II Esercitazione. Giulia Camponi Benaglia

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1 II Esercitazione Giulia Camponi Benaglia Esercitazione svolta con Alessandra Zanchi L esercitazione che andremo ad illustrare si basa sul dimensionamento di una struttura a telaio di un edificio generico che presenta una maglia regolare costituita da travi principali, travi secondarie e travi a sbalzo, elementi orizzontali che collaborano con i pilastri, elementi verticali. L edificio è costituito da 4 piani fuori terra. Il telaio è costituito da Nodi rigidi cioè da nodi in grado di ruotare mantenendo le aste sempre a 90 gradi tra loro, tuttavia per semplicità di calcolo, viene eseguita un' approssimazione dei modelli meccanici: Travi : ql²/8 - Doppiamente appoggiate Mensole: ql²/2 - Incastrate Pilastri: Compressi - Pilastrata Aggetto ( Mensola ) Trave Principale ( Trave Appoggiata ) Trave Secondaria ( Trave Appoggiata ) 1

2 2.00 m 6.00 m 6.00 m 6.00 m 6.00 m 2.00 m 4.00 m 4.00 m A infl 4.00 m IL CARICO DISTRIBUITO La Normativa fornisce delle combinazioni di carico prendendo in considerazione lo Stato Limite Ultimo SLU, caso limite che pone la struttura nel punto di collasso. Il carico distributio q, la cui unità di misura è kn/m² è costituito da qs carichi permanenti strutturali, qp carichi permanenti non strutturali e qa carichi accidentali che dipendono dalla destinazione d uso, in questo caso quella di un abitazione civile. Legno La prima tecnologia applicata alla pianta di carpenteria presentata è il legno: Il solaio presenta la seguente stratigrafia: 1. Pavimento in gres ceramico (s=20 mm) 2. Massetto alleggerito (s=40 mm) 3. Isolante acustico (s=30 mm) 4. Tavolato in legno di rovere (s= 30 mm) 5. Travetti in legno lamellare (10x20 cm) 2

3 i 1 mt qs CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI: ELEMENTO AREA PESO SP 1/ INTERASSE = Travetti 0.02 m² 7.2 kn/m³ 1/0.5 m = kn/ m² Tavolato 0.03 m² 6.87 kn/m³ 1/1 m = kn/ m² qs Tot =( ) = 0.5 kn/ m² qp CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI: ELEMENTO AREA PESO SP 1/ INTERASSE = Isolante = 0.03 kn/m² Massetto 0.04 m² 15.7 kn/m³ 1/1 m = kn/ m² 3

4 Pavimento= 0.40 kn/ m² Incidenza tramezzi= 1 kn/ m² Incidenza impianti= 0.5 kn/ m² qp Tot= ( ) = kn/ m² qs CARICHI ACCIDENTALI: Ambiente ad uso residenziale (NTC 2008) = 2 kn/ m² q Tot qs qp 1.5 +qa 1.5 ( ) + ( ) + (2 1.5)= kn/ m² q lineare q Tot interasse kn/m² 4 m= 30 kn/m DIMENSIONAMENTO TRAVE A SEZIONE RETTANGOLARE Il legno scelto per costituire la struttura è il legno lamellare GL 24 h, a cui corrisponde una classe di resistenza caratteristica a flessione fmk pari a 24, viene calcolata la tensione di progetto fd, moltiplicando fmk per kmod che corrisponde ad un coefficiente diminutivo che tiene conto dell effetto della durata del carico, il tutto diviso per γm il coefficiente parziale di sicurezza del materiale, in questo caso il legno lamellare ha un valore tabellato pari a 1.45 [Adim]. fd = k mod fmk / γm fd = ( / 1.45 ) = N/mm² DATI b, M max, fd b= 0.35 m = 350 mm 4

