Matematica e statistica 23 febbraio 2012 Compito A Cognome e nome Matricola Parte I Esercizio 1 L indice di massa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra massa, espressa in Kg, e altezza, espressa in m, al quadrato. Sapendo che Mario ha massa 81 ± 3 Kg ed è alto 1.80 ± 0.03 m, determinare valore stimato, errore assoluto ed errore relativo del suo IMC. Esercizio 2 Nel Gennaio 2011 sono state immatricolate 120 500 auto, con una diminuzione del 3.6% rispetto allo stesso mese dell anno precedente. Quante auto sono state immatricolate nel Gennaio 2010? Esercizio 3 Scrivi l espressione esplicita di una funzione f : R R continua, strettamente crescente e tale che lim f(x) =1, lim x f(x) =5. x + Esercizio 4 L isotopo I 123 dello Iodio ha un tempo di dimezzamento di circa 13 ore. Questo vuol dire che se la massa iniziale era di 13 g, dopo t ore la massa rimanente è data da m(t) =13 2 t/13. Calcolare la velocità di variazione della massa, e determinare sia la massa sia la velocità dopo 24 ore. Esercizio 5 Determinare il dominio di definizione e la derivata delle seguenti funzioni: ( x +2 ) i) f(x) =x e (x+1) ii) f(x) = log 2 iii) f(x) = 1 x x 1 2
Esercizio 6 Nella figura sottostante è riportato il grafico di una funzione sinusoidale. Scrivere l espressione analitica della funzione in base all ampiezza, valore medio, periodo e fase.
Parte II Esercizio 1 Calcolare le primitive della funzione f(x) = cos x log(1 + sin x). Esercizio 2 La lunghezza della coda di una specie di varani è determinata geneticamente da un gene con due possibili alleli: l allele L dominante della coda lunga, e l allele c recessivo della coda corta. La popolazione dei varani che si sta studiando soddisfa le ipotesi della legge di Hardy- Weinberg, e sappiamo che il 40% degli alleli nella popolazione sono L, e il 60% sono c. (1) Calcola la probabilità di tutti i genotipi e di tutti i fenotipi. (2) Qual è la probabilità che un varano preso a caso nella popolazione abbia la coda lunga sapendo che il padre ha la coda lunga e la madre la coda corta? (3) Qual è la probabilità che un varano preso a caso nella popolazione abbia la coda lunga sapendo che entrambi i genitori hanno la coda corta? Suggerimento: Indicando con p Lc,p LL e p cc le probabilità dei genotipi Lc, LL e cc rispettivamente, si può utilizzare il seguente schema in cui le colonne corrispondono al genotipo del padre, le righe a quello della madre e le caselle centrali contengono le probabilità di trovare un figlio con genotipo indicato: LL : p LL Lc : p Lc cc : p cc LL : p 2 LL LL :1/2p LL p Lc LL :0 LL : p LL Lc :0 Lc :1/2p LL p Lc Lc : p LL p cc cc :0 cc :0 cc :0 LL :1/2 p LL p Lc LL :1/4 p 2 Lc LL :0 Lc : p Lc Lc :1/2 p LL p Lc Lc :1/2 p 2 Lc Lc :1/2 p Lc p cc cc :0 cc :1/4p 2 Lc cc :1/2p Lc p cc LL :0 LL :0 LL :0 cc : p cc Lc : p LL p cc Lc :1/2 p Lc p cc Lc :0 cc :0 cc :1/2 p Lc p cc cc : p 2 cc Esercizio 3 Studiando la crescita di una popolazione di trote in un allevamento, si giunge alla conclusione che il numero N di individui varia nel tempo (misurato in mesi) secondo la funzione N(t) = 180 + 90 2t 1 2 t +1.
Tenendo presente che l allevamento è sovraffollato quando contiene 250 trote, c è il rischio che l allevamento divenga sovraffollato? Se sì, dopo quanto tempo? Esercizio 4 Determinare le singolarità della seguente funzione razionale e calcolare i limiti per x che tende alle singolarità da destra e da sinistra, e per x che tende a ± : f(x) = x3 +2x 3 x 2 4x +3.
