- - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle seguenti matrici: a - c - d - e - 7 9 8 8 f - ) Risolvere i seguenti sistemi lineari: a - = = = z y z x z y x = = = = t z y x z y x t z y x z y x
) Risolvere i seguenti sistemi lineari: x y z t = x y z t = a - x y t = x y z t = x y z = x y t = x 8y z t = x y z t = x y z t u = x y z t = x y t u = x y z t = c - d - x z t u = x y z t = x y z t u = x y z t = ) Calcolare le soluzioni dei seguenti sistemi lineari al variare del parametro reale : x y z = x y z = a - x y z = x ( )z = x y ( )z = x z = 7) Calcolare le soluzioni del seguente sistema lineare al variare dei parametri reali e h : x y z t = y z t = x y ht = 8) Risolvere i seguenti sistemi lineari al variare del parametro reale : x ( )y z = ( )x y ( )z = a - x ( )y ( )z = ( )x ( )y ( )z = x y ( )z = ( )x y z = c - x y ( )z = x ( )y ( )z = x ( )y ( 7)z = d - ( )x y ( )z = ( )x ( )y ( )z = ( )x ( )y ( )z = e - x ( )y z = x y ( )z = x ( )y ( )z = f - ( )x ( )y ( )z = ( )x ( )y ( )z = ( )x ( )y ( 7)z = SOLUZIONI ) a - Determinante = - Determinante = c - Determinante = d - Determinante = e - Determinante = - f - Determinante = - g - Determinante = - h - Determinante = ) a - = -; - nessun c - qualsiasi - -
) a - Rango = Rango = c - Rango = d - Rango = e - Rango = f - Rango = ) a - (, -, ) (, -,, -) x y z t = y t = ) a - z t = t = da cui t = ; z = ; y = -; x =. x y z t u = y z t u = z t u = =. c - x y z = y z t = da cui y = z t ; x = 8 z t. d - x y z t = y z t = z t = da cui z = t; y = - t; x =. ) a - ± una soluzione = - nessuna soluzione = nessuna soluzione, una soluzione = nessuna soluzione = z, z, z 7) soluzioni =, h - soluzioni =, h = - nessuna soluzione 8) a - x ( )y z = -, - una soluzione ( )y ( )z = = - ( )z = = - - -
c - d - e - f - ( )x y ( )z = - una soluzione ( )y = = - soluzioni ( )z = x y ( )z =,, una soluzione ( )y z = = ( )z = = = soluzioni ( )x y ( )z =, -, una soluzione ( )y z = = ( )z = = - = x ( )y z = una soluzione y ( )z = = soluzioni z = ( )x ( )y ( )z = -, una soluzione ( )y ( )z = = - soluzioni ( )z = = soluzioni - -
ALGEBRA LINEARE ) Dire se i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali di R n,n : V = { X R n,n X T X = I } U = { X R n,n AX = } ) Dato il sottoinsieme V = { X R n,n X X T = }; dire se è un sottospazio vettoriale di R n,n e verificare che per n dispari det(x) =. ) L'insieme R n [x] è un sottospazio vettoriale dello spazio dei polinomi? ) L'insieme delle funzioni continue è un sottospazio vettoriale dello spazio delle funzioni? ) Dire se i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali di R n,n : D = { A R n,n a ij =, i j } D' = { A R n,n a ij =, i j e a ii } ) Dire se i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali di R [x]: P = { p(x) R [x] p() = } P' = { p(x) R [x] p() = } 7) Dire se i seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti: V = {(,, -, ), (,,, -), (-,,, ), (-, -, -, )} V' = {(,, -,, ), (,, -,, -), (-,, -,, )} V" = {(,, -), (, -, ), (-,, -), (-,, -)} 8) Dati i vettori v = (,,, ), v = (,,, ), v = (,,, ), v = (h,, h, ), dire per quali valori dei parametri reali e h i seguenti insiemi sono liberi: A = {v, v } B = {v, v, v } C = {v v, v, v } 9) Siano dati i seguenti sottospazi vettoriali di R : U = { x R x - x x = } V = L((,, )) Verificare che U e V sono supplementari. Decomporre il vettore (,, ) come somma di un vettore di U e uno di V. ) Dati i sottoinsiemi: V = { X R n,n tr(x) = } U = { X R n,n tr(x) = } Dire se V è un sottospazio vettoriale di R n,n. - -
