Algebra Lineare e Geometria
|
|
- Gianpaolo Basso
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A Prova d esame del 16/06/ ) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da T (e 1 ) = (1, 1, 0, 0), T (e 1 + e 2 ) = (3, 1, 0, 1), T (e 1 + e 2 + e 3 ) = (0, 1, 1, 2), rispetto alle basi canoniche del dominio e codominio, dove E = {e 1, e 2, e 3 } è la base canonica del dominio. b) Descrivere nucleo e immagine (con basi, equazioni e dimensioni) di T. c) Sia U : 2x y = 0 un sottospazio di R 3. Descrivere l immagine di U tramite T, con basi, equazioni e dimensioni. d) Sia a = (1, 1, 9, 4). Verificare che {a} è una base di Im(T ) dove Im(T ) è l immagine di T. e) Dire se le seguenti asserzioni sono vere o false. Giustificare la risposta dimostrando l asserzione nel caso sia vera o fornendo un controesempio nel caso sia falsa (per controesempio si intende un esempio in cui quanto asserito risulta essere falso): (i) Comunque scegliamo tre matrici quadrate di ordine 2, A, B, e C vale: AB = AC = B = C. (ii) Sia A una matrice di tipo 4 3 di rango 3. Allora ogni sistema lineare avente A come matrice dei coefficienti è compatibile e indeterminato. (iii) Siano u e v una coppia di vettori tra loro ortogonali. Allora i vettori u v e u + v sono anch essi tra loro ortogonali. 2) Si considerino nello spazio affine il punto P (0, 1, 5), la retta r : Determinare: a) il piano ρ perpendicolare a r e passante per P ; b) il piano σ parallelo a π e passante per P e la distanza tra σ e π; c) la retta s parallela a π, incidente a r e passante per P ; d) le rette parallele a π e passanti per P. { 3x + 7y = 0 x + 2y 3z 2 = 0 ed il piano π : x + z 1 = 0. e) Sia V lo spazio direttore della retta r. Scrivere la matrice associata alla trasformazione lineare P r : R 3 R 3 che associa ad ogni vettore x R 3 la proiezione di x su V. (Sugg: Per definizione proiettare su uno spazio 1-dimensionale equivale a proiettare sulla direzione di un vettore non nullo dello stesso spazio.) 3) Data la seguente famiglia di matrici dove k è un parametro reale, determinare: A k = 0 1 k 0 1 k 0 k 1 a) i valori di k per cui la matrice A k ammette autovalore λ = 1; b) i valori del parametro k per cui la matrice è diagonalizzabile; c) per ogni valore di k R gli autospazi di A k, specificandone equazioni cartesiane, dimensioni e basi. d) Sia v = (3, 1, 1) t. Verificare che v è un autovettore di A 2 (ovvero la matrice della famiglia ottenuta ponendo k = 2) e calcolare (A 2 ) 103 v. e) Sia B una matrice invertibile e sia w un autovettore di B relativo all autovalore λ. (i) Dimostrare che λ 0. (ii) Dimostrare che w è un autovettore di B 1 relativo all autovalore λ 1.,
2 1) a) La matrice associata a T rispetto alle basi canoniche del dominio e codominio è la matrice avente per colonne i vettori immagine dei vettori della base canonica e 1, e 2, e 3. Per calcolare tali vettori usiamo le proprietà di linearità di T. Otteniamo: T (e 1 ) = (1, 1, 0, 0), T (e 2 ) = T (e 1 + e 2 ) T (e 1 ) = (3, 1, 0, 1) (1, 1, 0, 0) = (2, 2, 0, 1), T (e 3 ) = T (e 1 + e 2 + e 3 ) T (e 1 + e 2 ) = (0, 1, 1, 2) (3, 1, 0, 1) = ( 3, 2, 1, 1). Pertanto la matrice associata A T è la