Simulazione di prova d Esame di Stato

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1 1 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 Sia y = f(x) una funzione reale di variabile reale tale che la sua derivata seconda sia uguale al logaritmo naturale di ( 2x) e il cui grafico sia tangente nel punto A di coordinate ( 1 2 ; 2) 1 alla circonferenza di centro C(2; 1). a. Determinare l espressione di f(x). b. Individuare il numero di zeri della funzione f(x) e disegnare il grafico. c. Considerare l arco di curva piana di equazione y = f(x) compreso tra il punto di flesso della funzione e l asse delle ordinate. Qual è la lunghezza di tale arco di curva? Problema 2 Risorse per l insegnante e per la classe In un riferimento cartesiano ortogonale è data la curva γ di equazione 2mx +1 y = mx 2, essendo m una costante reale. a. Ricercare per quale traslazione degli assi l equazione assume la forma XY = k. b. Trovare le coordinate dei punti A e B comuni alla curva e alla bisettrice del primo quadrante e determinare la lunghezza del segmento AB. c. Verificare che per qualsiasi valore del parametro m tutte le curve descritte dall equazione hanno in comune un medesimo punto C. Determinare l area del triangolo ABC. Studiare l andamento di tale area al variare del parametro m. d. Fatta ruotare la curva γ di un angolo giro attorno alla retta di equazione y =2, determinare il volume del solido limitato dalla superficie così ottenuta e dai piani perpendicolari all asse x passanti per i punti x 0 = x C, x 1 >x 0, nel caso di m negativo. Questionario 1 Determinare il valore del parametro k in modo che valga ( x2 x2 1 + k x) =2. lim x + 2

2 2 Precisare se esiste, e in caso affermativo determinare il valore, del parametro t tale che sia ovunque continua la funzione: { sen(x + t) se x<0 f(x) = cos(x t) se x 0 3 Perché non è applicabile il teorema di Rolle alla funzione f(x) = x considerata nell intervallo [ a; a]? 4 Due barche inizialmente alle distanze a e b da un generico punto P, navigano verso P secondo traiettorie rettilinee perpendicolari tra loro, alle velocità rispettivamente di h e k. Quando è minima la distanza tra le barche? A quanto è pari tale distanza minima? 5 Dare la definizione di funzione tra insiemi. Quante funzioni differenti esistono tali che il dominio di f sia dato dall insieme D = {1; 2;...; n} e l insieme immagine sia I = {a; b}? 6 La successione a n è definita dalla formula ricorsiva a 1 =10 a n+1 = 1 a n Scrivere il termine a 93. La successione è limitata? È convergente? Qual è l espressione della somma dei primi n termini? 7 L equazione x 1+log 2 x = x 2 log 2 x ha: a. una soluzione reale b. due soluzioni reali c. infinite soluzioni reali d. nessuna soluzione reale 8 Calcolare il valore dell integrale 1 0 x 1 (x +2) x dx. 9 Sia f(x) una funzione continua a valori reali definita su [a; b] tale che f(a) < 0 <f(b). Per ciascuna delle seguenti affermazioni dire se sia vera o falsa e in tal caso giustificare la risposta con un opportuno esempio: a. esiste un solo punto x 0 [a; b] tale che f(x 0 )=0; b. esiste almeno un punto x 0 [a; b] tale che f(x 0 )=0; c. esiste un solo punto x 0 (a; b) tale che f(x 0 )=0se la funzione è dispari e a = b. 10 Dopo aver dimostrato che y = x + e x è invertibile, calcolare la derivata della sua inversa x = g(y) nel punto y =1. 3

3 2 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 Sui lati opposti AB e CD del rettangolo ABCD ed esternamente a esso si costruiscano due triangoli isosceli AP B e CQD aventi gli angoli alla base di ampiezza α. a. Sapendo che il perimetro dell esagono AP BCQD è 2p, determinare le lunghezze dei lati del rettangolo in funzione di α e del lato AP in modo che l area S dell esagono risulti massima. b. Determinare per quale ampiezza dell angolo α l esagono di area massima è inscrivibile in una circonferenza. Commentare il risultato. c. Disegnare il grafico della funzione S, considerando il valore di α trovato nel punto b. Quale deve essere la lunghezza del perimetro dell esagono in modo che l area della parte di piano delimitata da S e dall asse delle ascisse sia uguale all area dell esagono? d. Nel caso in cui l angolo α assuma il valore trovato nel punto b, calcolare il volume del solido generato da una rotazione di 180 attorno alla retta PQ dell esagono AP BCQD e disegnare il grafico della funzione trovata nello stesso sistema di riferimento in cui si è rappresentata la funzione S del punto c. Problema 2 Risorse per l insegnante e per la classe Sia f m la funzione reale di variabile reale definita da f m = mx2 (m +2)x +2, 2x 5 con m parametro reale, e sia γ m il grafico di f m. a. Precisare per quali valori di m la funzione f m non ammette né massimo né minimo. Quali particolarità si hanno per m =0e per m = 4 5? b. Provare che la funzione f m può essere scritta nella forma ax + b + c 2x 5, determinando le costanti a, b, c. Quale relazione intercorre tra la funzione f m e la retta y = ax + b? c. Studiare la funzione f 2 (x) e disegnare il relativo grafico γ 2. Provare che γ 2 è simmetrica rispetto al punto di intersezione tra gli asintoti. d. Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione di γ 2 attorno all asse x delimitato dai piani perpendicolari a tale asse passanti per l asse y e per il punto di massimo di f 2. 4

