Leoardo Latella STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Il calcolo delle probabilità studia gli eveti casuali probabili, cioè quegli eveti che possoo o o possoo verificarsi e che dipedoo uicamete dal caso. Tale studio permette di assegare agli eveti casuali (o aleatori) u valore umerico al fie di poter cofrotare oggettivamete tali eveti e decidere quale tra essi ha maggiore probabilità di verificarsi. Se P(E)=1, ovvero la probabilità di u eveto è pari ad 1 l eveto è certo. Si possoo dare diverse defiizioi di probabilità. Defiizioe di probabilità secodo la cocezioe classica La probabilità P(E) di u eveto E è il rapporto fra il umero F dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il umero N dei casi possibili, giudicati egualmete possibili: F PE ( ) co PE ( ) 1 N se F=, cioè se o esistoo casi favorevoli al verificarsi dell eveto, questo è detto impossibile e la sua probabilità è ulla (P(E)=). Se F=N, cioè se tutti i casi soo favorevoli al verificarsi dell eveto, questo è detto certo e la sua probabilità è massima (P(E)=1). Uo dei puti deboli della cocezioe classica è la codizioe, pressoché impossibile da verificare, che tutti i casi i cui può maifestarsi il feomeo siao egualmete possibili. Tale defiizioe, ioltre, si può applicare quado l isieme dei casi è u isieme fiito. Defiizioe di probabilità secodo la cocezioe frequetista La cocezioe frequetista è basata sulla defiizioe di frequeza relativa di u eveto. Si defiisce frequeza relativa di u eveto i prove effettuate elle stesse codizioi, il rapporto fra il umero v delle prove elle quali l eveto si è verificato e il umero delle prove effettuate: v f co f 1 Quidi la probabilità di u eveto è il limite della frequeza dei successi, cioè del verificarsi dell'eveto, quado il umero delle prove tede all'ifiito. Se f = l eveto o si è mai verificato i quelle prove; se f = 1 (v = ) l eveto si è sempre verificato i quelle prove. La frequeza dipede dal umero delle prove fatte. Per uo stesso la frequeza può variare al variare del gruppo delle prove ifatti se si lacia 1 volte ua moeta e si preseta testa 54 volte, effettuado altri 1 laci si può presetare 48 volte. Secodo la legge empirica del caso, i ua serie di prove, ripetute u gra umero di volte, eseguite tutte elle stesse codizioi, la frequeza tede ad assumere valori prossimi alla probabilità dell eveto e l approssimazioe è tato maggiore quato più umerose soo le prove eseguite.
Geeralmete o si può dire quate prove siao ecessarie; il umero delle prove dipede dal feomeo i esame. Quidi se i casi possibili soo e l'isieme dei casi favorevoli soo A, per la teoria classica la probabilità che accada l'eveto A sarà metre per la teoria frequetista essa sarà p A p A A lim A La probabilità di otteere u 6 laciado u sigolo dado è: casi favorevoli = 1 (ossia la faccia che mostra il umero 6); casi possibili = 6 (ossia la faccia che mostra il umero 6 e le altre 5 facce). duque, la probabilità di otteere u 6 è 1/6,16 (*) e la somma delle probabilità delle 1 1 1 1 1 1 sei facce, che possiamo cosiderare uguale, è 1. 6 6 6 6 6 6 Ovviamete, ua probabilità o è ua certezza. Ifatti, può beissimo accadere che su sei laci o si preseti mai la faccia co il umero 6; tuttavia, aumetado il umero di laci, si può costatare che effettivamete la frequeza co cui si preseta il umero 6 è molto vicia ad 1/6. La probabilità di otteere ivece due 6 laciado due dadi corrispode a: casi favorevoli = 1 (l'uica combiazioe i cui si presetao due facce che mostrao il umero 6); casi possibili = 36 (ossia tutte le combiazioi di due dadi che si possoo presetare, comprese quelle co il 6); quidi, la probabilità di otteere u doppio 6 è 1/36. I particolare la probabilità cercata si può ache calcolare moltiplicado tra loro le sigole probabilità di otteere u 6 quidi 1 1 1. Più i geerale, questa regola vale ache per 6 6 36 più dadi. Così, la probabilità di otteere tre 6 laciado tre dadi è 1 1 1 1 6 6 6 16 Gli eveti per i quali vogliamo calcolare la probabilità del loro verificarsi, devoo essere idipedeti: quado laciamo due dadi, ifatti, o ha importaza che il lacio sia cotemporaeo. Voledo calcolare la probabilità che, laciado tre dadi, capitio due facce uguali, essa corrispode a 5/1,416 (*) e la probabilità che tutte e tre le facce siao uguali corrispode a 1/36,7 (*).