matrice: A T = b) Al fine di determinare il nucleo risolviamo il sistema lineare omogeneo la cui matrice dei coefficienti è la matrice A T. Applicando il metodo di Gauss, partendo dalla matrice completa , è possibile pervenire alla seguente forma: Segue che il sistema ha l unica soluzione data dal vettore nullo (0, 0, 0), ovvero T è iniettiva. Inoltre l immagine di T ha dimensione 3 (calcolata per mezzo del teorema nullità più rango o osservando la matrice ridotta con Gauss). Una base B Im(T ) dell immagine di T, è costituita dai 3 vettori colonna della matrice A T, ovvero B Im(T ) = {(1, 1, 0, 0), (2, 2, 0, 1), ( 3, 2, 1, 1)}. Pertanto l immagine di T ha equazione in forma parametrica data da: x 1 = s + 2t 3u Im(T ) : x 2 = s 2t + 2u x 3 = u s, t, u R, x 4 = t + u che dà luogo alla seguente equazione in forma affine/cartesiana x 1 3x 3 x 4 = 0. c) Calcoliamo una base di U. Per far questo risolviamo l equazione definente U. Troviamo l equazione di U in forma parametrica, ovvero: { x = s s, t R. U : y = t Una base di U è la seguente: B U = {(1, 2, 0), (0, 0, 1)}. L immagine di U è lo spazio generato dall immagine di questi vettori, tramite T, ovvero dai vettori: T (1, 2, 0) = T (e 1 ) + 2T (e 2 ) = (1, 1, 0, 0) + 2(2, 2, 0, 1) = (5, 3, 0, 2), T (0, 0, 1) = T (e 3 ) = ( 3, 2, 1, 1).
3 Essendo i due vettori linearmente indipendenti, essi ne costituiscono una base. La sua dimensione è quindi uguale a 2 e la sua equazione parametrica è data da: x 1 = 5s + 3t T (U) : x 2 = 3s + 2t x 3 = t s, t R, x 4 = 2s + t d) Poiché l immagine di T ha dimensione 3, il suo ortogonale, che è uno spazio complementare ad Im(T ) in R 4, ha dimensione 1. Quindi affinché a sia base di Im(T ), a deve essere non nullo (condizione banalmente verificata) e deve essere ortogonale ai vettori di una qualsiasi base di Im(T ). Abbiamo: Segue quindi quanto asserito. a (1, 1, 0, 0) = 1 1 = 0, a (2, 2, 0, 1) = = 0, a ( 3, 2, 1, 1) = = 0. e) Esse sono tutte false. Nel seguito un (contro)esempio per ciascun caso. ( ) ( ) ( ) (i) Siano A =, B =, e C =. In tal caso: AB = AC = ( (ii) Il sistema lineare avente come matrice completa la matrice A b = ), ma B C. è incompatibile. (iii) Siano u = (2, 0) e v = (0, 1) vettori in R 2. Essi sono tra loro ortogonali ma i vettori u v = (2, 1) e u + v = (2, 1) non lo sono., 2) a) Un equazione parametrica della retta r è la seguente: x = 21t r : y = 9t t R, z = t 2 3 ottenuta risolvendo l equazione cartesiana/affine. Il vettore di direzione di r è il vettore v = (21, 9, 1). Affinché ρ sia ortogonale a r il suo vettore normale n deve essere parallelo/multiplo di v. L equazione di ρ è data da: ρ : 21x 9(y 1) + (z 5) = 0. Sviluppando i conti si ottiene: ρ : 21x 9y + z + 4 = 0. b) Il piano σ passante per P, e parallelo a π ha equazione: σ : x + (z 5) = 0,
