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1 FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti tre condizioni: x 0 deve appartenere al dominio D della funzione x 0 D), quindi ha senso calcolare fx 0 ); esistono finiti e coincidenti i iti l 1, l, l 1 = l = l ; deve essere fx 0 ) = l. Se una funzione è continua per ogni x 0 D, allora diremo che f è continua in tutto D. 1.1) Esercizio Data la funzione x ]0; + [, 1 ln x 0 x = 0, stabilire se essa è continua in x 0 = 0. Soluzione. La funzione è definita in D f = [0; + [. Per verificare quanto richiesto dobbiamo rifarci alla definizione di funzione continua. Anzitutto 0 D f e f0) = 0. Controlliamo i iti: l = x 0 ± x 0 ± 1 ln x = + = 0+. Dal fatto che l = f0), deduciamo che f è continua in x 0 = 0. 1.) Esercizio Si consideri la funzione x x 1). Determinare il dominio D f e studiare la continuità della funzione. Soluzione. Il dominio della funzione data è D f = x R : x x 1) 0 } = 0} [1; + [. La funzione è continua nel suo dominio perchè y = fx) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. 1.3) Esercizio Si consideri la funzione x + x 6 x x. Determinare il dominio D f e studiare la continuità della funzione data. Soluzione. Il dominio della funzione risulta essere D f = x R : x x 0 } = R \ 1; } =] ; 1[ ] 1; [ ]; + [. 1

2 SIMONE ALGHISI Analizziamo ora i iti della funzione quando la variabile indipendente x tente a 1 e. x 1 ± x + x 6 x 1 ± x x = x )x + 3) x 1 ± x )x + 1) =. x + x 6 x ± x ± x x = 5 3. La funzione non è continua in x = 1 poichè i iti corrispondenti sono infiniti. La funzione non è continua nemmeno in x = in quanto f) non esiste sebbene i iti destro e sinistro esistano finiti. 1.4) Esercizio Si consideri la funzione x 1. Stabilire se essa è continua nel punto x 0 = 1. Soluzione. É immediato verificare che il dominio della funzione data è D f = R. Inoltre x 1 se x 1, 1 x se x < 1. Notiamo che f1) = 0. Inoltre x) = 0, 1 1) = x Dal fatto che i due iti esistano finiti coincidenti e siano uguali a f1), possiamo dire che la funzione è continua in x 0 = ) Esercizio Determinare il valore del parametro k R in modo tale che la funzione y = fx) definita da x + 1 se x 1, 3 kx se x > 1, sia continua nel suo dominio. Soluzione. Il dominio della funzione è D f = R. Il punto che potrebbe portare ad una discontinuità è x 0 = 1 il punto di raccordo tra le due funzioni). Analizziamo i iti destro e sinistro di x 0 = ) =, x 3 kx ) = 3 k. + + La funzione è continua in x 0 = 1 se i due iti esistono finiti coincidenti e sono uguali a f1): f1) = = 3 k k = 1. La funzione richiesta è quindi la seguente: x + 1 se x 1, 3 x se x > 1,

3 FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI 3 1.6) Esercizio Determinare i valori dei parametri a, b R in modo tale che la funzione y = fx) definita da log 3 x + 1) se 1 < x 0, a sin x + b cos x se 0 < x < π/, x se x π/, risulti essere continua nel suo dominio. Soluzione. Analizzando le tre funzioni componenti e confrantando i corrispondenti domini con gli intervalli a fianco di ogni funzione permette di affermare che D f = R. I punti dubbi sono x = 0 e x = π/. Calcoliamo i iti destri e sinistri corrispondenti. log 31 + x) = 0 = f0), x 0 x 0 sin x + b cos x) = b, x 0 + x 0 +a Dall analisi dei primi due iti deduciamo che b = 0. a sin x + b cos x) = a, x π x π x = π π x π + x π + = f, quindi deve essere a = π/. La funzione così ottenuta ha la seguente espressione analitica: log 3 x + 1) se 1 < x 0, π sin x se 0 < x < π/, x se x π/, ). Punti di discontinuità di una funzione Quando una funzione y = fx), definita in un dominio D R, non risulta essere continua in un punto x 0 D diremo che la funzione è discontinua nel punto x 0. É possibile classificare il tipo di discontiniuità della funzione nel punto x 0. Esistono tre specie di discontinuità..1) Definizione Una funzione y = fx) presenta un discontinuità di prima specie se l 1, l, con l 1 e l finiti ma l 1 l. In tal caso chiamiamo salto della funzione il numero s = l 1 l..) Definizione Una funzione y = fx) presenta un discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due iti fx) oppure fx) risulta essere + o..3) Definizione Una funzione y = fx) presenta un discontinuità di terza specie detta anche einabile) se l R, ma la funzione non esiste in x 0 oppure fx 0 ) l.

