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1 STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1. Determinazione del Campo di Esistenza (Dominio); 2. Intersezione con gli assi; 3. Positività/Negatività della funzione (Studio del Segno); 4. Determinazione degli asintoti; 5. Definizione dei valori della funzione nei punti critici (Studio dei Limiti); 6. Studio della crescenza/decrescenza e massimi/minimi (Studio della Derivata Prima); 7. Studio della concavità/convessità e dei flessi (Studio della Derivata Seconda). Andiamo al seguito ad analizzare nel dettaglio tutti i punti dell elenco, aggiungendo alla spiegazione teorica un applicazione pratica al fine di ottenere una comprensione più immediata. Per far ciò definiamo la funzione: y = x2 + 1 x 1 Passaggio 1/7 - Determinazione del Campo di Esistenza (Dominio). Per dominio s intende la regione del piano nella quale è definita la funzione in esame. Generalmente si può dire che il dominio è l intero asse dei numeri reali eccetto i tre seguenti casi: Funzioni fratte: Il denominatore deve essere imposto diverso da zero. Funzioni logaritmiche: L argomento del logaritmo deve essere imposto strettamente maggiore di zero. Funzioni con radicali a indice pari: L argomento del radicale deve essere imposto maggiore o uguale a zero. In questo caso la funzione in esame è una funzione fratta, per cui si dovrà imporre il denominatore diverso da zero. Per cui si otterrà: x 1 0 x 1 Dominio: R {1} 1

2 Passaggio 2/7 - Intersezione con gli assi. Questo passaggio non è strettamente necessario per tracciare il grafico finale, poiché è un caso particolare dello studio del segno della funzione che si esegue al punto successivo. Tuttavia può essere comodo ottenere questi valori poiché possono essere usati come confronto per verificare se lo studio del segno è stato svolto correttamente e possono fornire una prima idea del comportamento qualitativo della funzione. Per calcolare le intersezioni con l asse delle ordinate si impone l ascissa pari a zero: y = f(0) Per calcolare le intersezioni con l asse delle ascisse si impone l ordinata pari a zero: 0 = f(x) Studiando le intersezioni della nostra funzione in esame si ottiene un unico valore per quanto riguarda le ordinate e nessuno per quanto riguarda le ascisse. Se y = 0: x2 + 1 x 1 = 0 x2 + 1 = 0 x 2 = 1 x R Se x = 0: y = 1 y = 1 1 Passaggio 3/7 - Positività/Negatività della funzione (Studio del Segno) Per effettuare questo punto si impone la funzione maggiore o uguale a zero e si verifica quando la funzione assume valori positivi e quando negativi. Tale punto è particolarmente utile per riuscire ad individuare in modo puramente qualitativo quali saranno le aree del piano effettivamente interessate nel grafico finale e quali invece non saranno toccate dalla curva. Come detto in precedenza, lo studio delle intersezioni della funzione con gli assi (in particolare per quanto riguarda quello dello ascisse) dovrà fornire risultati coerenti con lo studio del segno: almeno di asintoti verticali o di funzioni non definite continue, per ogni cambio di segno della funzione dovrà estere una soluzione, ovvero una intersezione con l asse delle ascisse. Lo studio del segno viene svolto separatamente per quanto riguarda il numeratore ed il denominatore (entrambi però imposti maggiori o uguali a zero) e solo una volta che si sono definiti gli intervalli si procede con una operazione di unione attraverso un grafico segni di questi per verificare quale sia l effettivo segno dell intera funzione. Lo studio del segno della funzione in esame non presenta particolari difficoltà in quanto al numeratore si ottiene un risultato triviale, mentre al denominatore esisterà un unico cambio di segno: Numeratore 0 x 2 1 x R 2

