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1 Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede spesso se si possa estendere la funzione f a un dominio più grande (magari a tutto R) ovvero se si possa definire una nuova funzione f su un insieme D f contenente D f (e quindi più grande) in modo tale che le due funzioni coincidano su D f e che inoltre la nuova funzione f mantenga sul suo dominio più grande qualche proprietà di regolarità (continuità, derivabilità) che la funzione f presenta su D f. Iniziamo con un esempio. Sia assegnata la funzione f(x) = x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da D f = R \ {} = (, ) (, + ). La funzione f è continua in tutto D f. Ricordiamo una volta per tutte la definizione di continuità di una funzione f in un punto in cui è definita. Definizione... Sia assegnata una funzione f : D f R R. Sia x D f. Se x è un punto isolato di D f (ovvero se esiste un intorno di x in cui non cadono punti del dominio D f ad eccezione di x stesso), la funzione f è banalmente continua in x. Se x è un punto di accumulazione di D f (ovvero se ogni intorno di x contiene almeno un punto di D f diverso da x ), la funzione f si dice continua in x se esistono finiti i iti x x ± f(x) e f(x) = f(x) = f(x ). () La funzione f si dice continua su tutto il dominio D f se lo è in ogni x D f. Osservazione. Se x D f è un punto di accumulazione di D f ma esiste finito solo il ite destro x x + f(x) (mentre non ha senso calcolare il ite sinistro di f per x che tende a x ), la funzione f si dirà continua da destra in x se f(x) = f(x ). Analogamente, se esiste finito solo il ite sinistro x x f(x) (mentre non ha senso calcolare il ite destro di f per x che tende a x ), la funzione f si dirà continua da sinistra in x se f(x) = f(x ). In particolare, una funzione f, continua in x D f, è continua sia da destra che da sinistra in x.

2 Torniamo al nostro esempio. La nostra f è continua in D f : questo è dovuto al fatto che la f è rapporto delle funzioni f (x) = e f 2 (x) = x, entrambe continue in D f (e il rapporto di due funzioni continue, definite sullo stesso dominio è una funzione continua sul dominio in questione, privato dei punti in cui la funzione a denominatore si annulla). Domanda. È sempre possibile prolungare la funzione f su un insieme più grande di D f? Vi chiederete cosa vuol dire prolungare una funzione? In aiuto vi viene la seguente definizione. Definizione..2. Sia assegnata una funzione f : D f R tale che D f R, D f R. Una funzione f : D f R si definisce prolungamento della funzione f a D f se valgono le seguenti condizioni i) D f D f ii) f = f su D f cioè f(x) = f(x) per ogni x D f. Fermiamoci per un momento a riflettere su questa definizione. Come viene definito il prolungamento f di f? Il suo dominio D f è un sottoinsieme di R (eventualmente tutto R) che contiene D f. Inoltre, qualunque x D f si prenda in considerazione (e dato che D f è contenuto in D f, ha perfettamente senso valutare f in un punto di D f ), il valore f(x) dovrà essere uguale a f(x). Torniamo ancora alla nostra funzione f(x) = x. Proviamo a costruire un prolungamento f della f. Quale sottoinsieme di R, più grande di D f, possiamo prendere come dominio di f? Più grande di Df è, nel nostro caso, solamente D f = R. Inoltre, per definizione di prolungamento, deve risultare f(x) x D f. Dunque la funzione f è già definita in D f = (, ) (, + ). Resta solo da definire il valore della f in. Siamo liberissimi di definire questo valore in modo del tutto arbitrario. Scegliamo un arbitrario numero reale, ad esempio, e poniamo f() =. In definitiva, la funzione f è definita come { f(x) = x se x D f = (, ) (, + ), se x = Mi ripeto. Avevate la possibilità di scegliere un qualsiasi valore per f(). Io ho scelto il valore, se ne sceglievo un altro, costruivo un diverso prolungamento a tutto R della funzione f (perchè diverso? Vi ricordo che due funzioni si dicono uguali se hanno lo stesso dominio e in ogni punto di questo dominio assumono esattamente gli stessi valori!). Come rispondiamo alla nostra domanda? Come segue: è sempre possibile definire un prolungamento di una funzione f di dominio strettamente contenuto in R e a valori in R. Anzi, abbiamo appena analizzato una situazione 2