4 Questionario 1 Determinare le costanti a e b tali che sia derivabile, x R, la funzione { e x + a cos x se x 0 f(x) = b(x 2 +3x +1) sex<0 2 Quale dei seguenti insiemi è vuoto? (È possibile più di una risposta corretta.) a. Triangoli rettangoli le cui lunghezze dei lati sono numeri interi. b. Triangoli rettangoli le cui lunghezze dei lati sono in rapporto di 5 :12:13. c. Poligoni regolari con un angolo interno di 45. d. Poligoni regolari con un angolo interno di 90. e. Poligoni regolari con un angolo interno di Dimostrare che se lim x c f(x) =k 0, allora esiste un intorno di x = c nel quale f(x) ha lo stesso segno di k e f(x) > 1 2 k. 4 Sia P n la successione che ha per termini i perimetri di ciascuno dei quadrati costruiti come segue: il lato del quadrato iniziale è a, il lato di ogni quadrato successivo è metà del lato del quadrato precedente. Qual è il termine generale della successione? Studiarne il comportamento. 5 La lunghezza del lato a di un rettangolo aumenta alla velocità di 2 m/s, mentre la lunghezza del lato b diminuisce alla velocità di 3 m/s. A un certo istante t 0 i due lati misurano rispettivamente 20 e 50 m. L area del rettangolo all istante t 0 è crescente o decrescente? Con quale velocità? 6 Determinare il dominio della funzione f(x) =arc sen(2x x +1). ln 4 (5e 7 x +4)e x Determinare il valore dell integrale (e x 2)(e 2x + e x +1) dx. 8 Determinare il numero complesso z = x + iy tale che z =4e z i =1e dare un interpretazione grafica del risultato sul piano di Argand-Gauss. ln 3 9 Date le funzioni f(x) = sen x e g(x) = x, disegnare il grafico di f(x), g(x), [ ( π )] [ ( π )] f[g(x)], g[f(x)]. Calcolare inoltre f g + g f Specificare se la funzione f(x) = x3 4 sen xπ +3 assume il valore 7 3 nell intervallo [ 2; 2]. 5

5 3 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 Sono dati il segmento AB = a e un punto C interno ad AB (AC =2x). Sia O il punto medio di AC. Descrivere una semicirconferenza di diametro AC; siano D il punto di contatto della tangente alla semicirconferenza condotta dal punto B ed E il punto d intersezione di BD con la tangente in A. Sia infine H la proiezione del punto D su AB. a. Quale relazione esiste tra i triangoli BAE e BDO? Calcolare in funzione di a e di x le misure dei segmenti BO, AE, BD, BE, OH, AH. b. Ruotare la figura di 360 attorno ad AB. Calcolare le aree S 1 e S 2 generate in questa rotazione rispettivamente dal segmento BE e dall arco AD. Determinare x tale che sia S 1 = k (k >0). Discutere il risultato e analizzare il caso particolare per S 2 k =2. Disegnare il grafico di S(x) = S 1. S 2 c. Determinare l area del triangolo mistilineo AED. Problema 2 Considerare un punto P nel piano, il cui moto, in funzione del tempo, è descritto dalle equazioni: { x(t) =t y(t) =e 3lnt t a. Determinare la traiettoria γ del punto P e disegnarla. b. Determinare i vettori velocità v e accelerazione a. Determinare gli istanti in cui si ha: a =0; v ortogonale ad a. c. Si consideri la retta tangente a γ nel generico punto P e sia R il punto d intersezione di tale retta con l asse delle ascisse. Tracciare la perpendicolare alla retta tangente nel generico punto P, che interseca l asse x in S. Determinare per quale valore di t il segmento SR risulta essere uguale a OS. d. Determinare l area della parte di piano delimitata dalla curva γ e dall asse x, per x x A, essendo A il punto trovato in c di ascissa maggiore. 6

6 Questionario 1 Verificare che la funzione 2(x +1) f(x) =ln(2 + x)+ x +2 non ha altri zeri oltre a x 0 = 1. 2 Dimostrare che la differenza tra le radici quadrate di due interi consecutivi maggiori di 24 non supera 0,2. 3 Trovare tutti i punti equidistanti dall asse x, dall asse y e dal punto di coordinate (3; 6). 4 Verificare, mediante la definizione, che lim 4+ 1 n + n =2. 5 Un punto si muove lontano dall origine nel primo quadrante lungo la curva di equazione y = 1 48 x3. Quale coordinata cresce più velocemente? 6 Calcolare il numero 4 2 e rappresentare graficamente il suo valore. 7 Calcolare il valore approssimato di arc tg 1,05 applicando il concetto di differenziale e lo sviluppo di Taylor. ( ) ( ) m m +1 m(m 1)(2m 1) 8 Verificare la relazione + = Qual è una condizione necessaria per la derivabilità di una funzione in un punto? Dimostrare la risposta data. 10 Dato l insieme { A = x R:0 x<1 x = 2n 3 },n N {0; 1}, n 1 precisare se A è limitato superiormente e/o inferiormente, specificandone estremo superiore, estremo inferiore e, se esistono, massimo e minimo. 7

7 4 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 Si consideri una sfera di centro O e raggio R; sia SS un suo diametro. Un piano si muove mantenendosi perpendicolare a questo diametro. Nel cerchio, intersezione del piano con la sfera, si inscriva un triangolo equilatero ABC e sia H il centro di questo cerchio. Si indichi SH = x. a. Calcolare in funzione di x e di R l area A(x; R) del triangolo equilatero ABC e il volume V(x; R) della piramide SABC. b. Studiare le variazioni di S e di V in funzione di x e disegnare le curve rappresentatrici in uno stesso sistema di riferimento, senza tenere conto delle restrizioni legate al problema geometrico. La posizione reciproca delle due curve dipende da R? Discutere i casi possibili. c. Calcolare l area della parte di piano delimitata dalle due curve, distinguendo i casi trovati al punto b. d. Determinare x in modo che l area A sia mr 2. Nel caso particolare in cui l area sia R2, dimostrare che, per il valore maggiore di x, SABC è regolare e il triedro S ABC è trirettangolo. Problema 2 Sia data la funzione f(x) = x x2 2. a. Studiare il comportamento di f(x) e tracciarne il grafico γ. b. Individuare il più grande intervallo contenuto nel dominio di f(x) in cui tale funzione ammette funzione inversa, motivando la scelta. Precisare dominio e codominio di f 1. Determinare l espressione di y = f 1 (x) e tracciarne il grafico γ 1. c. Scrivere l equazione delle tangenti a γ e γ 1 nel punto {P } = γ γ 1 e calcolare l ampiezza dell angolo acuto tra le due curve in P. d. Calcolare l area A(a) della parte di piano limitata da γ e dalle rette di equazioni y =1, x = a, x =2, con 2 <a<2. Determinare il limite di A(a) per a 2. 8

