VADEMECUM BREVE COMPENDIO DI FORMULE E CONVENZIONI RILEVANTI AD USO DEGLI STUDENTI DEL CORSO DI FISICA PER INFORMATICA DOCENTE B.

Transcript

1 VADEMECUM BREVE COMPENDIO DI FORMULE E CONVENZIONI RILEVANTI AD USO DEGLI STUDENTI DEL CORSO DI FISICA PER INFORMATICA DOCENTE B. VACCHINI UNITÀ DI MISURA Unità di misura fondamentali nel Sistema Internazionale (SI): lunghezza!metri m massa!chilogrammi k g tempo!secondi s temperatura!kelvin K quantità di materia!moli m o l intensità di corrente!ampere A Altre grandezze usate del Sistema Internazionale (SI): Newton N in k g m/s 2 Joule J in k g m 2 /s 2 Pascal Pa in k g/m s 2 Coulomb C in A s Volt V in J/C Ohm in V /A Farad F in C/V Watt W in J/s SCALARI E VETTORI Scalare: a numero dotato di segno Vettore: A = (A x ; A y ; A z ) tante componenti quante le dimensioni spaziali q Modulo: jaj = A 2 x + A 2 2 y + A z Prodotto per uno scalare (risultato è ancora vettore): aa = (a A x ; a A y ; a A z ) Somma vettoriale (risultato è ancora vettore): A + B = (A x + B x ; A y + B y ; A z + B z ) Prodotto scalare (risultato è uno scalare): A B = jajjbj cos (# AB ) Prodotto vettoriale (risultato è ancora vettore): ja Bj = jajjbj sin (# AB ) + regola mano dx CINEMATICA 1

2 Unità di misura rilevanti in SI: spostamento in metri m, tempo in secondi s, velocità in m/s, accelerazione in m/s 2 v = dx d t a = dv d t = d2 x d t 2 Moto uniformemente accelerato in una dimensione: x = x 0 + v 0 t a t2 v = v 0 + a t v 2 v 2 0 = 2a(x x 0 ) Moto di un corpo in prossimità della supercie terrestre, uniformemente accelerato lungo la verticale: y = y 0 + v 0y t 1 2 g t2 v y = v 0y g t v 2 2 y v 0y = 2g(y y 0 ) Moto di un proiettile ovvero uniformemente accelerato in direzione verticale e uniforme in direzione orizzontale: v 0x = v 0 cos# x = x 0 + v 0x t v x = v 0x v 0y = v 0 sin# y = y 0 + v 0y t 1 2 g t2 v y = v 0y g t h (massima altezza) = v 0 2 sin 2 # 2g R (gittata) = v 0 2 sin (2#) g Moto circolare uniforme: a = v2 r DINAMICA Unità di misura rilevanti in SI: massa in chilogrammi k g, forza in Newton N Leggi di Newton (F tot risultante forze agenti): F tot = 0 ) quiete o moto rettilineo uniforme F tot = m a Forze: F 12 = F 21 Forza peso: mg Forza elastica di richiamo: k x (costante elastica in N/m spostamento dalla posizione di equilibrio) Forza normale: N (reazione vincolare perpendicolare alla supercie di contatto) 2

3 Forza attrito (verso sempre opposto al moto): statica F s 6 s N ( s coeciente di attrito statico, corpo fermo) dinamica F d = d N ( d coeciente di attrito dinamico, corpo in moto) Tensione: T (diretta lungo fune, nel verso di allontanamento dal corpo) Forza centripeta: m v 2 /r Forza gravitazionale (sempre attrattiva): F 12 = G m 1m 2 r 2 r^12 Forza elettrica (attrattiva o repulsiva): F 12 = K q 1q 2 r 2 r^12 LAVORO ED ENERGIA Unità di misura rilevanti in SI: lavoro ed energia in Joule J Denizione di lavoro L compiuto da una forza F per spostamento da x A a x B : L = Z x B F (x) dx corrispondente all'area sottesa dalla curva F (x) fra i punti x A a x B. Lavoro L compiuto da una forza costante: x A L = F d cos# con F modulo della forza, d spostamento e # l'angolo formato dai vettori forza e spostamento. Il lavoro può essere positivo, nullo (forza perpendicolare allo spostamento) o negativo (sempre vero per forze di attrito). Energia cinetica K per un corpo di massa m che si muove con velocità v: K = 1 2 m v2 Teorema energia cinetica: L tot = K = K f K i = 1 2 m v f m v i 2 dove L tot è la somma dei lavori eettuati da tutte le forze che agiscono sul corpo, ovvero il lavoro compiuto dalla forza risultante F tot. Energia potenziale, ovvero energia dipendente dalla posizione associata a forze conservative, il cui lavoro non dipende dal cammino ma solo da punto di partenza e arrivo: Energia potenziale gravitazionale: U = G m M T r per oggetto di massa m a distanza r dal centro della terra con massa M T 3