5 M max= ql²/8 M max= 30 kn/m x 6² m² / 8 = 135 kn m h min = M max 6 / b fd h min = ^6 N mm /350 mm N/mm² = mm = ing 0.50 m DIMENSIONAMENTO MENSOLA Per dimensionare la sezione della mensola allo SLU : M max = q l² /2 M max = 30 kn/m 2² m² /2 = 60 kn m h min = M max 6 / b fd h min = 60 10^6 N mm 6 / 350 mm N /mm² = 278 mm = ing 0.40 m VERIFICA A DEFORMABILITÀ Nell effettuare la verifica a deformabilità si controlla l abbassamento massimo dell elemento mensola. Tale procedimento si effettua allo Stato Limite d esercizio SLE, poichè spostamenti e deformazioni non devono essere tali da danneggiare la stratigrafia dei materiali in prossimità degli sbalzi. Il carico di progetto allo SLE è quindi minore. q e = (qs + qp + ψ qa) i m q e = (0.5 2) 4 m = kn/m v max = q e l^4 / 8EI v max = N/mm 2000^4 mm / N/mm² ^4 mm^4 v max = 2.17 mm = cm l / v max > cm / cm > > 250 V 5

6 DIMENSIONAMENTO PILASTRO Nell ambito di questa esrcitazione, il modello che viene utilizzato è quello della pilastrata, un pilastro continuo da terra a cielo che interseca diversi piani. Ad ogni pilastro viene attribuita un area d influenza. A infl = 6 4 = 24 m² Viene poi calcolato il peso proprio della struttura ( Tr principali e Tr secondarie) moltiplicando le rispettive sezioni per γ s, il peso specifico del legno lamellare. Il risultato è un peso unitario lineare [kn/m]: 6.00 m P = A sez γ s Ptp = ( ) m² 7.2 kn/m³ =1.26 kn/m Pts = ( ) m² 7.2 kn/m³ =1.01 kn/m 4.00 m A infl Il carico dovuto al peso proprio delle travi gravanti sul pilastro si ricava sommando i contributi di ogni trave, ottenuti moltiplicando il loro peso unitario kn/m per la loro lunghezza contenuta nell area di influenza del pilastro. Il risultato è un carico concentrato agente sul pilastro [kn]. q travi = 1.3 trave i L i = (1.3 Ptp Lp Pts Ls) q travi = ( ) + ( ) = 15 kn q solaio = (1.3 qs qp qa) A infl q solaio = kn/m² 24 m² = kn Lo sforzo Normale N di compressione è pari alla somma dei due contributi dati dalla struttura e dal solaio moltiplicati per il numero di piani n, il risultato è un carico concentrato sul pilastro [kn]: N = (q tr + q solaio) n N = ( ) kn 4 = kn 6

7 A questo punto è possibile procedere al dimensionamento del pilastro a partire dal massimo valore di snellezza λ max che può avere l'elemento e il minimo valore del raggio o giratore d'inerzia ρ min. λ max = π E / fcd [Adim] = ( N/mm² / N/mm² )= l 0 = β l = ( m ) = 300 cm 3.00 m ρ min = l 0 / λ max = ( 300 cm / 80.95) = 3.7 cm ρ min = 1/12 b > b= ρ min / 1/12 > b = ρ min 2 3 b = ρ min 2 3 = ( ) = 12.8 = ing 0.35 m h = A min / b = 588 cm² / 35 cm = 16.8 = ing 0.35 m Una volta trovate le due dimensioni della sezione b e h e scelta la sezione effettiva, è possibile ricavare l' Area di design A d e il Momento d'inerzia di design I d. FOGLI DI CALCOLO EXCEL Trave: Mensola: Pilastro: 7

8 Cls armato La seconda tecnologia applicata alla pianta di carpenteria presentata è il calcestruzzo armato. Viene calcolato il peso al m² di un solaio in laterocemento che presenta la seguente stratigrafia: qs 1. Pavimento in gres ceramico (s=20 mm) 2. Allettamento + Massetto (s= mm) 3. Isolante acustico (s=30 mm) 4. Soletta cls armato (s= 40 mm) 5. Travetto (120 x 200 mm) 6. Pignatta in laterizio (380 x 200 mm) 7. Intonaco (20 mm) CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI: ELEMENTO AREA PESO SP 1/ INTERASSE = Travetti ( ) m² 25 kn/m³ 1/0.5 m = 1.2 kn/ m² Soletta (0.04 1) m² 25 kn/m³ 1/1 m = 1 kn/ m² Pignatte ( ) m² 6 kn/m³ 1/0.5 m = kn/ m² qs Tot =( ) = 3.12 kn/m² 8

