3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

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1 Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza λ passante per C e tangente esternamente a γ.. Se AP = x, si provi che il raggio di λ in funzione di x è dato da f(x) = x + x.. Riferito il piano ad un sistema di coordinate Oxy, si tracci, indipendentemente dalle limitazioni poste ad x dal problema geometrico, il grafico di f(x). La funzione f(x) è invertibile? Se sì, quale è il grafico della sua inversa?. Sia g(x) = x x +, x R; quale è l equazione della retta tangente al grafico di g(x) nel punto R(,)? E nel punto S(,)? Cosa si può dire della tangente al grafico di g(x) nel punto S? 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Problema. Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita da f(x) = b x (b >, b ).. Sia G b il grafico di f(x) relativo ad un assegnato valore di b. Si illustri come varia G b al variare di b.. Sia P un punto di G b. La tangente a G b in P e la parallela per P all asse y intersecano l asse x rispettivamente in A e in B. Si dimostri che, qualsiasi sia P, il segmento AB ha lunghezza costante. Per quali valori di b la lunghezza di AB è uguale a?. Sia r la retta passante per O tangente a G e (e = numero di Nepero). Quale è la misura in radianti dell angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse? 4. Si calcoli l area della regione del primo quadrante delimitata dall asse y, da G e e dalla retta d equazione y = e. QUESTIONARIO Quesito. Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è p (n) (x) = n!a n dove a n è il coefficiente di x n.

2 Quesito. Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. Quesito. Sia γ il grafico di f(x) = e x +. Per quale valore di x la retta tangente a γ in (x,f(x)) ha pendenza uguale a? Quesito 4. Si calcoli lim x 4xsen x. Quesito 5. Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 8 cm. Quale è la capacità del serbatoio? Quesito 6. Si determini il dominio della funzione f(x) = cos x Quesito 7. Per quale o quali valori di k la funzione { x x 4, x 4 h(x) = kx x, x > 4 è continua in x = 4? ( ) n Quesito 8. Se n > e, n aritmetica, qual è il valore di n? ( ) n, n ( ) n sono in progressione n Quesito 9. Si provi che non esiste un triangolo ABC, con AB =, AC = e ÂBC = 45. Si provi altresì che se AB =, AC = e ÂBC =, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni. Quesito. Si consideri la regione delimitata da y = x, dall asse x e dalla retta x = 4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all asse y.

3 PROBLEMI Problema. Si ha AB = BC = CD = DA = e P AB = AP = x con x. D C F E A P B ) Detto r il raggio incognito di λ cioè CE = r = EF, essendo F il punto di tangenza delle due circonferenze γ e λ. Il triangolo PBE è rettangolo per cui, per Pitagora PE = PB + BE. () Ma Ne segue dalla () e quindi PE = PF + EF = AP + EF = x + r, PB = AB + AP = x, BE = BC + CE = r. (x + r) = ( x) + ( r) x + r + rx = + x x + + r r rx + r = x r(x + ) = ( x) r = x con x +, + x che, per le condizioni è certamente soddisfatta. ) La funzione f(x) = x + x ha dominio D = R { } in quanto deve essere x +. La funzione è conosciuta in quanto rientra nelle funzioni omografiche. È pertanto un iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e traslata. Gli asintoti

4 di tale funzione sono dati dal rapporto dei coefficienti della x del numeratore e denominatore: dalla Poiché y A = = per quello orizzontale, + x = = x = per quello verticale. f() = + =, il grafico discende immediatamente f(x) = = x =. x = O y = Affinché una funzione sia invertibile deve essere: a) suriettiva e f(x) lo è dato che l insieme di arrivo f : A B non è stato definito esplicitamente e quindi coincide con il codominio R { }. b) iniettiva, difatti da f(x ) = f(x ) risulta x + x = x + x = ( x )( + x ) = ( x )( + x ) = + x x x x = + x x x x = x = x = x = x x,x D. La funzione è pertanto invertibile e il grafico della inversa si ottiene da quello studiato con una simmetria assiale di asse y = x. Poiché comunque il grafico di f(x) risulta quello di un iperbole equilatera e quest ultima è simmetrica rispetto all asse focale, asse che coincide con la retta y = x, il grafico della inversa è il grafico di f(x) stesso. 4

5 ) Sia g(x) = x + x, x R { }. Il grafico di g(x) si ottiene ribaltando quello di f(x) nei punti del dominio dove è f(x) < (cioè per x < x > ) mentre coincide con quello di f(x) là dove f(x), cioè per x. R(, ) y = O S(, ) In R(,) l equazione della tangente si ottiene da f (x) = ( + x) ( x) ( + x) = ( + x) t : y f() = f ()(x ) = y = ( + ) x = y = x +. Nel punto S(, ) la tangente non esiste essendo un punto angoloso. Esistono solo la tangente destra e sinistra: quella sinistra è quella destra è y = f () (x ) = y = (x ), y = f () (x ) = y = (x ). 4) L area richiesta evidenziata nella figura precedente si ottiene dall integrale definito x A(ROS) = + x dx Riscritta f(x) come x + x = + + x, 5

6 forma ottenuta eseguendo la divisione con Ruffini dei polinomi x con + x l integrale si suddivide A(ROS) = = ( + dx + + x ) dx = dx + x = = [x] + [ln + x ] = = + ln.86. Problema. f(x) = b x, con b > b. ) Se b > il grafico G b di f(x) = b x è quello della funzione esponenziale a base maggiore di. Tale grafico è noto e risulta sempre crescente con i limiti lim x bx = lim x + bx = +. O Se invece < b <, il grafico corrispondente è dato dalla seguente figura, dove lim x bx = + lim x + bx =, e la funzione f(x) = b x è decrescente. 6