4 ovvero: σ : x + z 5 = 0. Tale piano contiene il punto P. La distanza tra i due piani è uguale alla distanza di un punto qualsiasi di uno dei due piani, rispetto all altro piano. Quindi possiamo calcolare la distanza tra i due piani calcolando la distanza di P da π. Segue: d(σ; π) = d(p ; π) = = 4 = c) La retta s giace sul piano parallelo a π e passante per P (piano σ) e sul piano contenente r e P. Troviamo l equazione di quest ultimo. Il fascio di piani contenenti la retta r (cioè il fascio di piani di asse r) è il fascio F di equazione: F : x + 2y 3z 2 + k(3x + 7y) = 0, k R. Imponendo il passaggio per il punto P si ottiene k = 15 7, e quindi il piano 52x + 119y 21z 14 = 0. La retta s ha equazione: { x + z 5 = 0 s : 52x + 119y 21z 14 = 0 d) Le rette parallele a π e passanti per P costituiscono un fascio di rette proprio. Un equazione di tale fascio, che denoto con la lettera G, può essere trovata come segue. La stella di rette per P è data da: x = lt y = mt + 1, t R, al variare di l, m, n in R. z = nt + 5 Imponiamo la condizione di parallelismo al piano π. Una retta è parallela ad un piano se il suo vettore di direzione è ortogonale alla normale al piano. In questo caso imponiamo che il vettore di direzione di una generica retta per P, ovvero il vettore (l, m, n) sia ortogonale a n π = (1, 0, 1), cioè l + n = 0, da cui n = l. Il fascio G ha quindi equazione: x = lt G : y = mt + 1, t R, al variare di l, m in R. z = lt + 5 e) Per trovare la matrice associata a P r dobbiamo trovare le immagini dei vettori della base canonica, tramite P r. Ricordo che la proiezione sulla direzione di r è data da: Segue: P r (x) = x v x (21, 9, 1) v = (21, 9, 1). v P r (e 1 ) = 21 (21, 9, 1), 523 P r (e 2 ) = 9 (21, 9, 1), 523 P r (e 3 ) = 1 (21, 9, 1), 523 La matrice B associata a P r è la matrice: Si noti che questa matrice è simmetrica. B =
5 3) a) Lo scalare λ = 1 è un autovalore di A k se e solo se det(a k + I) = 0, ovvero: 1 1 k det 0 2 k = 4 k 2 = 0, da cui k = 2 o k = 2. 0 k 2 b)-c) Determiniamo gli autovalori di A k con la rispettiva molteplicità algebrica. Il determinante di A k λi è uguale a: λ 1 k ( ) det 0 1 λ k 1 λ k = λ det = λ[(1 λ) 2 k 2 ] = λ(1 λ k)(1 λ + k). k 1 λ 0 k 1 λ Gli autovalori di A k sono quindi λ 0 = 0, λ 1 = 1 k e λ 2 = 1 + k. Supponiamo k 0, k 1 e k 1. In tal caso i tre autovalori sono distinti e quindi la matrice A k è diagonalizzabile. Determiniamo ora gli autospazi relativi agli autovalori λ 0, λ 1 e λ 2. Consideriamo l autovalore λ 0. Risolviamo il sistema lineare omogeneo la cui matrice completa è la seguente: 0 1 k k 0 0 k 1 0 Applicando il metodo di Gauss si ottiene la seguente forma ridotta: Nella risoluzione con Gauss si è tenuto conto che k 0. L autospazio di A k relativa all autovalore λ 0 = 0, che denotiamo con Λ 0 è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo precedente e pertanto ha equazione in forma affine Λ 0 : y = z = 0. L equazione parametrica è data da: Λ 0 : x = t y = 0 t R. z = 0 Una base di Λ 0 è data da B Λ0 = {(1, 0, 0)}. Consideriamo ora l autovalore λ 1 = 1 k. Risolviamo il sistema lineare omogeneo la cui matrice completa è la seguente: 1 + k 1 k 0 0 k k 0 0 k k 0 Applicando il metodo di Gauss si ottiene la seguente forma ridotta: k k Nella risoluzione con Gauss si è tenuto conto che k 1. L autospazio di A k relativa all autovalore λ 1 = 1 k, che denotiamo con Λ 1 è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo precedente e pertanto ha equazione in forma affine { (k 1)x + (k 1)z = 0 Λ 1 : y + z = 0 Un equazione parametrica è data da: Λ 1 : x = (k + 1)t y = (k 1)t t R. z = (1 k)t