8 Questionario 1 Dati due numeri reali positivi x e y: a. dimostrare che la media geometrica g = xy è sempre minore o al più uguale alla media aritmetica a = x + y ; 2 b. usare il risultato del punto a per dimostrare che, tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato, il quadrato ha l area maggiore. 2 Le lattine delle bibite sono approssimativamente dei cilindri la cui altezza è 3,6 volte il raggio. Si può affermare che le proporzioni tra le dimensioni sono scelte dai produttori per rendere minima la quantità di metallo necessario per fabbricarle? 3 Individuare il numero di punti stazionari della funzione f(x) =x ln x 1 2 bx2 +5 al variare del parametro b. Discutere la natura di tali punti. 4 Dimostrare che il prodotto di funzioni con la stessa parità è pari, con parità differente è dispari. Fornire degli esempi. 5 Determinare e rappresentare graficamente l insieme A = B C, dove B = { (x; y) R 2 y x 2 < 1 } e C = { (x; y) R 2 x y2 1 }. 6 Scrivere l espressione di F (x) =f[g(x)], essendo x +2 se x>0 x 2 5x +6 f(x) = x +1 e g(x) =. e x 1 x 3 +2 sex 0 3x +tgx 7 Calcolare il valore del limite lim x 0 sen x +tg 2 x. e 3 1+lnx 8 Determinare il valore dell integrale x ( 1+ 1+lnx ) dx. 9 Trovare, se possibile, il valor medio della funzione { 1 x 2x 2 x 0 f(x) = e x x>0 nell intervallo [ 1; 1]. In caso affermativo, determinare l ascissa del punto che realizza tale valore. 10 Nello sviluppo di (2a +3b) n il quinto coefficiente è 5 volte il sesto. Determinare n. 1 9

9 5 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 Tra le parabole di equazione y = 1 2 x2 x k, individuare la parabola γ tangente alla retta t di equazione y =2x 6 e calcolare le coordinate del punto P di tangenza. a. Determinare l equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta t nello stesso punto P. b. Tra le circonferenze del fascio suddetto determinare l equazione della circonferenza ϕ che ha il centro sull asse y e verificare che essa incontra la parabola γ, oltre che nel punto doppio di tangenza P, in altri due punti, A di ascissa 1 2 e B di ascissa c. Scritta l equazione della parabola β di vertice V di coordinate (0; 3) passante per il punto P, inscrivere, nella regione individuata dalle due parabole γ e β, il triangolo di area massima tra quelli con un vertice in P e la base DE, dove D ed E sono i punti ottenuti intersecando le due parabole con una retta parallela all asse y. d. Determinare il rapporto tra la superficie del triangolo di area massima del punto precedente e la superficie delimitata dalle due parabole γ e β in cui questo è inscritto. Problema 2 Risorse per l insegnante e per la classe È data la funzione: 1 x x y = 2 se x 0 2x e kx se x>0 con k parametro reale strettamente positivo. a. Studiarne e disegnarne il grafico in un sistema di assi cartesiani ortogonali. b. Determinare l equazione della retta tangente alla curva nel suo punto di flesso. c. Dire se esiste finita l area delimitata dalla curva e dall asse x e, in caso affermativo, determinarla. d. Determinare per quale valore del parametro k l area sotto la curva, per x >0, risulta uguale a 1 2. e. Determinare per quale valore del parametro k la funzione risulta ovunque derivabile, quindi, assumendo tale valore di k, determinare con un metodo approssimato a tua scelta, l ascissa del punto comune alla funzione e alla bisettrice del primo e terzo quadrante. 10

10 Questionario 1 Enunciare il teorema di Lagrange, quindi verificare se per la funzione 3x 3 se x<0 f(x) = x +3 x 2 1 se x 0 il teorema è applicabile nell intervallo [ 1; 4] e, in caso affermativo, determinare i valori di x per cui è verificato. 2 Mostrare che la funzione y = e x + x 2 x 3 ammette due zeri reali, quindi calcolare, con un metodo numerico a scelta, il valore dello zero appartenente all asse delle ascisse positive. 3 Determinare per quale valore di a, numero reale maggiore di 1, la funzione y = a x e la retta bisettrice del primo e terzo quadrante risultano tangenti. 4 Dato il fascio di circonferenze di equazione 2x 2 +2y 2 +2kx +(k 6)y +(k 8) = 0, spiegare di che tipo di fascio si tratta, individuarne i punti base, le circonferenze degenere e di raggio minimo, il luogo dei centri delle circonferenze. [ ] 5 Verificare che dn 1 ( 1) n dx n x(1 x) = n! x n (1 x) n+1. 6 Costruita la funzione f(x) definita dal valore che assume il determinante della matrice A al variare del parametro reale x 3 x 2 f(x) =det A = det x 0 x, x 2 1 verificare che essa incontra l asse delle ascisse in tre punti, quindi determinare la superficie delimitata dalla funzione e dall asse delle ascisse. Cosa si può dire del rango della matrice A per i tre valori di x in cui la funzione incontra l asse delle ascisse? 7 In un contenitore sono raccolte alcune matite colorate così ripartite per colore: 12 matite blu, 9 matite marroni, 4 matite nere, 5 matite verdi. Scegliere a caso tre matite e calcolare: a. la probabilità che tutte e tre siano dello stesso colore; b. la probabilità che almeno due matite siano dello stesso colore; c. la probabilità che le tre matite non siano di colore verde. 11

11 8 Si ha a disposizione un foglio di cartone di forma rettangolare di dimensioni a e 2a con il quale si vuole costruire una scatola a base rettangolare aperta al di sopra, tagliando via dai vertici del foglio quattro quadrati uguali. Determinare qual è il lato dei quadrati eliminati che produce la scatola di volume massimo e calcolare tale volume. 9 Sono date le due trasformazioni: { { X =2x +3y 1 X =3x 1 T 1 : e T 2 : Y = y +3 Y = x +2y 1 Riconoscerne la natura e trovarne i punti uniti. Determinare quindi la trasformazione ottenuta dalla composizione T 2 T 1, verificando la proprietà per cui «la trasformazione composta ha come rapporto di affinità il prodotto dei rapporti di affinità delle trasformazioni componenti»; determinare quindi i punti e le rette che restano uniti per T 2 T Calcolare l integrale definito 1 2 ( ln x)dx, dove ln indica il logaritmo naturale in base e, quindi fornire, con un metodo approssimato a scelta, una stima dell area della superficie delimitata dalla funzione integranda, l asse delle ascisse e la retta x = 1 2, il cui valore esatto è espresso dal risultato del calcolo dell integrale. 12