7 O ) Sia P(x,b x ). Segue B(x,) mentre l equazione della retta tangente in P è t : y b x = f (x ) (x x ). t P O A B Poiché risulta f (x) = D(b x ) = D(e x ln b ) = b x ln b, t : y b x = b x ln b(x x ) e l ascissa di A si ottiene ponendo y = da cui b x = b x ln b(x x ) = x ln b x lnb, xln b = x ln b x A = x ln b. 7

8 Segue AB = x B x A = x x + ln b = ln b che, essendo indipendente da x, dimostra la costanza di AB. Se AB = si deduce { = ln b = = ln b = = = b = e ln b ln b > oppure { ln b < ln b = = ln b = = b = e = e. ) Per ottenere la retta tangente a G e è sufficiente porre x A =, ossia che A O. r G e : e x O α Allora posto b = e, ln e = e x A = x = cioè x = e la retta r ha coefficiente angolare f () = e ln e = e = m r. Poiché il coefficiente angolare è pure la tangente goniometrica dell angolo che la retta r forma con il semiasse x positivo, si ha tg α = m r = tg α = e = α = arctg e.8 rad. 4) La funzione e x interseca y = e nel punto e x = e da cui x =. 8

9 y = e O Pertanto l area richiesta è A = (e e x )dx = [ex e x ] = = e e ( e ) = + =. QUESTIONARIO Quesito. p(x) = a n x n + a n x n a x + a. Eseguendo p (x) si ottiene p (x) = a n n x n + a n (n ) x n a. Analogamente p (x) p (x) = a n n(n ) x n a ; ne segue p k (x) = a n n(n ) (n k + ) x n k a k e quindi con k = n p n (x) = a n n(n ) (n n + ) = a n n(n ) = a n n! cioè essendo n! = n(n )(n ). Quesito. Il triangolo PBC è retto in B perché r è perpendicolare al piano π del triangolo e quindi è perpendicolare ad ogni retta appartenente a π. Analogamente P AB è retto in B perché r π e quindi pure r AB. Infine, poiché CA AB e AB P B, il teorema delle tre perpendicolari assicura pure CA AP. 9

10 r P π B C A Quesito. f(x) = e x +. Calcolata f (x) = e x, questa esprime la pendenza della retta tangente per cui basta porre e x = = e x =, da cui x = ln ( ) = x = ln ( ). Quesito 4. lim x 4xsen x Posto x = t si ha lim cosicché il limite diviene t = lim x x x =, lim 4xsen x x = lim 4 sent = lim t t 4sen t t t e risulta uguale a 4 = 4 essendo sent lim = (limite fondamentale). t t Quesito 5. Si ha AV = 8 cm. V H A

11 Posto x = V H con x 8 cm, AH = V A V H = 8 x. Il volume è pertanto { V = πah V H = π ( 8 x ) x x 8. La V fornisce V = π [ 8 x ], ossia 8 x, x 8 8, 8 x x Il volume corrispondente è V = π ( ) = π 8 = = π 9 8 = π cm = 7 = 67 l = 6.7 l. Quesito 6. f(x) = cos x. Il suo dominio è cos x = π + kπ x π + kπ. Quesito 7. La continuità in x = 4 della funzione { x x 4 per x 4 h(x) = kx x per x > 4 implica lim x 4 x x 4 = h(4) = = e tale limite sinistro deve essere uguale a quello destro: = lim x 4 + kx x = k 4 8 = 6k 9

12 da cui k = 9/6. Quesito 8. Posto ( ) n n = a n, a n = ( ) n n e a n = ( ) n n con n >, l essere in progressione aritmetica vuol dire che la differenza tra un elemento della successione e il precedente (o il successivo) è una costante ossia a n a n = costante = a n a n. Tenuto conto della definizione di coefficiente binomiale si ottiene l equazione con n > ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = n n n n n! (n )!(n n + )! n! (n )(n n + )! = n! (n )(n n + ) n! n n +. Poiché n! = n (n )! e ricorsivamente: i numeratori si riscrivono come n(n )! )(n )! n(n = (n )! (n )!! e quindi si semplificano in da cui n(n ) n n = n! = n(n )(n )! n! = n(n )(n )(n )! n(n ) = n n(n )(n )! n(n )(n )(n )! (n )!! (n )!! n(n )(n ) 6 n n + 6 dividendo per n (n ) = n n + 6 6n = n + n = n 9n + 4 = n = 9 ± 8 56 e risulta accettabile solo n = 7. = 9 ± 5 = 7 Quesito 9. AB =, AC =, ÂBC = β = π 4 = 45. Con le solite convenzioni dei triangoli è pure c = e b =.

13 C b = γ α β A c = B Applicando il teorema dei seni per cui AC senβ = AB senγ AB senβ = senγ = AC senγ = sen45 = > per cui non esiste alcun angolo γ. Se invece β = = π/6: per cui γ = arcsen senγ = sen = = 4 ( ) ( ) oppure γ = π arcsen In corrispondenza di γ, il terzo angolo è α = 8 β γ.4, mentre se γ.4 si ottiene α = 8 β γ Quesito. La y = x rappresenta un arco di parabola in quanto, posto x e y, si riduce a x = y. Se x = 4 risulta y = 4 =, con A(4,) intersezione della retta x = 4 con l arco. Il volume del solido richiesto si può ottenere come differenza tra il volume del cilindro V cil avente raggio di base r = 4 ed altezza, e il volume del solido di rotazione della regione R di figura e compresa tra l asse y, l arco di parabola e la retta y =. R A y = x Si ha pertanto 4 5 V = V cil π ( y ) dy

14 dove si è considerato l asse y come asse di integrazione. Si ottiene [ y V = π(4) π 5 = π 4 5 = 8 5 π. ] ( ) = π π 5 ( = π ) = 5 4