6 Una base di Λ 1 è data da B Λ1 = {(k + 1, k 1, 1 k)}. Consideriamo infine l autovalore λ 2 = 1 + k. Risolviamo il sistema lineare omogeneo la cui matrice completa è la seguente: 1 k 1 k 0 0 k k 0 0 k k 0 Applicando il metodo di Gauss si ottiene la seguente forma ridotta: 1 k 1 0 k Nella risoluzione con Gauss si è tenuto conto che k 1. L autospazio di A k relativa all autovalore λ 2 = 1 + k, che denotiamo con Λ 2 è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo precedente e pertanto ha equazione in forma affine { (k + 1)x (k 1)z = 0 Λ 1 : y z = 0 Un equazione parametrica è data da: Λ 1 : x = (k 1)t y = (k + 1)t t R. z = (k + 1)t Una base di Λ 2 è data da B Λ2 = {(k 1, k + 1, k + 1)}. Una matrice diagonalizzante per A k, se k 0, k 1 e k 1 è data da: P k = 1 0 k + 1 k 1 k 1 k + 1, 0 1 k k + 1 con relativa matrice in forma diagonale: D k = k k Supponiamo ora k = 0. La matrice A 0 è la seguente: A 0 = Essa ha autovalori, calcolati precedentemente, λ 0 = 0, λ 1 = λ 2 = 1. L autospazio Λ 0 è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo la cui matrice orlata è: Una sua equazione in forma affine è Λ 0 : y = z = 0 e una sua base è B Λ0 = {(1, 0, 0)}. L autospazio Λ 1, relativo all autovalore λ 1 = 1 è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo la cui matrice orlata è: Una sua equazione in forma affine è pertanto Λ 1 : x + y = 0 ed una sua base è B Λ1 = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}. L autovalore λ 1 ha molteplicità pari a 2. Quindi se k = 0 la matrice è diagonalizzabile. Una sua forma diagonale è la matrice: D =
7 con matrice diagonalizzante P che possiamo prendere uguale a: P = Se k = 1 gli autovalori di A 1 sono λ 0 = λ 1 = 0 e λ 2 = 2. Calcoliamo l autospazio Λ 0 di A 1 relativo all autovalore λ = 0. Esso è spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo la cui matrice completa è: , ovvero, Λ 0 : y = z = 0. Pertanto una base di Λ 0 è data da B Λ0 = {(1, 0, 0)}. La molteplicità geometrica di λ 0 è pari ad 1, diversa dalla molteplicità algebrica. La matrice A 1 non è diagonalizzabile. L autospazio Λ 2 di A 1 relativo all autovalore λ 2 = 2 è spazio delle soluzioni del sistema la cui matrice orlata è: Applicando il metodo di Gauss si ottiene Λ 2 : x = y z = 0 ed una sua base è data da B Λ2 = {(0, 1, 1)}. Se k = 1 gli autovalori di A 1 sono λ 0 = λ 2 = 0 e λ 1 = 2. Calcoliamo l autospazio Λ 0 di A 1 relativo all autovalore λ = 0. Esso è spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo la cui matrice completa è: , ovvero ancora Λ 0 : y = z = 0. Una base di Λ 0 è data da B Λ0 = {(1, 0, 0)}. La molteplicità geometrica di λ 0 è pari ad 1, diversa dalla molteplicità algebrica. La matrice A 1 non è diagonalizzabile. L autospazio Λ 1 di A 1 relativo all autovalore λ 1 = 2 è spazio delle soluzioni del sistema la cui matrice orlata è: Applicando il metodo di Gauss si ottiene Λ 1 : x = y + z = 0 ed una sua base è data da B Λ1 = {(0, 1, 1)}. d) Calcoliamo il prodotto della matrice A 2 per il vettore v. Otteniamo: A 2 v = = 3 1 = v Il valore di (A 2 ) 103 v è uguale a ( 1) 103 v = v = ( 3, 1, 