Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione. Consegnare SOLO la bella copia, con le risposte riportate nel giusto ordine. Ex 5 pti. Una specie vive in 3 distinte regioni, A, B, C. Indicando con x, x, x 3 rispettivamente la numerositá della popolazione nelle 3 regioni A, B, C, si assuma che solo nella regione A la specie prolifica, con un tasso di natalitá pari ad h > (cioé la velocitá di crescita della popolazione é direttamente proporzionale alla popolazione stessa, secondo un coefficiente di proporzionalitá h) la regione A non offre tanto cibo, pertanto ci sono dei flussi da A a B e da A a C, entrambi caratterizzati dalla stessa costante di proporzionalitá h la regione B é la piú accogliente, infatti in essa entrano flussi sia dall esterno, sia dalla regione C (oltre che dalla regione A), tuttavia c e anche un flusso uscente verso C, in quanto B tende a riempirsi troppo e quindi a scoppiare. Tutti i flussi, eccetto quello da C a B, sono caratterizzati dalla solita costante h di proporzionalitá il flusso che proviene dall esterno é associato all ingresso del sistema, u(t) (cioé hu(t) é il flusso entrante in B dall esterno) la regione C é scomoda (piccola), per cui la popolazione tende a scappare, originando un flusso verso B con costante di proporzionalitá h viene monitorata la sola quantitá x 3 (t), che rappresenta quindi l uscita del sistema Si scriva un modello a tempo continuo per descrivere la dinamica delle 3 popolazioni. Si calcoli y(t) con ingresso costante pari a u = 6 e stato iniziale x() = T Ex 4 pti. Dato il sistema compartimentale calcolare le matrici K, G corrispondenti individuare tutti gli (eventuali) sottosistemi chiusi, e la corrispondente molteplicitá di λ = (se presente) in assenza di ingresso, calcolare x(+ ), sapendo che x() = 5 5 3 3 T con x() = e con ingresso impulsivo u(t) = δ(t), calcolare x(+ ) Ex 3 5 pti. Dato il sistema 4 3 ẋ = F x, F = 3 4, P = 9, Q a = b, < a 9, b < b calcolando Q risolvendo l equazione di Lyapunov con la P assegnata, determinare per quali valori di a ( < a 9) si puó dedurre la stabilitá asintotica del sistema calcolando P risolvendo l equazione di Lyapunov con la Q assegnata, si verifichi per quali valori di b ( b < ) si puó dedurre la stabilitá asintotica del sistema
si discuta perché quanto trovato ai precedenti punti e é in completo accordo con la teoria nota Ex 4 4 pt.. E dato il modello schematizzato in figura, dove i valori posti in corrispondenza alle frecce indicano i coefficienti frazionari di trasferimento e x, x, x 3 sono le quantitá di sostanza nei tre compartimenti. Le condizioni iniziali sono nulle e l ingresso pari a δ(t). Discutere l identificabilitá a priori del modello, rispetto ai parametri incogniti a, b, c nei seguenti casi: tutti i parametri sono non negativi. a = e b, c non negativi. b = e a, c non negativi. c = e a, b non negativi. Ex 5 4 pti. Dato il sistema continuo α ẋ = F x + Gu, F = α 4, G =, u = β; α, β R 5 4 Trovare una matrice, T, di cambio base di Jordan per la matrice modale F. Elencare i modi del sistema e studiare la stabilitá al variare del parametro reale α. Discutere e calcolare, al variare di α e β, gli equilibri del sistema. Ex 6 6 pti Sono date le n variabili aleatorie y = θ θ + e, y i = θ + e i per i =,..., n dove θ = θ θ é un vettore incognito mentre le e i sono Gaussiane, indipendenti, a media nulla e varianza unitaria, ovvero e i N (, ). Ricavare un limite inferiore per l errore quadratico medio (MSE) di ogni stimatore unbiased di θ costruito utilizzando {y i } n i=. Ricavare lo stimatore ˆθ ML a massima verosimiglianza (ML) di θ in funzione delle y i. Discutere il comportamento asintotico di ˆθ ML, collegando il risultato anche al comportamento asintotico (n ) dell MSE ricavato precedentemente. Ex 7 5 pti Si considerino le variabili aleatorie: y = θ + θ e + e, y = θ + e 3 dove le e i sono Gaussiane, indipendenti, a media nulla e varianza i, ovvero e i N (, i). Si ricavi lo stimatore ˆθ ML a massima verosimiglianza (ML) di θ in funzione delle y i e si discuta l efficienza. Si descriva la distribuzione di probabilitá dello stimatore ˆθ ML. Si ricavi un intervallo di confidenza per θ al 95% (η).
