Liceo linguistico Trento Classi quarte vecchio ordinamento Studio di funzioni (prima parte) Visita il sito:

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1 Liceo linguistico Trento Classi quarte vecchio ordinamento Studio di funzioni (prima parte) Visita il sito: Esempio 1 y= f (x)= x 1 x 2 9 a Dominio: D= R { 3,3} Il denominatore deve essere diverso da zero: x risolvo l'equazione x 2 9=0 x 1 =3 ; x 2 = 3 e quindi il dominio è costituito da tutti i numeri reali esclusi x 1 =3; x 2 = 3. b Intersezioni: A (1;0 ), B ( 0 ; 1 9) { x 1 y= x 1 Intersezione con l'asse x: x 2 9 risolvo =0 x 2 9 y=0 x=1 e quindi il punto di intersezione con l'asse x è A(1;0) Intersezione con l'asse y: { x 1 y= x 2 9 x=0 calcolo y: y= 1 9 = 1 9 intersezione con l'asse y è B ( 0 ; 1 9) c Studio del segno e quindi il punto di Studiare il segno di una funzione significa trovare, qualora esistano, i valori della x per i quali la funzione (cioè la y) sia positiva, i valori della x per i quali la funzione sia negativa e i valori della x per i quali la funzione sia nulla. Questi ultimi numeri rappresentano le ascisse dei punti di intersezione con l'asse x. Questo studio è stato già fatto quando abbiamo trovato l'intersezione con l'asse x. Dobbiamo, pertanto, solo studiare per quali x la funzione risulti positiva o negativa. Per fare questo realizziamo lo schema seguente:

2 Notiamo subito che i pallini vuoti sui numeri -3 e 3 si giustificano per il fatto che essi non fanno parte del dominio. Il pallino vuoto sul numero 1 si giustifica per il fatto che, come già detto, siamo interessati solo a stabilire gli intervalli per i quali la funzione risulti positiva o negativa. Lo studio del segno ci permette di concludere che: f (x)< 0 se < x< 3 1< x<3 f (x)> 0 se 3< x< 1 3<x<+ d Regioni di piano attraversate dal grafico

3 I pallini pieni rappresentano i punti di intersezione della funzione con gli assi. I pallini vuoti rappresentano punti che non appartengono al dominio della funzione. Le regioni di piano colorate rappresentano le zone in cui non passa il grafico della funzione. Quelle non colorate rappresentano le regioni attraversate dal grafico della funzione. Queste regioni si ottengono ragionando come segue: dallo studio del segno possiamo dedurre che la funzione è negativa se < x < 3 1< x <3. Funzione negativa significa f(x)<0 ovvero y<0. y<0 individua il semipiano inferiore delle ordinate. Lasciamo, quindi, in bianco le regioni di piano in cui la funzione risulta negativa. Analogamente, la funzione è positiva se 3< x< 1 3< x <+. Funzione positiva significa f(x)>0, ovvero y>0. y>0 individua il semipiano superiore delle ordinate. Lasciamo, quindi, in bianco le regioni di piano in cui la funzione risulta positiva Con il grafico d termina lo studio per le classi quarte In quinta imparerete, sfruttando anche altri importanti concetti, a disegnare il grafico delle funzioni. Nel nostro caso il grafico è il seguente: Notiamo che il grafico passa per i punti contrassegnati dai pallini pieni ma non passa per quelli individuati dai pallini vuoti. Constatiamo che il grafico si trova esclusivamente nelle regioni non colorate.

4 Esempio 2 y= f (x)= x 1 x 2 9 a Dominio: D : 3< x 1 x >3 L'argomento della radice non può essere un numero negativo. Infatti la radice quadrata di un numero negativo non esiste. N.B. la radice quadrata di zero esiste: 0=0. x 1 La prima condizione da imporre è, pertanto: x La seconda condizione da imporre è che il denominatore dell'argomento risulti diverso da zero: x Le due condizioni devono essere verificate entrambe e, pertanto, per determinare il dominio della funzione dell'esempio 2 occorre risolvere il sistema seguente: { x 1 x x ovvero: 1. trovare le soluzioni della prima disequazione ed evidenziarle; 2. trovare le soluzioni della seconda disequazione ed evidenziarle, 3. individuare le soluzioni comuni alle due disequazioni. 1) Soluzioni della prima disequazione: occorre evidenziare le soluzioni non negative. (Osserva le strisce rosse!)