12 6 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 In un sistema di assi cartesiani ortogonali, tra le circonferenze di equazione x 2 + y 2 +6y + k =0, determinare la circonferenza γ di raggio 5 e calcolarne le coordinate del centro C e dei punti A e B di intersezione con l asse delle ascisse. a. Scrivere l equazione della circonferenza tangente nel punto B alla circonferenza γ e avente il centro appartenente alla bisettrice del primo e terzo quadrante, quindi determinare l equazione della retta r tangente comune in B alle due circonferenze. b. Tra le parabole con asse parallelo all asse delle ordinate determinare quella il cui vertice coincide con il centro della circonferenza γ e passante per i punti A e B. Nella regione delimitata dalla parabola e dalla circonferenza γ, inscrivere un rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani; l asse delle ascisse taglia in due parti tale rettangolo: calcolare il limite a cui tende il rapporto tra le aree di queste due parti quando la dimensione verticale del rettangolo tende a zero. c. Detto P il punto del primo quadrante comune alla retta r e a una generica retta passante per l origine, sia N la proiezione di P sull asse delle ascisse. Costruita la funzione che, al variare della retta per l origine, esprime l area del triangolo rettangolo OPN situato nel primo quadrante, studiarne e disegnarne il grafico, indipendentemente dalle limitazioni geometriche utilizzate per ricavarla. d. Calcolare l area della superficie delimitata dalla funzione, dalla retta tangente nel suo punto di flesso e dall asse delle ascisse. Problema 2 È data la funzione f(x) = x 1 e x. a. Studiarne e disegnarne il grafico in un sistema di assi cartesiani. b. Mostrare, facendo il calcolo, che l area del triangolo mistilineo delimitato dalla funzione e dagli assi cartesiani nel quarto quadrante è uguale all area delimitata dalla funzione e dall asse delle ascisse nel primo quadrante. c. Detto P un punto appartenente alla parte del grafico della funzione situato nel quarto quadrante, costruire il rettangolo ottenuto proiettando P sugli assi cartesiani. Determinare la posizione di P per cui tale rettangolo ha superficie massima. 13

13 d. Scrivere l equazione di una generica retta r passante per il punto in cui la funzione incontra l asse delle ascisse e discutere la condizione per cui r risulta secante la funzione in un punto R del primo quadrante. e. Detta α l ascissa di R, determinarne un approssimazione con un metodo numerico a scelta, nel caso in cui la retta r divida in due parti uguali la superficie situata nel primo quadrante delimitata dalla funzione e dall asse delle ascisse. Questionario 1 Considerata una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio unitario, tracciare la corda AC che sottende un angolo al centro x e la corda CD che sottende un angolo doppio 2x. Calcolare l angolo x per cui la superficie del quadrilatero ACDO è massima, al variare di C (e di D) sulla semicirconferenza. 2 Data la funzione y = x 1 ln x, dove ln indica il logaritmo naturale in base e, individuarne il dominio e studiarne la continuità e la derivabilità. 3 Estrarre a caso cinque carte da un mazzo da quaranta. Qual è la probabilità che tra le carte estratte ci siano solo due assi dello stesso colore? E quale la probabilità che ci siano almeno due assi? 4 Determinare le equazioni della trasformazione che porta i punti O(0; 0), A(0; 3) e B(5; 0) rispettivamente nei punti O (0; 1), A (0; 7) e B (10; 1). Individuare di che tipo di trasformazione si tratta e in particolare come opera rispetto alla trasformazione della superficie di una figura piana, verificandone l effetto sui triangoli OAB e O A B. Individuare i punti e le rette che restano uniti nella trasformazione. 5 Sia f la funzione definita da f(x) =x x2. Studiare quanti punti il suo grafico ha in comune con la retta y = k, al variare di k reale. Calcolare, con un metodo di approssimazione numerica, l ascissa del loro punto comune di valore negativo quando k =1, con due cifre decimali esatte. 6 Enunciare il teorema di Rolle, quindi verificare se per la funzione f(x) =x 1 x 2 il teorema è applicabile nell intervallo [0;1] e, in caso affermativo, determinare i valori di x per cui è verificato. 14

14 7 Sia data una piramide retta a base quadrata con lato di base L e altezza h. Se si interseca la piramide con un piano parallelo alla base si ottiene un quadrato i cui vertici, proiettati sulla base della piramide, producono un parallelepipedo di cui si chiede il volume massimo, al variare della posizione del piano intersecante. 8 Al variare del parametro reale k, discutere e risolvere, quando possibile, il sistema lineare 2x ky =0 x 2ky =2 (k 1)y = 2(1 + k) 9 Sia f la funzione definita da ( f(x) = 1+ x) 1 x. Indicata con f (x) la sua derivata prima, calcolare i limiti lim x + f (x) e lim x 0 + f (x). 10 Disegnare il grafico della funzione f(x) =sen x 1 2 e della sua simmetrica rispetto all asse delle ascisse nell intervallo [0; π], quindi indicare una procedura per calcolare con un metodo approssimato l area della superficie delimitata dalle due funzioni; effettuare il calcolo e verificarne il risultato con il valore esatto ottenuto per integrazione. 15

15 7 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 Si consideri la famiglia di funzioni definite da { x f n (x) = n (1 ln x ) se x 0,n N 0 0 se x =0 a. Mostrare che tutte le funzioni f n sono continue in x =0e discutere al variare di n la derivabilità di f n in x =0interpretando graficamente i risultati. b. Determinare al variare di n se le curve, grafici di f n, presentano simmetrie. c. Studiare la generica funzione f n (x), limitandosi all intervallo [0; + ): in particolare determinare segno, eventuali zeri, eventuali punti stazionari e la loro natura, il comportamento di f n quando tende a +. Tenendo conto dei risultati ottenuti al punto precedente, tracciare i grafici corrispondenti a n = 1, 2, 3. Verificare che tutte le curve, grafici di f n (x), passano per quattro punti fissi. d. Si consideri f 1 (x). Sia α un numero reale positivo e A(α) l area della parte di piano delimitata dall asse delle ascisse, dalla curva grafico di f 1 (x) e dalle rette di equazioni x = α e x = e. Calcolare A(α) e determinarne il limite quando α tende a 0. e. Determinare il numero delle soluzioni dell equazione f 1 (x) = 1 2 e calcolare il valore di una di esse con la precisione di 10 2 utilizzando uno dei metodi studiati. Problema 2 Risorse per l insegnante e per la classe In un triangolo ABC di base AB = a, si ha AC =2BC e l angolo opposto al lato AB è di ampiezza x. a. Esprimere i lati AC, BC e l altezza CH relativa ad AB in funzione di a e di x. b. Studiare e rappresentare graficamente la funzione f(x) = CH 2 AB nell intervallo [0; π]. In corrispondenza del massimo di f(x) calcolare il perimetro e l area del triangolo ABC. c. Calcolare l area della regione finita di piano compresa fra l arco di curva e l asse delle ascisse. d. Determinare la funzione V(x) che esprime il volume del solido ottenuto con una rotazione completa del triangolo ABC attorno alla retta AB e dimostrare che assume il valore massimo in corrispondenza dello stesso valore di x che rende massima f(x). 16

