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1 Fiure 1: 0.1 Balistica Triste ma vero: un forte impulso alla nascita della fisica moderna venne dal bisono di sapere dove accidenti finissero le palle sparate dai cannoni Bersalio fisso Abbiamo un cannone che spara proiettili di massa M con velocità di uscita V 0 (dalla bocca del cannone). Abbiamo un bersalio fisso di cui conosciamo la posizione (rispetto al punto di sparo). Che alzo si deve usare per colpire il bersalio? Si trascurino l attrito dell aria e la rotazione della Terra. Iniziamo con la scelta del riferimento. L oriine è dettata dal buon senso: dobbiamo seuire il moto del proiettile (che consideremo puntiforme) conoscendo la sua velocità (o melio il modulo della velocità) al momento della sua uscita dalla bocca del cannone. In tale momento faremo scattare il cronometro (oriine dei tempi) e sulla bocca del cannone porremo l oriine del riferimento cartesiano. Come sceliere la direzione deli assi? Ci sono due direzioni privileiate : la prima è la verticale luno la quale è allineato il vettore accelerazione (l accelerazione di ravità ), la seconda direzione è data dalla coniunente oriine-bersalio (vettore posizione del bersalio r b ). Purtroppo queste due direzioni non sono in enerale ortoonali; comunque determinano un piano (salvo nel caso speciale in cui il bersalio sia sulla verticale del cannone...): scelieremo allora tale piano come piano x, y con l asse y verticale rivolto verso l alto e 1

2 Fiure 2: l asse x che punta al piede del bersalio (vedi fiura). L asse z sarà fissato di conseuenza (ma ià dovremmo sapere che non avrà nessun ruolo). Sembra banale, ma dobbiamo puntare il cannone verso il bersalio... cioè il vettore della velocità di uscita V 0 deve essere sul piano x, y e, a naso, deve formare con l asse x un anolo α (alzo del cannone) compreso tra l alzo (o elevazione) del bersalio (δ) e90 (fiura). Siccome stiamo trascurando l attrito dell aria e la rotazione della terra (cioè trascuriamo anche la forza di Coriolis), allora sul proiettile airà solo la forza peso e quindi conosciamo luno il moto la sua accelerazione che sarà costante e pari a. E bene notare che solo questa ultima supposizione (costanza di ) è in enere abbastanza buona (a meno che il proiettile non raiuna randi altezze). Infatti, considerate le alte velocità dei proiettili stessi e le lunhe ittate di molti cannoni, sicuramente non è trascurabile l attrito dell aria (neanche per proiettili piccoli e aereodinamici ) e molto spesso non è trascurabile l accelerazione di Coriolis. I computers, che ai nostri iorni reolano il tiro, tenono facilmente conto di questi fattori aiuntivi; ma li ufficiali di tiro pre-computer, non avendo tempo di fare complessi calcoli, dovevano basarsi in parte su tabelle precalcolate e ancor più sul feedback, apportando correzioni al tiro in base all osservazione di dove avessero colpito i proiettili sparati precedentemente. In definitiva quello che studieremo è un problema ideale che potrebbe avere adeuata applicazione solo su un pianeta non ruotante e privo di atmosfera. Notare che queste considerazioni varranno anche per i successivi problemi di balistica. Ritorniamo al punto. Abbiamo un classico problema di cinematica: conoscendo l accelerazione di un punto materiale e i dati iniziali (posizione e velocità iniziali) 2

3 voliamo risalire alla lee oraria. Dunque per il proiettile abbiamo:.. r(t) = (1) cioè moto uniformente accelerato e quindi dalla teoria sappiamo che v(t) =. r(t) = v(0) + t (2) r(t) = r(0) + v(0) t t2 (3) Notare che le formule vettoriali sono indipendenti dal riferimento scelto; il riferimento scelto entrerà solo quando avremo specificato le componenti dei vettori suli assi. Per definizione (stranamente per li studenti risulta ostico ricordarlo...) r (x, y, z) (4). r (ẋ, ẏ,ż) (5).. r (ẍ, ÿ, z) (6) e poi, nel particolare riferimento scelto, abbiamo (vedi fiura sopra): (0,, 0) (7) v(0) (v (0) cos(α),v(0) sen(α), 0) (8) r(0) (0, 0, 0) (9) Perciò la lee oraria (3), proiettata suli assi, è x(t) = v (0) cos(α) t (10) y(t) = v (0) sen(α) t 1 2 t2 (11) z(t) = 0 (12) cioè un moto uniforme sull asse x, uniformemente accelerato sull asse y, nessun moto sull asse z (come previsto, data l assenza dell accelerazione di Coriolis). Lo studente con qualche conoscenza di eometria avrà forse riconosciuto che le equazioni sopra sono le equazioni parametriche di una parabola nel piano x, y (t fune da parametro). Ricaviamo ora l equazione cartesiana di tale conica che è poi la traiettoria del proiettile. Per far ciò eliminiamo il parametro usando la (10) per ricavare t e inserendo poi il risultato nella (11): t = x v (0) cos(α) (13) 3