Soluzione EX. Si ha poi Abbiamo facilmente un modello lineare descritto dalle matrici h F = h h h, G = h, H = h h h Y (s) = H(sI F ) x() + H(sI F ) GU(s) che, vista la struttura triangolare a blocchi di F e la struttura di G, H, x(), riduce al calcolo di s + h h s + h h h 6 Y (s) = + h s + h h s + h s = s + 3h + h s che antitrasformata porge y(t) = e 3ht + ht. Soluzione EX. Si ha K K = K, K = K 3 3, K =, K 3 =, G = 3 L analisi del grafo dimostra che (,, 3) e (5, 6) sono chiusi minimali, e che c é un ulteriore chiuso, quello massimale (,, 3, 5, 6). Infatti solo il nodo x 4 ha flussi diretti od indiretti verso l esterno. Quindi λ = ha ν =. Poiché non ci sono flussi entranti, oltre che uscenti, verso i chiusi minimali, si ha che x (t) + x (t) + x 3 (t) rimane costante e pari a x () + x () + x 3 () =, che implica anche x (+ ) + x (+ ) + x 3 (+ ) =. Analogamente x 5 (+ ) + x 6 (+ ) = x 5 () + x 6 () = 6, ed infine x 4 (+ ) = (si svuota asintoticamente). I punti di equilibrio sono paralleli a 6 3 T e T, rispettivamente, nei chiusi minimali, quindi x(+ ) = 6 3 4 T. Infine, l ingresso impulsivo rende x ( + ) =, mentre tutti gli altri stati rimangono nulli, dopo di che si prosegue in evoluzione libera, da cui, ragionando come poco fa, x(+ ) = 6 3 T. Soluzione EX 3. Calcolando Q = (F T 7 3(a 9) P + P F ) = 3(a 9) 8a det Q = 9(a )(a 8) > se e solo se < a < 8 Quindi, per Sylvester, Q > se e solo se < a 9, mentre é Q se a =, e Q é indefinita se < a <. Nel primo caso si ha stabilitá asintotica, nel terzo non si puó concludere nulla, nel secondo bisogna ricorrere a Krasowskii. Se a =, ker Q é parallelo a 3 T (e quindi ortogonale a 3 T ). Assumendo quindi 3 T x(t) = 3 T ẋ(t) = 3 T F x(t) = 9 3 T x(t) = 3 3 x(t) = x(t) = essendo invertibile 9 3 9 3 Quindi x(t) N implica x(t) =, e Krasowkii implica la stabilitá asintotica. Quindi solo se a 9 si puó dedurre la stabilitá asintotica. Risolvendo invece Lyapunov con Q >, si trova 5 b 6b P = det P 6b 5 + b = 65 4b > 5 >, 5 b > 3 > 3
che, per Sylvester, é sempre definita positiva. Quindi per ogni valore di b ( b < ) si puó dedurre la stabilitá asintotica. Tutto in accordo con la teoria: se F é asintoticamente stabile, Q > implica P >, ma il viceversa non é in generale vero! Soluzione EX 4. Scriviamo il modello in forma di stato, usando il principio di bilancio di massa: ẋ (t) ẋ (t) ẋ 3 (t) y(t) = ax (t) + x (t) bx (t) + u(t) = ax (t) x (t) = ax (t) cx 3 (t) + bx (t) = x (t) Il sistema risulta non lineare quindi, per studiare l identificabilitá a priori, utilizziamo la tecnica dell espansione tramite Taylor. Partendo da condizioni iniziali nulle x () = x () = x 3 () = ed ingresso u(t) = δ(t) abbiamo che x ( + ) =, x ( + ) =, x 3 ( + ) = y( + ) = x ( + ) = Non otteniamo alcuna informazione utile, procediamo quindi al calcolo della derivata prima: ẋ ( + ) ẋ ( + ) ẋ 3 ( + ) = ax ( + ) + x ( + ) bx (+ ) = a b = ax ( + ) x ( + ) = a = ax ( + ) cx 3 ( + ) + bx (+ ) = a + b ẏ( + ) = ẋ ( + ) = a a = ẏ( + ) La derivata prima permette quindi di identificare il parametro a. Proseguendo con la derivata seconda: ẍ ( + ) = aẋ ( + ) + ẋ ( + ) bx ( + )ẋ ( + ) = 4a + 6ab + a + b ẍ ( + ) = aẋ ( + ) ẋ ( + ) = a ab a ẍ 3 ( + ) = aẋ ( + ) cẋ 3 ( + ) + bx ( + )ẋ ( + ) = a 5ab ac bc b ÿ( + ) = ẍ ( + ) = a ab a = ẏ ( + ) ẏ( + )b ẏ( + ) b = ÿ(+ )+ẏ ( + )+ẏ( + ) ẏ( + ) Quindi con la derivata prima e seconda si identificano globalmente i parametri a e b. Tuttavia si osserva che non é possibile identificare c. Quindi per il primo punto (a, b, c ) il modello é non identificabile. Per quanto riguarda il secondo punto (a =, b, c ) si osserva che l equazione del compartimento si riduce a ẋ (t) = x (t) che, a partire da condizioni iniziali nulle, dá sempre come risultato x (t) =. Conseguentemente, i parametri b e c non sono identificabili e quindi il modello risulta non identificabile. Per quanto concerne il terzo punto (b =, a, c ), dalla trattazione sviluppata per il punto, si evince che il parametro a é globalmente identificabile con la derivata prima, ma il parametro c non é identificabile. Di conseguenza il modello é non identificabile. Infine, per quanto riguarda il quarto punto (c =, a, b ) come argomentato nel primo punto i parametri a e b sono globalmente identificabili e in questo caso sono gli unici parametri da identificare. Il modello risulta identificabile. Soluzione EX 5. Riguardo al primo osserviamo che la matrice F é diagonale a blocchi α F = α 4 = F F 5 4 4
Esisterá quindi un cambio di base T in forma di Jordan, partizionato in modo conforme ad F : T T =, T T = T T tale che F J = T T F T = F T F J T F = T F J Trattiamo quindi separatamente le sottomatrici F ed F. Per quanto concerne F possiamo notare che risulta giá in forma di Jordan quindi la corrispondente sottomatrice di cambio base risulta semplicemente: T = T = I = Per quanto riguarda la sottomatrice F, notando che é triangolare inferiore possiede l unico autovalore λ = 4 con molteplicitá algebrica ν =. L autospazio di F risulta ker(f λi) =< > avente una base B = v = con v scelto nell autospazio. Notiamo che la molteplicitá geometrica g = dim(ker(f λi)) = < = ν. E necessario quindi procedere al calcolo di ker(f λi) = R. Costruiamo quindi una base per il ker di potenza massima, estendendo la base B : B = B v, con v ker(f λi) ma linearmente indipendente da v. Scegliamo v =. Ora ci possiamo fermare con la catena di inclusione dei kernel, dato che la dimensione del kernel di potenza coincide con la molteplicitá algebrica dell autovalore. Data la base, B, della catena di inclusione dei kernel, costruiamo la catena generalizzata di Jordan. Notiamo che v ker(f λi) v / ker(f λi). Costruiamo dunque il vettore generalizzato: ω (F λi) v = ker(f 5 λi) La catena generalizzata di Jordan risulta quindi: {ω, v } (nell ordine!). Di conseguenza la sottomatrice di cambio base per F risulta: T = ω v =, T 5 = 5 F in forma di Jordan risulta: F J = T F T = 4 4 La matrice di cambio base T risulta quindi: T = 5 Per quanto concerne il secondo punto calcoliamo l esponenziale della matrice modale in forma di Jordan: α e αt t e αt F J = α 4 ef J t = e αt e 4t t e 4t 4 e 4t 5