16 Questionario 1 L insieme A contiene p elementi e l insieme B contiene n elementi, con 1 p n. Quante sono le applicazioni (funzioni) di A in B? Quante di queste sono iniettive? 2 Calcolare lim x2 +1 x 2 1. x + ( x2 Dedurre successivamente lim +1 ( x2 x 2 1) sen +1 ) x 2 1. x + 3 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale considerare la curva C di equazione 2ay = x 2, dove a è un numero reale positivo assegnato. Quale relazione devono verificare le ascisse x 1 e x 2 di due punti M 1 e M 2 di C affinché le tangenti a C in questi due punti siano perpendicolari? Determinare il luogo descritto dal punto d intersezione delle tangenti a C in M 1 e M 2. 4 Dopo aver enunciato il teorema di Rolle, determinare se è applicabile alla funzione f(x) = log 2 x nell intervallo [ 1 2 ;2]. 5 Verificare che la funzione f(x) =5x +ln x è invertibile. Detta g la funzione inversa, calcolare g (5). 6 Dopo aver dimostrato che l equazione x 5 +2x 1=0ha una sola radice reale, determinarla a meno di 10 3 utilizzando uno dei metodi studiati. 7 Tra tutti i prismi retti aventi per base un triangolo equilatero e di volume 2m 3, determinare quello di superficie totale minima. 8 Calcolare, utilizzando il metodo dei trapezi, un valore approssimato dell integrale e x 1+x dx. 9 Per attirare la clientela in un grande magazzino, si decide che tutti i clienti che effettueranno un acquisto avranno diritto a estrarre simultaneamente tre gettoni da un urna. Quest urna contiene sei gettoni indistinguibili al tatto: tre sono contrassegnati col numero 0, due col numero 5 e uno col numero 10. Il cliente che ha estratto i tre gettoni riceve in euro la somma dei numeri indicati sui tre gettoni. Sia X la variabile aleatoria che assume i possibili valori della somma ricevuta dal cliente. Determinare l insieme dei valori assunti da X e la legge di probabilità di X. 10 Sia n un numero intero naturale superiore o uguale a 2. Si consideri una popolazione di pulcini che contiene n 1 maschi e n +1femmine. Si scelgono a caso due pulcini (ciascuna coppia di pulcini ha la stessa probabilità di essere scelta). Calcolare la probabilità p n dell intervallo E: «Si scelgano due pulcini di sesso diverso». 17

17 8 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 Si consideri la famiglia di funzioni f α (x) = x a e 2 x a con a parametro reale positivo. a. Mostrare che tutti i punti stazionari delle funzioni f a (x) si trovano su una retta, della quale si chiede l equazione. b. Determinare le equazioni delle rette tangenti alle curve, grafico di f a (x), e mostrare che tali rette tangenti formano con l asse delle ordinate un angolo acuto costante; calcolare poi il valore dell angolo. c. Posto a =1, studiare la funzione ottenuta e disegnarne il grafico C in un riferimento cartesiano ortogonale. Scrivere l equazione della retta tangente a C nel suo punto di flesso e dimostrare che tale tangente incontra la curva in un altro punto. d. Calcolare l area A k della regione piana limitata dalla curva C, dall asse delle ascisse e dalle rette di equazioni x =1e x = k, con k numero reale maggiore di 1. Determinare il limite di A k quando k tende a +. Problema 2 È assegnato un quadrato ABCD di lato unitario. Sul lato CB prendere un punto P e indicare con Q l intersezione della retta AP con la retta CD. La perpendicolare ad AP, passante per A, incontra la retta BC in R e la retta CD in S. a. Dimostrare che i punti R, A, C, Q appartengono alla stessa circonferenza e che SR SA = SQ SC. b. Dimostrare che i triangoli ARQ e AP S sono rettangoli isosceli. c. Posto BP = x, studiare la funzione f(x) =SR SA individuandone in particolare il minimo assoluto (eventualmente con un approssimazione di 10 1 ). d. Riferita la figura a un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, determinare le equazioni cartesiane dell affinità che ha il punto A come punto fisso e trasforma il punto R nel punto M, punto medio di QR, e il punto P nel punto N, punto medio di PS. Descrivere le caratteristiche principali di tale trasformazione. e. Verificare che i punti M, B, N, D sono allineati. 18

18 Questionario 1 In quanti modi diversi si possono sistemare cinque maglioni in tre cassetti? 2 Sia f(x) la funzione così definita ( x ln x + 1 ) se x>0 f(x) = x 0 se x =0 Studiare la continuità e la derivabilità di f(x) in x =0. 3 Data la funzione f(x) =arc tg x x applicare, se ne sussistono le condizioni, il teorema di Lagrange nell intervallo [ 1; 1]. Determinare, se possibile, un intervallo in cui f(x) verifica le ipotesi del teorema di Rolle. 4 Determinare le equazioni di tutte le rette tangenti alla curva di equazione y = x 4 che passano per il punto P (1; 0). 5 Calcolare l area della parte di piano delimitata dalla curva, grafico della funzione f(x) = 3 x 1, dalla retta tangente alla curva nel punto P (2; 1) e dalla retta tangente alla curva nel suo punto di flesso. 6 Si deve costruire un deposito cilindrico, aperto superiormente, di 3m 3 di capacità. Il materiale per costruire la base costa 30 euro al m 2 e il materiale per la superficie laterale costa 10 euro al m 2. Calcolare le dimensioni del deposito in modo che il costo della costruzione sia il minore possibile. 7 Un solido viene trasformato mediante un omotetia di rapporto 3 2 e successivamente una traslazione di vettore v(3; 2). Come varia il suo volume? Come varia l area della sua superficie? 8 Sia data la funzione f(x) =(x +1)e x. Mostrare che l equazione f(x) = 1 4 ha due soluzioni reali α e β. Dimostrare che α appartiene all intervallo [ 1; 1 2] e determinare un valore di β approssimato a 10 2 utilizzando un metodo a piacere. 9 In un urna ci sono n palline rosse e 2n palline bianche (n 1). Si estraggono due palline a caso senza reimmissione. Qual è la probabilità p n di ottenere due palline di colori diversi? Al crescere di n, p n cresce o diminuisce? 10 I tre coefficienti dell equazione ax 2 + bx + c =0sono determinati con tre lanci di un dado non truccato le cui facce sono numerate da 1 a 6. Calcolare la probabilità che l equazione abbia due radici reali e distinte. 19