1) t. e) La i) è diretta conseguenza della definizione di autovalore. Uno scalare λ è autovalore di una matrice B se e solo se det(b λi) = 0. Se per assurdo l autovalore λ fosse nullo, allora si avrebbe det(b) = 0 e quindi B non potrebbe essere invertibile. Verifichiamo la ii). Essendo w un autovettore di B con autovalore λ vale la seguente uguaglianza: Bw = λw. Moltiplicando a sinistra per B 1 ambo i membri della stessa uguaglianza si ottiene: w = λb 1 w. Per la parte i) sappiamo che λ è diverso da zero. Dividendo per λ entrambi i membri si ottiene: cioè la tesi. B 1 w = λ 1 w,
8 Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A Prova d esame del 01/07/ ) Si consideri la seguente famiglia di applicazioni lineari T k : R 4 R 4, dove k è un parametro reale, definite da: T k (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( 2x 1 x 2 2x 4, x 2 + (k + 1)x 3, x 1 + x 3 x 4, x 1 + kx 2 + (2k 1)x 3 + x 4 ). a) Scrivere la matrice A k associata a T k rispetto alle basi canoniche di R 4. b) Verificare che i vettori v 1 = ( 1, 2, 1, 2), v 2 = (1, 1, 1, 1), v 3 = (0, 1, 1, 0) e v 4 = (0, 1, 0, 0) costituiscono una base di R 4 e scrivere la matrice A k associata a T k rispetto alla base canonica del dominio ed alla base B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } del codominio. c) Studiare al variare di k R il nucleo e l immagine di T k, evidenziando al variare di k in R le rispettive equazioni, in forma parametrica o cartesiana, le dimensioni e le basi. d) Posto k = 1 calcolare la controimmagine del vettore (3, 1, 2, 1). e) Due matrici quadrate di ordine n A e B commutano se e solo se AB = BA. (i) Trovare l insieme U di tutte le matrici 2 2 che commutano con la matrice C = ( (ii) Verificare che U è un sottospazio vettoriale dello spazio delle matrici quadrate di ordine 2. (iii) Siano A e B due matrici quadrate di ordine n. Mostrare che se A commuta con B e B è invertibile, allora A commuta con B 1. ). 2) Si considerino nello spazio affine i punti P (1, 2, 1), Q(2, 1, 0) e la retta r : Determinare: a) la retta s parallela a r e passante per P ; b) la posizione reciproca tra la retta r e la retta t passante per P e Q; c) i piani paralleli a r e passanti per Q; d) la retta perpendicolare alle rette r e t ed incidente le stesse rette. e) Sia L = v R 2 lo spazio generato in R 2 dal vettore v = ( 1 2 trasformazione lineare R L : R 2 R 2 definita da R L (x) = 2(x v) v v v x. { 2x y = 0 x + 3y 2z 1 = 0. ). Scrivere la matrice associata alla 3) Sia R 2 [x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali aventi grado al più 2 e sia E 2 = {1, x, x 2 } la base standard di R 2 [x]. Determinare: a) la matrice A associata all endomorfismo T di R 2 [x] definito da rispetto a E 2 ; T (a + bx + cx 2 ) = b + c + (a + c)x + (a + b)x 2 b) gli autovalori di A con le rispettive molteplicità algebriche; c) gli autospazi di A, specificandone equazioni cartesiane, dimensioni e basi. d) Determinare se A è diagonalizzabile ed in caso affermativo scrivere una forma diagonale D ed una matrice diagonalizzante P relativa a D. e) Scrivere, se esiste, una base ortogonale di R 3 costituita da autovettori della matrice A.
