Le derivate versione 4

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Le derivate versione 4"

Transcript

1 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta passante per questi due punti a per equazione y y m(x x ) ed il valore di m ossia del coefficiente angolare della retta sarà dato da m y 2 y x 2 x Ad esempio se si vuole trovare l equazione della retta passante per i punti A(, 3) e B(2, 4) procediamo come segue: troviamo l equazione della retta passante per il punto A ce sarà data da y 3 m(x ) troviamo il valore del coefficiente angolare della retta passante per A e B ce sarà dato da l equazione della retta cercata sarà data da m y 3 (x ) ossia y x Il rapporto incrementale Consideriamo ora una funzione generica f(x) definita in un dominio D f punti qualsiasi di tale dominio dati da: qualsiasi. Consideriamo due il punto x 0 il punto x 0 + e calcoliamo il valore assunto dalla funzione f(x) in tali punti ottenendo: per il punto x 0 il valore f(x 0 ) per il punto x 0 + il valore f(x 0 + ) In tal modo abbiamo identificato due punti nel piano cartesiano:

2 2 Il rapporto incrementale f(x 0 + ) B[x 0+,f(x 0+)] f(x) f(x 0 ) A[x 0,f(x 0)] x 0 x x 0 + Figura : Rapporto incrementale il punto A[x 0, f(x 0 )] il punto B[x 0 +, f(x 0 + )] come evidenziato nella figura. quantità: Consideriamo i seguenti esempi: Il rapporto incrementale della funzione f(x) sarà allora dato dalla RI(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) data la funzione f(x) x 2 ed il punto x 0 il rapporto incrementale di tale funzione sarà dato da: RI() ( + ) data la funzione f(x) x 2 + x ed il punto x 0 il rapporto incrementale di tale funzione sarà dato da: RI() ( + )2 + ( + ) ( data la funzione f(x) 2x + ed il punto x 0 2 il rapporto incrementale di tale funzione sarà dato da: 2(2 + ) + 5 RI(2) In certi casi si preferisce non specificare il valore del punto x 0 rispetto al quale si calcola il rapporto incrementale ottenendo un questo caso la funzione rapporto incrementale ce risulterà così definita: RI(x) f(x + ) f(x) Il vantaggio di questo modo di procedere rispetto al precedente sta nel fatto ce una volta calcolata l espressione di RI(x)il rapporto incrementale potrà essere calcolato per ogni valore di x 0 tramite una semplice operazione di sostituzione. Si vedano i seguenti esempi: data la funzione f(x) x 2 la funzione rapporto incrementale sarà data da: e quindi si avrà ce: RI(x) (x + )2 x x + 2x derivate 2 rb

3 4 Calcolo della derivata di una funzione se x 0 allora RI() + 2 se x 0 2 allora RI(2) + 4 data la funzione f(x) x + 2 la funzione rapporto incrementale sarà data da: e quindi si avrà ce: RI(x) x x + 2 se x 0 allora RI() +3 3 se x 0 2 allora RI(2) Definizione di derivata Siamo ora in grado di dare la definizione di derivata: Definizione 3. (di derivata) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 A. Prende il nome di derivata della funzione f(x) nel punto x 0 il ite del rapporto incrementale per ce tende ad 0 se tale ite esiste ed è finito. La derivata della funzione f(x) calcolata nel punto x 0 verrà indicata con il simbolo f (x 0 ) ed in simboli si avrà allora ce: f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) RI(x 0 ) 0 0 se tale ite esiste ed è finito. Diamo ance la seguente definizione: Definizione 3.2 (di funzione derivabile) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 A. Tale funzione si dice derivabile nel punto x 0 A se esiste la derivata della funzione in x 0 ossia se esiste il valore di f (x 0 ). 4 Calcolo della derivata di una funzione Vogliamo in questo paragrafo vedere alcuni esempi di calcolo della derivata di una funzione in un punto ce calcoleremo utilizzando la definizione data nel paragrafo precedente. Si avranno allora i seguenti esempi: la derivata della funzione f(x) x 2 nel punto x 0 2 sarà data da: f (2) (2 + ) ( + 4) 4 0 la derivata della funzione f(x) x nel punto x 0 2 sarà data da: f (2) la derivata della funzione f(x) x nel punto x 0 2 sarà data da: f (2) (2 + ) 4 derivate 3 rb

4 6 La funzione derivata 5 Significato geometrico della derivata La derivata di una funzione f(x) calcolata in un punto x 0 a un significato geometrico ben preciso. Se consideriamo due punti di coordinate A[x 0, f(x 0 )] B[x 0 +, f(x 0 + )] sappiamo da quanto detto ce la il rapporto incrementale RI(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) coincide con il coefficiente angolare della retta passante per i punti A e B ossia si avrà ce: m RI(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) Consideriamo ancora la figura, al tendere di a 0 il punto B si muove sulla curva f(x) avvicinandosi sempre di più al punto A e la retta passante per i punti A e B viene a coincidere con la retta tangente la funzione nel punto A. Ora se f(x) è derivabile in x 0 si avrà ce: e quindi si avrà ce: f (x 0 ) 0 RI(x 0 ) 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) m f (x 0 ) Da questo fatto possiamo dire ce la derivata della funzione f(x) calcolata nel punto x 0 è uguale al coefficiente angolare della retta tangente la funzione stessa nel punto x 0 Da queste considerazioni di carattere geometrico è ance immediato calcolare l equazione di una retta tangente una funzione in un suo punto particolare. Il procedimento da seguire è illustrato nel seguente esempio. Calcolare l equazione della retta tangente la funzione f(x) x 3 nel punto di ascissa x 0 2. Il punto di tangenza sarà dato allora da: (x 0, f(x 0 )) (2, 8) e quindi l equazione della retta passante per questo punto sarà data da: y 8 m(x 2) Il valore di m si ottiene dunque calcolando la derivata della funzione f(x) x 3 nel punto x 0 2 e sarà data da: m f (2 + ) 3 8 (2) 2 0 da cui l equazione della retta tangente cercata sarà data da: 6 La funzione derivata y 8 2(x 2) Se non si specifica il valore del punto x 0 rispetto al quale si calcola la derivata della funzione f(x) otteniamo come risultato del ite non la derivata della funzione calcolata in un punto ma una funzione derivata la quale per ogni valore di x determina la derivata della funzione in quel punto particolare. Possiamo allora dare la seguente definizione: Definizione 6. (di funzione derivata) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R. Prende il nome difunzione derivata della funzione f(x) il ite della funzione rapporto incrementale per ce tende ad 0 nei casi in cui tale ite esiste ed è finito. La funzione derivata della funzione f(x) verrà indicata con il simbolo f (x) ed in simboli si avrà allora ce: f f(x + ) f(x) (x) RI(x) 0 0 nei casi in cui tale ite esiste ed è finito. derivate 4 rb

