ESERCIZI GEOMETRIA 2 207-8. FILE N. 7: FORMA NORMALE DI JORDAN. PRODOTTI SCALARI. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI, I. Forma normale di Jordan Es... Esercizi da n. 7 a n. 20 alla fine della Sezione 3 del libro [G] di Edoardo Sernesi (vedi pagina successiva). Es..2. (a) Descrivere l insieme di tutte le matrici 2 2 nilpotenti a coe (suggerimento: usare determinante e traccia). (b) Elencare tutte le matrici 2 2 di rango apple acoe cientiinz 3. (c) Elencare tutte le matrici 2 2acoe cientiinz 3 nilpotenti. cienti in un campo K 2. Prodotti scalari Es. 2.. Denotiamo X =(x,x 2 )ey =(y,y 2 ). Per ciascuno dei casi seguenti stabilire se (X, Y ) è un prodotto scalare su R 2. In caso negativo specificare quali assiomi non sono soddisfatti. (a) (X, Y )=4x y +2x y 2 +2x 2 y + x 2 y 2. (b) (X, Y )=4x y + x y 2 + x 2 y + x 2 y 2. (c) (X, Y )=4x y +3x y 2 +3x 2 y +2x 2 y 2. Es. 2.2. Denotiamo X =(x,x 2,x 3 )ey =(y,y 2,y 3 ). Per ciascuno dei casi seguenti stabilire se (X, Y ) è un prodotto scalare su R 3. In caso negativo specificare quali assiomi non sono soddisfatti. (a) (X, Y )=5x y + x y 2 + x 2 y 4x y 3 4x 3 y + x 2 y 2 2x 2 y 3 2x 3 y 2 +5x 3 y 3. (b) (X, Y )=6x y + x y 2 + x 2 y 3x y 3 3x 3 y + x 2 y 2 2x 2 y 3 2x 3 y 2 +6x 3 y 3. Es. 2.3. Denotiamo X =(x,...,x n )ey =(y,...,x n ). Per ciascuno dei casi seguenti stabilire se (X, Y ) è un prodotto scalare su R n. In caso negativo specificare quali assiomi non sono soddisfatti. (a) (X, Y )=( P n i= x i)( P n j= y j). (b) (X, Y )= P n i= x iy i. (c) (X, Y )=( P n i= x2 i y2 i ) 2. (d) (X, Y )= P n i= (x i + y i ) 2 ( P n i= x2 i ) (P n i= y2 i ). Es. 2.4. In quali dei seguenti casi (P, Q) definisce un prodotto scalare sullo spazio vettoriale R[X] apple2? In caso negativo specificare quali assiomi non sono soddisfatti. (a) (P, Q) =P (0)Q(0) + P ()Q(). (b) (P, Q) =P ( )Q( ) + P (0)Q(0) + P ()Q(). (c) (P, Q) =P ()Q() + P 0 ()Q 0 () + P 00 ()Q 00 (). (d) (P, Q) =P ()Q() + P 0 ()Q 0 ().
2ESERCIZI GEOMETRIA 2 207-8. FILE N. 7 : FORMA NORMALE DI JORDAN. PRODOTTI SCALARI. SPAZI VETTORIALI EUCL (e) (P, Q) =( R P )(R Q). (f) (P, Q) =(R P 0 Q 0 ). Es. 2.5. Siano x, x n+ 2 R, tutti diversi tra loro. Per P, Q 2 R[X] applen definiamo (P, Q) = P n+ i= P (x i)q(x i ). Dimostrare che è un prodotto scalare su R[X] applen. Che succede se invece usiamo la stessa definizione ma, invece di prendere n + numeri reali ne prendiamo di meno? E se ne prendiamo di più? 3. spazi vettoriali euclidei, I Es. 3.. Per ciascuno dei casi dell esercizio 2.4 in cui (P, Q) è un prodotto scalare: (i) esibire una base ortogonale dello spazio vettoriale euclideo R[X] apple2 munito di quel prodotto scalare applicando il metodo di Gram-Schmidt alla base {,x,x 2 }. (ii) Calcolare una base del sottospazio vettoriale <x+>?. (ii) Calcolare la proiezione ortogonale di x 2 lungo x +. Es. 3.2. In R 3, munito del prodotto scalare ordinario, sia {u, u 2, u 3 } una base ortogonale tale che u = 2, u 2 = p 2, u 3 = p 3. Sia inoltre v = u + u 2 + u 3 e, per i =, 2, 3, denotiamo i l angolo tra v e u i. (a) Calcolare cos i per i =, 2, 3. (b) Calcolare u ^ v e u ^ u 2. (c) Calcolare v (u ^ u 2 ). Es. 3.3. In R 3, munito del prodotto scalare ordinario, consideriamo u =(, 2, 2) e v =(0, 3, 4). Esibire un vettore w 2< u, v > tale che w formi un angolo di /3 con u. (Suggerimento: trovare un riferimento ortonormale del sottospazio U =< u, v > della forma ( u u, z). Allora i versori w = cos 3 u u ± sin 3 z) soddisfano alla richiesta).