5 x 1 Le soluzioni non negative sono, infatti, le soluzioni di x Notiamo che sul numero 1 c'è un pallino pieno in quanto x=1 è anch'essa una soluzione di x 1 x Infatti, sostituendo 1 alla x, si ottiene 0 8 =0 2) Soluzioni della seconda disequazione: Occorre evidenziare tutti i numeri tranne -3 e 3. Questi ultimi, infatti, sono tali per cui x 2 9=0 mentre tutti gli altri sono tali per cui x ) Soluzioni comuni Soluzioni del sistema Le soluzioni comuni, ovvero le soluzioni del sistema che nel nostro caso costituiscono il dominio della funzione sono: D : 3< x 1 x >3 Ricordati che alla fine devi considerare le zone rosse che sono comuni alla prima e alla seconda disequazione. Alla fine non devi più guardare i segni ma solo le strisce rosse comuni. b Intersezioni: A (1;0 ), B ( 0 ; 1 3). Intersezione con l'asse x: { y= x 1 x 2 9 y=0 risolviamo x 1 x 2 9 =0 x 1 =0 x=1 x 2 9

6 e quindi il punto di intersezione con l'asse x è A(1;0) Intersezione con l'asse y: {y= x 1 x 2 9 x=0 calcoliamo x 1 x 2 9 = = 1 9 = 1 3 e quindi il punto di intersezione con l'asse y è B ( 0 ; 1 3) c Studio del segno Nel caso in cui la funzione sia una radice quadrata lo studio del segno è immediato: la funzione è maggiore o uguale a zero per ogni x appartenente al dominio. In simboli scriviamo: f (x) 0 x D N.B. ( = per ogni ; =appartiene) Nel nostro caso la funzione y= f (x)= x 1 è una radice quadrata. Essa è sempre un numero x 2 9 maggiore o uguale a zero ovvero è sempre non negativa. Chiariamo questo punto: quando risolvi, ad esempio, l'equazione x 2 =4, trovi le due soluzioni: x 1 = 4 e x 2 = 4. Nota, quindi, che se consideri la prima radice, il risultato è 2, numero non negativo. Se invece consideri l'altra radice, allora il risultato è -2, numero non positivo. Pertanto: argomento 0 x D mentre argomento 0 x D

7 d Regioni di piano attraversate dal grafico I pallini pieni rappresentano i punti di intersezione della funzione con gli assi. I pallini vuoti rappresentano punti che non appartengono al dominio della funzione. Il dominio è D : 3< x 1 x >3 quindi i numeri appartenenti all'intervallo I : < x 3 1< x 3 non fanno parte del dominio. Per questi valori la funzione non esiste e pertanto occorre colorare le due regioni di piano a cui non siamo interessati ovvero quelle individuate dall'intervallo I sia dalla parte delle y positive sia da quella delle y negative. f (x) 0 x D significa che y 0 e quindi dobbiamo colorare la parte di piano a cui non siamo interessati ovvero tutto il semipiano delle y negative.

8 Con il grafico d termina lo studio per le classi quarte In quinta imparerete, sfruttando anche altri importanti concetti, a disegnare il grafico delle funzioni. Nel nostro caso il grafico è il seguente: Notiamo anche in questo caso che il grafico passa per i punti contrassegnati dai pallini pieni ma non passa per quelli individuati dai pallini vuoti. Constatiamo che il grafico si trova esclusivamente nelle regioni non colorate.

9 Esempio 3 y= f (x)= 2x 1 1+ lnx N.B. lnx è il logaritmo naturale (o di Nepero) in base e con e 2.72 a Dominio: D :0< x<e e< x<+ Il dominio si trova impostando il sistema seguente: { x>0 1+ lnx 0 Infatti la condizione x>0 garantisce l'esistenza del logaritmo mentre la seconda condizione garantisce che il denominatore della funzione non si annulli. Per individuare le soluzioni del sistema di disequazioni si procede come segue: si risolve l'equazione 1+lnx=0 lnx=1 x=e. Si osserva quindi che le soluzioni cercate sono date da x e con la condizione aggiuntiva imposta dalla prima disequazione ovvero x>0: Quindi D :0< x<e e< x<+ In alternativa si può ragionare come segue: la prima disequazione è già risolta: x>0 La seconda disequazione implica x<0 x e. La zona nera ci ricorda che il logaritmo non esiste se

10 Soluzione del sistema: e D :0< x<e e< x<+ b Intersezioni: in questo caso non esistono intersezioni Intersezione asse x: { 2 x 1 y= 1+ lnx y=0 risolviamo 2x 1 1+lnx =0 2x 1=0 2 x =2 0 x=0 notiamo però che la soluzione x=0 non è accettabile in quanto essa non appartiene al dominio. N.b: ricordati sempre di controllare che le soluzioni siano accettabili! Intersezione asse y: per trovare l'intersezione con l'asse y dovrei porre x=0 e calcolare la y corrispondente. Dato che x=0 non fa parte del dominio questo calcolo è privo di senso e pertanto nemmeno l'intersezione con l'asse y esiste.