5 8 Calcolo della funzione derivata 7 Dominio della funzione f(x) e della funzione derivata f (x) Dobbiamo a questo punto fare una importante precisazione. La funzione f(x) avrà un proprio dominio ce indiciamo con D f mentre la funzione derivata avrà un altro dominio ce indiciamo con D f. Si potranno allora verificare i seguenti casi: D f D f in questo caso la funzione f(x) è derivabile in tutti i punti in cui è definita D f D f in questo caso la funzione f(x) non è derivabile in tutti i punti in cui è definita in quanto in alcuni punti la funzione derivata non è definita D f D f in questo caso la funzione f(x) è derivabile in tutti i punti in cui è definita in quanto per i punti in cui non è definita il fatto ce esista la funzione derivata non a alcuna importanza Da questa osservazione emerge quindi il fatto ce una volta calcolata la funzione derivata sia necessario calcolarne ance il dominio e verificare i punti in cui essa non è derivabile. Questo fatto sarà di fondamentale importanza nella applicazione dei teoremi riguardanti le derivate. 8 Calcolo della funzione derivata Vogliamo ora dare alcuni esempi di come calcolare la funzione derivata di una funzione f(x). Si avranno i seguenti casi: data la funzione f(x) k avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) f(x + ) f(x) 0 k k 0 0 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) 0 f(x + ) f(x) 0 x + x 0 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x 2 avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) f(x + ) f(x) 0 (x + ) 2 x 2 0 x x x x 0 ( + 2x 0 ( + 2x) 2x 0 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) derivate 5 rb

6 9 Derivata della funzione potenza data la funzione f(x) log a x avente come dominio D f ]0; + [ con a > 0 e a la funzione derivata sarà data da: f (x) f(x + ) f(x) 0 log a (x + ) log a (x) 0 0 log a 0 x x 0 log a x t log a x + ( x log a + x ( + x ( + t ) ) x ) t x log a e la quale avrà come dominio D f R {0} e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) ln x avente come dominio D f ]0; + [ la funzione derivata sarà data da: f (x) 0 f(x + ) f(x) x la quale avrà come dominio D f R {0} e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) a x avente come dominio D f R con a > 0 e a la funzione derivata sarà data da: f (x) f(x + ) f(x) 0 a x+ a x 0 a x a 0 a x a a x ln a 0 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) e x avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) e x la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) 9 Derivata della funzione potenza Data l importanza ce riveste nel calcolo delle derivate vogliamo trattare la derivazione della funzione potenza in modo più approfondito rispetto alle altre funzioni. Diamo prima di tutto la seguente: Definizione 9. (di funzione potenza) Prende il nome di funzione potenza la funzione [ R R f : x f(x) x α con α R derivate 6 rb

7 0 Regole di derivazione Per il calcolo della derivata di tale funzione possiamo dimostrare ce essa si ottiene come f (x) f(x + ) f(x) 0 (x + ) α x α 0 αx α Vediamo alcuni esempi di applicazione della derivata della funzione potenza. Abbiamo: data la funzione f(x) x avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x 2 avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) 2x la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x 3 avente come dominio D f R la funzione derivata sarà data da: f (x) 3x 2 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x x avente come dominio D f R {0} la funzione derivata sarà data da: f (x) x 2 x 2 la quale avrà come dominio D f R e quindi è derivabile in ogni punto del dominio di f(x) data la funzione f(x) x x 2 avente come dominio D f [0; + [ la funzione derivata sarà data da: f (x) 2 x 2 2 x 2 2 x la quale avrà come dominio D f ]0; + [ e quindi non è derivabile in 0 0 Regole di derivazione Vogliamo in questo paragrafo esporre le regole di derivazione delle funzioni reali. Si anno i seguenti: Teorema 0. (derivazione della somma) Date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un insieme A R posto (x) f(x) + g(x) si avrà ce: (x) f (x) + g (x) Teorema 0.2 (derivazione della differenza) Date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un insieme A R posto (x) f(x) g(x) si avrà ce: (x) f (x) g (x) derivate 7 rb