9 1) a) Calcoliamo le immagini dei vettori della base canonica di R tramite T k : T k (1, 0, 0, 0) =(2, 0, 1, 1). T k (0, 1, 0, 0) =( 1, 1, 0, k). T k (0, 0, 1, 0) =(0, k + 1, 1, 2k 1). T k (0, 0, 0, 1) =( 2, 0, 1, 1). La matrice associata A k è la matrice avente per colonne i vettori calcolati precedentemente, ovvero: A k = 0 1 k k 2k 1 1 b) Sia C la matrice le cui colonne sono i vettori v 1, v 2, v 3, v 4. Affinché i 4 vettori costituiscano una base di R 4 il determinante di C deve essere diverso da C = Calcoliamone il determinante. det(c) = det = det = det ( ) = 1. Calcoliamo l inversa della matrice C. Uso qui il metodi Gauss. La matrice inversa di C è la matrice C 1 = La matrice A k ha per colonne le componenti delle immagini dei vettori della base canonica rispetto alla base formata dai vettori v 1, v 2, v 3, v 4. Vale pertanto: k 1 2k 1 1 A = C 1 A k = k = 3 k 2 2k k 2k k 3k c) Al fine di determinare il nucleo risolviamo il sistema lineare omogeneo la cui matrice completa è la matrice A k : k k 2k 1 1 0
10 Riducendo con Gauss, è possibile pervenire alla seguente forma: k Se k 1 allora si perviene alla forma: Si ottiene pertanto l equazione di ker(t k ) in forma affine: x 1 x 4 = 0 ker(t k ) : x 2 = 0 x 3 = 0 che ha soluzioni (equazione parametrica): ker(t k ) : x 1 = t x 2 = 0 x 3 = 0 x 4 = t t R. Segue che la dimensione di ker(t k ) è uguale a 1 ed una base è formata dal vettore (1, 0, 0, 1). L immagine di T k, per il teorema di nullità più rango (Teorema 5.8 della dispensa) ha quindi dimensione 4 1 = 3 e quindi una sua base coincide con l insieme delle prime colonne di A k. Esse sono linearmente indipendenti. Una base di Im(T k ) è quindi B Im(Tk ) = {(2, 0, 1, 1), ( 1, 1, 0, k), (1.k + 1, 2, 2k 1)}. Una sua equazione, in forma parametrica è data da: x 1 = 2s t + u Im(T k ) : x 2 = t + (k + 1)u x 3 = s + 2u x 4 = s + kt + (2k 1)u s, t, u R. Supponiamo ora k = 1. In tal caso la matrice completa del sistema definente in nucleo è data da: Il nucleo di T 1 ha pertanto equazione in forma affine/cartesiana data da { x1 + x ker(t 1 ) : 3 x 4 = 0 x 2 + 2x 3 = 0 che ha soluzioni (equazione parametrica): x 1 = s + t ker(t 1 ) : x 2 = 2s x 3 = s x 4 = t s, t R.