19 9 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 Sia f la funzione reale di equazione y =(2x 3 x)e x2. a. Studiare e tracciare il grafico di f. b. Determinare fra le sue primitive la F (x) tale che F (0) = 1 2. c. Studiare la funzione F trovata al punto precedente e tracciarne un grafico sovrapponendolo a quello relativo alla funzione f. d. Determinare il punto d intersezione fra le due funzioni con un metodo di approssimazione numerica studiato con la precisione di e. Calcolare l area della regione di piano delimitata dalle due curve e compresa fra il punto d intersezione calcolato precedentemente e l asse delle ordinate, utilizzando un metodo di calcolo numerico. Problema 2 Fissato un sistema cartesiano Oxy si consideri la curva γ di equazione y = x +11 x +2. a. Tracciare il grafico e determinare il suo centro di simmetria. b. Traslare γ in modo da far coincidere il suo centro di simmetria con l origine degli assi e determinare l equazione della curva ϕ così ottenuta tracciandone il grafico. c. Detto A il punto del primo quadrante in cui ϕ si interseca con una retta generica r di equazione y = mx (m >0), condurre da esso la perpendicolare p a OA e chiamare B il punto in cui p interseca l asse delle ordinate. Determinare l equazione α del luogo geometrico dei punti descritto dal baricentro del triangolo OAB al variare della retta r. d. Studiare la funzione α e tracciarne il grafico. e. Condotta la retta y = 6, calcolare l area della superficie chiusa limitata dalla retta e dalla curva α dopo aver determinato i punti d intersezione con un metodo di approssimazione numerica. 20

20 Questionario 1 Scrivere la funzione f(x) che rappresenta la distribuzione gaussiana standardizzata e rappresentarne il grafico. Calcolare la probabilità che la variabile casuale standardizzata x assuma valori compresi fra 1 e 2, sapendo che la corrispondente funzione di ripartizione F (x) assume i valori F (1) = 0,84134 e F (2) = 0, Si consideri la funzione reale f definita da f(x) = 4 x2 8+2x. Calcolare gli asintoti e determinare il vettore di traslazione che applicato alla f trasforma la funzione in una funzione dispari e scriverne l equazione. 3 Si consideri una piramide retta a base quadrata di vertice V e la si intersechi con un piano parallelo alla base, ottenendo una piramide α e un tronco di piramide β. Determinare il rapporto fra le altezze dei due solidi (α e β) nel caso in cui il volume della piramide così ottenuta è 1 7 di quello del tronco di piramide. 4 Si consideri un ellisse riferita al centro e agli assi di simmetria avente i fuochi di coordinate (±1; 0) ed eccentricità 1 2 e un rettangolo, interno all ellisse, con i lati paralleli agli assi di simmetria e passante per i due fuochi. Determinare la probabilità che un punto P,posto internamente all ellissoide ottenuto dalla rotazione dell ellisse attorno all asse delle ascisse, sia esterno al cilindro ottenuto per rotazione del rettangolo sempre attorno all asse delle ascisse. 5 Sia f la funzione reale definita da ln(x +1) f(x) =x x +1. Dopo aver dimostrato che la funzione ha un solo punto estremante, ricavarne le coordinate e stabilire se si tratta di un massimo o di un minimo. 6 Sono dati due punti A e O tali che AO = a; dal punto O, preso come centro, descrivere una circonferenza di raggio variabile x, e dal punto A condurre le due tangenti a questa circonferenza. Trovare, fra i triangoli isosceli formati dalle due tangenti e dalla corda che congiunge i punti di contatto, quello di area massima. 7 Sapendo che la funzione f(x) =2x x 3 +ln(x +1)+3 è invertibile nell intervallo [ 1 2 ; 2] 1, allora, indicando con g la funzione inversa, calcolare la g (3). 21

21 8 Si consideri un pentagono ABCDE regolare inscritto in una circonferenza di raggio unitario. Condotta da A la diagonale AC e da B la diagonale BE, dimostrare che BE è tagliata da AC in due parti che stanno fra loro secondo la relazione aurea. 9 Si consideri l equazione sen x =0. Utilizzando un metodo di calcolo numerico delle radici, ricavare un valore approssimato di π alla seconda cifra decimale. 10 Preso un sistema cartesiano Oxy si consideri la parabola di equazione y = x 2. Si ponga sull asse delle ordinate un filo metallico in cui scorra una corrente di intensità di 1A. Ricordando che il campo magnetico prodotto da un filo rettilineo in un punto a distanza x è dato dalla legge di Biot-Savart B = i 2πx ed è perpendicolare al piano xy, si calcoli il flusso del campo magnetico che attraversa la superficie chiusa limitata dalla parabola, dall asse delle ascisse e dalle rette di equazioni x =1e x =2. (Nella soluzione si lascino indicate le costanti µ 0 e π senza sostituirne i valori.) 22

22 10 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 In un sistema cartesiano Oxy l equazione in due incognite (x 2 y 2 ) 2 2(x + y) 2 2(x y) 2 +16=0 rappresenta una curva γ avente come asse di simmetria la bisettrice del primo e terzo quadrante. a. Ruotare γ in modo che l asse di simmetria coincida con l asse delle ordinate e ricavare l equazione della funzione ruotata f posta nel semipiano positivo delle y. b. Studiare la funzione f e tracciarne il grafico. c. Calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando la curva f attorno all asse delle ascisse nella regione di piano limitata dalle rette di equazioni x = x 0 e x =10,dove x 0 è il punto di ascissa positiva in cui la curva interseca l asse delle ascisse. d. Verificare infine che il volume calcolato nel punto c è equivalente a quello del solido di rotazione ottenuto ruotando la stessa curva del punto c attorno all asse delle ordinate nella regione di piano limitata dagli asintoti verticali e dalla retta di equazione y =10. Problema 2 Si consideri una circonferenza di raggio unitario di centro O, una sua corda AB e si indichi con x l angolo al centro AÔB. a. Determinare l area del segmento circolare non contenente il centro O e avente come base la corda AB in funzione dell angolo x. (Si ricorda che il segmento circolare a una base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio viene diviso da una sua corda.) b. Studiare e tracciare il grafico di tale funzione. c. Detta h la differenza fra il raggio e la misura della distanza della corda dal centro O, trovare una relazione che esprima h in funzione di x. d. Ruotare la circonferenza attorno al diametro perpendicolare alla corda AB. Dimostrare che il volume del segmento sferico corrispondente al segmento circolare precedentemente calcolato vale V = πh2 (3 h). 3 23