4 x y = v (0) sen(α) v (0) cos(α) 1 2 x 2 v 2 (0) cos 2 (14) (α) ovvero y = x µ sen (α) cos(α) 2 v 2 (0) cos(α) x (15) Vediamo bene allora che la traiettoria è in effetti una parabola che incrocia l asse delle x (orizzontale al livello del cannone) nei punti x =0(partenza del proiettile) e x = 2 v2 (0) sen (α)cos(α) (16) Ottenuta una formula sarebbe sempre il caso di fare un controllo dimensionale: noi lo faremo raramente ma lo studente non dovrebbe esimersi (per il suo bene..). Dunque, usando la notazione standard per le dimensioni cioè l perlospazio(lunhezza),t per il tempo e m per la massa, e considerando (vedi prima) che il seno e il coseno in quanto funzioni trascendenti sono adimensionali, abbiamo: l 2 l = t (17) l t 2 Il controllo è ok, ma ricordate che se il controllo fosse stato neativo la formula sarebbe stata sicuramente sbaliata, mentre un controllo positivo non assicura che sia esatta... ammettiamo per esempio che invece della (16) avessimo trovato x = 4 v2 (0) sen 2 (α)cos(α) (18) e controlliamone l esattezza dimensionale... Ritorniamo alla formula (16): x è la ittata del cannone cioè la massima distanza in orizzontale a cui iune il proiettile sparato con alzo α. La massima altezza sarà nel vertice della parabola che si trova ovviamente in e quindi è ȳ = 1 cos(α) = 1 v 2 (0) sen 2 (α) 2 v 2 (0) sen (α)cos(α) x = v2 (0) sen (α)cos(α) µ sen (α) 2 v 2 (0) cos(α) (19) v 2 (0) sen (α)cos(α) (20) Notare che si poteva trovare la massima altezza anche considerando che nel vertice la velocità (che è sempre tanente alla traiettoria) deve essere orizzontale quindi la componente ẏ, ottenuta derivando la (11) deve essere nulla: 0=v (0) sen(α) t (22) (21) 4

5 Fiure 3: Cioè il proiettile raiune la massima altezza al tempo t = Sostituendo nella (11) abbiamo v (0) sen(α) (23) v (0) sen(α) y( t) = v (0) sen(α) 1 µ 2 v (0) sen(α) 2 (24) = 1 v 2 (0) sen 2 (α) (25) 2 come deve essere. Esercizi per lo studente: con che alzo la ittata sarà massima? la massima ittata è la massima distanza raiunibile dal proiettile di quel cannone? con che alzo la massima altezza sarà massima? a che tempo si raiune x? con che velocità? etc. etc. a seconda della curiosità dello studente... Dopo aver discusso il moto del proietto (come avrebbe detto Galileo) torniamo al problema oriinale: con che alzo si colpisce il bersalio? Essendo il bersalio fermo, basterà che le sue coordinate x b,y b soddisfino l equazione (15): cioè la traiettoria deve passare per il bersalio y b = x µ b sen (α) cos(α) 2 v 2 (0) cos(α) x b (26) 5

6 In tale equazione tutto è noto tranne l anolo di alzo α: epperò è una equazione trascendente nell inconita α e le equazioni trascendenti sono ostiche... Lo studente dovrebbe ora provare da solo e trovare un qualche escamotae prima di leere sotto. Riscriviamo y b = x b tan (α) x2 b 1 2 v 2 (0) cos 2 (27) (α) = x b tan (α) x2 b sen 2 (α)+cos 2 (α) 2 v 2 (0) cos 2 (28) (α) = x b tan (α) x2 b 2 v 2 (0) tan2 (α) x2 b 2 v 2 (0) (29) Bene! ci siamo ridotti ad una semplice equazione alebrica di secondo rado nella variabile τ =tan(α). Riscriviamola (e controllate le dimensioni!): Le soluzioni sono τ 2 2 v2 (0) τ v2 (0) y b x b x 2 =0 (30) b τ ± = v2 (0) x b ± s µv2 2 (0) 1 2 v2 (0) y b x b x 2 b (31) Di nuovo abbiamo una soluzione matematica che va interpretata fisicamente. Innanzitutto τ =tan(α) dovrebbe essere reale (e positivo...), quindi µ v 2 2 (0) 1 2 v2 (0) y b x b x 2 b 0 (32) Riscrivendo 0 v4 (0) 2 x 2 b 1 2 v2 (0) y b x 2 b y b x2 b 2 v 2 (0) + v2 (0) 2 ma y b = x2 b 2 v 2 (0) + v2 (0) 2 è l equazione di una parabola che incrocia l asse delle x (y b =0) in x b± = ± v2 (0) (33) (34) (35) (36) ehailverticein x b =0, ȳ b = v2 (0) 2 (37) 6

7 Fiure 4: Questa parabola è detta parabola di sicurezza (Nota 1) nel senso che chi è FUORI da questa parabola sta sicuro cioè non può essere colpito dal cannone (discriminante neativo, nessuna soluzione per l alzo). Un bersalio sulla parabola di sicurezza può essere colpito ma c è un solo tiro possibile (discriminante nullo: alzo α =arctan ³ v 2 (0) x b, vedi (31)). Un bersalio all interno della parabola di sicurezza può essere raiunto con due alzi diversi: per l alzo α più vicino all elevazione δ del bersalio si parla di tiro diretto (quello dei fucili...), per l alzo superiore si parla di tiro a parabola (quello dei mortai...). Ovviamente in tutti e due i casi la traiettoria è pur sempre una parabola: 1 Quesito Che relazione c è tra i due anoli α del tiro diretto e α + del tiro a"parabola"? Dimostrare che: I due anoli α + = η +γ,α = η γ sono simmetrici rispetto alla bisettrice dell anolo tra la verticale e la linea del bersalio (coniunente oriinebersalio). (Per δ =0, cioè quando il bersalio è sull orizzontale, allora η = π 4 risultato ottenuto era ià noto a Galileo.) eil 7

8 Tra parentesi, infine, che fine ha fatto la massa del proiettile? perchè non è stata mai utilizzata? 8

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