Ottimizzazione e Controllo 2015/2016 ESERCITAZIONE

Ottimizzazione e Controllo 2015/2016 ESERCITAZIONE Esercizio 1. Sono dati 6 job da processare su un centro di lavorazione automatizzato che può eseguire una sola lavorazione alla volta. Di ciascun job J i sono riportati in tabella il tempo di processamento p i, la due date (tempo di consegna) d i e la release date (tempo di rilascio, ovvero il tempo minimo a partire dal quale è possibile iniziare la lavorazione del job) r i. Job J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 6 p i 2 3 5 3 3 4 d i 3 6 9 7 11 7 r i 1 0 0 0 2 2 Il sequenziamento delle lavorazioni segue una regola costruttiva che prescrive di schedulare prima i job con due date minore tra quelli già rilasciati. Si chiede di applicare l euristica costruttiva al caso proposto e determinare la tardiness totale corrispondente (definita come la somma della tardiness T i di ciascun job, ove T i = max(0; c i d i ), essendo c i il tempo di completamento del job). Proporre e descrivere in dettaglio un algoritmo euristico migliorativo con riferimento alla funzione obiettivo considerata. Esercizio 2. Studiando il comportamento resistivo di un nuovo materiale, un tesista sottopone un campione del materiale a una differenza di potenziale x, e misura la corrente y da cui viene attraversato. In cinque esperimenti, egli ha ottenuto i valori riportati nella tabella sottostante. Secondo le conoscenze del tesista, la dipendenza tra tensione (x) e corrente (y) può essere espressa nella forma y = f(x) = ax3+bx2+cx+d. Il problema è quello di determinare i parametri tali da minimizzare la somma degli scarti in valore assoluto dei punti che rappresentano i risultati degli esperimenti rispetto ai corrispondenti punti sulla curva f(x). Si chiede di formulare il problema come PL. Differenza di potenziale (V) Corrente (A) 1 0,23 2 0,45 3 0,79 4 1,25 5 1,85 Esercizio 3. La Sorgele produce batterie elettriche di tre tipi (Alfa, Beta e Gamma). Per due di esse (Beta e Gamma) utilizza del rame. Per coprire la produzione del prossimo mese, può acquistare il rame al prezzo di 5 euro/kg. Il fornitore però non può fornire più di 4000 kg di rame. Nella tabella sottostante sono indicate: la quantità di rame richiesta per produrre una scatola di ciascuna batteria, i costi di manodopera (per scatola prodotta) e prezzi di vendita al pubblico (per scatola). I tre tipi di batteria devono essere prodotti in quantità tali che il numero di scatole di batterie Alfa sia almeno doppio del numero di scatole di Beta e non superiore al numero di scatole di Gamma. Formulare come PLI il problema di pianificare la produzione della Sorgele in modo ottimo. Rame (kg per scatola) Costi di manodopera Prezzo di vendita Alfa - 12 25 Beta 1 6 20 Gamma 2 4 30