Di conseguenza i modi del sistema risultano: {e αt, t e αt, e 4t, t e 4t }. In particolare il sistema risulta instabile a prescindere dal valore assunto dal parametro reale α (per la presenza dell autovalore instabile λ = 4). Per quanto riguarda il terzo punto discutiamo innanzitutto la presenza dei punti di equilibrio: Se F! x eq. Se F possiamo avere due casi: infiniti x eq se il sistema lineare F x = Gu ammette soluzione. x eq se il sistema lineare F x = Gu non ammette alcuna soluzione. Per valutare l invertibilitá di F basta valutarne il determinante, infatti F se det(f ). Osserviamo che essendo la matrice modale F partizionata a blocchi si avrá: det(f ) = det(f ) det(f ). Quindi det(f ) det(f ) det(f ). E immediato vedere che det(f ) = 6 e che det(f ) = α. Di conseguenza det(f ) se α. Trattiamo dunque i due casi: Caso α. In questo caso det(f ) F Esiste dunque un unico punto di equilibrio: β α x eq = F Gu = Caso α =. In questo caso det(f ) =. Procedendo alla soluzione del sistema lineare F x = Gu si ottiene λ x eq = β con β fissato (é l ingresso supposto costante pari a β) e con λ R. Quindi esistono infiniti punti di equilibrio appartenenti allo spazio vettoriale affine: x eq < > + β. Soluzione EX 6. Riguardo al primo punto, la meno log-verosimiglianza é l θ = (θ θ y ) + n (θ y i ) + K dove K é una costante che non dipende da θ. Dopo semplici conti si ottiene da cui l θ θ = θ θ y θ + (n )θ l θ θ = θ + n, l θ θ i= = θ, 6 n y i, i= l θ θ = θ θ y θ, l θ θ θ = θ θ y.
Poiché E θ y = θ θ, la matrice di Fisher risulta: E θ θ l θ = ( θ + n θ θ θ θ θ ). La somma degli elementi diagonali dell inversa di questa matrice fornisce l MSE richiesto. Dopo semplici calcoli si ottiene: MSE θ = θ + θ + n (n )θ. Riguardo al secondo punto, si possono sfruttare i conti precedenti. Uguagliando a zero le derivate parziali di l θ si ottengono le stime ML: n ˆθ ML i= = y i n, = y (n ) n i= y. i ˆθML Queste equazioni definiscono il minimo globale di l θ poiché la funzione diverge a + se una delle componenti di θ tende a. Riguardo all ultimo punto, é immediato vedere che lo stimatore ˆθ ML é unbiased ed ha varianza /n che quindi tende a zero se n + (ˆθ ML coincide con la variabile aleatoria media campionaria e converge in probabilitá a θ ). Non vi é invece sufficiente informazione per ricostruire perfettamente (in probabilitá) θ. Infatti, asintoticamente, per ricostruire θ si ha a disposizione solo y con θ noto. Quindi, in probabilitá, se n +, ˆθ ML tende alla variabile aleatoria y θ di media θ e varianza. Ne consegue che, per n, θ l MSEˆθML diventa allineandosi all MSE θ θ ricavato prima. Soluzione EX 7. Riguardo al primo punto, il modello delle misure é equivalente al modello lineare Gaussiano: y = Φθ + v dove v N (, Σ) con Σ = ( 6 3 Per il teorema di Gauss-Markov, lo stimatore a massima verosimiglianza é quindi ˆθ ML = ( Φ T Σ Φ ) ( ) Φ T Σ y = y da cui ). ˆθ ML = y, ˆθML = y y. Ancora per il teorema di Gauss-Markov, lo stimatore ottenuto é efficiente. Riguardo al secondo punto, ˆθ ML é un vettore Gaussiano a media θ e covarianza ( Φ T Σ Φ ) ( ) 3 3 =. 3 9 Riguardo al terzo punto, dalla matrice di covarianza dell errore si ottiene subito come intervallo di confidenza y y 6, y y + 6. 7