DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

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1 FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di frontiera e punti di accumulazione). Calcolo di limiti. Esercizio 1 Determinare e disegnare sul piano cartesiano il dominio della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(,) = log( ) ) f(,) = + 3) f(,) = 4 4) f(,) = cos( + ) 5) f(,) = 1 log(5 ) Esercizio Per ciascuno dei domini determinati nell esercizio precedente, dire se è limitato, aperto, chiuso, convesso, connesso per archi ed indicarne la frontiera ed i punti di accumulazione. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(,) = + ) f(,) = e Esercizio 4 In ciascuno dei seguenti casi, studiare gli insiemi di livello della funzione f e stabilire poi se f è limitata (superiormente o inferiormente) e se ha massimo o minimo assoluto: 1) f(,) = 3 + ) f(,) = 3) f(,) = 4) f(,) = + Esercizio 5 Tra i seguenti limiti, stabilire quelli che esistono e calcolarli: 1) lim log( + + ) ) lim (,) (0,0) (,) (0,0) 3) lim (,) (0,0) + 4) lim (,) (0,0) 4 + sin( + 3 ) 5) lim (,) (0,0) + + arctan() 6) lim (,) (0,0) + 7) lim (,) (0,0) ) lim (,) (0,0) log(1 + 3 ) 9) lim (,) (0,0) ) lim (,) (0,0) 3

2 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e limiti SVOLGIMENTI Esercizio 1 1) Il dominio della funzione f(,) = log( ) è domf = { (,) R : > 0 }. La disequazione > 0 può essere scritta come il prodotto ( ) > 0 e quindi può essere risolta studiando separatamente il segno delle tre funzioni,, e poi individuando (tramite regola dei segni) le regioni del piano in cui il loro prodotto risulta positivo. Cominciamo con lo studiare il segno di : è evidente che risulta > 0 nel primo e quarto quadrante, < 0 nel secondo e terzo, = 0 lungo l asse. Analogamente, si ha > 0 nel primo e secondo quadrante, < 0 nel terzo e quarto, = 0 lungo l asse. Infine, la terza funzione è positiva nei punti a destra della retta =, bisettrice del primo e terzo quadrante, è negativa nei punti a sinistra della bisettrice ed è nulla lungo la bisettrice stessa. Escludendo subito gli assi coordinati e la bisettrice =, dove il prodotto ( ) è nullo, il piano risulta allora diviso in 6 regioni (vedere Fig. 1): A 1 = {(,) R : > 0,0 < < }, che descrive l angolo del primo quadrante compreso tra il semiasse positivo delle ascisse e la bisettrice del primo quadrante stesso; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono tutte positive e quindi il loro prodotto è positivo; A = {(,) R : > 0, > }, che descrive l angolo del primo quadrante compreso tra il semiasse positivo delle ordinate e la bisettrice del primo quadrante stesso; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono positive le prime due e negativa la terza, quindi il loro prodotto è negativo; A 3 = {(,) R : < 0, > 0}, che descrive l intero secondo quadrante; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono due negative (la prima e la terza) ed una positiva, quindi il loro prodotto è positivo; A 4 = {(,) R : < 0, < < 0}, che descrive l angolo del terzo quadrante opposto al vertice di A 1 ; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono tutte negative e quindi il loro prodotto è negativo; A 5 = {(,) R : < 0, < }, che descrive l angolo opposto al vertice di A ; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono negative le prime due e positiva la terza, quindi il loro prodotto è positivo; A 6 = {(,) R : > 0, < 0}, che descrive il quarto quadrante; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono due positive (la prima e la terza) ed una negativa, quindi il loro prodotto è negativo.

3 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e limiti 3 In conclusione, f è definita nell unione disgiunta dei tre angoli A 1,A 3,A 5, cioè risulta dom f = A 1 A 3 A 5. = A A 3 A 1 A 4 A 5 A 6 ) La funzione f(,) = + è definita dove il radicando è non negativo, ossia + 0. Moltiplicando per 1 abbiamo + 0 e quindi + = 0 per le proprietà del valore assoluto. Ne consegue che dom f = {(,) R : + = 0} che descrive i punti della circonferenza di centro l origine e raggio (si veda la figura ). 3) La funzione f(,) = 4 è definita nei punti del piano che verificano la condizione 4 0, che puà essere riscritta come ( )( + ) 0. Abbiamo quindi una disequazione che può essere risolta con la regola dei segni. La funzione è positiva in {(,) R : < } cioè nei punti del piano al di sotto della parabola γ 1 : =, è negativa nella parte al di sopra di γ 1, ed è nulla nei punti di γ 1. La funzione + è positiva in {(,) R : > } cioè nei punti al di sopra della parabola γ : =,

