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1 SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni con gli assi d) studia il comportamento della funzione agli estremi del suo dominio, determinando eventuali asintoti e) calcola la derivata prima e indica quali sono gli intervalli in cui la funzione è crescente e quelli in cui è decrescente, determinando eventuali massimi o minimi relativi o flessi a tangente orizzontale f) calcola la derivata seconda e indica quali sono gli intervalli in cui la funzione rivolge la concavità verso l alto e quelli in cui la concavità è verso il basso, determinando eventuali flessi g) disegna un grafico approssimativo in un opportuno sistema di riferimento. a) Per determinare il dominio della funzione dobbiamo solo imporre che l argomento del logaritmo sia maggiore di 0. Quindi il dominio è dato dall insieme D (-, ). b) Si tratta di capire quando il prodotto dei due fattori e ln( ) è positivo e quando è negativo. Si avrà che tale prodotto è positivo quando i due fattori sono entrambi positivi o entrambi negativi. Pertanto studiamo dapprima il segno di ciascuno dei due fattori, separatamente. Si ha che > 0 se e solo se > -, mentre ln( ) > 0 se e solo se ln( ) > ln(); quest ultima disequazione, dal momento che il logaritmo in base e è una funzione strettamente crescente, è equivalente a >, cioè > 0. Schematizziamo quanto ottenuto: > ln( ) > Risulta dunque che il prodotto di e di ln( ) è positivo per < - oppure per > 0, e negativo per - < < 0. Ma nel nostro studio dobbiamo esclusivamente limitarci ai valori compresi nel dominio. Quindi possiamo concludere dicendo che la funzione è positiva per > 0 e negativa per - < < 0. c) L intersezione con l asse y si ottiene calcolando f(0), cioè ponendo 0 in f() ( ) ln( ) Si ottiene f(0) ln() 0. L intersezione con l asse si ottiene invece risolvendo l equazione ( ) ln( ) 0 all interno del dominio della funzione. Ebbene ( ) ln( ) 0 se e solo se 0 oppure ln( ) 0. Dalla prima equazione si trova il valore -, che però non è accettabile in quanto non appartiene al dominio. Dalla seconda si ha ln() 0 ln()

2 da cui si ottiene 0. Quindi il punto O(0,0) è l unica intersezione sia con l asse che con l asse y. d) Dobbiamo calcolare due limiti. Il primo è: lim ( )ln( ), in quanto entrambi i fattori tendono a. Eccoci al secondo: lim ( )ln( ) Siamo di fronte alla forma indeterminata 0 (- ). Non possiamo immediatamente applicare la regola di de l Hopital, in quanto essa è applicabile solo a forme indeterminate del tipo 0/0 e /. Ma possiamo trasformare la nostra forma indeterminata da 0 a /, in questo modo: lim ( )ln( ) ln( ) lim. A questo punto possiamo applicare la regola di de l Hopital: lim ( )ln( ) ln( ) lim (ln( )) lim lim ( ) lim ( ) 0. Non ci sono dunque asintoti orizzontali o verticali. e) f ɺ ( ) ln( ) ( ) ln( ). Pertanto: f ( ) > 0 ln( ) > ln( ) > ln( e) ln( ) > ln( e ) >. e Quindi f () > 0 se e solo se > - /e. Di conseguenza la funzione è decrescente nell intervallo, e crescente in,. e e - m In m vi è un minimo; la relativa ordinata è e ( e ) y m f ln ln ln. e e e e e e e Pertanto vi è un minimo di coordinate m,. e e

3 f) f ( ). Pertanto f ( ) > 0 se e solo se > -. Quindi la funzione ha sempre la concavità rivolta verso l alto. g)

4 . Sia data la funzione f() ln() a) trova una primitiva di f b) determina l equazione della retta r tangente ad f nel punto di ascissa e c) determina l equazione della retta s parallela ad r e passante per il punto P, a) Utilizzando la formula di integrazione per parti otteniamo ln( ) d ln( ) d ln( ) ln( ) 4 (ln( ))' d ln( ) d ln( ) d b) Troviamo innanzitutto l ordinata corrispondente all ascissa e. Essa è data da f(e) e ln(e) e. Quindi la retta è tangente ad f nel punto P(e,e). Il coefficiente angolare m r della retta è dato dal valore della derivata di f calcolata nel punto e. Calcoliamo dunque la derivata di f: f ( ) ln( ) ln( ). Quindi m f ( e) ln( e). Dunque la retta r ha equazione del tipo y q r. Determiniamo q r imponendo il passaggio per il punto P(e,e): e e q r, da cui q r e e e. L equazione della retta è dunque y e. c) La retta s ha equazione y m. s q s Essendo s parallela ad r si ha m s m r. Determiniamo q s imponendo che il punto P, appartenga alla retta: ( ) q s da cui 7 q s 4. Pertanto l equazione della retta è 7 y.

5 3. In un dipartimento universitario, formato da docenti, viene condotta un indagine sul numero di pubblicazioni prodotte nell ultimo decennio. Ne risulta che 3 docenti non hanno prodotto alcuna pubblicazione 4 docenti hanno pubblicato pubblicazioni 0 docenti hanno prodotto 6 pubblicazioni 7 docenti hanno prodotto 7 pubblicazioni 0 docenti hanno prodotto 8 pubblicazioni 6 docenti hanno prodotto pubblicazioni a) Calcola la media, la mediana e la deviazione standard del numero di pubblicazioni b) Quanti sono i docenti la cui produzione scientifica supera la mediana del Dipartimento? a) La media è data da 6 f i i i ,86, (con f i abbiamo indicato le frequenze: f 3, f 4,..., f 6 6). La mediana è la media aritmetica tra i due dati centrali, cioè quelli al 5 e 6 posto dopo aver posto in ordine crescente i dati. Possiamo dunque scrivere tutti i dati in ordine crescente e scegliere i dati di posto 5 e 6: da cui si vede che i dati al 4 e 5 posto sono 7 ed 8, e la mediana è dunque data dalla loro media 8 8 Me 8. A ben guardare, si poteva direttamente stabilire che 8 ed 8 erano gli elementi centrali senza scrivere tutti i dati. Infine la varianza è data da Var 6 fi i ( i ) 37,0 7,44 e la deviazione standard s Var,73. b) Il numero di docenti la cui produzione scientifica supera la mediana è 6. Infatti sono sei i docenti che hanno pubblicato articoli, mentre tutti gli altri al più riescono solo a eguagliare (non superare) la mediana.

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