Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo

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1 Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero a, si ricava un nuovo numero b che è multiplo del numero di partenza n. Ad esempio, considerato il numero, se esso viene moltiplicato per si otterrà =4. 4 è un multiplo di. Analogamente, moltiplicando per, si otterrà =6, un nuovo multiplo di. Notiamo che da =4 si deduce che 4:=. In tal caso si può dire che è un divisore di 4 ed anche che 4 è divisibile per. Il divisore di un numero intero n è quel numero a tale che, se n viene diviso per esso, si ottiene un quoto b e tale divisione presenta resto nullo. Calcoliamo ora dei divisori del numero. Abbiamo che se esso viene diviso per 6 si ottiene :6=, senza alcun resto. Questo vuol dire che 6 è un divisore di. Parimenti, si può dividere per 4 ed ottenere :4= (con resto nullo). Questo vorrà dire che anche 4 è un divisore di. Si noti inoltre come, ad esempio, :8= con resto pari a 4. Il resto non nullo ci indica che 8 non è un divisore di. Stabiliamo inoltre che un numero che è divisibile solo per se stesso e per è detto numero primo. Ad esempio 7 è divisibile solo per 7 e per, per cui esso è numero primo. Il Minimo Comune Multiplo Il minimo comune multiplo (mcm) di due numeri interi a e b è il più piccolo intero positivo che è multiplo sia di a che di b. Quindi, detto m il mcm di a e b, avremo che esistono due numeri interi n ed n tali che, moltiplicati per a e b ci restituiscono m: m= a n m= b n Inoltre m gode della proprietà di essere il numero più piccolo possibile perché questo possa avvenire. Notiamo che dalle due relazioni precedenti si deduce che: m = n a m: a= n o, se vogliamo, m m: b= n = n b Cioè m è un numero tale che, se diviso per i numeri a e b, restituisce i due numeri interi n ed n e questa divisione non produce alcun resto. Possiamo quindi dire che a e b sono dei divisori di m. Inoltre m è il numero più piccolo possibile perché questo possa avvenire. Un esempio può aiutare a chiarirci le idee. Consideriamo due numeri: a = 6 b = 8 Ci proponiamo di calcolare il mcm di questi due numeri e proviamo dapprima a vedere se il numero è un buon candidato.

2 Abbiamo che: : 6 = :8 = resto = 4 Il numero è un multiplo di 6 ma non di 8, infatti la divisione per quest ultimo numero produce un resto di 4. Proviamo ora con il numero 48: 48 : 6 = 8 48 :8 = 6 Notiamo che 48 è un buon candidato per essere il mcm in quanto è un multiplo sia di 6 che di 8 (le due divisioni non danno resto). Il numero 48 non è, però, il numero più piccolo possibile per cui questo avviene. Infatti il numero 4 ha la stessa proprietà di essere multiplo sia di 6 che di 8. 4 : 6 = 4 4 :8 = Effettivamente 4 è il numero più piccolo possibile per il quale questo avviene quindi esso è il minimo comune multiplo tra 6 ed 8. Scriveremo: mcm(6;8)=4. Ovviamente, in maniera analoga, il mcm è definibile anche per più di due numeri. Algoritmo della fattorizzazione per il calcolo del mcm Per il calcolo del mcm di alcuni numeri è necessario scomporre i numeri in questione. Scomporre un numero vuol dire trasformarlo in un prodotto costituito da fattori che sono tutti numeri primi elevati a determinati esponenti. Ad esempio, consideriamo tre numeri, 6, 8, 5 e partiamo con lo scomporre il 6: = = Nell iniziare la scomposizione abbiamo scritto a destra del 6 il numero per il quale esso è divisibile e, sotto al numero 6, il numero 8 che è il risultato della divisione 6:. Di fianco al 8 abbiamo riscritto il numero per il quale esso è divisibile e così abbiamo continuato fino a scomporre totalmente il numero, giungendo ad e considerando nelle divisioni solo numeri primi (nella fattispecie e ). Di fianco alla scomposizione abbiamo riassunto il risultato: 6=. Lo stesso possiamo fare per gli altri due numeri: = = = 5