8 Derivata della funzione composta Teorema 0.3 (derivazione del prodotto) Date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un insieme A R posto (x) f(x)g(x) si avrà ce: (x) f (x)g(x) + f(x)g (x) Teorema 0.4 (derivazione del prodotto) Date due funzioni f(x) e g(x) k con k R costante derivabili in un insieme A R posto (x) kf(x) si avrà ce: (x) kf (x) Teorema 0.5 (derivazione del quoziente) Date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un insieme A R e g(x) 0 per ogni x A posto (x) f(x) g(x) si avrà ce: (x) f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 Vediamo alcuni esempi di applicazione delle precedenti regole di derivazione. Si avrà: trovare la derivata della funzione in base a quanto detto di avrà ce essa è data da trovare la derivata della funzione in base a quanto detto di avrà ce essa è data da f(x) ln(x) x 2 f (x) x 2x f(x) 5 x f (x) 5 2 x trovare la derivata della funzione f(x) x2 x 2 + in base a quanto detto di avrà ce essa è data da f (x) 2x(x2 + ) 2x(x 2 ) (x 2 + ) 2 4x (x 2 + ) 2 Derivata della funzione composta Diamo il seguente: Teorema. (derivazione della funzione composta) Sia la funzione g(x) definita in un insieme A R e dotata di insieme immagine I g e la funzione f(x) definita in un sottoinsieme B R tale ce I g B. Se g(x) è derivabile nel punto x 0 A e se g(x) è derivabile nel punto f(x 0 ) B, allora ance la funzione composta (x) f g(x) è derivabile in x 0 e si avrà ce:. (x 0 ) f [g(x 0 )]g (x 0 ) Vediamo ora alcuni esempi di applicazione di questo teorema. Abbiamo ce: trovare la derivata della funzione in base a quanto detto di avrà ce essa è data da trovare la derivata della funzione in base a quanto detto di avrà ce essa è data da f(x) (2x 2 + 3x) 4 f (x) 4(2x 2 + 3x) 3 (4x + 3) f(x) x 2 5x f (x) 2 (2x 5) x 2 5x derivate 8 rb

9 3 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale [x 0, f(x 0)] Derivabilità e continuità Figura 2: Teorema di Rolle Fino a questo punto non abbiamo detto nulla circa la continuità delle funzioni di cui stiamo studiando la derivabilità. Vale a tal proposito il seguente: Teorema 2. Se una funzione f(x) definita in un insieme A R è derivabile nel punto X 0 A allora in tale punto essa è ance continua. In base a questo teorema si avrà allora ce la derivabilità di una funzione ne implica ance la continuità. Parlare quindi di funzioni derivabili significa sottointendere ce tali funzioni sono ance continue nel loro dominio di definizione. 3 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale I teoremi fondamentali del calcolo differenziale sono di fondamentale importanza per le applicazioni della teoria delle derivate alla ricerca dei massimi e dei minimi assoluti, noncè della crescenza e decrescenza di una funzione. Essi sono i seguenti: Teorema 3. (di Rolle) Data una funzione f(x) avente come dominio [a, b] R e tale ce: f(x) è continua in [a, b] f(x) è derivabile in ]a, b[ f(a) f(b) allora esiste almeno un punto x 0 interno ad [a, b] in cui f (x 0 ) 0 Il significato geometrico del teorema di Rolle si può facilmente evincere analizzando la figura 2. Notiamo infatti ce se le ipotesi del teorema di Rolle sono verificate esisterà sicuramente un punto di coordinate[x 0, f(x 0 )] il cui la tangente ad f(x) è parallela all asse delle ascisse. Teorema 3.2 (di Lagrange) Data una funzione f(x) avente come dominio [a, b] R e tale ce: f(x) è continua in [a, b] f(x) è derivabile in ]a, b[ allora esiste almeno un punto x 0 interno ad [a, b] in cui f (x 0 ) f(b) f(a) b a derivate 9 rb

10 4 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione [x 0, f(x 0)] Figura 3: Teorema di Lagrange Il significato geometrico del teorema di Lagrange si può facilmente evincere analizzando la figura 3. Notiamo infatti ce se le ipotesi del teorema di Lagrange sono verificate esisterà sicuramente un punto di coordinate[x 0, f(x 0 )] il cui la tangente ad f(x) è parallela alla retta passante per i punti [a, f(a)] e [b, f(b)]. Teorema 3.3 (dei punti di massimo e minimo relativi) Data una funzione f(x) avente come dominio A R e tale ce: f(x) è continua in A f(x) è derivabile nei punti interni ad A se x 0 è un punto interno ad interno ad A di massimo o di minimo relativo allora f (x 0 ) 0 Vogliamo notare ce questo teorema non è invertibile ossia può accadere ce per un punto x 0 interno ad A sia f (x 0 ) 0 senza ce necessariamente x 0 sia un punto di minimo o di massimo relativo. L esempio classico ce viene fatto riguarda la funzione f(x) x 3 ce a per derivata f (x) 3x 2. Notiamo ce l equazione 3x 2 0a per soluzione x 0 0 ma tale punto non è di massimo o di minimo relativo in quanto in tale punto la funzione è crescente come si denota dal grafico della funzione f(x) x 3. Teorema 3.4 (dei punti di flesso) Data una funzione f(x) avente come dominio A R e tale ce: f(x) è continua in A f(x) è derivabile almeno due volte nei punti interni ad A se x 0 è un punto interno ad interno ad A di flesso allora f (x 0 ) 0 Vogliamo notare ce questo teorema non è invertibile ossia può accadere ce per un punto x 0 interno ad A sia f (x 0 ) 0 senza ce necessariamente x 0 sia un punto di flesso. 4 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione Un problema molto importante ce si pone nelle applicazioni è quello relativo alla ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluto di una funzione. Per affrontare in maniera adeguata la soluzione di questo problema sarà opportuno riciamare il seguente: Teorema 4. (di Weierstrass) Ogni funzione f(x) continua in intervallo ciuso e itato [a, b] ammette il massimo e il minimo assoluto. derivate 0 rb

11 4 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione Quindi se la funzione f(x) è: continua definita in un intervallo ciuso e itato [a, b[ f(x) ammette sia il minimo ce il massimo assoluto. Per la ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti in un intervallo qualsiasi vae invece il seguente: Teorema 4.2 (della ricerca degli estremi assoluti) Data una funzione f(x) avente come dominio A R gli eventuali punti di massimo e di minimo sono da ricercarsi: negli estremi dell intervalloa nei punti interni ad A in cui f (x) 0 nei punti interni ad A in cui f(x) non è derivabile Ciò significa allora ce la ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione dovrà essere ricondotta ai seguenti punti: gli estremi dell intervallo di definizione della funzione stessa nei punti interni ad A in cui f (x) 0 i punti interni ad A in cui f(x) non è derivabile Detti x, x 2, x 3,,..., x n tali punti si avrà ce: il massimo assoluto sarà dato dal valore f(x i ) con i..n ce presenterà il valore più elevato, mentre il corrispondente valore di x i sarà detto punto di massimo assoluto il minimo assoluto sarà dato dal valore f(x i ) con i..n ce presenterà il valore più basso, mentre il corrispondente valore di x i sarà detto punto di minimo assoluto Vediamo ora alcuni esempi. Si avrà ce: Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x) x 2 definita in D f : [ 3, 5]. Notiamo prima di tutto ce la funzione così definita soddisfa alle ipotesi del teorema di Weierstrass e quindi siamo certi dell esistenza del massimo e del minimo assoluto. I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora da ricercarsi tra: gli estremi dell intervallo di definizione della funzione ossia tra i punti { 3, 5} nei punti interni a D f il cui la derivata prima si annulla ossia essendo f (x) 2x nei punti per cui 2x 0 ossia nel punto {0} nei punti interni a D f in cui la funzione non è derivabile. Nel nostro caso non esistono punti appartenenti a questa categoria. I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora solamente i seguenti { 3, 0, 5} ed avendosi ce possiamo concludere ce f( 3) 9 f(0) 0 f(5) 25 il massimo vale 25 mentre il punto di massimo è 5 il minimo vale 0 mentre il punto di minimo è 0 Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x) 3 x definita in D f : [ 8, 8]. Notiamo prima di tutto ce la funzione così definita soddisfa alle ipotesi del teorema di Weierstrass e quindi siamo certi dell esistenza del massimo e del minimo assoluto. I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora da ricercarsi tra: derivate rb

12 5 Ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione gli estremi dell intervallo di definizione della funzione ossia tra i punti { 8, 8} nei punti interni a D f il cui la derivata prima si annulla ossia essendo f (x) 3 3 si vede x2 ce tale derivata non si annulla in alcun punto appartenente al dominio della funzione nei punti interni a D f in cui la funzione non è derivabile. Nel nostro caso si nota ce a tale categoria appartiene solamente il punto {0} I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora solamente i seguenti ed avendosi ce possiamo concludere ce { 8, 0, 8} f( 8) 2 f(0) 0 f(8) 2 il massimo vale 2 mentre il punto di massimo è 8 il minimo vale 0 mentre il punto di minimo è 0 5 Ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione Per la ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione vale il seguente: Teorema 5. (della crescenza e decrescenza) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile nei punti interni ad A si avrà allora ce: se per ogni punto x interno ad A f (x) > 0 allora f(x) è crescente in A se per ogni punto x interno ad A f (x) < 0 allora f(x) è descrescente in A Tale teorema ance se molto semplice nella sua formulazione può dar adito a problemi in sede di applicazione. Facciamo allora se seguenti osservazioni: per poter essere applicato devono essere soddisfatte tutte le sue ipotesi in particolare si fa notare la completa derivabilità della funzione nei punti interni ad A si noti ce se f(x) è crescente in A allora in ogni punto interno ad A si avrà ce f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito si noti ce se f(x) è descrescente in A allora in ogni punto interno ad A si avrà ce f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito nelle applicazioni non accade quasi mai di trovare una funzione totalmente crescente o decrescente nel suo dominio, quindi il teorema sarà applicato in sotto intervalli del dominio di f(x) Vediamo alcuni esempi relativi alla ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione. Si avrà: data la funzione f(x) x(x+) 2 avente come dominio R la sua derivata è data da f 3x 2 +4x+. Si nota quindi ce ance la derivata a come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di crescenza e decrescenza dobbiamo allora risolvere la disequazione: 3x 2 + 4x + > 0 da cui possiamo dedurre ce: la funzione è crescente negli intervalli ], [ ] 3, + [ la funzione è decrescente nell intervallo ] 3, [ data la funzione f(x) ln(x) avente come dominio R + la sua derivata è data da f x. Si nota quindi ce ance la derivata a come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di crescenza e decrescenza dobbiamo allora risolvere la disequazione: x > 0 da cui possiamo dedurre ce la funzione è sempre crescente in tutto il suo dominio di esistenza derivate 2 rb