9 qp CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI: ELEMENTO AREA PESO SP 1/ INTERASSE = Pavimento in gres ceramico ( s=20 mm) = 0.40 kn/ m² Allettamento + Massetto (0.12 1)m² 20 kn/m³ 1/1 m = 2.40 kn/ m² Isolante Acustico (s=50 mm) = 0.03 kn/ m² Intonaco (0.02 1)m² 20 kn/m³ 1/1 m = 0.40 kn/ m² Incidenza tramezzi = 1 kn/ m² Incidenza impianti = 0.5 kn/ m² qp Tot = ( ) = 4.73 kn/m² qa CARICHI ACCIDENTALI: Ambiente ad uso residenziale (NTC 2008) = 2 kn/ m² q Tot qs qp 1.5 +qa 1.5 ( ) + ( ) + (2 1.5)= kn/ m² q lineare q Tot interasse kn/m² 4 m= kn/m DIMENSIONAMENTO TRAVE A SEZIONE RETTANGOLARE Acciaio : B450 C > fyd = N/mm² Cls : C28/35 > fcd = αcc fck / γ c = / 1.5 = N/mm² 9

10 DATI M Ed = kn m σ c = fcd = N /mm² σ s = fyd = N /mm² b = 0.40 m δ = 0.04 m a n z n z n / 3 C c hu H d - z n / 3 T s b zn = σ c / (σ c + σ s / n ) d = w d Med = C c (d - zn / 3 ) d = hu = α Med / b α = 1 / σ c/ 2 (1- w/3) w r = 2 / fcd (1- β/3) β w = σ c / (σ c + σ s / n ) β = fcd / (fcd + fyd / n ) w = β = N /mm² / (15.86 N /mm² N /mm² / 15) = 0.38 [Adim] α = r = 2 / N /mm² (1-0.38/3) 0.38 = 0.61 (1/ MPa)^1/2 d = / MPa ^6 N mm / 400 mm = mm > 0.56 m H = hu + δ = ( ) = 0.60 m 10

11 DIMENSIONAMENTO PILASTRO A infl = 6 4 = 24 m² Ltp = 6 m Lts = 4 m Peso proprio della struttura ( Tr principali e Tr secondarie) P = A sez γ s Ptp = 0.30 m² 25 kn/m³ =7.5 kn/m Carico dovuto al peso proprio delle travi gravanti sul pilastro q travi = 1.3 trave i L i = (1.3 Ptp Lp Pts Ls) q travi = ( ) + ( ) = 97.5 kn q solaio = (1.3 qs qp qa) A infl q solaio = kn/m² 24 m² = kn Sforzo Normale N di compressione N = (q tr + q solaio) n piani N = ( ) kn 4 = kn Area minima resistente allo Sforzo Normale A min = N / fcd A min = ^3 N / N/ mm² = 1102 cm² l = 1102 cm² = 33.2 cm VERIFICA AD INSTABILITÀ EULERIANA λ max = π E / fcd [Adim] λ max = ( N/mm² / N/mm² )=

12 l 0 = β l = ( m ) = 600 cm ρ min = l 0 / λ max = ( 600 cm / 80.95) = 5.25 cm 3.00 m ρ min = 1/12 b > b= ρ min / 1/12 > b = ρ min 2 3 b = ρ min 2 3 = ( ) = = ing 0.40 m h = A min / b = 1053 cm² / 40 cm = 26 = ing 0.40 m Area di design A d e Momento d'inerzia di design I d A d = b h = (40 40) = 1600 cm² I d = h b³ / 12 = (40 40³ / 12) = VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE Per verificare il pilastro a presso-flessione si impone che la tensione massima sia minore o uguale alla resistenza a compressione del calcestruzzo: fcd. σ max fcd σ max = N/A + M t /W max fcd La tensione massima σ max viene calcolata in funzione di N ( Sforzo Normale precedentemente calcolato) e M tp (Valore del momento in testa al pilastro e nell'estremo della trave). M tp = q t L tp² / 12 M tp = kn/m 6² m² / 12 = kn m Infine viene calcolato il modulo di resistenza a flessione W max che per sezioni rettangolari equivale a: 12