3 Per determinare il mcm tra i tre numeri dobbiamo prendere in considerazione i fattori comuni e non comuni con l esponente massimo. 6 = 8 = 7 5 = 5 Il ed il compaiono con un esponente massimo pari a, quindi sceglieremo. Inoltre consideriamo anche il 5 ed il 7 che compaiono in forma semplice. Abbiamo perciò il prodotto dei seguenti fattori. Mcm(6;8;5) = 5 7 = 60 Quesiti Risolti Un quesito basilare, che richiede il semplice calcolo di un mcm, può essere il seguente: Quanto vale il minimo comune multiplo dei numeri 6, 4 e 9? A. 576 B. 44 C. 6 D. 64 E. 90 Scomponiamo i tre numeri: = = 4= = 9= = Raccogliendo i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente abbiamo: mcm(6;4;9) = 4 = 44 (Risposta B) Di seguito proponiamo invece un quesito tipico di logica nel quale bisogna mettere a frutto la definizione del minimo comune multiplo in un contesto pratico. Tre commessi viaggiatori si recano a Napoli rispettivamente ogni 8, ogni e ogni 0 giorni. Essendosi trovati in quella città nello stesso giorno, dopo quanti giorni si ritroveranno ancora insieme? A. 0 giorni B. 60 giorni C. 80 giorni D. 00 giorni E. 96 giorni I tre commessi viaggiatori si sono incontrati insieme in un determinato giorno. Il primo commesso sarà di nuovo a Napoli dopo 8 giorni dal giorno in questione, poi dopo 6 giorni dal giorno in questione, poi dopo 4 giorni e così via In generale giungerà a Napoli dopo un numero di giorni che è multiplo di 8. Il secondo commesso giungerà nuovamente a Napoli dopo un numero di giorni che è un multiplo di, mentre il terzo dopo un numero di giorni che è un multiplo di 0. Quindi, perché i tre possano incontrarsi, dovrà trascorrere un numero di giorni pari ad un multiplo in

4 comune tra i tre numeri (8, 0 e ). Se vogliamo il numero minore possibile di giorni che dovranno trascorrere allora dobbiamo calcolare il minimo comune multiplo. Abbiamo: 8= = 0 = 5 Per cui: mcm(8;;0) = 5= 0 (Risposta A) Il Massimo Comun Divisore Il massimo comun divisore (MCD) di due numeri interi a e b, che non siano entrambi uguali a zero, è il numero naturale più grande per il quale possono essere entrambi divisi. Quindi, detto m il MCD di a e b, possiamo indicare rispettivamente con n ed n il quoto delle due divisioni: a: m= n b: m= n È importante sottolineare che il resto di entrambe le divisioni è nullo e che m gode della proprietà di essere il numero maggiore possibile per il quale dividere entrambi i numeri interi a e b, ottenendo un resto nullo. Anche in questo caso un esempio può chiarirci le idee. Consideriamo due numeri: a = 6 b = 8 Notiamo che 6 è divisibile (cioè può essere diviso senza ottenere resto) per 6,, e, mentre 8 può essere diviso (anche questa volta senza ottenere resto) per 8, 4,, e. Il numero più alto possibile che divide ambo i numeri è quindi. Per questo motivo scriviamo: MCD(6;8)=. Ovviamente, in maniera analoga, il MCD è definibile anche per più di due numeri. Due numeri si dicono coprimi o primi tra loro se il loro massimo comun divisore è uguale a. Per esempio, i numeri 9 e 8 sono primi tra loro. Infatti 9 è divisibile per 9, e, mentre 8 è divisibile per 8, 4, 7, 4, e. Notiamo che il divisore in comune più alto possibile è proprio. MCD(9;8)=. Algoritmo della fattorizzazione per il calcolo del MCD Per il calcolo del MCD di alcuni numeri è necessario nuovamente scomporre i numeri in questione. Questa volta consideriamo i tre numeri: 4, 8, 0 e scomponiamoli: = = 8 = 7 = = 5