3 Passaggio 4/7 - Determinazione degli asintoti Denominatore x 1 0 x 1 y = y+ se x 1 y se x < 1 Quando si parla di asintoti, si intendono delle rette (o più generalmente delle curve) alle quali la funzione in analisi si avvicina indefinitamente, fino a raggiungere una distanza al limite pari a zero tendendo all infinito. E possibile identificare tre differenti tipologie di asintoto: Asintoto verticale: Ci si trova in presenza di un asintoto verticale quando la funzione, tendendo a un valore delle ascisse, cresce all infinito. Effettivamente il valore infinito è solo una convenzione matematica, in quanto non è un numero vero e proprio, per cui gli asintoti verticali non sono altro che quei valori delle ascisse per cui la funzione non è definita, ovvero quei punti che non fanno parte del campo di esistenza (calcolato al punto numero uno). Per verificare se il punto x=c è effettivamente un asintoto verticale, deve essere soddisfatta la seguente condizione: lim f(x) = x c Asintoto orizzontale: Ci si trova in presenza di un asintoto orizzontale nel caso in cui al crescere delle ascisse le funzione tende ad un valore finito delle ordinate. Per verificare se esiste un valore y=c tale che sia un asintoto orizzontale, deve essere soddisfatta la seguente condizione: lim f(x) = c ATTENZIONE: E POSSIBILE, CON UNA CERTA ESPERIENZA, VERIFICARE LA PRESENZA DI UN ASINTOTO ORIZZONTALE SEMPLICEMENTE OSSERVANDO LA FORMA DELLA FUNZIONE. NEL CASO IN CUI IL NUMERATORE ABBIA UN ORDINE DI INFINITO MAGGIORE RISPETTO AL DENOMINATORE NON ESISTERA ALCUN ASINTOTO ORIZZONTALE, NEL CASO IN CUI ABBIANO LO STESSO ORDINE L ASINTOTO SARA DETERMINATO DAL RAPPORTO TRA I COEFFICIENTI DELLE INCOGNITE A GRADO PIU ALTO, INFINE SE IL DENOMINATORE AVRA GRADO DI INFINITO SUPERIORE RISPETTO AL NUMERATORE, L ASINTOTO ORIZZONTALE SARA PROPRIO LA RETTA DELLE ASCISSE (OVVERO 0). Asintoto orizzontale: Ci si trova in presenza di un asintoto obliquo nel caso in cui la funzione, tendendo a infinito (condizione necessaria affinché esista questo tipo di asintoto), si avvicina a una retta obliqua. Esprimendo la retta dell asintoto nella forma esplicita è possibile calcolare i due parametri necessari tramite le seguenti espressioni: f(x) m = lim x q = lim (f(x) mx) 3

4 ATTENZIONE: E POSSIBILE CON UN CERTA ESPERIENZA, VERIFICARE LA PRESENZA DI UN ASINTOTO OBLIQUO SEMPLICEMENTE OSSERVANDO LA FORMA DELLA FUNZIONE. TALE ASINTOTO ESISTERA SOLO NEL CASO IN CUI IL NUMERATORE ABBIA UN ORDINE SUPERIORE DI UNO A QUELLO DEL DENOMINATORE. NEL CASO IN CUI L ORDINE SIA SUPERIORE DI DUE O PIU EFFETTIVAMENTE ESISTERA UN ASINTOTO MA NON SARA LINEARE, BENSì QUADRATICO, CUBICO ECC. Ritornando al primo punto dello studio di funzione è possibile verificare come la funzione in esame sia definita nell intero asse dei reali eccetto nel valore x=1, per cui si andrà adesso a verificare se effettivamente esiste un asintoto verticale in questo punto: lim x 1 x 1 = 2 0 Osservando la forma della funzione è possibile a priori determinare l assenza di un asintoto orizzontale, in quanto l ordine del numeratore è superiore a quello del denominatore, tuttavia procediamo con la verifica: lim x 1 Sempre osservando la forma della funzione è anche possibile determinare la presenza di un asintoto obliquo, in quanto il grado del numeratore è superiore di uno rispetto a quello del denominatore, per cui si procede a calcolare i coefficienti della retta di asintoto alla funzione: m = lim x 1 x = lim x 2 x = 1 q = lim x2 + 1 x 1 x 2 x x = lim = 1 x 1 1 = 1 Passaggio 5/7 - Definizione dei valori della funzione nei punti critici (Studio dei Limiti) Un passo molto importante al fine di ottenere una rappresentazione grafica corretta della funzione, è rappresentato dallo studio dei limiti, ovvero dall analisi della funzione nei propri punti critici, quali possono essere i punti che tendono all infinito o quelli che tendono ad un asintoto. In particolare, si ipotizzi il caso di un asintoto verticale, ma discorso analogo può essere fatto anche per l infinito, non ha senso studiare la funzione nel valore dell asintoto in quanto la funzione tenderà a quel valore senza raggiungerlo mai effettivamente; per questo motivo lo studio dei limiti in ogni punto critico si deve dividere in due, ovvero per i valori immediatamente precedenti (più piccoli), indicati comunemente con x -, e quelli immediatamente successivi (più grandi), indicati comunemente con x +. Di norma lo studio dei limiti comprende l analisi dei seguenti punti: 4