Esercizio Materiale 4. Per ad lo uso sviluppo esclusivo di degli un studenti software del corso commerciale di Ottimizzazione si vuole e Controllo implementare del Politecnico una di Bari versione - a.a. 2015/2016 dell algoritmo del Branch & Bound per la PLI che: 1. quando il problema ammette soluzioni, sia in grado di fornire una soluzione con un errore massimo garantito del 3% dal valore ottimo della funzione obiettivo. 2. si arresti non appena viene individuata una soluzione che soddisfi il requisito imposto al punto 1. Si descriva come si può implementare la versione richiesta del Branch & Bound per la PLI. Esercizio 5. Formulare le seguenti condizioni logiche su variabili binarie attraverso vincoli lineari: 1) x3 = x1 OR x2; 2) x3 = x1 AND x2; 3) x3 = NOT x2. Esercizio 6. State progettando un algoritmo esatto per un problema di PLI binaria e avete necessità di stimare quale è il numero massimo di nodi che l algoritmo di Branch & Bound può riuscire ad esplorare in 10.000 secondi (circa 2:45 ore). Inoltre, vi viene chiesto di indicare la dimensione massima, in termini di numero di variabili, dell istanza di programmazione lineare binaria che può essere risolta in tale tempo nel caso in cui il Branch & Bound debba generare un albero di ricerca completo. Potete supporre di avere a disposizione un calcolatore da 10 teraflops (flops = floating point operations per second) e che il calcolatore sia capace di eseguire e risolvere i problemi rilassati ad ogni nodo in sole 100 operazioni di tipo floating point. (Approssimare per semplicità 2 10 con il valore 1000). Esercizio 7. Una società di ingegneria deve progettare una rete di gasdotti che consenta, a partire da un terminale T, di rifornire 5 città (pertanto ciascuna di esse dovrà essere collegata al terminale direttamente o indirettamente). I tratti di impianto realizzabili sono indicati in tabella con i relativi costi di costruzione (in Meuro). La società vuole costruire unicamente i tratti di gasdotto di minimo costo totale garantendo il rifornimento a tutte le città. Costruire la rete relativa ai potenziali tratti di gasdotto e formulare il problema di ottimizzazione. Da A Costo (Meuro) Terminale Bari 2 Terminale Foggia 7 Terminale Lecce 8 Bari Foggia 5 Bari Lecce 6 Foggia Taranto 8 Foggia Barletta 6 Foggia Lecce 10 Taranto Barletta 9 Taranto Lecce 6 Barletta Lecce 9 Esercizio 8. Una fonderia utilizza quattro tipi di materiale grezzo, per ottenere un prodotto finale. Ciascun materiale ha un diverso contenuto di alluminio, silicio e carbonio. La tabella che segue riporta la composizione di ciascun materiale (espresso in percentuale sul peso totale), insieme al costo unitario. Il prodotto finale deve avere un contenuto percentuale di alluminio di almeno il 3% e non superiore all'8%; un contenuto di silicio tra il 4% e il 5%; di carbonio non superiore al 5%. Formulare come PL il problema di pianificare la produzione di questa fonderia minimizzando i costi. % alluminio % silicio % carbonio Costo al kg Materiale 1 3 4 6 680 Materiale 2 5 4 5 750 Materiale 3 1 2.5 4 450 Materiale 4 4 5 7 870

Esercizio 9. Dato il seguente problema PLI di programmazione lineare intera, PLI: max z = x1 +2x2 7x1 +5x2 35 3x1 +5x2 10 x1; x2 0 x1; x2 interi verificare graficamente se la regione ammissibile del rilassamento continuo di PLI è non vuota e limitata e, in caso positivo, indicare l insieme ammissibile per PLI e determinare la formulazione ideale per il problema Esercizio 10. Il Politecnico deve decidere il numero di posti da mettere a concorso per l'assunzione di nuovi ricercatori di primo, secondo e terzo livello. Si prevede di poter spendere annualmente, per la retribuzione dei nuovi ricercatori, una quota massima pari a tre milioni di euro. Il costo annuo di retribuzione di un ricercatore di primo livello è pari a 40.000 euro, di un ricercatore di secondo livello è pari a 30.000 euro e di un ricercatore di terzo livello è pari a 25.000 euro. Per motivi legali, la spesa complessiva annuale da sostenere per assumere i nuovi ricercatori di secondo livello non può superare l'80% della spesa complessiva annuale sostenuta per assumere i nuovi ricercatori di primo livello; inoltre il numero di ricercatori di secondo livello da assumere deve essere almeno il doppio del numero dei nuovi ricercatori di terzo livello. Infine il bando di concorso può essere emanato solo se, per ogni livello, vengono assunti almeno 6 ricercatori. Formulare il problema attraverso un modello di ottimizzazione, con l'obiettivo di massimizzare il numero complessivo di nuovi ricercatori da assumere. Esercizio 11. Risolvere graficamente i seguenti problemi di programmazione lineare: a) max z = x1 +x2 x1 x2 0 x2 1 x1, x2 0 b) min z = x1 +x2 x1 x2 0 x2 1 x1, x2 0 Esercizio 12. La Regina di Quadri S.p.A. (RDQ) produce quattro tipi di cornici metalliche per quadri per il mercato USA, che indichiamo con C1, C2, C3 e C4. Le quattro cornici differiscono per dimensioni, forma e materiali usati. Ciascun tipo richiede una certa quantità di lavoro specializzato, di metallo e di vetro, come riportato in tabella. Lavoro Specializzato Metallo (once) Vetro (once) Profitto ($) (ore) C1 2 4 6 6 C2 1 2 2 2 C3 3 1 1 4 C4 2 2 2 3 La tabella riporta anche il profitto che RDQ ottiene per ciascun modello. Il profitto è determinato dalla differenza fra il prezzo di vendita e i costi sostenuti per il materiale e la manodopera. Per ogni settimana RDQ ha una disponibilità di 4000 ore di lavoro specializzato, 6000 once di metallo e 10000 once di vetro (tutto dello stesso spessore). La struttura del mercato e i limiti del settore distribuzione dell azienda rendono impossibile vendere in una settimana più di 1000 esemplari di C1, 2000 di C2, 500 di C3 e 1000 di C4. La RDQ vuole massimizzare il suo profitto settimanale. Formulare il problema come PL.