Matematica e statistica 23 febbraio 2012 Compito B Cognome e nome Matricola Parte I Esercizio 1 L indice di massa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra massa, espressa in Kg, e altezza, espressa in m, al quadrato. Sapendo che Mario ha massa 83 ± 4 Kg ed è alto 1.90 ± 0.04 m, determinare valore stimato, errore assoluto ed errore relativo del suo IMC. Esercizio 2 Nel Gennaio 2011 sono state immatricolate 30 125 moto, con una diminuzione del 3.6% rispetto allo stesso mese dell anno precedente. Quante moto sono state immatricolate nel Gennaio 2010? Esercizio 3 Scrivi l espressione esplicita di una funzione f : R R continua, strettamente crescente e tale che lim f(x) =2, lim x f(x) =5. x + Esercizio 4 L isotopo Na 24 del Sodio ha un tempo di dimezzamento di circa 15 ore. Questo vuol dire che se la massa iniziale era di 15 g, dopo t ore la massa rimanente è data da m(t) =15 2 t/15. Calcolare la velocità di variazione della massa, e determinare sia la massa sia la velocità dopo 24 ore. Esercizio 5 Determinare il dominio di definizione e la derivata delle seguenti funzioni: i) f(x) = ( x +3 ) 4 x 2 ii) f(x) =log 3 iii) f(x) =x e (x 1) x 2
Esercizio 6 Nella figura sottostante è riportato il grafico di una funzione sinusoidale. Scrivere l espressione analitica della funzione in base all ampiezza, valore medio, periodo e fase.
Parte II Esercizio 1 Calcolare le primitive della funzione f(x) =sinx log(1 + cos x). Esercizio 2 Il colore del manto di una specie di lemuri è determinata geneticamente da un gene con due possibili alleli: l allele M dominante del manto marrone, e l allele b recessivo del manto bianco. La popolazione dei lerumi che si sta studiando soddisfa le ipotesi della legge di Hardy-Weinberg, e sapiamo che il 30% degli alleli nella popolazione sono M, e il 70% sono b. (1) Calcolare la probabilità di tutti i genotipi e di tutti i fenotipi. (2) Qual è la probabilità che un lemure preso a caso nella popolazione abbia il manto marrone sapendo che il padre ha il manto marrone e la madre bianco? (3) Qual è la probabilità che un lemure preso a caso nella popolazione abbia il manto marrone sapendo che entrambi i genitori hanno il manto bianco? Suggerimento: Indicando con p Mb,p MM e p bb le probabilità dei genotipi Mb, MM e bb rispettivamente, si può utilizzare il seguente schema in cui le colonne corrispondono al genotipo del padre, le righe a quello della madre e le caselle centrali contengono le probabilità di trovare un figlio con genotipo indicato: MM : p MM Mb : p Mb bb : p bb MM : p 2 MM MM :1/2p MM p Mb MM :0 MM : p MM Mb :0 Mb :1/2p MM p Mb Mb : p MM p bb bb :0 bb :0 bb :0 MM :1/2 p MM p Mb MM :1/4 p 2 Mb MM :0 Mb : p Mb Mb :1/2p MM p Mb Mb :1/2p 2 Mb Mb :1/2p Mb p bb bb :0 bb :1/4p 2 Mb bb :1/2p Mb p bb MM :0 MM :0 MM :0 bb : p bb Mb : p MM p bb Mb :1/2 p Mb p bb Mb :0 bb :0 bb :1/2 p Mb p bb bb : p 2 bb Esercizio 3 Studiando la crescita di una popolazione di trote in un allevamento, si giunge alla conclusione che il numero N di individui varia nel tempo (misurato in mesi) secondo la funzione N(t) =80 2t 1 2 t +1 + 160.
Tenendo presente che l allevamento è sovraffollato quando contiene 220 trote, c è il rischio che l allevamento divenga sovraffollato? Se sì, dopo quanto tempo? Esercizio 4 Determinare le singolarità della seguente funzione razionale e calcolare i limiti per x che tende alle singolarità da destra e da sinistra, e per x che tende a ± : f(x) = x3 5x +10 x 2 5x +6.