13 7 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: secondo metodo 6 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: primo metodo Per la ricerca dei punti di massimo e minimo relativi e dei flessi a tangente orizzontale vale il seguente: Teorema 6. Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale ce f (x 0 ) 0 si avrà allora ce: se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di minimo relativo se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di massimo relativo se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente orizzontale se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente orizzontale Tale teorema ance se molto semplice nella sua formulazione può dar adito a problemi in sede di applicazione. Facciamo allora se seguenti osservazioni: per poter essere applicato devono essere soddisfatte tutte le sue ipotesi in particolare si fa notare la completa derivabilità della funzione nei punti interni ad A il teorema permette di trovare i punti di massimo e di minimo relativi interni ad A, si ricorda per inciso ce eventuali punti di massimo e di minimo relativi per una funzione si possono trovare ance agli estremi del dominio se la funzione è definita in un intervallo ciuso e itato di R si noti ce tale teorema è molto potente in quanto risulta valido ance se la funzione non è derivabile in x 0 basta solo ce in tale punto essa sia continua tale teorema da solo una condizione sufficiente per la ricerca dei punti dei massimi e di minimo relativi, posso infatti esistere dei punti ce non soddisfano tale teorema ma ce sono in ogni caso o punti di massimo o punti di minimo relativi per la funzione oggetto di studio Vediamo ora un esempio di applicazione di tale teorema. Se si devono trovare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x) x 3 2x 2 + x avente come dominio R dobbiamo prima di tutto calcolare la sua derivata prima data da f (x) 3x 2 4x + ce anc essa a come dominio R. La funzione è quindi continua e derivabile in tutto R. Risolviamo la disequazione: 3x 2 4x + > 0 ottenendo come soluzioni ], [ ], + [ 3 Ciò significa allora in base al teorema del presente paragrafo ce: il punto x 0 3 è un punto di massimo relativo il punto x 0 è un punto di minimo relativo 7 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: secondo metodo Per la ricerca dei punti di massimo e minimo relativi e dei flessi a tangente orizzontale possiamo utilizzare ance un altro metodo derivante dal seguente: Teorema 7. Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno tre volte nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale ce f (x 0 ) 0 si avrà allora ce: se f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di minimo relativo se f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di massimo relativo derivate 3 rb

14 9 Osservazione sulla ricerca dei massimi e dei minimi relativi se f (x 0 ) f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente orizzontale se f (x 0 ) f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente orizzontale Vediamo ora un esempio di applicazione di tale teorema riprendendo l esempio relativo fatto nel precedente paragrafo. Se si devono trovare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x) x 3 2x 2 + x avente come dominio R dobbiamo prima di tutto calcolare la sua derivata prima data da f (x) 3x 2 4x + ce anc essa a come dominio R. La funzione è quindi continua e derivabile in tutto R. Risolviamo l equazione: 3x 2 4x + 0 ottenendo come soluzioni { } 3, Calcoliamo allora la derivata seconda della f(x) data da f (x) 6x 4 Essendo allora f ( 3) 2 il punto x0 3 è un punto di massimo relativo f () 2il punto x 0 è un punto di minimo relativo 8 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: metodo generale Esiste ance un metodo generale per la ricerca dei massimi e dei minimi relativi dato dal seguente: Teorema 8. (del metodo generale) Data una funzione f(x) avente come dominio A R. Se f(x) è derivabile quante volte serve nei punti interni ad A e se in un punto x 0 interno ad A accade ce: allora si avrà ce: f (x 0 ) f (x 0 )... f n (x 0 ) f n (x 0 ) 0 se n è pari ed f n (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di massimo relativo se n è pari ed f n (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di minimo relativo se n è dispari ed f n (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente orizzontale se n è dispari ed f n (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente orizzontale 9 Osservazione sulla ricerca dei massimi e dei minimi relativi Data una funzione f(x) avente come dominio A R con i metodi esposti nei paragrafi precedenti possiamo trovare i punti di massimo e di minimo relativo solamente se f(x) è derivabile in tutti i punti interni ad A. Potrebbe però accadere il caso in cui i punti di massimo e di minimo relativo si trovano ance negli estremi del dominio A della funzione f(x). Si consideri ad esempio la funzione f(x) x + avente come D f : [3, 5] e il cui grafico è riportato nella figura 4 la quale presenta il minimo relativo nel punto x 0 3 e il punto di massimo relativo nel punto x 0 5. Da quanto detto sarà quindi necessario ricordare ce i punti di massimo e di minimo relativi di una funzione f(x) definita in un insieme A R potranno trovarsi: negli estremi dell intervallo A nei punti interni ad A in cui f (x) 0 item nei punti interni ad A in cui la funzione non è derivabile Precisiamo in ogni caso senza entrare in dettagli ce nei casi in cui la funzione non è derivabile in qualce punto interno ad A in tali punti potremmo trovare: punti angolosi: se la derivata destra e quella sinistra calcolata in tali punti esistono ma sono diverse tra di loro punti di cuspidi: se il ite della derivata prima destra e sinistra per x ce tende al punto di non derivabilità tendono ambedue a ma non segno diverso flessi a tangente verticale: se il ite della derivata prima per x ce tende al punto di non derivabilità tende o a + o a. derivate 4 rb

15 20 Ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione Figura 4: Massimi e minimi relativi agli estremi del dominio 20 Ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione Per la ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione vale il seguente: Teorema 20. (della concavità e convessità) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno due volte nei punti interni ad A si avrà allora ce: se per ogni punto x interno ad A f (x) > 0 allora f(x) è convessa in A se per ogni punto x interno ad A f (x) < 0 allora f(x) è concava in A Tale teorema ance se molto semplice nella sua formulazione può dar adito a problemi in sede di applicazione. Facciamo allora se seguenti osservazioni: per poter essere applicato devono essere soddisfatte tutte le sue ipotesi in particolare si fa notare la completa derivabilità fino alla derivata seconda della funzione nei punti interni ad A si noti ce se f(x) è convessa in A allora in ogni punto interno ad A si avrà ce f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito si noti ce se f(x) è concava in A allora in ogni punto interno ad A si avrà ce f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito nelle applicazioni non accade quasi mai di trovare una funzione totalmente concava o convessa nel suo dominio, quindi il teorema sarà applicato in sotto intervalli del dominio di f(x) Vediamo alcuni esempi relativi alla ricerca degli intervalli di concavità e convessità di una funzione. Si avrà: data la funzione f(x) x(x + ) 2 avente come dominio R la sua derivata prima è data da f 3x 2 + 4x +. La sua derivata seconda è invece data da f 6x + 4 Si nota quindi ce ance la derivata seconda a come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di concavità e di convessità dobbiamo allora risolvere la disequazione: 6x + 4 > 0 da cui possiamo dedurre ce: la funzione volge la concavità verso l alto nell intervallo ] 2 3, + [ la funzione volge la concavità verso il basso nell intervallo ] infty, 2 3 [ derivate 5 rb