13 W max = b h² / 6 W max = 40 cm 40 ² cm ² / 6 = cm³ A questo punto sostituendo i valori trovati è possibile verificare la sezione a presso-flessione: σ max = ³ N/16 10^4 mm² ^6 N mm/ ³ mm³ σ max = ( ) N/mm²= N/mm² N/mm² > 15.9 N/mm² N V Tale sezione non risulta verificata a pressoflessione, di conseguenza essa va aumentata in relazione alle dimensioni della Trave principale (50 60). Vengono scelte le dimensioni (50 50) per il pilastro che risulta così essere verificato N/mm² < 15.9 N/mm² V DIMENSIONAMENTO MENSOLA Per dimensionare la sezione della mensola allo SLU : M max = q l² /2 M max = kn/m 4² m² /2 = kn m DATI M Ed = kn m σ c = fcd = N /mm² σ s = fyd = N /mm² b = 0.30 m δ = 0.04 m β= 0.38 [Adim] α= 0.61 [1/ MPa]^1/2 d = hu = α Med / b d = hu = 0.61 [1/ MPa]^1/ ^6 N mm/ 300 mm= cm H = hu + δ = ( ) = cm = ing 0.45 m 13

14 VERIFICA A DEFORMABILITÀ q e = (qs + qp + ψ qa) i m q e = (0.5 2) 4 m = kn/m v max = q e l^4 / 8EI v max = N/mm 2^4 mm / N/mm² mm^4 v max = 1.60 mm = 0.16 cm l / v max > cm / 0.16 cm > > 250 V FOGLI DI CALCOLO EXCEL Trave: Pilastro: Mensola: 14

15 Acciaio qs 1. Pavimento in gres ceramico (s=20 mm) 2. Massetto (s=100) 3. Isolante acustico (s=30 mm) 4. Soletta cls armato (s medio= 92.5 mm) 5. Lamiera grecata (s= 0.8 mm) HI-BOND tipo A55/P600 CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI: ELEMENTO AREA PESO SP 1/ INTERASSE = Lamiera grecata = 0.11 kn/ m² Soletta ( ) m² 25 kn/m³ 1/1 m = 2.32 kn/ m² qs Tot =( ) = 2.43 kn/m² qp CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI: ELEMENTO AREA PESO SP 1/ INTERASSE = Pavimento in gres ceramico = 0,40 kn/m² Massetto (0,1 1) m² 20 kn/m3 1/1 m = 2,00 kn/m² Incidenza Impianti = 0,50 kn/m² Incidenza tramezzi = 1 kn/m² 15

16 qp Tot =( ) = 3.90 kn/m² qa CARICHI ACCIDENTALI: Ambiente ad uso residenziale (NTC 2008) = 2 kn/m² q Tot qs qp 1.5 +qa 1.5 ( ) + ( ) + (2 1.5)= kn/m² q lineare q Tot interasse kn/m² 4 m= kn/m DIMENSIONAMENTO TRAVE Il Momento massimo agente sulla trave si trova nella sezione mezzeria e vale: M max = q l² /8 M max = 48,04 kn/m 6² m²/8 = 216,16 kn m A questo punto è possibile procedere con la scelta del tipo di acciaio: Fe 360/S235 Tensione di snervamento caratteristica fyk = 235 MPa Tensione a rottura caratteristica ft = 360 MPa E' possibile calcolare il valore della tensione di progetto fyd, dividendo il valore caratteristico per il coefficiente di sicurezza γ s fornito dalla Normativa e pari a 1.05: fyd =fyk /γ s fyd = 235 N/mm² / 1,15= N/mm² Il Momento Resistente M rd è uguale al prodotto tra il modulo di resistenza plastico della sezione W pl e il valore della tensione di progetto fyd: 16