4 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e limiti 4 è negativa al di sotto di γ, ed è nulla nei punti di γ. Il piano risulta allora diviso in tre regioni (si veda la figura 3): A 1 = {(,) R : > } che descrive i punti al di sopra di γ 1, A = {(,) R : < < } che descrive i punti al di sopra di γ ed al di sotto di γ 1, ed A 3 = {(,) R : < } che descrive i punti al di sotto di γ. Osserviamo esplicitamente che le due parabole γ 1 e γ hanno lo stesso vertice (0,0), lo stesso asse di simmetria ortogonale = 0, e la stessa retta tangente nel vertice = 0. Hanno inoltre la stessa apertura, ma sono situate in semipiani diversi. In A 1 la prima funzione è negativa, la seconda è positiva, e quindi il loro prodotto è negativo; in A sono entrambe positive, e quindi il loro prodotto è positivo; in A 3 la prima è positiva, mentre la seconda è negativa, e quindi il loro prodotto è negativo. Lungo le due parabole, il prodotto è nullo. In conclusione, domf = {(,) R : } ossia in A γ 1 γ. γ 1 A 1 A A A 3 γ 4) La funzione f(,) = cos( + ) è definita nei punti del piano che verificano la disequazione cos( + ) 0. Essendo + 0, la precedente disequazione è risolta in {(,) R : 0 + π } k N\{0}{(,) R : π + kπ + π + kπ} che descrive un unione di corone circolari comprese tra circonferenze di centro nell origine e raggi opportuni. Si veda la figura 4 in cui sono state disegnate le corone circolari per k = 1 e k =.

5 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e limiti 5 0 p π q 3π q 5π q 7π q 9π Osserviamo che la funzione f(,) dipende da + più che da ed e quindi il grafico di f(,) formato dai punti di coordinate (,,f(,)) R 3 è una superficie di rotazione intorno all asse z. Questo conferma ulteriormente la forma del dominio. 5) La funzione f(,) = 1 log(5 ) è definita nei punti che risolvono il sistema di disequazioni { > 0. La prima disequazione è risolta dai punti {(,) R : > 0, 1 } {(,) R : < 0, 1 } ossia dai punti del primo quadrante al di sopra dell iperbole equilatera di equazione = 1 o dai punti del terzo quadrante al di sotto dell iperbole oppure sull iperbole stessa. La seconda disequazione è risolta dai punti del semipiano {(,) R : + < 5} formato dai punti al di sotto della retta + = 5. La retta e l iperbole si intersecano nei punti di coordinate A = (, 1 ) e B = (1,) e quindi il sistema è risolto in {(,) R : < 0, 1 } {(,) R : 1 < <, 1 < + 5 } (si veda la figura 5).

6 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e limiti 6 B A p Esercizio In ciascuno dei casi considerati, poniamo D = dom f per brevità. 1) D non è limitato (non esiste un cerchio che lo contenga), è aperto (unione di tre aperti), non è convesso (se si prende un punto in A 1 e un punto in A 3, il segmento che li congiunge non appartiene a D) e non è connesso per archi (per connettere un punto di A 1 con un punto di A 3 mediante un arco, questo deve passare per l origine dunque non è contenuto interamente in D). La frontiera di D è l insieme formato dall unione dell asse, l asse e la retta =. I punti di accumulazione di D sono tutti i punti di D e della sua frontiera. ) D è l insieme dei punti del piano che appartengono alla circonferenza Γ di centro l origine e raggio. È limitato e chiuso (il complementare di D è unione di due aperti l interno e l esterno di Γ e quindi è aperto), non è convesso (il segmento che congiunge due punti qualunque di D non sta in D) ed è connesso per archi. La frontiera di D è D stesso ed i suoi punti di accumulazione sono tutti e soli i punti di D. 3) D non è limitato, è chiuso (contiene interamente la propria frontiera), non è convesso ma è connesso per archi. La frontiera di D è l unione delle due parabole γ 1 e γ. I punti di accumulazione di D sono tutti e soli i punti di D. 4) D non è limitato, è chiuso (il suo complementare è l unione di un infinità numerabile di corone circolari aperte e quindi è aperto), non è convesso, né connesso per archi. La frontiera di D è l unione delle circonferenze + = π +kπ, k Z. I punti di accumulazione di D sono tutti e soli i punti di D. 5) D non è limitato, non è aperto né chiuso (contiene parte della propria frontiera, ma non tutta), non è convesso, né connesso per archi. La frontiera di D è l unione del ramo di iperbole = 1 con < 0, dell arco di iperbole = 1 con 1 e del segmento = + 5 con 1. I punti di accumulazione di D sono i punti di D e della sua frontiera.