23 e. Fissato un opportuno sistema di coordinate, il cui centro coincida con quello della sfera e formato da due angoli, α e β, corrispondenti rispettivamente alla longitudine e alla latitudine, determinare un espressione che permetta di calcolare la distanza fra due punti P e Q posti sulla sfera alla stessa latitudine α e aventi rispettivamente longitudine β 1 e β 2. Applicare quanto calcolato nel punto precedente per ricavare la distanza sulla Terra (supposta sferica di raggio R T = 6400 km) fra due località di coordinate geografiche latitudine 50 e longitudine rispettivamente 30 e 70. Questionario 1 Sono date le funzioni ( ) x 1 f(x) = e g(x) =log 3 3 x. Determinare dominio, grafico e codominio di y = f[g(x)] e di y = g[f(x)]. 2 Dimostrare che un qualunque triangolo viene diviso dalle sue mediane in sei triangoli tra loro equivalenti. 3 Si consideri una piramide retta a base quadrata di vertice V e che ha i suoi spigoli laterali della stessa lunghezza a del lato di base. Determinare gli angoli, espressi in gradi e primi sessagesimali, formati dallo spigolo e dal lato di base, quello fra l apotema e il diametro della circonferenza inscritta nel quadrato di base e infine quello fra lo spigolo e la diagonale del quadrato di base. 4 Determinare il numero di soluzioni dell equazione mx +lnx =0 al variare di m numero reale. 5 Trovare due numeri reali positivi la cui somma è k e per i quali il prodotto del quadrato dell uno per la radice quadrata dell altro è massimo. 6 Data la funzione { sen x se x<0 ln(1 + x) se x 0 calcolare il dominio, verificare se è continua e derivabile in ogni punto del dominio e tracciarne il grafico. 7 Enunciare il teorema di Lagrange e applicarlo alla funzione y = 2x +1 determinando l estremo superiore dell intervallo nell ipotesi che l estremo inferiore valga 0 e che il valore dell ascissa interno all intervallo indicato nel teorema sia

24 8 Si consideri una semicirconferenza di raggio unitario e un triangolo rettangolo isoscele a essa inscritto. Costruire sui cateti due semicirconferenze di diametro pari a ciascun cateto dalla parte esterna al triangolo. Si vengono così a formare fra la semicirconferenza maggiore e le altre due, due superfici, dette lunule. Dimostrare che la somma delle aree delle lunule è pari all area del triangolo rettangolo. 9 Sia f una funzione simmetrica rispetto al punto A di coordinate (0; 3), il cui dominio sia tutto R. Dimostrare che, per tutti i reali x, si ha f(x)+f( x) =6. 10 Illustrare il metodo di integrazione per parti e applicarlo per ricavare le primitive della funzione f(x) =xe x. 25

25 11 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xoy è assegnata la seguente famiglia di funzioni reali di variabile reale: y = f n (x) = e nx 1+e x, essendo n un generico numero naturale, n 0. Sia poi C n il grafico corrispondente alla funzione y = f n (x). a. Posto n =0, studiare la funzione y = f 0 (x), rappresentarne il grafico nel riferimento cartesiano ortogonale xoy e ricavare l equazione della retta tangente a tale grafico nel punto d incontro con l asse delle ordinate. b. Posto quindi n =1, determinare il numero reale a tale che, x R, si abbia f 1 (x) f 0 ( x) =a. Servendosi della precedente uguaglianza dedurre una trasformazione geometrica mediante la quale la curva C 1 può essere ricavata a partire dalla curva C 0. Disegnare quindi il grafico della funzione y = f 1 (x) nel medesimo sistema di riferimento cartesiano ortogonale xoy. c. Si consideri adesso la successione reale (u n ) n N il cui termine generale è u n = Risorse per l insegnante e per la classe 1 0 f n (x)dx. Verificare che u 0 + u 1 =1e calcolare il valore di u 1. Provare poi che, essendo n un generico numero naturale positivo, si ha u n+1 + u n = 1 e n. n d. Mostrare che, n N, si ha u n > 0 e che f n+1 (x) f n (x) 0, n N e x [0; 1]. Spiegare quindi per quale motivo la successione (u n ) n N converge verso un limite numerico L se n + e, dopo aver valutato lim n + 1 e n, ricavare il valore di L. n 26

26 Problema 2 Si consideri un tetraedro regolare (ovvero una piramide regolare le cui quattro facce sono altrettanti triangoli equilateri, tutti uguali tra loro) di spigolo L. a. Ricavare, in funzione di L, le misure dell altezza H, della superficie totale S t e del volume V del tetraedro assegnato. Determinare quindi la misura del raggio R C della sfera circoscritta al tetraedro, dopo aver individuato la posizione del centro di tale sfera lungo il segmento che rappresenta l altezza del tetraedro. b. A una distanza x dal vertice superiore del tetraedro condurre un piano parallelo al piano di base e collegare i vertici del triangolo equilatero sezione così ottenuto, con il centro del triangolo equilatero di base del tetraedro, generando in tal modo una piramide P. Esprimere allora il volume V P della piramide P in funzione dello spigolo L e della distanza variabile x. c. Posto L =3 6 cm, studiare la funzione y = V P (x) con x R, rappresentarne il grafico in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xoy ed evidenziare la parte di tale grafico che rispetta la limitazione per x imposta dal problema geometrico considerato. In particolare, stabilire per quale valore x M il volume V P della piramide P è massimo e calcolare il valore di tale volume massimo. Nel caso in cui sia x = x M, determinare il rapporto tra l area delle figure sezione che il piano parallelo alla base del tetraedro forma rispettivamente con il tetraedro stesso e con la sfera. d. Determinare infine il volume del solido ottenuto facendo ruotare di 360 intorno all asse delle ascisse la regione piana delimitata dal grafico della funzione y = V P (x) e dall asse delle ascisse stesso. Questionario 1 È data la funzione y = e x + arc tg x, con x R. Studiarne i limiti all infinito, dimostrare che è invertibile e descrivere l insieme dei valori che essa assume. Calcolare quindi x (1), essendo x = x(y) la funzione inversa della funzione assegnata. 2 Calcolare l area della regione di piano del primo quadrante delimitata dal grafico di y = arc tg x, dall asse x e dalla retta di equazione x = 3, indicando, in percentuale, quale parte è dell area del rettangolo i cui lati misurano 3 e π 2. E se si considera la retta x = k al posto di x = 3 e il rettangolo di dimensioni k e π 2, a quanto tende il rapporto tra tali aree quando k +? 27