17 M rd = fyd W pl W pl min = M rd / fyd = 216,16 10^6 N mm / N/mm² = mm³ = cm³ Il valore di W pl, x min è il valore minimo che la sezione deve avere affinché sia verificata la disequazione di sicurezza Rd Sd. Viene scelto dal sagomario il valore W pl, x min immediatamente successivo (superiore al valore minimo) in compatibilità con i profili esistenti sul mercato, che corrisponde ad un' IPE 400 ( W pl, x eff = 1307 cm³). Per le travi secondarie, impostando un interasse di 6 m e una luce di 4 m otteniamo un M rd di kn m e un W pl x di cm³, viene scelto un profilato IPE 330, con W pl, x eff di cm³. 17

18 DIMENSIONAMENTO PILASTRO A infl = 6 4 = 24 m² Ltp = 6 m Lts = 4 m Peso proprio della struttura ( Tr principali e Tr secondarie) P = A sez γ s Ptp = 66,30 kg/m= 0,65 kn/m Pts = 49,01 kg/m= 0,48 kn/m Carico dovuto al peso proprio delle travi gravanti sul pilastro q travi = 1.3 trave i L i = (1.3 Ptp Ltp Pts Lts) q travi= (0,65 kn/m 6m 1,3) + (0,48 kn/m 4m 1,3)= 7,57 kn q solaio = (1.3 qs qp qa) A infl q solaio = kn/m² 24 m² = kn Sforzo Normale N di compressione N tot = (q tr + q solaio) n piani N tot =(7, ) kn 4 = 1183 kn PRE-DIMENSIONAMENTO: A min = N Rd / (fyk/1.05) A min = ³ N / 223,81 N/mm² = 5286,80 mm² = 52,90 cm² Scelta IPE 220 DATI: ρ min = ρ y = 5.51 cm I min = I y = cm^4 VERIFICA AD INSTABILITÀ: λ y = β l / ρ y 18

19 λ y = (1 300) cm / 5.51 cm = λ CRITICO = π E / fyk [Adim] ^6 N/mm² / 235 N/mm² = λ = λ y / λ CRITICO = 0.58 se λ y < λ CR l'asta ha un comportamento tozzo e la resistenza viene raggiunta prima che si verifichino fenomeni di instabilità, il suo collasso può avvenire quindi solo per schiacciamento. λ y < λ CR Asta tozza < V Il valore di χ, rapporto tra σ CR e fyk, quindi fattore che riduce la resistenza tenendo conto dell'effetto dell'instabilità sarà 1. Per semplicità di calcolo lo poniamo pari ad 1, confermando la scelta di profilato presa precedentemente: HEA 220. A min = N Rd / fyd χ Controllando che N rd sia inferiore ad N CRITICO: N CRITICO = π² E I y / ( β l)² N CRITICO = 3.14² 21 10^6 N/mm² mm^4 / ² mm² = kn Ne consegue un' A d pari a cm 2, e I d pari a cm 4. DIMENSIONAMENTO MENSOLA 19

20 Il momento massimo M max, in corrispondenza della sezione in prossimità dell' incastro di una mensola vale: M max = qu l²/2 M max = (48,03 kn/m 4 m²) / 2 = 96,06 kn m Modulo di Resistenza a flessione minimo (W min = W pl x): W pl x = M rd / fyd W pl x = 96,06 10^6 N mm / N/mm²= 470 cm³ Scelto il profilo IPE330 (con I x = cm^4) in analogia con le travi secondarie, si effettua la verifica a deformabilità per verificare che l abbassamento massimo non sia tale da danneggiare la stratigrafia dei materiali in prossimità degli sbalzi. Tale procedimento si effettua allo Stato Limite d esercizio SLE, ottenendo un carico di 20

21 progetto minore. q e = (qs + qp + ψ qa) i m q e = (0.5 2) 4 m = 7.33 kn/m = N/mm v max = q e l^4 / 8EI v max = N/mm 2000^4 mm / ^6 N/mm² ^4 mm^4 v max = mm l / v max > mm / mm > > 250 V 21