7 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e limiti 7 Esercizio 3 1) La funzione f(,) = è definita nei punti per cui + 0 ossia + in R \ {(0,0)}. Osserviamo ora che + per ogni punto (,) dom f, e quindi f(,) 1 nei punti di domf. Ovviamente, essendo positivi sia il numeratore, sia il denominatore, abbiamo che f(,) 0. Quindi, è possibile studiare le linee di livello f(,) = k per 0 k 1. L equazione f(,) = k equivale a + = k ossia k +(k 1) + = 0. Quindi, le linee di livello sono le parti delle curve γ k : k +(k 1) = 0 contenute in dom f. La curva γ k è una conica degenere che, per k 0,1, rappresenta una coppia di rette per l origine. Quindi γ k dom f è l unione delle due rette r k : k+ 1 k = 0 ed sk : k 1 k = 0 ma senza l origine. Per k = 0, γ 0 : = 0 che rappresenta l asse doppio; per k = 1, γ 1 : = 0 rappresenta l asse doppio. La figura 8 rappresenta i casi k = 0,1, 1 4, 3 4. ) La funzione f(,) = e è definita in tutti i punti del piano, e quindi domf = R. Inoltre, f(,) assume tutti i valori reali. Le curve di livello sono γ k : e = k, ossia = ke. Quindi, per k =0, γ k è una funzione di tipo esponenziale, mentre per k = 0, γ 0 è l asse (vedere fig. 9). Esercizio 4 1) Chiaramente dom f = R. Posto Γ c : 3 + = c, risulta che: Γ c = per c < 0; Γ 0 = {(0,0)}; per c > 0, Γ c è l ellisse c/3 + c/ = 1 di semiassi c/3 e c/. Si ha f(,) 0 per ogni (,) R e f(0,0) = 0, quindi f ha minimo assoluto, che vale 0. Poiché Γ c è non vuoto per valori c > 0 arbitrariamente grandi, f non è limitata superiormente (si osservi che il grafico z = 3 + di f è un paraboloide ellittico). ) Chiaramente dom f = R. Posto Γ c : = c, si ha Γ c per ogni c R e in particolare risulta che: Γ 0 è l unione degli assi cartesiani; per c 0, Γ c è un iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, la quale giace nei quadranti primo e terzo se c > 0, secondo e quarto se c < 0. Poiché Γ c è non vuoto per valori di c arbitrariamente grandi sia positivamente che negativamente, f non è limitata superiormente né inferiormente (e quindi non ha massimo né minimo assoluti). 3) Chiaramente dom f = R. Posto Γ c : = c, si ha Γ c per ogni c R e in particolare risulta che: Γ 0 è l unione delle rette + = 0 e = 0, cioè delle bisettrici dei quadranti; per c > 0, Γ c è l iperbole equilatera c c = 1, la quale ha le bisettrici dei quadranti come asintoti e l asse come asse focale (intersecato nei punti (± c,0));

