Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria

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1 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria Problema Sia AB un segmento di lunghezza a e il suo punto medio. Fissato un conveniente sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x,y): PA A. Si verifichi che il luogo dei punti P tali che = k (k costante positiva assegnata) è una PB circonferenza (circonferenza di Apollonio) e si trovi il valore di k per cui la soluzione degenera in una retta. B. Si determini il luogo geometrico γ dei punti che vedono A sotto un angolo di.. Posto, appartenente a γ, in uno dei due semipiani di origine la retta per A e per B e indicato con α l angolo si illustri l andamento della funzione B y = f( x) = A e x=tgα. Soluzione Punto A PA Si verifichi che il luogo dei punti P tali che = k (k costante positiva assegnata) è una PB circonferenza (circonferenza di Apollonio) e si trovi il valore di k per cui la soluzione degenera in una retta. Si fissa un sistema di assi cartesiani di origine e con il segmento AB sull asse delle x. Si ha (0,0), A(-a,0), B(a,0). P A B Posto P(x,y), il luogo dei punti cercato si ottiene dalla relazione ( ) ( ) PA = x + a + y PB = x a + y PA PB =, da cui, osservando che k

2 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 3 ( ) ( ) x+ a + y = k x a + y ( k ) x ( k) y a( k ) x a ( k ) = 0 Per k= l equazione degenera nell equazione di una retta e precisamente 4ax=0, ossia x=0. + k ak Per K si ha l equazione di una circonferenza di centro a,0 e raggio r =. k k irconferenza di Apollonio (da Apollonio di Perge, vissuto tra il 65 e il 70 a..) relativa a due punti fissi A e B e un numero positivo k è il luogo dei punti P per i quali AP = k BP. Questo luogo corrisponde a una circonferenza che ha un diametro sulla retta AB. irconferenza di Apollonio relativa a un triangolo AB è, invece, quella che ha per diametro il segmento DE, dove D è il punto in cui la bisettrice all angolo interno in interseca il lato AB, mentre E è il punto in cui la bisettrice dell angolo esterno in incontra il prolungamento del lato AB. I punti ABDE formano un gruppo armonico, ossia AD = AE. BD BE A D B E erchio di Apollonio relativo a un triangolo Punto B Si determini il luogo geometrico γ dei punti che vedono A sotto un angolo di. Il luogo dei punti è costituito da due archi di circonferenza che hanno A come corda. Infatti è il vertice di angoli alla circonferenza che insistono sull arco A..

3 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 4 A 90 L angolo al centro A = 90 perché l angolo al centro è doppio dell angolo alla circonferenza A =. Il triangolo A è un triangolo rettangolo isoscele. A a H a a Dal teorema di Pitagora x + x = a x=, dove x è il raggio della circonferenza. a Anche il triangolo H è rettangolo isoscele, per cui H=. a a La circonferenza γ ha centro, a r =. a a La circonferenza γ ha centro, a r =. Il luogo geometrico è quindi a a a a a a x+ + y+ = x+ + y = y< 0 y 0

4 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 5 Punto Posto, appartenente a γ, in uno dei due semipiani di origine la retta per A e per B e indicato con α B l angolo si illustri l andamento della funzione y = f( x) = A e x=tgα.. α A B A = α A = A= 35 α A A a Per il teorema dei seni A sen( 35 ) 35 α = = α, applicando le formule = +. Per il teorema di arnot B = A + AB A AB cosα = sen( ) sen di sottrazione si ottiene A a ( senα cosα ) ( ) ( ) α cosα 4 α cosα cosα = a sen + + a a sen + a = ( 5 senαcosα 4cos α) = a 5 senα cosα 4cos α B f( x) = =, dividendo numeratore e denominatore per cos α si A sen α + cos α + senαcosα ha 5 tgα 4 f ( x) cos α =, tenendo presente la formula = + tg α e ponendo tgα = x si ha + tgα cos α cos α 5x x + f ( x) = ( + x) Geometricamente si ha la seguente limitazione 0 < α < 35, da cui x<- o x>0. Studiamo la funzione indipendentemente dai limiti geometrici della variabile. + x 0 x D= Dominio: { } Studio del segno e intersezione con gli assi: f(x)>0 per ogni x, infatti il trinomio 5x -x+ ha = 4 0< 0.

5 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 6 x= 0 y = 0 ; y = nessuna soluzione Studio dei limiti negli estremi del dominio: 5x x+ lim x =+ ( + x) 5x x+ lim 5 x = ± x + x+ Quindi la retta x=- è asintoto verticale per la funzione, la retta y=5 è asintoto orizzontale a destra e a sinistra. Studio della derivata 43 ( x ) f '( x) = 0 x + ( ) 3-3 M, è punto di minimo. 3 Studio della derivata seconda 4( x) f ''( x) = 0 x + ( ) 4 F(,) è punto di flesso per la funzione. Grafico

6 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 7

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