16 23 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: metodo generale data la funzione f(x) ln(x) avente come dominio R + la sua derivata prima è data da f x. La sua derivata seconda è invece data da f x Si nota quindi ce ance la derivata seconda a 2 come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di concavità e di convessità dobbiamo allora risolvere la disequazione: x 2 > 0 da cui possiamo dedurre ce la funzione volge sempre la concavità verso il basso in tutto il suo dominio di esistenza 2 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: primo metodo Per la ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua vale il seguente: Teorema 2. (della ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno due volte nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale ce f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) 0 si avrà allora ce: se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente obliqua se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente obliqua se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora in x 0 la funzione è concava se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora in x 0 la funzione è convessa 22 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: secondo metodo Per la ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua possiamo utilizzare ance un altro metodo derivante dal seguente: Teorema 22. (della ricerca dei punti di flesso obliqui) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno tre volte nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale ce f (x 0 ) 0 e f (x 0 ) 0 si avrà allora ce: se f (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente obliqua se f (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente obliqua se f (x 0 ) 0 f (x 0 ) < 0 allora in x 0 la funzione è concava se f (x 0 ) 0 f (x 0 ) > 0 allora in x 0 la funzione è convessa 23 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: metodo generale Esiste ance un metodo generale per la ricerca dei punti di flesso a tangente orizzontale dato dal seguente: Teorema 23. (del metodo generale) Data una funzione f(x) avente come dominio A R. Se f(x) è derivabile quante volte serve nei punti interni ad A e se in un punto x 0 interno ad A accade ce: allora si avrà ce: f (x 0 ) f (x 0 )... f n (x 0 ) 0 ed f n (x 0 ) 0 se n è pari ed f n (x 0 ) < 0 allora in x 0 la funzione è concava derivate 6 rb

17 24 Formula di Taylor se n è pari ed f n (x 0 ) > 0 allora in x 0 la funzione è convessa se n è dispari ed f n (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di flesso discendente a tangente obliqua se n è dispari ed f n (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente obliqua 24 Formula di Taylor Considerato il polinomio P (x) + 2x + 3x 2 e scelto un punto x 0 ci ciediamo in ce modo sia possibile rappresentare P (x) mediante delle potenze del binomio (x x 0 ). In altre parole vogliamo trovare tre numeri reali A, B, C tali ce P (x) possa essere scritto nel seguente modo: P (x) A + B(x x 0 ) + C(x x 0 ) 2 Per trovare tali numeri reali possiamo procedere per diverse strade. Quella ce vogliamo qui percorrere consiste nel notare ce: P (x) A + B(x x 0 ) + C(x x 0 ) 2 da cui A P (x 0 ) P (x) B + C(x x 0 ) da cui B P (x 0 ) P (x) 2C da cui C 2 P (x 0 ) da cui sarà immediato scrivere ce: P (x) P (x 0 ) + P (x 0 )(x x 0 ) + 2 P (x 0 )(x x 0 ) 2 Se il polinomio fosse di grado n con analogo procedimento saremmo in grado di scrivere ce P (x) P (x 0 ) + P (x 0 )(x x 0 ) + 2 P (x 0 )(x x 0 ) 2 + 3! P (x 0 )(x x 0 ) n! P n (x 0 )(x x 0 ) n Per rendersene conto si provi ad applicare il procedimento appena descritto al polinomio nel punto x 0 si ottiene lo sviluppo: P (x) + 3x + 4x 3 P (x) 8 + 5(x ) (x )2 + 24(x )3 3! E spontaneo allora ciedersi ce cosa si otterrebbe se si seguisse un procedimento analogo partendo, anzicè da un polinomio P (X), da una funzione f(x), supposta naturalmente derivabile quante volte si vuole. In altri termini, se, assegnata una funzione f(x) e scelto un punto x 0 costruiamo i polinomi in (x x 0 ) dati da f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2 f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2 + 3! f (x 0 )(x x 0 ) 3 ce legami intercorrono tra questi polinomi e la f(x). Prima di rispondere a questa domanda dobbiamo enunciare il seguente Teorema 24. Sia g(x) una funzione derivabile (n + ) volte in un intervallo aperto I e sia x 0 I, se g(x 0 ) 0 g (x 0 ) 0... g n (x 0 ) 0 derivate 7 rb