ESERCIZI GEOMETRIA 2 207-8. FILE N. 7: FORMA NORMALE DI JORDAN. PRODOTTI SCALARI. SPAZI VETTORIALI EUCL 4. soluzioni.. n. 7. Eccone alcuni: (e) Il polinomio caratteristico è x 4. Dunque i quattro autovalori sono distinti: ±, ±i. La matrice è diagonalizzabile e la forma di Jordan è diag(,, i, ). Un riferimento che la realizzi è semplicemente un riferimento fatto da autovettori. (f) Qua gli autovalori sono ±, entrambi doppi. Si verifica che gli autospazi hanno entrambi dimensione due, dunque la matrice è diagonalizzabile. Dunque la forma di Jordan è semplicemente diag(,,, ). Vedi sopra. (d) Anche qua gli autovalori sono distinti:,, 2. Dunque è diagonalizzabile (vedi sopra). (c) Finalmente una non diagonalizzabile. Gli autovalori sono 2 (doppio) e (semplice). Si verifica che E =< w > con w =(0, 5, 2). Per quanto riguarda l autovalore 2 si verifica che A 2I 3 ha rango 2, dunque la dimensione dell autospazio è, dunque la matrice A non è diagonalizzabile. Sappiamo dal teorema di riduzione al caso nilpotente che (A 2I 3 ) 2 = 0 (l esponente 2 è la molteplicità algebrica dell autovalore). Dunque la forma di Jordan è 0 J 2 (2) J () = @ 2 0 0 2 0A. 0 0 Per trovare una base che la realizzi 0 dobbiamo trovare un elemento di ordine 2 per A 2I 3 in ker(a 2I 3 ) 2.Sihache(A 2I 3 ) 2 = @ 0 0 0 0 5 5A. Dunqueker(A 2I 3 ) 2 =< (, 0, 0), (0, 3, ) >. Il 0 2 6 vettore (0, 3, ) = u non sta in ker(a 2I 3 ) e quindi ha necessariamente ordine 2 per A 2I 3. Abbiamo che (A 2I 3 )u =(, 0, 0). Dunque R =((, 0, 0), (0, 3, ), 0, 5, 2)) è un riferimento che realizza la forma di Jordan. 0 0... 0... 0 n. 8. (a) La trasposta della matrice J n ( )è B............ = I n J n (0) T. Dunque C @ A 0... l unico autovalore è con molteplicità algebrica n e la matrice la matrice J n (0) T è nilpotente con indice di nilpotenza n. Quindi la forma di Jordan di questa matrice sarà J n ( ). (b) Sappiamo che la forma di Jordan è unica (a meno di permutazione dei blocchi). Dunque, poichè ogni matrice a coe cienti complessi è coniugata ad una forma di Jordan, due matrici a coe cienti complessi sono coniugate se e solo se hanno la stessa forma di Jordan. (c) Se A = C JC,doveJ è una forma di Jordan, allora A T =(C AC) T = C T J T (C ) T = C T J T (C T )
4ESERCIZI GEOMETRIA 2 207-8. FILE N. 7 : FORMA NORMALE DI JORDAN. PRODOTTI SCALARI. SPAZI VETTORIALI EUCL (infatti (C ) T =(C T ) perchè I n = I T n =(CC ) T = C T (C ) T ). Quindi A T è coniugata alla matrice J T, che è somma diretta di blocchi di Jordan. Dunque, per il punto (a), J T è coniugata a J. n. 9. Nel primo caso c e un unica forma di Jordan possibile: J n (0). Anche nel secondo caso c e un unica forma di Jordan possibile: J n (0) J (0). n. 20. L esistenza della forma di Jordan implica in particolare che ogni matrice A 2 M n,n, (C) è coniugata ad una matrice della forma diag + N, con A diagonale (sulla diagonale ci sono gli autovalori ripetuti tante volte quanto le loro molteplicità algebriche) e N somma diretta di blocchi di Jordan J k (0), quindi nilpotente. Dunque A = C diag C + C NC. La prima matrice è diagonalizzabile per definizione. La seconda matrice è nilpotente, quasi per definizione, perchè