27 3 In un riferimento cartesiano ortogonale xoy si considerano l iperbole equilatera di equazione x 2 y 2 = a 2 e la retta di equazione x = a + h, con a >0 e h >0. La regione piana compresa tra il ramo dell iperbole contenuto nel primo e nel quarto quadrante e la retta assegnata ruota di 180 attorno all asse x, generando un solido, detto iperboloide di rotazione. Ricavare il volume di tale solido in funzione dei parametri a e h. 4 Determinare dominio, grafico e codominio delle seguenti funzioni: y = sen(arc sen x); y = arc cos(cos x); y = arc sen x + arc cos x. 5 Data l equazione goniometrica 7 sen x sen x cos 2 x 5 sen 2 x =0, stabilire quante sono le sue soluzioni comprese nell intervallo chiuso [0; 100π]. 6 Calcolare il valore del seguente limite: 1 lim x 2lnx+1, x 0 + dopo aver stabilito a quale tipo di forma indeterminata corrisponde. 7 È dato un triangolo equilatero ABC di lato L. Scegliere un punto P su AC e siano M il punto d incontro tra la parallela ad AB passante per P e il lato BC, H il piede della perpendicolare condotta da P ad AB e K il piede della perpendicolare condotta da M ad AB. Determinare allora la posizione di P affinché l area del rettangolo PHKM sia la massima possibile. Quale frazione dell area del triangolo ABC rappresenta l area del rettangolo PHKM così individuato? 8 È possibile che una funzione definita in un intervallo chiuso [a; b] e non continua in tutti i punti di tale intervallo sia comunque integrabile in [a; b]? Se la risposta è negativa spiegare il perché; se la risposta è affermativa, fare un esempio. 9 Descrivere che tipo di figure geometriche poligonali si possono ottenere sezionando un cubo con un piano. (Per rispondere ci si può aiutare con opportune rappresentazioni grafiche.) 10 Nell intervallo chiuso [0; π] sono assegnate le seguenti funzioni: y = cos x, y = cos x, y = sen x, y =tgx. Stabilire, motivando la risposta, se a ciascuna di esse è applicabile il teorema di Rolle nell intervallo assegnato. Se la risposta è affermativa, determinare le ascisse dei punti la cui esistenza è garantita dal suddetto teorema. 28

28 12 Risorse per l insegnante e per la classe Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 È assegnata la funzione y = f(x) =(x +2)e x 2 +1, essendo x una variabile reale. a. Studiare la funzione assegnata, descrivendo in particolare il suo comportamento all infinito e mostrando che essa ammette una retta r come asintoto. Rappresentare quindi il grafico di tale funzione in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xoy. b. Mostrare che l equazione f(x) = 0possiede una soluzione reale, indicata con α, e ricavare un valore approssimato di α, a meno di 0,01, utilizzando un metodo di approssimazione numerica a piacere. c. Dopo aver verificato che la retta tangente al grafico della funzione assegnata nel suo punto di ascissa 2 ha equazione y = x e + 4 ( e +1, porre h(x) =f(x) x e + 4 ) e +1 e calcolare le due derivate h (x) e h (x). Studiare il segno di h (x), quindi dedurre la variazione e il segno di h (x) e infine ricavare la variazione e il segno di h(x). Interpretare graficamente quest ultimo risultato. d. Determinare infine la misura dell area della regione piana delimitata dal grafico della funzione y = f(x) e dalle rette di equazioni y =1, x =0, x =2, fornendo una valutazione decimale approssimata della suddetta area. Problema 2 a. Disegnare un quadrilatero con due soli angoli retti, sia nel caso siano essi consecutivi sia nel caso siano opposti. Descrivere i quadrilateri così ottenuti motivandone le relative proprietà. Discutere inoltre la loro inscrittibilità e la loro circoscrittibilità rispetto a una circonferenza. b. Nel caso di un quadrilatero ABCD in cui gli angoli retti siano opposti, sono assegnate la misura della diagonale AC =10cm, che ha per estremi i vertici degli angoli non retti, e la misura della corda AB =5 3 cm. Determinare l angolo DÂC = x per il quale il quadrilatero ABCD ha perimetro massimo. c. Tracciare per il vertice A la perpendicolare r al piano del quadrilatero e fissare su di essa un punto V. Calcolare l area della superficie laterale della piramide che ha come vertice V e come base il quadrilatero ABCD di perimetro massimo individuato nel punto precedente, sapendo che l altezza VAè uguale alla diagonale AC. 29

29 d. Inscrivere nella piramide di cui al punto precedente il prisma retto che ha la base sul piano di base della piramide e il volume massimo. Esprimere il volume in funzione della distanza della base superiore del prisma dal vertice V della piramide e motivare il fatto che nel dominio di tale funzione relativamente al problema geometrico cui ci si riferisce, esiste sicuramente almeno un punto c interno al dominio in cui la f (c) =0. Questionario 1 Si sa che l uguaglianza ax 2 + bx +1=2x +1 è valida x R. Ricavare allora i valori dei coefficienti a e b, spiegando il proprio ragionamento. 2 L usuale formato A4 di un foglio di carta è un rettangolo in cui il rapporto lato maggiore v = lato minore possiede la particolare proprietà che, se si taglia il rettangolo in due tracciando il segmento che unisce i punti medi dei due lati maggiori, ciascuno dei due rettangoli così ottenuti presenta ancora lo stesso rapporto v tra il lato maggiore e il lato minore. Tale rapporto v verifica una sola delle seguenti relazioni: v =4, v 2 =4, v 3 =4, v 4 =4. Individuare allora la relazione soddisfatta dal valore numerico v, spiegando il proprio ragionamento. 3 Una successione (u n ) n N è definita mediante le seguenti uguaglianze: { un = u n 1 + u n 2 n N, n 2 u 0 =0 Sapendo che u 10 =10, determinare il valore di u 1. 4 In riferimento alla figura a fianco riportata, si sa che ABCD è un quadrato di lato 1, che I è il punto medio di AD e che L è il punto medio di DC. Ricavare il valore dell area del quadrilatero IJKD. I A J K B D L C 5 Per ciascuna delle seguenti funzioni, y = x +3, y = 1 x, y = x, y = sen x +2, stabilire se esistono punti P =(a; b), appartenenti al relativo grafico C, tali che la retta tangente al grafico C in P abbia una pendenza uguale al valore b dell ordinata del punto P. Se la risposta è affermativa, trovare i valori delle coordinate dei suddetti punti P. 30

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