8 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e limiti 8 per c < 0, Γ c è l iperbole equilatera c c = 1, la quale ha ancora le bisettrici ( dei quadranti come asintoti ma l asse come asse focale (intersecato nei punti 0, ± ) c ). Poiché Γ c è non vuoto per valori di c arbitrariamente grandi sia positivamente che negativamente, f non è limitata superiormente né inferiormente (si osservi che il grafico z = di f è un paraboloide a sella). 4) dom f = {(,) R : + 0} è il semipiano al di sopra della bisettrice =, bisettrice inclusa. Posto Γ c : + = c, risulta che: Γ c = per c < 0; per c 0, Γ c è la retta + = c, parallela alla bisettrice dei quadranti secondo e quarto (è la bisettrice stessa se c = 0). Si ha f(,) 0 per ogni (,) dom f e f(0,0) = 0, quindi f ha minimo assoluto, che vale 0. Poiché Γ c è non vuoto per valori c > 0 arbitrariamente grandi, f non è limitata superiormente. Esercizio 5 1) Il dominio della funzione f(,) = log( + ) è dom f = R \ {(0,0)}. Osserviamo che il grafico della funzione, dato dai punti di R 3 di coordinate (,,f(,)), rappresenta una superficie di rotazione attorno all asse z. Quindi, è naturale studiare il limite di f(,) passando a coordinate polari = ρcos θ, = ρsin θ. In coordinate polari, abbiamo che la funzione diventa f(ρ, θ) = log ρ ed è indipendente dall angolo θ. Quindi, si ha lim f(,) = lim log ρ =. (,) (0,0) ρ 0 ) La funzione f(,) = + è definita in tutti i punti di R che non sono sulla bisettrice del primo e terzo quadrante. Proviamo a restringere la funzione su una retta per l origine, che non sia =. Scegliamo = m con m 1. La funzione ristretta è f(,m) = (1+m) (1 m) = 1+m 1 m ed è costante. Quindi, lim 0 f(,m) = 1+m 1 m e dipende dalla retta scelta. D altra parte, se il limite della funzione f(,) esiste ed è l, allora lim 0 f(,m) = l e non dipende da m. Quindi, il limite non esiste. 3) Anche in questo caso possiamo passare a coordinate polari, ed otteniamo f(ρ,θ) = ρ cos θ sin θ ρ (cos θ sin θ) ρ = 1 4 ρ sin4θ. Quindi, 1 4 ρ f(ρ,θ) 1 4 ρ. Per calcolare il limite lim ρ 0 f(ρ,θ) possiamo usare il teorema del confronto, poiché lim ρ 0 (± 1 4 ρ ) = 0. Quindi si ha che lim ρ 0 f(ρ,θ) = 0.

9 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e limiti 9 4) Osserviamo che la restrizione della funzione f(,) ad una qualunque retta = m per l m origine è f(,m) = 3 (m + ) = m m + e il limite della restrizione è lim 0 f(,m) = 0, indipendentemente dalla retta scelta. Questo però non è sufficiente ad affermare che il limite della funzione f(, ) esiste. Infatti, se consideriamo la restrizione di f(, ) ad una qualsiasi parabola di equazione = a, otteniamo f(,a ) = quindi il limite lim 0 f(,a ) = lim (,) (0,0) f(,) non esiste. a4 4 (1+a ) = a 1+a e a 1+a e dipende dalla parabola considerata. Quindi, 5) Osserviamo che ( + ) e quindi, per piccoli valori di ρ = + abbiamo anche che ( + ) sin( + ) sin( + 3 ) sin(3( + )) 3( + ). Passando a coordinate polari, abbiamo che + + = ρ (1 + cos θ sin θ) = ρ sin(θ). Usando le proprietà della funzione seno, si ottiene ρ ρ. Quindi, la funzione f(,) verifica ρ 3 f(ρ,θ) 3ρ. Usando il teorema del confronto, otteniamo che lim ρ 0 f(ρ,θ) = 0. 6) Usando il fatto che lim t 0 arctan t t = 1, abbiamo che lim f(,) = (,) (0,0) lim (,) (0,0) +. Quest ultimo limite non esiste, perché le restrizioni alle rette dipendono dal coefficiente angolare della retta usata. 7) Poiché 1 allora 5 f(,) 5 e quindi lim (,) (0,0) f(,) = 0 per il teorema del confronto. 8) Poiché 1 abbiamo che 3 f(,) 3 e quindi lim 6 + (,) (0,0) f(,) = 0 per il teorema del confronto. 9) Se restingiamo la funzione ad una retta per l origine di equazione = m, otteniamo che f(,m) = m 5 4 ( +m 4 ) = m. Quindi, lim +m 4 0 f(,m) = 0. Se restringiamo f(,) alla curva di equazione = 3 otteniamo f = 1, e quindi il limite non può esistere. 10) Il limite da calcolare è un limite notevole, e quindi lim (,) (0,0) log(1+ 3 ) 3 = 1.