Dipartimento di Matematica tel. 011 0907503 stefano.berrone@polito.it http://calvino.polito.it/~sberrone Laboratorio di modellazione e progettazione materiali
Trovare il valore x R tale che f (x) = 0, f : R R Soluzioni (i valori di x per cui f (x) = 0) sono dette zeri o radici. Quante soluzioni? 1 0 (x 2 + 1 = 0) 2 1 (2x + 3 = 0) 3 1 con molteplicità m = 2 (x 2 4x + 4 = (x 2) 2 = 0) 4 2 (x 2 5x + 6 = 0) 5 ( 1 x + sin(x) = 0) 6...
In generale non esiste una formula risolutiva non esistono metodi diretti ma solo iterativi Avremo due aspetti da analizzare: 1 Convergenza si/no 2 Velocità di convergenza (quando il metodo converge)
Il caso non lineare presenta diverse criticità rispetto al caso lineare Lineare 1 Convergenza non dipende da scelta x 0 2 Se metodo converge, limite è sicuramente soluzione (consistenza) Non lineare 1 Convergenza dipende in modo critico da scelta x 0 2 Metodi possono convergere a punti che non sono le soluzioni cercate (es. se ho più soluzioni e voglio approssimarne una in particolare)
Qualunque metodo si intenda applicare, sarà sempre necessario effettuare uno studio preliminare della funzione in modo da localizzare le eventuali radici, i.e. determinare un intervallo (possibilmente piccolo) che contenga una e una sola radice (sperabilmente quella che vogliamo approssimare).
Teorema (esistenza degli zeri per funzioni continue) Se f C[a, b] e f (a)f (b) < 0, c (a, b) t.c. f (c) = 0 In realtà posso solo dire che esistono in (a, b) un numero dispari di radici. Su questo teorema si basa il semplicissimo metodo di bisezione. Sia [a, b] l intervallo in cui si è isolata la radice x e m = a+b 2. Ho due possibilità (escludendo il caso fortuito f (m) = 0) Se f (m) è discorde con f (a), x [a, m] Se f (m) è discorde con f (b), x [m, b] In entrambi i casi, ovviamente x continua ad essere l unica radice nel nuovo intervallo di ampiezza dimezzata. E procedo iterativamente dimezzando ad ogni passo l ampiezza dell intervallo...
1 Dato [a 0, b 0 ]; x 0 = a 0+b 0 2 2 Per k = 0, 1, 2,..., k max 1 Se f (a k )f (x k ) < 0 poni a k+1 = a k, b k+1 = x k, altrimenti poni a k+1 = x k, b k+1 = b k 2 Poni x k+1 = a k+1+b k+1 2 (approx corrente della soluzione) Errore? x k è il punto medio dell intervallo corrente [a k, b k ] e k = x k x b k a k 2 = b k 1 a k 1 4 =... = b 0 a 0 2 k+1 Quindi lim k e k = 0 indipendentemente dall intervallo iniziale [a 0, b 0 ]. Definizione Il metodo di bisezione è globalmente convergente, poichè la convergenza è sempre garantita, qualunque sia la stima iniziale della soluzione.
Stima dell errore Premessa Supponiamo di voler garantire un errore assoluto inferiore ad una certa tolleranza ɛ. Nel metodo di bisezione è possibile stabilire il numero massimo di iterazioni necessarie a soddisfare tale richiesta. Infatti se garantiamo b 0 a 0 2 k+1 < ɛ i.e. k + 1 log 2 ( b 0 a 0 ) ɛ avremo sicuramente anche e k ɛ.
Velocità di convergenza Definizione Sia {x k } una successione convergente a un limite x. Sia e k = x k x. Se esistono p 1 e una costante c > 0 (c < 1 se p = 1) tale che e k+1 lim k e p = c k (i.e. asintoticamente e k+1 = O(e p k )) allora si dice che la successione converge con ordine p. 1 p = 1 convergenza lineare 2 p = 2 convergenza quadratica 3 1 < p < 2 convergenza superlineare
Osservazione Se c è convergenza lineare, lim k e k+1 /e k < 1. Quindi (teorema della permanenza del segno) asintoticamente l errore deve diminuire in modo monotono (e k+1 < e k ). non garantisce decrescita monotona dell errore velocità di convergenza meno che lineare! (sublineare) Metodo bisezione quindi globalmente convergente ma molto lento Sfrutta solo il segno della funzione.
o delle tangenti Il metodo di Newton sfrutta informazioni sia sul valore di f (x) che di f (x) Sia x k la stima corrente della soluzione di f (x) = 0 Approssimiamo localmente f con la retta tangente passante per il punto (x k, f (x k )): r k (x) = f (x k ) + f (x k )(x x k ) e prendiamo lo zero di tale retta come approssimazione dello zero della funzione
x k+1 t.c. r k (x k+1 ) = 0: f (x k ) + f (x k )(x k+1 x k ) = 0 x k+1 = x k f (x k) f, k = 0, 1,... (x k ) Richiede ad ogni passo f (x k ) e f (x k ) Se f (x k ) = 0 per qualche k il procedimento si blocca
Velocità di convergenza Teorema Sia f C 2 in un intorno della soluzione x. Se la successione {x k } generata dal metodo di Newton converge a x e f (x ) 0, allora l ordine di convergenza è almeno 2, p 2. (Abbiamo p = 2 se f (x ) 0, altrimenti p > 2) Richiede ad ogni passo f (x k ) e f (x k ) Se f (x k ) = 0 per qualche k il procedimento si blocca
È un procedimento globalmente convergente? Esempio f (x) = arctan(x) Banalmente la soluzione è x = 0 Applichiamo il metodo di Newton con tre stime iniziali diverse: x 0 = 1, x 0 = 1.3917, x 0 = 1.46 Apparentemente tutte e tre ragionevolmente vicine alla soluzione esatta.
x 0 = 1
x 0 = 1.3917
x 0 = 1.46
Teorema Sia f C 2 [a, b] chiuso e limitato. Se: 1 f (a)f (b) < 0 2 f (x) > 0 x [a, b] o f (x) < 0 x [a, b] (non si azzera mai in [a, b]) 3 f (x) 0 x [a, b] o f (x) 0 x [a, b] (non cambia segno in [a, b]) 4 f (a) < b a e f (b) < b a f (a) f (b) allora f (x) = 0 ha un unica radice x in [a, b] e il metodo di Newton converge a x x 0 [a, b].
Teorema (Teorema degli estremi di Fourier) Sia f C 2 [a, b] chiuso e limitato. Se: 1 f (a)f (b) < 0 2 f (x) 0 x [a, b] allora la radice x [a, b] esiste ed e unica, inoltre se 4 f (x) 0 x [a, b] 5 f (x 0 )f (x 0 ) > 0 x 0 [a, b] allora il metodo di Newton converge a x.