rappresenta in qualche riferimento un endomorfismo nilpotente..2. (a) Una matrice è nilpotente se e solo se il suo polinomio caratteristico è ( ) n x n. Nel caso n = 2 questo si riduce al fatto che det A =0eTrA = 0. Dunque sono tutte e sole le matrici ( a a A = 2 a a 22 a 2 a 2 =0 tali che.sea a 2 a 2 6= 0 queste sono le matrici della forma 22 a + a 22 =0 a! a 2 a 2 a 2 a Se a 3 = 0 allora troviamo, allo stesso modo, le matrici della forma! a 22 a 2 22 a 2 a 2 a 22 Se invece a 2 = a 2 = 0 allora A = O. (Ovviamente ci sono matrici che sono sia del primo che del secondo tipo) 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 (c) Sono nove:,,,,,,,,. 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 2 0 2.. Sono tutte forme bilineari simmetriche. Usando il metodo di complemento del quadrato si trova: (a) No, non è positiva. (b) Si, è positiva. (c) No, non è positiva. 2.2. Sono tutte forme bilineari simmetriche. Usando il metodo di complemento del quadrato si trova: (a) No, non è positiva. (b) Si, è positiva. 2.3. (a) NO (positività). (b) NO (linearità). (c) NO (linearità). (d). SI. Infatti (X, Y ) = 2( P n i= x iy i ) = 2(X Y )
ESERCIZI GEOMETRIA 2 207-8. FILE N. 7: FORMA NORMALE DI JORDAN. PRODOTTI SCALARI. SPAZI VETTORIALI EUCL 2.4. (a) No (positività): Sia P (x) =x(x ), si ha che (P, P) = 0. (b) Si. (c) Si. (d) No (positività). Simile ad (a). (e) No (positività): Sia P (x) =x. Sihache(P, P) =( R x)2 = 0. (f) No (positività): se P è una costante (cioè un polinomio di grado 0) allora (P, P) = 0. 2.5. Si verifica facilmente (fatelo) che (P, Q) è sempre una forma bilineare simmetrica semipositiva (indipendentemente dal numero dei numeri reali x i ). La forma è definita positiva se e solo se il numero m dei numeri reali x i è n +. Infatti in questo caso se P m i= P (x i) 2 = 0 allora P (x i )=0 per ogni i =,...,n+equestoimplicachep = 0 perchè un polinomio di grado n non nullo ha al più n zeri. 3.. Faccio solo il caso (b) dell esercizio 2.4. Il caso (c) fatelo voi. (i) {,x,x 2 2 3 }. (ii) Sia P (x) =a + bx + cx 2 2 R[x] apple2. Applicando la definizione del prodotto scalare in questione risulta che: (x +,P(x)) = 0 P ( ) + P (0) + 2P () = a + 2(a + b + c) =3a + b + c. Dunque <x+>? = {a + bx + cx 2 3a + b + c =0} =< 3x 2,x x 2 >. (iii) (x 2,x+ ) (x + ) = 2 (x + ) (x +,x+ ) 5 3.2. (a) Usando che la base è ortogonale si trova che v 2 = v v = P 3 i= u i u i = 4 + 2 + 3 = 9. In conclusione v = 3. Therefore In modo simile si trova che: cos 2 = cos = v u v u = 2 3 p p 2 3, cos 3 = 3 3. (b) u ^ v è l area del parallelogramma costruito su u and v. Quindi è uguale a u v sin = 6 p 5/9 =2 p 5. Inoltre, poichè u e u 2 sono ortogonali, u ^ u 2 = u u 2 =2 p 2. (c) v (u ^ u 2 ) è il volume del parallelepipedo costruito su v, u,eu 2. È uguale a v u ^ u 2 ) cos 3 =2 p 2 p 3 3.3. Ortogonalizzando u e v risultano u =(, 2, 2) e v 0 = 9 (, 3, 32). Normalizzando si ha u 0 = 9 (, 2, 2) e z = 9 p (, 3, 32). Dunque i versori 988 p 3 2 u0 ± 2 z stanno nel sottospazio vettoriale < u, v > e formano con u (o, equivalentemente, con u 0 ) un angolo il cui coseno è uguale a 2 = cos 3. Infatti, per costruzione, w u 0 w u 0 = 2 +0 = 2.