4 4 SIMONE ALGHISI.4) Osservazione La condizione richiesta sui iti per la discontinuità di terza specie equivale ad affermare che la funzione y = fx) ammette ite per x x 0. Infatti, una funzione ammette ite x x 0 l, se, e solo se, i iti destro e sinistro esistono coincidenti: l x x 0 = l.5) Esercizio Classificare le eventuali discontinuità della funzione e 1/x. Soluzione. La funzione ha come dominio D f = R \ 0}. Classifichiamo il punto x 0 = 0. Esso è di accumulazione per il dominio D f. Dall analisi dei iti x 0 e 1/x = [ e ] = 0, e x 0 + e 1/x = [ e ] = 0, si deduce che x 0 = 0 è di terza specie poichè la funzione non esiste in 0..6) Esercizio Classificare le eventuali discontinuità della funzione 5 + log x. Soluzione. La funzione ha come dominio l insieme Analizziamo i iti destro e sinistro: D f = x R : x > 0} = R \ 0}. x 0 x 0 x log x)) =, + log x) =. + x 0 +5 Possiamo dedurre che il punto x 0 = 0 è di seconda specie..7) Esercizio Classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione 1 x 1 < x < 1, 1 x 1, x 1 x 1. Soluzione. Le singole funzioni componenti hanno per dominio R. La funzione y = fx) ha per dominio R. I punti candidati ad essere di discontinuità sono i punti di raccordo tra le tre funzioni: x = 1 e x = 1. Iniziamo con l analizzare il punto x = 1. x 1 ) = 0, x 1 x 1 x ) = x 1 + x ) = 0. x 1 +1 Inoltre f 1) = 0, quindi la funzione è continua in x = 1. Concentriamoci ora sul punto x = 1: x ) = 0, 1 = )

5 FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI 5 Essendo i due iti finiti ma diversi possiamo affermare che la funzione non è continua in x = 1 discontinuità di prima specie con salto s = 1 0 = 1)..8) Esercizio Studiare gli eventuali punti di discontinuità della funzione f : R R definita da ln x ) 1 ln x se x 0, x ±e 1/, ) se x = 0 o x = ±e 1/. Soluzione. Il dominio D f della funzione y = fx) è l insieme D f = x R : x > 0, 1 + ln x 0 } = R \ 0, e 1/, e 1/}. I punti che dobbiamo analizzare sono proprio quelli esclusi dal dominio D f. Iniziamo con x 0 = 0. ln x 1 x 0 ± ln x + 1 = ln x ) 1 1 ln x x 0 ± ln x ) = 1, ln x 1 dove si è utilizzato il fatto che = 0. Poichè i iti destro e sinistro esistono finiti x 0 ± ln x coincidenti e sono uguali a f0) = 1, possiamo affermare che la funzione è continua in x 0 = 0. Consideriamo ora x 0 = e 1/. ln x 1 x e 1/ ) ± ln x + 1 = ln e 1/ ) 1 ln e 1/) = ln e ln e =. Nel punto x 0 = e 1/ è presente una discontinuità di seconda specie. Procedendo in modo analogo per x 0 = e 1/, si verifica facilmente che anche in tale punto è presente una discontinuità di seconda specie. 3. Teoremi relativi alle funzioni continue 3.1) Teorema di Weierstrass) Se una funzione y = fx) è continua nell intervallo chiuso e itato [a; b], allora la funzione assume, in tale intervallo, un valore massimo M ed un valore minimo m e assume, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo. Si è soliti indicare il massimo ed il minimo di una funzione nel modo seguente: M = max x [a;b] fx), m = min x [a;b] fx), dove si è messo in risalto l intervallo nel quale è presente il punto di massimo e il punto di minimo. 3.) Teorema di esistenza degli zeri) Se una funzione y = fx) è continua nell intervallo chiuso e itato [a; b] e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto x 0 [a; b] in cui si ha fx 0 ) = ) Esercizio Verificare se è possibile applicare il Teorema di Weierstrass alla funzione 5x x 4 6 nell intervallo I = [1; 4]. Soluzione. Il dominio della funzione data è D f = x R : 5x x }.

6 6 SIMONE ALGHISI Risolvendo la disequazione 5x x o la disequazione equivalente x 4 5x + 6 0) mediante la sostituzione x = t, si ottiene [ D f = 3; ] [ ] ; 3. Dal fatto che in I la funzione è definita e continua, possiamo affermare che in I la funzione ammette massimo e minimo. 3.4) Esercizio Stabilire per quale valore di k R la funzione k x 4kx 0 x 1, 6 log x 3 1 < x 3, verifica le ipotesi il Teorema di Weierstrass nell intervallo I = [0; 3]. Soluzione. La funzione deve essere definita e continua in I. Per definizione della funzione essa risulta essere ben definita nell intervallo I = [0; 3]. Vediamo se soddisfa la continuità in I. L unico punto dubbio è x = 1. Controlliamo i iti destro e sinistro: k x 4kx ) = k 4k, log x 3) = Poichè y = fx) deve essere continua in x = 1 dobbiamo imporre che i due iti calcolati sopra coincidano: k 4k = 3 k 4k + 3 = 0. Risolvendo l equazione di secondo grado si ottengono due valori per k e precisamente k = 1 e k = ) Esercizio Si consideri la funzione log x + x. Dire se è possibile applicare il Teorema degli zeri alla funzione y = fx) nell intervallo I = [ 1 4 ; 1]. Soluzione. Poichè la funzione ha come dominio D f =]0; + [ e I D f possiamo affermare che la funzione è continua in I. Inoltre f1/4) < 0 e f1) > 0. Dal fatto che la funzione assume valori discordi agli estremi dell intervallo I possiamo affermare che la funzione possiede almeno un punto x 0 I tale che fx 0 ) = 0.

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