4 Energia potenziale gravitazionale in prossimità supercie terra: U = m g h per oggetto di massa m a quota h dalla supercie Energia potenziale eleastica: U = 1 2 k x2 per molla con costante elastica k e per distanza x dal punto di equilibrio Lavoro compiuto da forze conservative: L = U Energia meccanica (somma di cinetica e delle diverse energie potenziali presenti): E mech = K + U Corpo di massa m in prossimità della supercie terrestre: E mech = 1 2 m v2 + m g h Corspo di massa m a distanza r dal centro della terra: E mech = 1 2 m v2 G m M T r Oscillatore armonico: E mech = 1 2 m v k x2 Solo forze conservative (energia meccanica si conserva): E mech = 0 () K f + U f = K i + U i Anche forze non conservative (attrito): QUANTITÀ DI MOTO E CENTRO DI MASSA E mech = L nc =/ 0 () (K f + U f ) (K i + U i ) = L nc Unità di misura rilevanti in SI: quantità di moto in k g m/s Denizione del vettore quantità di moto associato ad un corpo di massa m che si muove con velocità v: p = m v Seconda legge di Newton espressa per mezzo della quantità di moto: F tot = d d t p 4

5 Conservazione della quantità di moto per sistema isolato ove non agiscono forze esterne, ovvero la risultante delle forze esterne è nulla (quelle interne si elidono a coppie) P totf = P toti Centro di massa di sistema di sistema di due particelle di massa m 1 ed m 2, poste in x 1 e x 2 X cm = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 Per sistema di N particelle con massa totale M e momento totale P tot M V cm M A cm = P tot ext = F tot ove F ext tot è la risultante delle forze esterne. FLUIDODINAMICA Unità di misura rilevanti in SI: pressione in Pascal P a, densità in k g/m 3 Legge di Stevino fornisce la pressione a profondità h di un uido di densità la cui supercie sia a pressione atmosferica (P 0 = 1 a t m = P a) P = P 0 + g h con P modulo della forza applicata per unità di supercie. Equazione di Bernoulli per uido in movimento con velocità v Equazione di continuità P v2 + g h = cost A v = cost con A e v sezione del condotto e velocità del uido nei diversi punti. Legge di Poiseuille P = 8 l r 4 A v per la caduta di pressione a capi di condotto di lunghezza l e raggio r, se il uido è viscoso con coef- ciente di viscosità. TEMPERATURA E TEORIA CINETICA Unità di misura rilevanti in SI: temperatura in Kelvin K Numero di moli n = N N A rapporto fra numero di atomi e numero di Avogadro, ovvero n = m P m 5

6 rapporto fra massa e peso molecolare. Legge dei gas perfetti P V = n R T con temperatura espressa in Kelvin [T(Kelvin)=T(centigradi) ]. Legame fra energia cinetica delle particelle del gas e temperatura: K = 1 2 m v2 = 3 2 k BT dove v 2 è detta velcoità quadratica media o v rms data da CALORIMETRIA v rms = v 2 = Unità di misura rilevanti in SI: calore in Joule J r 3k B T m Il calore è energia trasferita a seguito di dierenze di temperatura, e l'equivalente meccanico del calore vale 4186 J = 1 k c a l; prendiamo sempre come positivo il calore assorbito. Il calore Q necessario per alzare di temperatura una determinata massa di sostanza è dato da Q = m c (T f T i ) ove c indica il calore specico caratteristico della sostanza, calore per unità di massa necessario per alzare di un grado la temperatura della sostanza. Equazione di bilancio negli scambi di calore fra due sostanze a e b con temperatura T a e T b rispettivamente che arrivano alla stessa temperatura di equilibrio T scambiando calore: m a c a (T T a ) = m b c b (T T b ) Il calore latente L indica il calore per unità di massa assorbito da una sostanza in una trasformazione di fase (fusione ghiaccio o evaporazione acqua), durante la quale la temperatura non cambia TERMODINAMICA Q = m L Unità di misura rilevanti in SI: lavoro e calore in Joule J, entropia in J/K Principio zero (!temperatura) Primo principio (!energia interna) U = Q W 6