5 Per determinare il MCD tra i tre numeri dobbiamo prendere solo i fattori comuni con l esponente minimo. 4 = 8 = 7 0 = 5 Il è l unico fattore che compare nella scomposizione di tutti e tre i numeri con un esponente minimo pari a, quindi sceglieremo. Abbiamo perciò il seguente MCD. MCD(4;8;0) = = 4 Algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD L algoritmo di Euclide è un metodo per il calcolo veloce di un MCD tra due numeri attraverso divisioni successive. Tale metodo permette di guadagnare tempo se i due numeri hanno un valore abbastanza alto e la loro scomposizione risulterebbe spesso lunga e talvolta impraticabile. Descriviamo l algoritmo con un esempio. Consideriamo i seguenti due numeri: 575 e 60. Iniziamo con il dividere il numero più grande 575 per quello più piccolo 60. Per compiere tale divisione in modo veloce possiamo pensare a quante volte il 60 è contenuto in 575. Ovviamente 60 è sicuramente contenuto una sola volta nel 575, di seguito lo moltiplichiamo per per capire se è contenuto due volte: 60 =40. Ci fermiamo a questo punto poiché capiamo che moltiplicare 60 per ci porterebbe ad un numero superiore a 575. Per calcolare il resto della divisione basta calcolare la seguente sottrazione: =5. Quindi possiamo scrivere schematicamente: 575=60 +5 Dobbiamo ora compiere il secondo passaggio dell algoritmo, calcolando la nuova divisione tra il numero 60, divisore del passaggio precedente, ed il resto 5. Notiamo che 5 5=675 che supera 60, mentre 5 4=40 che è contenuto nel 60. Il nuovo resto sarà 60-40=80. Riassumiamo quindi i due primi passaggi compiuti e, schematicamente, descriviamo i passaggi successivi: 575 = = = = MCD(575;60)=5 55 = 5 0 Come si nota dallo schema che riassume i passaggi, ad un certo punto la divisione dà resto pari a zero (55=5 +0). A quel punto l algoritmo si arresta e l ultimo resto non nullo, che si trova nel

6 passaggio precedente ed è pari a 5, costituisce il MCD dei due numeri presi in considerazione. Quindi: MCD(575;60)=5 Quesiti Risolti Un quesito basilare, che richiede il semplice calcolo di un MCD, può essere il seguente: Quanto vale il massimo comun divisore dei numeri, 4 e 0? A) 5 B) C) 4 D) 6 E) 0 Scomponiamo i tre numeri: = 4= 0= 5 Raccogliendo i fattori comuni con il minimo esponente abbiamo: MCD(;4;0) = = 4 (Risposta C) Di seguito proponiamo invece un quesito tipico di logica nel quale bisogna mettere a frutto la definizione del massimo comun divisore in un contesto pratico. Quattro libri che hanno rispettivamente 08, 9, 40 e 04 pagine, devono comporsi in fascicoli aventi ciascuno lo stesso numero di pagine. Qual è il massimo numero di pagine che può avere ogni fascicolo? A) 6 B) C) 4 D) 6 E) 0 Per creare una serie di fascicoli da un libro costituito da un certo numero di pagine occorre che i fascicoli abbiano un numero di pagine pari ad un divisore del numero totale di pagine del libro. Ad esempio il libro con 08 pagine può essere scomposto in due fascicoli da 04 pagine (04 è un divisore di 08) oppure in 4 fascicoli da 5 pagine (5 è ancora un divisore di 08). Lo stesso discorso vale per gli altri tre libri. Per creare, però, dei fascicoli, per ognuno dei quattro libri, che abbiano lo stesso numero di pagine, facendo in modo che questo sia il maggiore possibile, è necessario calcolare il massimo comun divisore dei quattro numeri di pagine presenti nei quattro libri.