Laciamo cotemporaeamete tre dadi per 1 volte. I risultati otteuti soo riportati ella seguete tabella 54 1 4 6 11 Lacio Dado1 Dado Dado3 Somma 55 4 6 3 13 1 4 1 5 1 56 1 1 6 8 1 1 1 3 57 5 6 13 3 1 6 6 13 58 1 6 1 8 4 3 6 11 59 6 4 6 16 5 3 5 4 1 6 4 4 6 14 6 6 6 5 17 61 1 3 3 7 7 3 5 5 13 6 1 1 6 8 8 3 3 3 9 63 1 5 8 9 1 5 8 64 5 6 13 1 6 1 65 3 5 1 11 5 4 11 66 4 4 5 13 1 1 3 3 7 67 1 1 4 6 13 5 5 1 11 68 5 3 1 14 4 4 4 1 69 1 1 4 15 3 3 8 7 6 5 1 1 16 3 6 4 13 71 4 3 3 1 17 4 6 1 7 1 3 6 1 18 6 5 5 16 73 6 5 13 19 6 5 4 15 74 3 5 3 11 3 3 3 9 75 5 6 4 15 1 5 1 3 9 76 4 1 7 5 6 3 14 77 5 6 1 1 3 3 5 6 14 78 6 1 9 4 1 4 4 9 79 3 1 6 1 5 6 5 4 15 8 4 5 11 6 3 4 9 81 5 5 4 14 7 5 3 1 9 8 3 7 8 5 1 8 83 5 4 1 1 9 4 4 1 9 84 1 3 6 3 3 5 1 85 3 3 3 9 31 4 5 4 13 86 6 1 3 3 5 1 87 6 5 5 16 33 4 4 5 13 88 5 5 1 34 3 4 6 13 89 5 6 5 16 35 3 1 6 9 5 6 13 36 6 1 4 11 91 4 1 7 37 3 3 3 9 9 4 4 4 1 38 5 1 1 7 93 1 3 4 8 39 4 5 4 13 94 4 1 7 4 4 5 11 95 6 3 4 13 41 3 1 3 7 96 4 1 7 4 3 5 5 13 97 4 3 9 43 6 4 1 98 5 6 13 44 4 4 4 1 99 5 1 8 45 3 5 1 9 1 4 5 11 46 6 3 11 x (*) 3,47 3,63 3,54 47 6 3 5 14 48 3 1 6 49 4 3 5 1 5 4 5 6 15 51 3 4 1 8 1 6 4 11 53 5 5 1
La percetuale di laci i cui si soo avuti due puteggi uguali (escludedo i casi i cui si presetao tre facce uguali) è il 34% (*), ivece quella dei laci i cui tutti e tre i puteggi erao uguali è l 8% (*); questi due valori differiscoo da quelli precedetemete calcolati a rappresetare che il lacio di u dado è idipedete da quello degli altri dadi e dal successivo lacio dello stesso. Percetuali relative al primo dado 5 15 1 5 1 3 4 5 6 Percetuali relative al secodo dado 5 15 1 5 1 3 4 5 6 Percetuali relative al terzo dado 5 15 1 5 1 3 4 5 6
Come si può otare le percetuali (che si preseti u valore per u dado) oscillao itoro al valore 16,7%, ovvero quello calcolato teoricamete tramite il calcolo delle probabilità (*). I due valori o coicidoo poiché il umero di laci effettuato è fiito. Percetuali relative ai tre dadi 18 16 14 1 1 8 6 4 1 3 4 5 6 Ache cosiderado le percetuali relative ai tre dadi il valore medio oscilla itoro al valore 16,5. Per ua distribuzioe discreta di probabilità il valor medio o valore atteso, che rappreseta u umero verso il quale i valori otteuti tedoo all ifiito, è dato da E( x) xp( x ) quidi i 1 i i 1 3 4 5 6 Ex ( ) 3,5 6 valore molto simile ai valori medi precedetemete calcolati (*). La variaza ivece è la differeza tra la media dei quadrati e il quadrato della media campioaria: che el caso dei 1 laci è,73. La deviazioe stadard è 1, 65 x La deviazioe stadard della media ivece è,95 x N x
Si cosideri la somma dei valori otteuti laciado i tre dadi. La tabella seguete riporta ella secoda coloa le tere di valori, la cui somma è costate, otteute laciado tre dadi. Come si può vedere dalla terza coloa per ogua di queste tere i valori si possoo presetare i diverse combiazioi ad esempio la tera (1,1,) si può presetare secodo tre combiazioi: (1,1,), (1,,1), (,1,1). Somme Tere Numero di combiazioi N tot Probabilità (%) 3 (1,1,1) 1 1,46 4 (1,1,) 3 3 1,39 5 (1,1,3) (1,,) 3 3 6,78 6 (1,1,4) (1,,3) (,,) 3 6 1 1 4,63 7 (1,1,5) (1,,4) (1,3,3) (,,3) 3 6 3 3 15 6,94 8 (1,1,6) (1,,5) (1,3,4) (,,4) (,3,3) 3 6 6 3 3 1 9,7 9 (1,,6) (1,3,5) (1,4,4) (,3,4) (,5,) (3,3,3) 6 6 3 6 3 1 5 11,57 1 (1,3,6) (1,4,5) (,3,5) (,4,4) (,6,) (3,3,4) 6 6 6 3 3 3 7 1,5 11 (6,4,1) (6,3,) (5,4,) (5,3,3) (5,1,5) (4,4,3) 6 6 6 3 3 3 7 1,5 1 (6,5,1) (6,4,) (6,3,3) (5,4,3) (5,,5) (4,4,4) 6 6 3 6 3 1 5 11,57 13 (6,6,1) (6,5,) (6,4,3) (5,5,3) (5,4,4) 3 6 6 3 3 1 9,7 14 (6,6,) (6,5,3) (6,4,4) (5,5,4) 3 6 3 3 15 6,94 15 (6,6,3) (6,5,4) (5,5,5) 3 6 1 1 4,63 16 (6,6,4) (6,5,5) 3 3 6,78 17 (6,6,5) 3 3 1,39 18 (6,6,6) 1 1,46 Somma 16 1 Come si può otare dalla tabella sovrastate le somme più probabili soo 1 e 11. Istogramma teorico associato alla distribuzioe: 16 1 8 4 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 17 18 19 Somm a
L istogramma otteuto dai dati sperimetali è il seguete: 18 16 14 1 1 8 6 4 Percetuali somme dei puteggi dei tre dadi 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 17 18 Somma Somma % 1 3 1 4 1 5 6 4 7 9 8 1 9 1 1 11 11 11 1 11 13 16 14 5 15 4 16 4 17 1 18 Questo grafico è diverso da quello teorizzato prima per il motivo che i laci effettuati soo fiiti.