18 25 Teorema de L Hospital allora per ogni x I risulta ce g(x) dove ξ ]x, x 0 [ dipende da x, da x 0 e da n. (n + )! g(n+) (ξ)(x x 0 ) n+ Da tale teorema sarà possibile procedere alla risposta della domanda ce ci siamo appena fatta, risposta ce è data dal seguente: Teorema 24.2 (della formula di Taylor) Se la funzione f(x) è derivabile m volte nell intervallo I, allora x, x 0 I risulta: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 2! f (x 0 )(x x 0 ) in cui ξ è un opportuno punto compreso tra x ed x 0. (m )! f (m ) (x 0 )(x x 0 ) m + m! f (m) (ξ)(x x 0 ) m L espressione: R m m! f m (ξ)(x x 0 ) m si ciama resto m-esimo della formula di Taylor. Si noti ce se il punto iniziale è x 0 0 la formula di taylor diviene: f(x) f(0) + f (0)x + 2! f (0)x (m )! f (m ) (0)x m + m! f (m) (ξ)x m ce si usa ciamare formula di Mac-Laurin La formula di Taylor per la funzione f(x) e x è data da: e x e x0 + e x0 (x x 0 ) + 2 ex0 (x x 0 ) mentre la corrispondente formula di Mac-Laurin sarà data da: e x + x + 2 x Teorema de L Hospital (m )! ex0 (x x 0 ) m + m! eξ (x x 0 ) m (m )! xm + m! eξ (x) m In certi casi di indeterminazione visti nel calcolo dei iti possiamo applicare per il calcolo degli stessi un teorema molto importante detto teorema de l Hospital. Tale teorema afferma ce: Teorema 25. (de l Hospital) Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue in [a, b] e derivabili in ]a, b[, escluso al più il punto x 0 ]a, b[, con g (x) 0 x ]a, b[ x x 0 f(x 0 ) 0 e g(x 0 ) 0 oppure f(x 0 ) e g(x 0 ) e se esite finito il: allora esiste ance: e risulta ce: f (x) x x 0 g (x) f(x) x x 0 g(x) f (x) x x 0 g (x) f(x) x x 0 g(x) derivate 8 rb

19 25 Teorema de L Hospital Bisogna stare molto attenti nella applicazione di questo teorema in quanto tutte le sue ipotesi devono essere verificate prima di poterlo applicare (e sono molte). Vediamo un esempio di applicazione. Sia da calcolare il seguente: e x 0 x 0 x 0 si verifica facilmente ce tutte le ipotesi sono verificate e quindi calcoliamo: e x x 0 quindi esistendo il ite del rapporto delle derivate, tale ite sarà uguale a quello cercato. derivate 9 rb

20 Elenco delle figure Elenco delle figure Elenco delle figure Rapporto incrementale Teorema di Rolle Teorema di Lagrange Massimi e minimi relativi agli estremi del dominio derivate 20 rb

21 Indice Indice Indice Riciami di geometria analitica 2 Il rapporto incrementale 3 Definizione di derivata 3 4 Calcolo della derivata di una funzione 3 5 Significato geometrico della derivata 4 6 La funzione derivata 4 7 Dominio della funzione f(x) e della funzione derivata f (x) 5 8 Calcolo della funzione derivata 5 9 Derivata della funzione potenza 6 0 Regole di derivazione 7 Derivata della funzione composta 8 2 Derivabilità e continuità 9 3 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale 9 4 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione 0 5 Ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione 2 6 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: primo metodo 3 7 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: secondo metodo 3 8 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: metodo generale 4 9 Osservazione sulla ricerca dei massimi e dei minimi relativi 4 20 Ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione 5 2 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: primo metodo 6 22 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: secondo metodo 6 23 Ricerca dei punti di flesso a tangente obliqua: metodo generale 6 24 Formula di Taylor 7 25 Teorema de L Hospital 8 Elenco delle figure 9 derivate 2 rb

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

7 - Esercitazione sulle derivate

7 - Esercitazione sulle derivate 7 - Esercitazione sulle derivate Luigi Starace gennaio 0 Indice Dimostrare il teorema 5.5.3.a................................................b............................................... Dimostrazioni.a

Dettagli

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0

Dettagli

La curva grafico della funzione, partendo dal punto A(a,f(a)), si snoda con continuità, senza interruzioni, fino ad approdare nel punto B(b,f(b)).

La curva grafico della funzione, partendo dal punto A(a,f(a)), si snoda con continuità, senza interruzioni, fino ad approdare nel punto B(b,f(b)). Calcolo differenziale Il teorema di Rolle TEOREMA DI ROLLE Ipotesi f continua su [a, b] f derivabile per lo meno su (a,b) f(a) = f(b) Tesi Esiste almeno un punto c in (a, b) tale che Giustificazione con

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@poi.it Primi teoremi di caclolo differenziale Ottobre 2010. Indice 1 Funzioni derivabili su un intervallo 1 1.1

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Studio di una funzione. Schema esemplificativo

Studio di una funzione. Schema esemplificativo Studio di una funzione Schema esemplificativo Generalità Studiare una funzione significa determinarne le proprietà ovvero Il dominio. Il segno. Gli intervalli in cui cresce o decresce. Minimi e massimi

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

G6. Studio di funzione

G6. Studio di funzione G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo

Dettagli

SOLUZIONI D = (-1,+ ).

SOLUZIONI D = (-1,+ ). SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio DUE PROPOSTE DI ANALISI MATEMATICA Lorenzo Orio Introduzione Il lavoro propone argomenti di analisi matematica trattati in maniera tale da privilegiare l intuizione e con accorgimenti nuovi. Il tratta

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere) Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

Lezione 6 (16/10/2014)

Lezione 6 (16/10/2014) Lezione 6 (16/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. La funzione f : R R data da f(x) = 10x 5 x è crescente? Perché? Soluzione Se f fosse crescente avrebbe derivata prima (strettamente) positiva.

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I Lezioni A.A. 2003/2004, prof. G. Stefani primo semiperiodo 22/9/03-8/11/03 Testo consigliato: Robert A. Adams - Calcolo differenziale 1 - Casa

Dettagli

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1.

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1. NOME:... MATRICOLA:.... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 007/008 Analisi Matematica, Esame scritto del 08.0.008 Indicare per quali R vale la seguente diseguaglianza : + >. Se y - - è il grafico

Dettagli

Esercizi sullo studio completo di una funzione

Esercizi sullo studio completo di una funzione Esercizi sullo studio completo di una funzione. Disegnare il grafico delle funzioni date, utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalle sue derivate prima e seconda. a.