7 Per cui: 4 08 = = = MCD(08;9;40;04) = 4 = 6 (Risposta A) = Esercizi ) Un fioraio deve utilizzare 8 rose e 6 garofani per preparare alcuni mazzi contenenti ciascuno lo stesso numero di fiori, tutti dello stesso tipo. Qual è il massimo numero di fiori di ciascun mazzo? A) B) 4 C) 6 D) 7 E) ) Quanto vale il Massimo Comune Divisore dei numeri 05, e 6? A) B) 7 C) D) 05 E) 6 ) Due motociclisti partono insieme per una corsa su una pista: il primo compie un giro ogni 0 secondi e il secondo ogni 0 secondi. Dopo quanto tempo si troveranno a passare insieme per la prima volta sulla linea di partenza? A) 60 secondi B) 600 secondi C) 0 secondi D) 00 secondi E) 90 secondi 4) Dalla stazione di Napoli alle 8.00 partono contemporaneamente due treni, uno diretto a Roma e l altro a Bari. Sapendo che da Napoli un treno per Roma parte ogni ore e un treno per Bari parte ogni 5 ore, dopo quante ore due treni ripartiranno insieme da Napoli per le stesse stazioni? A) 0 ore B) 7 ore C) 0 ore D) 5 ore E) ore 5) Quanto vale il minimo comune multiplo dei numeri, 5 e 8? A) 4 B) 0

8 C) 8 D) 0 E) 60 Risposte corrette ) B ) C ) A 4) A 5) D Soluzioni ) Siccome i mazzi devono contenere tutti lo stesso quantitativo di fiori, tutti dello stesso tipo (o solo rose o solo garofani) allora dovremo riferirci ai divisori di 8 (il numero di rose) e di 6 (il numero di garofani) per conoscere quanti fiori possono essere contenuti in ogni mazzo. In particolare con i divisori comuni potremo individuare il numero di fiori che possono essere contenuti in ciascun mazzo, facendo in modo che i mazzi di rose e di garofani abbiano lo stesso quantitativo di fiori. Infine con il massimo comun divisore individueremo il numero massimo di fiori con i quali possiamo costituire questi mazzi. Calcoliamo il massimo comun divisore di 8 e 6: = = Il massimo comun divisore è MCD(8;6)= =4. Quindi ognuno dei mazzi (sia esso costituito da soli garofani o da sole rose) conterrà 4 fiori. ) Calcoliamo il MCD dei tre numeri: = 5 7 = 7 05 = 7 Raccogliendo i due fattori in comune ( e 7) con il minimo esponente avremo che il massimo comun divisore è MCD(05;;6)= 7= ) Il primo motociclista passerà sulla linea di partenza dopo 0 secondi, poi dopo 40, poi ancora dopo 60 e così via In generale il suo passaggio avverrà dopo che sono trascorsi un numero di secondi pari ad un multiplo di 0. Il passaggio del secondo motociclista avverrà dopo che sono trascorsi un numero di secondi pari ad un multiplo di 0. Quindi, quando saranno passati un numero di secondi pari ad un multiplo sia di 0 che di 0, avremo il passaggio contemporaneo dei due motociclisti sulla linea di partenza. Per avere il numero minimo di secondi entro il quale entrambi passeranno sulla linea di partenza dobbiamo calcolare il minimo comune multiplo di 0 e 0. Abbiamo: 0 = 5 0 = 5

9 Per cui, raccogliendo fattori comuni e non comuni con il massimo esponente, abbiamo: mcm(0;0) = 5 = 60 secondi 4) I treni per Roma partono quando sono trascorse un numero di ore pari ad un multiplo di, mentre i treni per Bari partono dopo un numero di ore trascorse pari ad un multiplo di 5. I multipli in comune, tra e 5, rappresentano il numero di ore trascorse dopo le quali partono contemporaneamente sia il treno per Roma che quello per Bari. In particolare il minimo comune multiplo rappresenta il numero minimo di ore che bisogna attendere perché partano contemporaneamente sia il treno per Roma che quello per Bari. Il minimo comune multiplo tra e 5 è semplicemente il prodotto dei due numeri: mcm(;5)= 5=0. Bisognerà attendere 0 ore. 5) Calcoliamo il mcm dei tre numeri: = 5 5 5= 5 8 = Per cui, raccogliendo fattori comuni e non comuni con il massimo esponente, abbiamo: mcm(;5;8) = 5 = 0

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24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

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