5 Valore infinito positivo. Valore infinito negativo. Asintoti verticali. ATTENZIONE: UN METODO PRATICO PER CALCOLARE IL LIMITE DESTRO E SINISTRO IN UN PUNTO, PER QUANTO NON TROPPO ORTODOSSO, CONSISTE NEL SOSTITUIRE EFFETTIVAMENTE UN VALORE (LEGGERMENTE PIU GRAND E O PIU PICCOLO A SECONDO DEI CASI) ED OSSERVARE IL risultato SENZA PRETENDERE CHE NELLA CALCOLATRICE APPAIA SCRITTO INFINITO! Nel caso in esame si deve procedere con l analisi di tutti e tre i punti appena elencati in quanto ci si trova in presenza anche di un asintoto verticale: f( ) = lim x 1 + f( ) = lim x x 1 f(1 ) = lim x 1 x 1 f(1 + ) = lim x 1 + x 1 + Passaggio 6/7 - Studio della crescenza/decrescenza e massimi/mini (Studio della Derivata Prima) E arrivato il momento di capire bene dove e come è messa la funzione sul piano, per fare questo è necessario studiare il segno della derivata prima. Tramite lo studio della derivata prima è infatti possibile determinare l andamento della funzione sul piano (crescenza o decrescenza) e quindi gli eventuali punti estremanti (massimi, minimi o flessi a tangente orizzontale). Si procede nello studio del segno della derivata prima analogamente a quanto già fatto per lo studio del segno della funzione: si studiano separatamente numeratore e denominatore e si studia poi il grafico dei segni. In particolare si ottengono: Funzione Crescente: Segno della derivata prima positivo; Funzione Decrescente: Segno della derivata prima negativo; Punto di Massimo: Derivata prima nulla. In precedenza il segno è positivo e successivamente diventa negativo; Punto di Minimo: Derivata prima nulla. In precedenza il segno è negativo e successivamente diventa positivo; Punto di Flesso Orizzontale: Derivata prima nulla. Il segno rimane invariato prima e dopo. 5

6 Ricordando le regole di derivazione per le funzioni fratte, si procede con il calcolo della derivata prima della funzione in esame e successivamente con la determinazione della crescenza/decrescenza e quindi dei massimi e minimi: f (x) = 2x(x 1) (x2 + 1) (x 1) 2 = x2 2x 1 (x 1) 2 Numeratore x 2 2x 1 0; x 1 = 1 2; x 2 = Denominatore (x 1) 2 x R Dallo studio del segno appena effettuato si può determinare l andamento della funzione: x 1 2 Crescente f(x) = 1 2 < x Decrescente x > Crescente Per cui da quanto appena ottenuto si possono determinare i valori dei punti di massimo e minimo: x = 1 2 Punto di Massimo x = Punto di Minimo Passaggio 7/7 - Studio della concavità/convessità e dei flessi (Studio della Derivata Seconda) L ultimo punto dello studio di funzione è necessario per definire quale sia la concavità della funzione ed, eventualmente, dove questa cambi concavità. E ovvio il fatto per cui lo studio della concavità dipende principalmente dal precedente studio della crescenza, per cui si deve avere la certezza che quella parte di analisi sia stata effettuata correttamente. Si procede nello studio del segno della derivata seconda analogamente a quanto già fatto per lo studio del segno della funzione e quello della derivata prima: si studiano separatamente numeratore e denominatore e si studia poi il grafico dei segni. In particolare si ottengono: Funzione con Concavità verso l Alto: Derivata seconda positiva; Funzione con Concavità verso il Basso: Derivata seconda negativa; Punto di Flesso: Derivata seconda nulla. ATTENZIONE: LO STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA SECONDA PUA RISULTARE UTILE ANCHE PER LA DETERMINAZIONE DEI PUNTI DI MASSIMO O MINIMO DI UNA FUNZIONE. CONSIDERANDO TUTTI I PUNTI IN CUI LA DERIVATA PRIMA E PARI A ZERO, SI HA UN PUNTO DI MASSIMO SE IN QUEL PUNTO LA DERIVATA SECONDA E NEGATIVA, O UN PUNTO DI MINIMO SE POSITIVA. 6

7 Ricordando le regole di derivazione per le funzioni fratte, si procede con il calcolo della derivata seconda della funzione in esame e successivamente con la determinazione della concavità e quindi con il calcolo degli eventuali punti di flesso: y (x) = (2x 2)(x 1)2 2(x 1)(x 2 2x 1) (x 1) 4 = 4x 4 (x 1) 4 Numeratore 4x 4 0; x 1 Denominatore (x 1) 4 x R Dallo studio del segno appena effettuato si può determinare la concavità della funzione: x < 1 Concavità verso il Basso f(x) = x > 1 Concavità verso l Alto In questo caso il cambio di concavità non è attribuibile a nessun flesso in quanto nel punto interessato è presente un asintoto verticale. Regola pratica per il disegno del grafico della funzione Nonostante lo studio della funzione sia stato completato con i precedenti sette passaggi, non è altrettanto vero che il disegno sia stato ultimato. Per non impazzire durante l operazione di tracciatura del grafico, si propongono i seguenti consigli: Cerca di seguire uno schema ordinato mentre sviluppi i vari punti dello studio id funzione, anziché riempire ogni angolo del foglio con numeri rappresentati chissà quale valore. Durante lo sviluppo dei sette passaggi, provvedi a eliminare quelle zone del grafico che già sai non saranno toccate dalla funzione. Non essere avaro con gli spazi riservati al grafico: grafico piccolo, funzione piccola! Mentre disegni la funzione, non spegnere il cervello, ma mantieni un certo spirito critico. Se i valori che escono fuori ti sembrano sballati forse possono essere sbagliati! Non consegnare mai un compito ufficiale scritto a matita, poiché non ha nessuna validità legale, tuttavia nessuno ti può impedire di usarla per abbozzare il disegno e poi ripassarlo a penna. 7

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