Nel caso n = determinare una base e la dimensione di V. Dire se U è un sottospazio vettoriale di R n,n. ) Siano dati i vettori di C : u = ( i,, ), v = ( - i,, ), w = ( i, i, i) Determinare la dimensione del sottospazio H generato da u, v, w. Verificare che H F = {(x, y, z) C y - z = } ) Sia dato uno spazio vettoriale V avente base B(v, v, v, v ). Verificare che i vettori u = v - v ; u = v v ; u = -v ; u = v v formano una base B' per V. Scrivere le equazioni del cambiamento di base da B a B'. Determinare le componenti del vettore x = v v - v rispetto alla base B'. ) Dato il sistema lineare x y z = x y z = provare che l insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di R e determinarne una base. ) L insieme delle soluzioni del sistema lineare x y z = x y z = è un sottospazio vettoriale di R? ) Dato lo spazio vettoriale reale R[X], provare che l insieme R () [X] dei polinomi reali di grado minore o uguale a è un sottospazio vettoriale di R[X] e determinarne una base che contenga il polinomio X X. ) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici a coefficienti reali. Determinare il più piccolo sottospazio che contenga le matrici,. 7) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici a coefficienti reali. Determinare due sottospazi di M di diversa dimensione che non contengano la matrice e per ciascuno di questi determinare una base. 8) Sia F(R, R) l insieme delle funzioni definite da R a R. Stabilire se sono sottospazi: - l insieme delle funzioni f tali che f() = ; - l insieme delle funzioni f tali che f() = ; - l insieme delle funzioni f tali che f() = ; - l insieme delle funzioni f tali che f(x) f (x) =. 9) Determinare i valori reali di a per cui {(a,, ), (,, ), (a,, )} è una famiglia di vettori linearmente indipendenti nello spazio vettoriale R. ) Dire se le seguenti applicazioni sono lineari: f : R R f(x) = a x a R - -
f : R R f(x) = a x a R f : R R f(x) = x f : R, R, f(x) = AXA A R, f : C C f(a i b) = a - i b λ C f : C C f(a i b) = a - i b λ R ) Determinare la matrice A associata alle seguenti applicazioni lineari rispetto alle basi canoniche: a - f : R R f(x) = a x a = (a, a, a ) f : R R f(x) = a x a = (a, a, a ) c - g : R R g(x, y) = (x y, x - y) Per g determinare la matrice A' associata alla base B'((, ), (, -)). ) Verificare che i vettori v = (,, ), v = (,, -), v = (,, ) rispetto alla base canonica B formano una base di R. Data l'applicazione lineare f : R R definita da: f(v ) = (,, ) f(v ) = (-,, ) f(v ) = (,, ) determinare la matrice A associata ad f rispetto a B e la matrice A' rispetto a B'. ) Sia data l'applicazione lineare f : V V con la base B(v, v, v ) definita da: f(v v ) = v f(v - v ) = - v - v f(v ) = v - v v Verificare che è invertibile e determinare la matrice A associata ad f - rispetto a B. ) Sia data l'applicazione lineare f : V V definita dalla matrice: A = rispetto alla base B(v, v ). Determinare la matrice A' associata ad f rispetto alla base B'(u, u ) dove u = v - v e u = -v v. ) Sia V uno spazio vettoriale su R e sia α : V V un'applicazione lineare. Verificare che se λ è un autovalore di α allora λ n è autovalore di α n. ) Sia data l'applicazione lineare f definita dalla matrice A: - 7 -
Determinare una base per erf e imf. Calcolare gli autovalori di f e i relativi autospazi. 7) Quanti sono gli omomorfismi f: R R tali che f(,, ) = (,, ) e f(,, ) = (,, )? 8) Sia f: R R l'omomorfismo definito da: f(,, ) = (,, ); f(,, ) = (,, ); f(,, ) = (π,, ). Determinare una base per er f e stabilite se f è iniettivo. 9) Dato l insieme W:= { (t, t, -t) t R }, stabilire se è uno sottospazio di R e determinarne una base. Determinare un omomorfismo f: R R tale che W = er f. ) Analogamente con W:= { (t, u, ut) u, t R }. ) E' vero che { (t, ut, u t) u, t R } è un sottospazio di R? SOLUZIONI ) NO - SI ) SI ) SI ) SI ) SI - NO ) SI - NO 7) SI - NO - NO 8) per - per - per, h 9) (-, -, -) (,, ) ) SI - dim(v) = - NO ) dim(h) = ) M = ; x B' =,,, ) NO a b ) V = t.c. a, b R 8) SI - NO -SI - SI 9) a ) SI - SI - NO -SI - NO - SI ) a - A = ( a a ) A = a a a a a a a - 8 -