3 in cui avremmo potuto produrre infiniti prolungamenti della f. Poniamoci un ulteriore domanda! La funzione f che abbiamo costruito è continua sul suo dominio, come lo era la f (da cui siamo partiti) sul suo? La nostra f è sicuramente continua in x se x varia in R\{} = D f. Questo fatto è banale. Scegliamo un x D f. Un tale x è sicuramente un punto di accumulazione di D f. Perchè f sia continua in un tale x dobbiamo verificare che la condizione () sia soddisfatta per x e la funzione f. Si ha che f(x) = f(x) = f(x). La seconda disuguaglianza è dovuta al fatto che la funzione f(x) = x è continua in qualsiasi x D f (e dunque quest uguaglianza è vera per la (), relativa al generico x D f e alla f), la prima e la terza disuguaglianze sono banalmente vere, dato che, nel nostro caso, f(x) = f(x) per ogni x D f (non andate avanti nella lettura se non vi è chiara quest ultima affermazione, eventualmente aiutatevi graficamente per capire perchè in questo caso si possa sostituire nel ite f con f!). Dunque, perchè il prolungamento f sia continuo su D f non ci resta che controllare se sia continuo in x =. Cosa dobbiamo controllare? Di nuovo, che i iti destro e sinistro della f per x esistano e che valga x + x f() =. Chiaramente queste disuguaglianze non hanno luogo, dato che il primo ite vale +, mentre il secondo (come si verifica sostituendo nei iti f con f: perchè? Dovrebbe essere ormai chiaro). Risultato netto: abbiamo sì prolungato la f a tutto R (cioè abbiamo costruito un prolungamento della f a R), ma con un risultato piuttosto parziale. La nuova funzione f non è continua nel punto x = con cui abbiamo arricchito il vecchio dominio della f. Qualcuno potrebbe obiettare: ma il fatto che il prolungamento f non sia continuo in non dipende per caso dalla scelta del valore che abbiamo attribuito a f()? Domanda assolutamente sensata. La risposta è però, in questo caso, negativa. Chiamiamo k il generico valore da attribuire a f(). Cerchiamo di scoprire come dovrebbe (se possibile) essere scelto k R in modo che il prolungamento f, definito come { f(x) = x se x D f = (, ) (, + ), k se x =, sia continuo in tutto il suo dominio (D f = R). Procedendo esattamente come prima, si tratta di scoprire per quale k R (i iti destro e sinistro della f per x che tende a esistono 3

4 indipendentemente dal valore assunto da k) risulta x + x f() = k. Evidentemente, dato che i primi due iti sono infiniti, non esiste nessun k in R che renda la funzione f continua in x = e quindi in tutto il suo dominio. In altre parole è sì possibile estendere la nostra f a tutto R, ma non lo si può mai fare con continuità. Implicitamente vi ho fornito anche una spiegazione del perchè si sia verificata questa situazione. I iti destro e sinistro del prolungamento f per x che tende al punto incriminato (ed è il punto nuovo, aggiunto al vecchio dominio della f per costruire quello di f) esistono ma sono infiniti. Osservazione 2. Osservate come abbia potuto sostituire nei iti dell esempio precedente f con f. Questo è dovuto (ebbene ve lo dico io, se non ci siete arrivati), al fatto che arbitrariamente vicino a x = (che non fa parte del dominio di f, ma è un estremo finito di D f nella sua scittura come unione di intervalli reali), la funzione f e la funzione f sono uguali, per definizione di prolungamento. Morale: è sempre possibile prolungare una funzione reale f di una variabile reale x, ma per ottenere un prolungamento continuo della f in un punto x R, appartenente agli estremi finiti del dominio di f, si deve controllare che i iti destro e sinistro della f per x x esistono, sono finiti e uguali. A questo punto basta definire f(x ) come il valore di questo ite, perchè il prolungamento f sia continuo in x o, come si dice, perchè f sia prolungabile con continuità nel punto x. Per completare il quadro, un esempio che sottolinea la piccola sottigliezza, emersa già nella definizione di continuità soprariportata. Sia assegnata la funzione f(x) = x ln x. Il dominio di questa funzione è l insieme D f = (, + ) e la funzione è continua sul suo dominio perchè prodotto di due funzioni continue. Ci chiediamo se sia possibile prolungare con continuità la funzione f per esempio all insieme [, + ). In questo caso è più corretto parlare di prolungabilità di f in x = con continuità destra, dato che richiediamo che il prolungamento f di f sia definito in [, + ) e non avrà senso considerare il ite sinistro di f per x. Dunque, in questa situazione basta che il solo ite destro della f esista, sia finito (e di fatti questo ite fa ) perchè il 4

5 prolungamento della f a [, + ) sia continuo in D f. Sarete d accordo che la funzione { f(x) = x ln x se x Df = (, + ), se x = è un prolungamento a [, + ) della f, continuo sul suo dominio D f eccezione di x = in cui f è continua solo destra). (ad Esercizio: trovate tre prolungamenti di f(x) = x ln x a tutto R che siano continui su tutto R e un prolungamento continuo della f a (, + ) e a (, 2 ) (, + ). Alla luce di quanto detto, torniamo per un istante all Esercizio 3 del Foglio 2. Cosa dovete fare? Prima di tutto determinate il dominio di ciascuna funzione e convincetevi che le funzioni in esame siano continue ove definite. A questo punto, quello che vi chiedo è di controllare se sia possibile prolungare con continuità (!) le funzioni in esame negli estremi finiti dei rispettivi domini. Dovrebbe essere piuttosto chiaro come procedere: scegliete un punto x, estremo del dominio della funzione sotto esame, e controllate quanto valgono i iti destro e sinistro della f per x x. Se questi valori esistono sono finiti e uguali, allora sarà possibile prolungare f con continuità in x (attribuendo a f in x esattamente il valore di questi iti). Se i iti sono finiti e diversi o se uno dei due iti è infinito o non esiste, non sarà possibile prolungare f con continuità in x (ovviamente, avrete capito che in alcuni casi si parla di prolungabilità con la sola continuità destra o con la sola continuità sinistra). 5

0 ) = lim. derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite

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