SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014

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1 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I Determiniamo l espressione analitica di g() dividendo il suo dominio in intervalli. La circonferenza di diametro AO ha equazione (+) + = + + = 0 = ±, quindi nell intervallo [ ;0] g() ha equazione g() =, perché si trova nel semipiano 0. LacirconferenzapassanteperOeB,dicuil arcoobèunquartodicirconferenza, ha centroin(;0)edequazione( ) + = + = 0 = ± +, quindi nell intervallo ]0;] g() ha equazione g() = +, perché si trova nel semipiano 0. Il segmento BC ha equazione = ; pertanto nell intervallo ];] g() ha equazione g() =. Una parabola avente per asse di simmetria l asse ha equazione = a + c; imponendo le condizioni di passaggio per C e per D si ottiene c = 6 e = a+6 a = 1. Nell intervallo ];6] la funzione g() ha quindi equazione perché si trova nel semipiano 0. g() = 1 Abbiamo pertanto per 0 + per 0 < g() = per < 1 per < 6 1 c 01 Zanichelli Editore

2 Calcoliamo la derivata g (): inoltre: + per < < 0 g + () = per 0 < < + 0 per < < 1 per < < 6 1 in A, poiché + lim () = lim +g + = in O, poiché che equivale a dire lim () = + e lim () = +, 0 g 0 +g lim 0 g () = +, in B, poiché lim () = 0, lim () = 0 g +g e g() è continua in =, la funzione è derivabile con derivata ; in C, poiché lim () = 0 e lim () = 1 g +g, in D poiché la funzione non è derivabile. lim () = 6 g. Calcoliamo i valori richiesti per f() = g(t)dt. f( ) = f(t)dt = 0; c 01 Zanichelli Editore

3 f(0) corrisponde all area della semicirconferenza di diametro AO, presa con segno negativo: f(0) = π = π; f(1) corrisponde a f(0) a cui va sommata l area del triangolo mistilineo compreso tra il quarto di circonferenza di centro (;0) e passante per 0 e la retta = 1. O 1 Tale area è la differenza tra l area del settore circolare di ampiezza α = π e l area di un triangolo rettangolo di cateti 1 e, quindi: A = 1 αr 1 b h = 1 π 1 1 = π pertanto f(1) = π + π = π. f() corrisponde alla somma algebrica fra f(0) e l area del quarto di circonferenza, che è pari a π = π: f() = π +π = π. f() corrisponde al valore di f() aggiungendo l area del quadrato compreso tra il segmento BC e l asse, cioè f() = f()+ = π. f(6) corrisponde al valore di f() a cui va aggiunta l area del segmento parabolico CD, che si può calcolare in diversi modi: per esempio, si può applicare il teorema di Archimede, e moltiplicare per l area del quadrato circoscritto, ottenendo = 8 ; equivalentemente, si può calcolare l integrale definito 6 1 d = [ (1 ) Pertanto f(6) = π + 8 = 0 π. ] 6 = 0+ = 8. c 01 Zanichelli Editore

4 . Ricaviamo il segno di f riflettendo sul significato geometrico di integrale; per come sono definiti, f(0), f(1) e f() sono valori negativi mentre f() e f(6) sono valori positivi. Dal teorema fondamentale del calcolo integrale sappiamo che g = f ; sappiamo inoltre che la funzione f è continua nell intervallo ];[, pertanto sappiamo anche che avrà uno zero in quell intervallo, cioè esiste un valore reale k ];[ per cui f(k) = 0. Ragioniamo graficamente per ricavare questo valore. A 1 1 O 1 1 B k C 5 6 D Sappiamo che f() = π e che f(k) = f()+ k g(t)dt. Poiché vogliamo che f(k) = 0, k deve soddisfare la condizione k g(t)dt = π. Nell intervallo ];[ che stiamo considerando g() è la funzione costante di equazione = ; pertanto, come si vede bene dalla figura, quello che stiamo cercando è la lunghezza della base di un rettangolo che stia sotto il segmento BC, che abbia area π e altezza. Il valore che cerchiamo è quindi π ; ne ricaviamo che k = + π. Ricapitolando: f() = 0 per = e = + π ; f() < 0 per < < + π ; f() > 0 per + π < 6. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo anche dire che f () = g (), quindi in base a quanto detto su g sappiamo che f () < 0 per < < e < < 6; f () > 0 per < < 0 e 0 < < ; f () = 0 per < <. c 01 Zanichelli Editore

5 . Essendo la funzione f() continua sull intervallo chiuso [-; 6], essa ammette un massimo e un minimo assoluti all interno di questo intervallo per il teorema di Weierstrass. Come si deduce facilmente dal grafico di g e dai conti svolti fino a questo punto, nell intervallo [-; 0[ la funzione f è decrescente; il minimo assoluto si ha in = 0, dove f(0) = π. Nell intervallo ]0; 6] la funzione f è sempre crescente e il massimo assoluto di f sarà in = 6, infatti f( ) = 0 < f(6) = 0 grafico di f sarà quindi: π. L andamento qualitativo del O π + 5 c 01 Zanichelli Editore