Esercizio Materiale 13. Descrivere ad uso esclusivo il problema degli studenti di ottimizzazione del corso di Ottimizzazione noto come e Controllo problema del Politecnico di Knapsack di Bari - Binario, a.a. 2015/2016 fornire per esso una formulazione di PLI. Descrivere in dettaglio una euristica costruttiva per la sua soluzione. Esercizio 14. Dato il seguente modello di programmazione lineare min z = 5 X1 + 2 X2 2 X1 + 4 X2 10 20 X1 17 X2 4 X1 0 X2 0 risolvere con il metodo Branch and Bound il problema descritto nel caso in cui siano presenti vincoli di interezza sulle variabili X1 e X2. Esercizio 15. Uno studente -per la sua tesina- vuole risolvere un problema di knapsack binario in modo esatto attraverso uno schema di Branch & Bound. Non avendo a disposizione un solver di PL, intende comunque risolvere il suo problema caratterizzato da una capacità pari a 100 e dai seguenti dati: Oggetto 1 2 3 4 6 7 8 9 Peso 15 23 21 20 12 9 10 11 Valore 52 42 36 75 32 12 32 41 Esercizio 16. Dato il seguente modello di programmazione lineare: a) determinare la soluzione ottima per via grafica; b) risolvere, con il metodo Branch and Bound, il problema proposto nel caso in cui sia presente un vincolo di interezza aggiuntivo sulla variabile X1; c) proporre e descrivere un euristica di tipo migliorativo per il problema descritto al punto b). min z = 5 X1 + 2 X2 2 X1 + 5 X2 10 21 X1 17 X2 4 X1 0 X2 0 Domanda A: Illustrare l utilità dell impiego di un algoritmo euristico all interno di uno schema di Branch and bound per la PLI. Domanda B: Definire il problema del commesso viaggiatore. Domanda C: Definire il concetto di ottimo locale per un problema di programmazione matematica. Domanda D: Definire il concetto di metauristica. Domanda E: Definire il problema di scheduling per una macchina in ambito manifatturiero. Domanda F: Illustrare l impiego di Lower e Upper Bounds all interno di uno schema di Branch and Bound per un problema di programmazione lineare intera mista di minimizzazione. Domanda G: Illustrare l impiego di una cooling schedule all interno della tecnica nota come Simulated Annealing. Domanda H: Spiegare cosa si intende per algoritmo di ottimizzazione combinatoria di tipo euristico e cosa invece per algoritmo approssimato.

Quesito 1. Nella tecnica Simulated Annealing, un valore del parametro temperatura molto alto: a) determina l arresto della procedura; Vero Falso b) porta a comportamenti random nella ricerca; Vero Falso c) permette sempre di ottenere soluzioni migliori; Vero Falso Quesito 2. Un Upper Bound per un problema di minimizzazione: a) è una stima per difetto del valore della soluzione ottima; Vero Falso b) è un algoritmo esatto che individua la soluzione; Vero Falso c) è dato dal valore di una qualunque soluzione ammissibile; Vero Falso Quesito 3. Il rilassamento lineare per un problema di minimizzazione di PLI: a) può avere una soluzione ottima di valore minore di quella del problema originario Vero Falso b) ha un numero di vincoli maggiore rispetto al problema originario; Vero Falso c) ha una funzione obiettivo diversa da quella del problema originario; Vero Falso Quesito 4. L algoritmo branch and bound per la PLI: a) E un metodo euristico. Vero Falso b) Ha complessità polinomiale nelle dimensioni dell input. Vero Falso c) Termina in un numero finito di passi. Vero Falso Quesito 5. La soluzione ottima per un problema di PL a) Esiste sempre. Vero Falso b) Se esiste è unica. Vero Falso c) E contenuta in un poliedro convesso. Vero Falso