7 ove al solito U = U f U i, il calore Q è positivo se assorbito, il lavoro W è positivo se eettuato dal sistema (tipicamente gas), U denota l'energia interna, somma delle energie di ogni singola molecola del gas. U dipende solo da stato nale e iniziale, mentre Q e W dipendono dal tipo di trasformazione eettuata. Per gas perfetto U dipende solo dalla temperatura. Il lavoro può essere scritto in generale nella forma: Trasformazioni: W = Z V f P dv Adiabatica ovvero senza trasferimento di calore: Q = 0 V i U = W Espansione libera: non si compie lavoro né viene scambiato calore: U = W = Q = 0 Isobara ovvero a pressione costante: W = P (V f V i ) Isocora ovvero a volume costante: W = 0 U = Q Isoterma ovvero a temperatura costante (per gas perfetto): U = 0 Q = W = n R T ln Vf Ciclica ovvero con stesso stato iniziale e nale: U = 0 W = Q Calori specici molari a volume e pressione costante per gas perfetto monoatomico: V i c V = 3 2 R c P = c V + R = 5 2 R Macchina termica: opera ciclicamente assorbendo un calore Q C ad alta temperatura T C e restituendo un calore Q F a bassa temperatura T F, compiendo un lavoro W = Q C Q F. È caratterizata da un rendimento che per il ciclo ideale di Carnot vale Secondo principio (!entropia) = 1 Q F Q C = 1 T F T C 7

8 La variazione di entropia in una trasformazione da uno stato i a uno stato f, dipende solo da stato iniziale e nale, e può essere calcolata scegliendo trasformazione reversibile far gli stessi punti iniziale e nale secondo la relazione: CAMPO ELETTRICO S = Z i f dq rev T Unità di misura rilevanti in SI: corrente in Ampere A, carica in Coulomb C, dierenza di potenziale in volt V, resistenza in Ohm, capacità in Farad F, potenza in Watt W Campo elettrico in un punto dello spazio: E = F q dove F è la forza sentita da una carica q posta in quel punto dello spazio Campo elettrico generato da una carica puntiforme q: E = K q r 2 r^ Forza di Coulomb (attrattiva se cariche di segno discorde, repulsiva altrimenti): F 12 = K q 1q 2 r 2 r^12 Potenziale elettrico, corrispondente all'opposto del lavoro per unità di carica per andare da punto di riferimento al punto considerato: V = U q = L q : Potenziale generato da carica puntiforme q, prendendo come riferimento il potenziale nullo all'innito: V = K q r : Capacità di un condensatore con carica Q posta su due piatti piani e paralleli di supercie A, a distanza d, fra i quali c'e' dierenza di potenziale V : C = Q V = " 0 A d mentre il campo elettrico fra le piastre è costante e vale E = V d : Energia accumulata in condensatore carico: U = 1 2 Q V = 1 2 C V 2 = 1 Q 2 2 C : Energia per unità di volume associata a regione ove si ha un campo elettrico non nullo: u E = 1 2 " 0E 2 8

9 Corrente elettrica: I = dq dt e in un conduttore I = n A v d q; con A sezione del conduttore, n numero portatori di carica per unità di volume, v d velocità di deriva, q carica del singolo portatore. Leggi di Ohm: R = V I e R = l A per conduttore in cui passa corrente I quando si applica dierenza di potenziale V, fatto di sostanza con resistività, sezione A e lunghezza l. Potenza elettrica: Resistenze in serie (circola la stessa corrente): P = V I = R I 2 = V 2 R : R eq = R 1 + R 2 Resistenze in parallelo (ai loro capi si ha la stessa dierenza di potenziale): CAMPO MAGNETICO 1 R eq = 1 R R 2 Unità di misura rilevanti in SI: campo magnetico in Tesla T Forza di Lorentz su carica q in moto con velocità v in regione dello spazio dove vi è un campo magnetico B: F = q v B Particella in moto in regione con campo magnetico costante e perpendicolare a v compie moto circolare uniforme con: r = m v q B T = 2 m q B Forza su lo di lunghezza l percorso da corrente I: F = I l B sin# 9

10 Campo magnetico prodotto da lo percorso da corrente I: B = 0 I 2 r Forza per unità di lunghezza fra li a distanza d percorsi da correnti I 1 e I 2 : F l = 0 I 1 I 2 2 d Energia per unità di volume associata a regione ove si ha un campo magnetico non nullo: u B = 1 2 B 2 0 COSTANTI FONDAMENTALI Valori delle costanti fondamentali usate in unità SI: accelerazione di gravità: g = 9.8 m/s 2 costante di gravitazione universale: G = N m 2 /k g 2 numero di Avogadro: N A = costante universale dei gas: R = 8.31 J/m o l K costante di Boltzmann: k B = J/K costante dielettrica del vuoto: " 0 = C 2 /N m 2 permeabilità magnetica del vuoto: 0 = T m/a costante di Coulomb: K = 1/(4" 0 ) = N m 2 /C 2 velocità della luce: c = m/s carica elettrone: e = C massa elettrone: m e = k g massa protone: m p = k g 10