c - A = ; A' = P - AP = con P = A ) A = ; A' = P - AP = ) A = 9 ) A' = P - 9 AP = con P = ) Per induzione. ) erf = L(e - e ) - imf = L(e, e, e - e ) V = erf - V - = L(e, e ) - V = L(e - e e ) 8) er f = L(, π, -) - NO 9) W = L(,, -) ) W = L((,, ), (,, )) ) NO - 9 -
GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO ) Determinare la retta passante per il punto P(, ) e parallela alla retta r: x y - =. ) Determinare la retta passante per il punto P(, -) e ortogonale alla retta r: x - y =. ) Dati i punti A(, -) e B(, ) determinare l'asse del segmento AB. ) Determinare l'ortocentro del triangolo di vertici A(, ), B(, ), C(, ). ) Sia dato un triangolo equilatero ABC, avente il vertice A nel punto di intersezione delle rette r: x - y 8 = ed r': x y - = e i vertici B e C sulla retta s: x - y =. a) Determinare le coordinate dei vertici B e C. b) Determinare l'area della superficie del triangolo. ) Sia dato il fascio generato dalle circonferenze: Γ: x y - x - y = e Γ': x y - y - =. a) Determinare l'asse centrale e l'asse radicale. b) Determinare la circonferenza passante per il punto P(, -). c) Determinare la circonferenza tangente alla retta x =. 7) Determinare la distanza tra le seguenti coppie di rette: a) r: x - y = ; r': x - y - = b) r: x - y = ; r': x - y = 8) Calcolare la distanza tra la retta r: x - y = - e la circonferenza Γ: x y - x y - =. 9) Tra le rette passanti per il punto P(, ): a) Determinare quella passante per A(, ). b) Determinare quella parallela alla retta r: x - y =. c) Determinare quella ortogonale alla retta r: x y - =. ) Determinare l'angolo tra le rette r: x - y = e r': x y - =. SOLUZIONI ) x y - = ) x y = ) x - y = ) O(, ) ) a) B (, ) ; C(, ) b) S = - -
) a) asse centrale: x - y = ; asse radicale: x y - = b) x y x y - 7 = c) x y - x - y = 7) a) 7 d(r, r') = 7 b) d(r, r') = 8) d(r, Γ) = 9) a) x y - = b) x - y - = c) x - y - = ) cos rr' = NELLO SPAZIO ) Determinare il piano passante per il punto P(,, -) e parallelo ai vettori u(, -, ) e v(,, -). ) Determinare il piano passante per i punti P(,, ), Q(-,, ) e parallelo all'asse x. ) Determinare la retta passante per il punto P(, -, ) e parallela al vettore u(,, -). ) Studiare al variare dei parametri reali h e la mutua posizione dei due piani: π : x hy - z = π : x y z = ) Dato il punto P(,, -) determinare il piano passante per P e inoltre: a) parallelo al piano π: x - y z - =. b) contenente la retta r: x y =. x y z = c) perpendicolare alla retta r': x y =. x z = d) perpendicolare al piano π': x y - z = e passante per il punto Q(, -, ). ) Determinare i punti della retta r: x z = y = a) aventi distanza dal piano π: x - y - z =. b) equidistanti dal piano π e dal piano π': z =. 7) Determinare il punto simmetrico di P(,, -) rispetto alla retta r: x y z = x y = 8) Tra tutte le sfere tangenti al piano π: x y z - = nel punto P(, -, ) determinare quelle secanti il piano xy secondo una circonferenza di raggio. SOLUZIONI ) x - 8y - 7z 9 = - -
) y z - = ) x = t y = t z = t ) h = e = - piani paralleli altrimenti piani incidenti ) a) x - y z = b) y - z - = c) x y z - = d) x y z - = ) a) A(, -, -); B(-, -, ),, b) C(, -, -); D ( ) 7) O(,, ) 7 7 8) x y z - x y - z 8 = ; x y z - x y - 7z = - -