Diagrammi 2D e 3D Funzioni di ordine superiore Marco D. Santambrogio marco.santambrogio@polimi.it Ver. aggiornata al 16 Gennaio 2015
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Logistica Solo più una lezione! Resto esercitazioni Due Lab! Mar 20 Gen Mar 27 Gen 5
Logistica Solo più una lezione! Resto esercitazioni Due Lab! Mar 20 Gen Mar 27 Gen Demo compitino Ven 30 Gen 6
Logistica ESAME!!! 5 Feb @ 12pm 7
Obiettivi Diagrammi 2D e 3D Funzioni di ordine superiore 8
Diagrammi 2D Diagramma = insieme di coppie rappresentanti le coordinate dei suoi punti Si usano vettori per contenere sequenze ordinate dei valori di ognuna delle coordinate plot(x,y) disegna diagramma cartesiano dei punti che hanno valori delle ascisse in x, delle ordinate in y e li congiunge con una linea, per dare continuità al grafico funzioni xlabel per visualizzare nome asse ascisse, ylabel per ordinate, title per il titolo 9
Diagrammi 2D: 1mo esempio >> x = -10:0.1:10; >> y=x.^3; >> plot(x,y); >> xlabel('ascisse'); >> ylabel('ordinate'); >> title('cubica'); 1000 800 600 400 cubica 200 ordinate 0-200 -400-600 -800-1000 -10-8 -6-4 -2 0 2 4 6 8 10 ascisse 10
Diaggrami 2D: 2do esempio >> x=[-8:0.1:8]; >> y= sin (x)./ x; >> plot(x, y); >> xlabel('ascisse'); >> ylabel('ordinate'); 1 0.8 0.6 ordinate 0.4 0.2 0-0.2-0.4-8 -6-4 -2 0 2 4 6 8 ascisse 11
Particolarità plot(x,y) x non contiene necessariamente un intervallo lineare uniforme di valori y non è necessariamente funzione di x Sia x sia y possono essere funzioni di qualche altro parametro 12
Particolarità: esempio 1 >> t=[0:pi/100:2*pi]; >> x=cos(t); >> y=sin(t); >> plot(x,y); >> xlabel('ascisse-x'); >> ylabel('ordinate-y'); 1 0.8 0.6 0.4 0.2 ordinate-y 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ascisse-x 13
Particolarità: esempio 2 10*pi 5 giri t 10*pi dist.max da origine 31,4 30 >> t=[0:pi/100:10*pi]; >> x=t.* cos(t); >> y=t.* sin(t); >> plot(x,y); >> xlabel('ascisse-x'); >> ylabel('ordinate-y'); 20 10 ordinate-y 0-10 -20-30 -30-20 -10 0 10 20 30 40 ascisse-x 14
Diagrammi lineare a 3 dimensioni Generalizzazione di quello a due: insieme di terne etc plot3(x,y,z) per digramma cartesiano con x ascisse, y ordinate, z quote funzioni xlabel, ylabel, zlabel, title 40 >> t = 0:0.1:10*pi; >> plot3 (t.*sin(t), t.*cos(t), t); >> xlabel('ascisse'); >> ylabel('ordinate'); >> zlabel('quote'); quote 30 20 10 0 40 20 0 ordinate -20-40 -40-20 0 ascisse 20 40 15
Diagrammi lineare a 3 dimensioni: funzione di mesh Funzione reale di due variabili reali z = f (x, y) rappresentata in uno spazio cartesiano tridimensionale è una superficie funzione mesh genera superficie, a partire da tre argomenti: matrici xx, yy, zz che contengono ascissa (valore di x), ordinata (y) e quota (z) per ogni punto di una griglia corrispondente a un rettangolo del piano xy ll rettangolo è identificato dalla coppia di matrici xx e yy Le due matrici, xx, e yy, si ottengono, mediante la funzione meshgrid(x,y), a partire da vettori, x e y, che contengono i valori delle ascisse e delle ordinate il rettangolo nel piano è determinato da x e y l insieme delle coordinate dei suoi punti è il prodotto cartesiano di x e y 16
meshgrid: come funziona A partire da vettori, x e y, che contengono i valori delle ascisse e delle ordinate [xx,yy]=meshgrid(x,y) genera due matrici entrambe di legth(y) righe length(x) colonne la prima, xx, contiene, ripetuti in ogni riga, i valori di x la seconda, yy, contiene, ripetuti in ogni colonna, i valori di y (y trasposta) 17