11 c Studio del segno Studiare il segno di una funzione significa trovare, se esistono, i valori della x per i quali la funzione (cioè la y) risulti positiva, trovare, se esistono, i valori della x per i quali la funzione sia negativa e trovare, se esistono, i valori della x per i quali la funzione sia nulla. I valori della x per i quali la funzione è zero sono le ascisse dei punti di intersezione con l'asse x che nel nostro caso non esistono. Dobbiamo, pertanto, solo studiare per quali x la funzione sia positiva o negativa. Per fare questo realizziamo lo schema dei segni seguente: e Prima linea Risolviamo 2 x 1>0 2 x >1 2 x >2 0 x>0. Quindi a destra dello zero mettiamo più e a sinistra mettiamo meno. Seconda linea Risolviamo 1+lnx> 0 lnx>1 lnx>lne x> e,quindi a destra di e mettiamo più e a sinistra mettiamo meno. Naturalmente nella regione x<0 mettiamo una striscia nera in quanto per questi numeri il logaritmo non esiste. Lo studio del segno ci permette di concludere che: f (x)<0 se 0< x<e f (x)>0 se x>e

12 d Regioni di piano attraversate dal grafico Non ci sono i pallini pieni in quanto mancano le intersezioni con gli assi. I pallini vuoti rappresentano punti che non appartengono al dominio della funzione. Se x<0 la funzione non esiste e quindi coloriamo tutta questa regione sia dalla parte positiva delle y che da quella negativa. Se 0< x< e la funzione è negativa quindi coloriamo la regione di piano corrispondente a y>0. Se x >e la funzione è positiva e quindi coloriamo la regione di piano corrispondente a y<0.

13 Con il grafico d termina lo studio per le classi quarte In quinta imparerete, sfruttando anche altri importanti concetti, a disegnare il grafico delle funzioni. Nel nostro caso il grafico è il seguente:

14 Esempio 4 y= f (x)= 2x 1 1+lnx a Dominio: D : x>e Il dominio si trova impostando il sistema seguente: { 2 x 1 1+lnx 0 1+ lnx 0 x>0 La prima disequazione garantisce che l'argomento della radice risulti maggiore o uguale a zero. La seconda disequazione garantisce che il denominatore sia diverso da zero. La terza condizione garantisce l'esistenza del logaritmo. Dobbiamo quindi risolvere tre disequazioni e successivamente prendere le soluzioni comuni. Prima disequazione: 2 x 1 1+lnx 0 Abbiamo evidenziato, in rosso, le soluzioni positive. Siamo interessati, questa volta, alle soluzioni che rendono la funzione maggiore oppure uguale a zero: dobbiamo porci il problema dei pallini pieni o vuoti. Prima linea: c'è un pallino pieno. Infatti, per quanto riguarda il numeratore, la soluzione 0 è accettabile. Seconda linea: ci sono due pallini vuoti. Infatti, per quanto riguarda il denominatore, lo 0 e il numero e non sono accettabili. (...perché?).

15 Seconda disequazione: 1+lnx 0 x e. La striscia nera ci ricorda che il logaritmo non esiste se x<0. o Terza disequazione: x>0 Il dominio lo troviamo, pertanto, individuando le soluzioni comuni a tutte e tre le disequazioni: D : x>e b Intersezioni In questo caso non esistono intersezioni

16 Intersezione asse x: { y= 2 x 1 1+lnx y=0 risolvo 2x 1 1+lnx =0 2x 1 1+lnx =0 2x =2 0 x=0 Come già precedente osservato la soluzione x=0 non è accettabile in quanto essa non appartiene al dominio. N.b: ricordati sempre di controllare che le soluzioni siano accettabili! Intersezione asse y Come abbiamo già avuto modo di osservare, per trovare l'intersezione con l'asse y dovremmo porre x=0 e calcolare la y corrispondente. Dato che x=0 non fa parte del dominio questo calcolo è privo di senso e pertanto nemmeno l'intersezione con l'asse y esiste. c Studio del segno Come già osservato, nel caso in cui la funzione è una radice quadrata lo studio del segno è immediato: la funzione è maggiore o uguale a zero per ogni x appartenente al dominio. In simboli scriviamo: f (x) 0 x D

17 d Regioni di piano attraversate dal grafico Ragionando in modo simile a quanto già fatto possiamo realizzare il grafico seguente: Con il grafico d termina lo studio per le classi quarte Riportiamo, per completezza, il grafico completo:

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