 ( 3 3
e il simmetrico è R ( ( 1 7 = 5 1 1 5 1 1 k c Matrice dei coefficienti A = 1 0 1 dunque 0 1 k det A = 1 k, da cui, se k 1 il sistema ammette un unica soluzione Se k = 1 si vede che la matrice completa ha rango 3, dunque il sistema è incompatibile 0 a 0 Esercizio Si consideri la matrice A = a 0 b dipendente dai parametri reali a, b, che 0 b 0 supporremo non nulla; sia f l endomorfismo di R 3 rappresentato da A rispetto alla base canonica a Determinare, se possibile, a e b in modo che Imf abbia dimensione 1 b Determinare gli autovalori di A al variare di a e b e dire per quali (eventuali valori di a e b 0 0 0 la matrice A è simile a 0 1 0 0 0 1 c Determinare, se possibile, una base ortonormale di autovettori di f quando a = 3, b = Soluzione a rka = per ogni a, b dunque l immagine ha sempre dimensione b Autovalori 0, a + b, a + b ; non saranno mai uguali alla terna 0, 1, 1 dunque non c è mai similitudine 0 3 0 c In tal caso A = 3 0 e gli autovalori sono 0 0 Base di autovettori: 0, 5, 5 3 3 v 1 = 0, v = 5, v 3 = 5, 3 che sono a due a due ortogonali poichè la matrice è simmetrica Base ortonormale di autovettori: u 1 = 1 0, u = 1 3 5, u 3 = 1 3 5 5 3 50 50
Esercizio 3 Siano U e W i seguenti sottospazi di R : 1 1 0 x 1 U = L 1 0, 0, 1, W = x x 3 R : x 1 + x x 3 + x = 0 0 1 1 x a Determinare una base ed equazioni cartesiane di U, e una base di U b Trovare una base di U W e una base di U c Trovare tutti i vettori di norma unitaria appartenenti a W e ortogonali a tutti i vettori di U Soluzione a Base di U : 1 1 ( 1 0, 0, 0 1 Equazioni di U: { x1 x x 3 = 0 x 1 x + x = 0 Equazioni di U : { x1 + x = 0 x 1 + x 3 x = 0 da cui la base di U : 1 ( 1 0, 1 1 0 b Base di U W data dal vettore (, 1, 1 t c Si cerca un vettore unitario in U W, il quale ha base (1, 1, 1, 1, dunque un vettore possibile è: 1 1 1 1 1
Esercizio Nello spazio sono assegnate le rette r, r di equazioni parametriche rispettive: x = + t x = 1 + s r : y = 1, r : y = 1 + s z = 1 t z = 1 a Stabilire se r e r sono complanari o sghembe b Determinare, se possibile, equazioni parametriche di una retta r perpendicolare e incidente sia a r che a r Se tale retta esiste, è unica? c Calcolare il valore minimo che assume il raggio di una sfera tangente sia a r che a r (Nota: la retta r è tangente alla sfera σ se r σ si riduce a un punto Soluzione a Le rette sono sghembe b Vettore generico 3 + t s P Q = s t impongo l ortogonalità ai vettori direttori e ottengo il sistema: { t s + 3 = 0 t s + 3 = 0 che ha unica soluzione t = 1, s = 1 Dunque i punti P r, Q r a distanza minima sono P = (1, 1, 0, Q = (0,, 1 La retta di minima distanza ha parametri direttori P Q = (1, 1, 1 t e dunque x = 1 + t r : y = 1 t z = t c Tale valore minimo è la meta della distanza minima di r da r, quindi R min = 1 P Q = 3 Esercizio 5 Si consideri la conica γ k : x ky + (k 1xy + x y = 0 dipendente dal parametro k
a Determinare i valori di k per i quali γ k è degenere; inoltre, determinare la forma canonica di γ k quando k = 0 b Determinare i valori di k per i quali γ k è un iperbole degenere; in corrispondenza di tali valori, determinare le coordinate del centro di simmetria di γ k c Determinare i valori di k per i quali γ k è una parabola degenere; in corrispondenza di tali valori, determinare le equazioni delle rette componenti Soluzione Matrici 1 k 1 1 ( A = k 1 k 1 k 1, Q = k 1 k 1 0 Risulta A = 0 per ogni k e Q = (k + 1 Dunque la conica è sempre degenere; è un iperbole per k 1 e una parabola per k = 1 Forma canonica per k = 0: ( 1 + 5 X + b k 1; centro di simmetria ha coordinate ( 1 5 x 0 = k + 1 y 0 = 1 k + 1 Y = 0 c k = 1; in tal caso la conica è x + y xy + x y = 0 e si spezza Esercizio 6 a Data la matrice N = definito come segue: (x y(x y + = 0 ( 1 1 trovare una base del sottospazio E di Mat( 0 E = {A Mat( : AN = NA} b Determinare una base del nucleo e una base dell immagine dell unico endomorfismo f di R tale che ( ( ( ( 1 1 1 5 f =, f = 1 1 10 c Determinare una base e la dimensione del sottospazio E di Mat(3 3 formato dalle matrici simmetriche aventi traccia nulla
( x y Soluzione a Ponendo A = e imponendo le condizioni otteniamo una base z w A 1 = ma una base piu semplice è {I, A} b Si vede subito che una base dell immagine è c Ha dimensione 5 ( ( 1 1 1 0, A 0 0 = 0 1 ( 1, e una base del nucleo è ( 6