meshgrid: un esempio funzione z = x + y grafico in 6 punti di ascisse {1, 3, 5} e ordinate {2, 4} >> x=[1, 3, 5]; >> y=[2, 4]; >> [xx,yy]=meshgrid(x,y); >> zz=xx+yy; >> mesh(xx,yy,zz); >> xlabel('ascisse-x'); >> ylabel('ordinate-y'); >> zz zz = 3 5 7 5 7 9 >> xx xx = 1 3 5 1 3 5 >> yy yy = 2 2 2 4 4 4 Punti di coordinate (x,y) (1,2) (3,2) (5,2) (1,4) (3,4) (5,4) hanno coordinate (x,y,z) (1,2,3) (3,2,5) (5,2,7) (1,4,5) (3,4,7) (5,4,9) (NB: z=x+y) 9 8 7 6 5 4 3 4 3.5 3 ordinate-y 2.5 2 1 2 3 ascisse-x 4 5 18
Vantaggi Il vettore con le z ottenuto con espressione uguale alla forma algebrica della funzione I vettori x e y da dare in pasto a meshgrid non si producono a mano si ottengono con costrutto [v min : δ : v max ] o altri simili tipicamente si adotta una spaziatura uniforme tra i valori attenzione a non usare valore δ troppo piccolo, altrimenti memoria insuffciente 19
meshgrid: un secondo esempio >> x=[1:1:3]; >> y=x; >> [xx,yy]=meshgrid(x,y); >> zz=xx+yy; >> mesh(xx,yy,zz); >> xlabel('x'); >> ylabel('y'); >> zlabel('z'); z 6 5 4 3 2 3 2.5 2 y 1.5 1 1 1.5 x 2 2.5 3 20
meshgrid: un paraboloide >> x=[-4:0.05:4]; >> y=x; >> [xx,yy]=meshgrid(x,y); >> zz=xx.^ 2 + yy.^ 2; >> mesh(xx,yy,zz); >> xlabel('ascisse-x'); >> ylabel('ordinate-y'); >> zlabel('quote-z'); 21
meshgrid: il Sombrero! >> tx=[-8:0.1:8]; >> ty=tx; >> [xx, yy] = meshgrid (tx, ty); >> r = sqrt (xx.^ 2 + yy.^ 2); >> tz = sin (r)./ r; >> mesh (tx, ty, tz); >> xlabel('ascisse'); >> ylabel('ordinate'); >> zlabel('quote'); 22
Pausa 15 non di più! :) 23
Variabili e funzioni di ordine superiore Versioni recenti di Matlab definiscono in modo pieno il tipo funzione, permettendo di assegnare a variabili valori di tipo funzione definire funzioni che ricevono parametri di tipo funzione Cosa si può fare con un valore di tipo funzione? assegnarlo a una variabile (quindi passarlo come parametro) applicarlo a opportuni argomenti: si ottiene una invocazione della funzione 24 / 44
handle: esempi Valori di tipo funzione denotati da variabili dette handle (riferimento / maniglia) A una handle possono essere assegnati valori di tipo funzione in due modi 1. indicando il nome di una funzione esistente (definita dall utente o predefinita) 2. mediante la definizione ex novo di una funzione anonima 25 / 44
handle (1) Indicando il nome di una funzione esistente (definita dall utente o predefinita) È semplice: nome della funzione (posto dopo @ ) denota la funzione stessa >> f=@fact f = @fact >> f(4) ans = 24 >> seno=@sin seno = @sin >> seno(pi/2) ans = 1 26
handle (2) Mediante la definizione ex novo di una funzione anonima >> sq=@(x)x^2 sq = @(x)x^2 >> sq(8) ans = 64 Espressione di tipo funzione: simbolo @ lista dei parametri di ingresso, tra parentesi tonde espressione che dà il risultato come funzione degli ingressi 27
Funzioni di ordine superiore Se il parametro attuale di una funzione F è di tipo funzione allora il parametro formale f è una handle può essere usato per invocare la funzione passata tramite il parametro La funzione F è una funzione di ordine superiore È possibile realizzare funzioni di ordine superiore per realizzare funzioni parametriche rispetto a un operazione rappresentata a sua volta da una funzione 28
Esempio di funzione di ordine superiore funzione di ordine superiore maxdifunzione Riceve come parametri f funzione di una variabile reale gli estremi a e b di un intervallo valore d (da usare come passo di incremento) Trova il valore massimo M e la sua ascissa (approssimati) della funzione f in [a..b] applicandola in tutti i punti tra a e b, con un intervallo di scansione d 29
maxdifunzione function [M,xM]=maxDiFunzione(f, a, b, d) xm=a; M=f(xM); for x = a+d:d:b if f(x)>m xm=x; M=f(x); end; end; end >> f=@(x)x^3-3*x; >> maxdifunzione(f, -2, 2, 0.01) ans = 2 30
Fonti per lo studio + Credits Fonti per lo studio Introduzione alla programmazione in MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio Capitolo 4 Credits Prof. A. Morzenti 31