Dettagli

3. Quale affermazione è falsa?

3. Quale affermazione è falsa? 1. Quale affermazione è falsa? Se la funzione f) è continua e monotona crescente su R e se f) = 1 e f4) =, allora ha un unico zero nell intervallo, 4) f) non si annulla mai in R f ) > nell intervallo,

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile 1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è

Dettagli

UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida. 4 x

UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida. 4 x UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida Con questa guida si vuol proporre un esempio di studio di funzione con Derive. La versione che ho utilizzato per questo studio è la 6.0. Consideriamo

Dettagli

matematica per le quinte

matematica per le quinte istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le quinte Dipartimento di Matematica Anno scolastico 2015-2016 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun-

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

Programma di Matematica

Programma di Matematica Programma di Matematica Modulo 1. Topologia in R 2. Funzioni in R 3. Limite e continuità di una funzione Unità didattiche Struttura algebrica di R Insiemi reali limitati e illimitati Intorno di un punto

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

0 ) = lim. derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite

0 ) = lim. derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite Questo breve file è dedicato alle questioni di derivabilità di funzioni reali di variabile reale. Particolare attenzione viene posta alla classificazione dei punti di non derivabilità delle funzioni definite

Dettagli

Capitolo 2. Operazione di limite

Capitolo 2. Operazione di limite Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A

Dettagli

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette: FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente

Dettagli

DOMINIO = R INTERSEZIONI CON ASSI

DOMINIO = R INTERSEZIONI CON ASSI STUDIO DELLA FUNZIONE CUBICA a cura di Maria Teresa Bianchi La funzione è razionale intera ed è espressa in forma normale da: #1: y = a x + b x + c x + d I coefficienti del polinomio di grado a secondo

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi 1. Studio del grafico di una funzione: esercizi Esercizio 1.6. Studiare ciascuna delle seguenti funzioni in base allo schema di pagina 194, eseguendo anche il computo della derivata seconda e lo studio

Dettagli

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno),

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno), 6 - Grafici di funzioni Soluzioni Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = x x + 3. ) La funzione è definita per x 3. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è

Dettagli

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

G3. Asintoti e continuità

G3. Asintoti e continuità G3 Asintoti e continuità Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla Non è la definizione formale, ma sicuramente serve per capire il concetto di asintoto Nei

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Liceo scientifico Albert Einstein. Anno scolastico 2009-2010. Classe V H. Lavoro svolto dalla prof.ssa Irene Galbiati. Materia: MATEMATICA

Liceo scientifico Albert Einstein. Anno scolastico 2009-2010. Classe V H. Lavoro svolto dalla prof.ssa Irene Galbiati. Materia: MATEMATICA Liceo scientifico Albert Einstein Anno scolastico 2009-2010 Classe V H Lavoro svolto dalla prof.ssa Irene Galbiati Materia: MATEMATICA PROGRAMMA DI MATEMATICA CLASSE V H Contenuti Ripasso dei prerequisiti

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

Cos è una funzione? (x,y) Є f o y=f(x)

Cos è una funzione? (x,y) Є f o y=f(x) Cos è una funzione? Dati gli insiemi X e Y non vuoti, si chiama funzione da in una relazione f tale che per ogni x Є X esiste uno ed un solo elemento y Є Y tale che (x,y) Є f. Data la funzione f:x->r,

Dettagli

Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006

Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006 Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006 Niccolò Desenzani Sun-ra J.N. Mosconi 22 giugno 2006 Problema. Indicando con A e B i lati del rettangolo, il perimetro è 2A + 2B = λ mentre l area

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

Studio del grafico di una funzione reale

Studio del grafico di una funzione reale Capitolo 1 Studio del grafico di una funzione reale Questo testo è una guida per lo studio del grafico di una funzione. Non è un testo completo ma solo una bozza che servirà agli studenti per arrivare

Dettagli

Quesiti di Analisi Matematica A

Quesiti di Analisi Matematica A Quesiti di Analisi Matematica A Presentiamo una raccolta di quesiti per la preparazione alla prova orale del modulo di Analisi Matematica A. Per una buona preparazione é consigliabile rispondere ad alta

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture. Tassi equivalenti. Rendite temporanee e perpetue. Rimborso di prestiti.

Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture. Tassi equivalenti. Rendite temporanee e perpetue. Rimborso di prestiti. Pagina 1 di 9 DISCIPLINA: MATEMATICA APPLICATA INDIRIZZO: SISTEMI INFORMATIVI AZIENDALI CLASSE: 4 SI DOCENTE : ENRICA GUIDETTI Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture 1 Ripasso Retta e coniche;

Dettagli

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x).

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x). Problema 1 Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di euro al mese, più centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con

Dettagli

Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)=x 3-2 2) f(x)= x 3-2x 2 -(x-2) 3) f(x)= x 3-2x 2 + x-2 4) f(x)= x 4 -x 2-2

Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)=x 3-2 2) f(x)= x 3-2x 2 -(x-2) 3) f(x)= x 3-2x 2 + x-2 4) f(x)= x 4 -x 2-2 Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)=x 3-2 2) f(x)= x 3-2x 2 -(x-2) 3) f(x)= x 3-2x 2 + x-2 4) f(x)= x 4 -x 2-2 SOLUZIONE: Si esclude subito la funzione 2) perché per x=0 vale

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f(x)

Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f(x) Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f() 1 Ecco i passi utili allo studio di una funzione reale: Determinare il dominio della funzione Ricercare l eventuale intersezione

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

Docente: Anna Valeria Germinario. Università di Bari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22

Docente: Anna Valeria Germinario. Università di Bari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22 Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale e approssimazioni, formula di Taylor Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2. Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti

Dettagli

Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale

Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Liceo G. B. Vico - Napoli Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Prof. Giuseppe Caputo Premetto due teoremi come prerequisiti necessari per la comprensione di quanto verrà esposto

Dettagli