11 In tal caso l immagine ha dimensione dim(im(t 1 )) = 4 2 = 2. Una sua base è costituita dai primi due vettori della matrice A 1, ovvero B Im(T1) = {(2, 0, 1, 1), ( 1, 1, 0, 1)}. Una sua equazione, in forma parametrica è data da: x 1 = 2s t Im(T k ) : x 2 = t x 3 = s s, t R. x 4 = s + t d) Per determinare la controimmagine del vettore (3, 1, 2, 1) rispetto a T 1 risolviamo il sistema la cui matrice dei coefficienti è A 1 ed il cui vettore termine noto è (3, 1, 2, 1) t Un procedimento di Gauss porta alla seguente forma ridotta: , le cui soluzioni sono: T 1 1 (3, 1, 2, 1) = x 1 = s + t + 2 x 2 = 2s + 1 x 3 = s x 4 = t s, t R. ( ) x11 x e) (i) Sia X = 12 una generica matrice quadrata di ordine 2. Imponiamo che essa commuti con C. x 21 x 22 Abbiamo: ( ) ( ) ( ) x11 x XC = x11 2x = 12 x 11, x 21 x x 21 2x 22 x 21 ( ) ( ) ( ) 1 1 x11 x CX = 12 x11 x = 21 x 12 x x 21 x 22 2x 11 2x 12 Pertanto XC = CX se e solo se x 11, x 12, x 21 e x 22 sono soluzioni del sistema: x 11 x 12 = x 11 x 21 x 11 = x 12 x 22 x 21 2x 22 = 2x 11 x 21 = 2x 12 Il precedente sistema è equivalente al seguente: { x11 + x 12 x 22 = 0 2x 12 x 21 = 0 che ha soluzioni: x 1 = s + t x 2 = s x 3 = 2s x 4 = t s, t R.
12 {( s + t s Segue U = 2s t ) } : s, t R. ( ) 1 1 (ii) Dalla soluzione del punto precedente abbiamo che U è lo spazio generato dalle matrici e 2 0 ( ) 1 0 nello spazio delle matrici quadrate di ordine 2. Possiamo mostrare la stessa proprietà osservando 0 1 che, comunque date due matrici A 1 e A 2 che commutano con C ed uno scalare k R, le matrici A 1 + A 2 e ka 1 commutano con C, senza guardare alla definizione di U data al punto (i). Infatti, se A 1 e A 2 commutano con C, allora: (A 1 + A 2 )C = A 1 C + A 2 C = CA 1 + CA 2 = C(A 1 + A 2 ), cioè A 1 + A 2 commuta con C, ovvero è in U. Inoltre se k R, allora: (ka 1 )C = k(a 1 C) = k(ca 1 ) = C(kA 1 ), cioè ka 1 U. U è chiuso rispetto alla somma ed alla moltiplicazione per uno scalare, quindi è un sottospazio vettoriale dello spazio delle matrici di tipo 2 2. (iii) Supponiano A e B due matrici quadrate di ordine n tali che A commuta con B e B è invertibile. Allora cioè A commuta con B 1. AB 1 = IAB 1 = B 1 BAB 1 = B 1 ABB 1 = B 1 A, 2) a) L equazione parametrica della retta r si ottiene risolvendo la sua equazione cartesiana. Da facili conti si ottiene: x = 2α r : y = 4α α R. z = 7α 1 2 Il suo vettore di direzione è il vettore v r = (2, 4, 7). La retta s, essendo parallela a r, ha la sua stessa direzione. La sua equazione, in forma parametrica, è data da: x = 2α + 1 r : y = 4α + 2 α R. z = 7α 1 b) La retta t, passante per P e Q, ha come vettore di direzione il vettore v t = P Q = Q P = (1, 3, 1). Essa ha quindi equazione: t : x = α + 1 y = 3α + 2 α R. z = α 1 Le direzioni delle rette r e t sono diverse. Esse pertanto possono essere o incidenti o sghembe. Studiamo l intersezione delle due rette sostituendo le coordinate di un generico punto di t all equazione cartesiana di r. Otteniamo: 2(α + 1) ( 3α + 2) = 0 e (α + 1) + 3( 3α + 2) 2(α 1) 1 = 0. La prima è soddisfatta per α = 0, la seconda per α = 4 5. Le due rette sono quindi sghembe. c) I piani paralleli ad r e passanti per Q costituiscono un fascio di piani proprio F il cui asse è la retta parallela ad r per Q. Tale retta, che denoto con la lettera q ha equazione in forma cartesiana del tipo: q : { 2x y + k1 = 0 x + 3y 2z + k 2 = 0
13 per opportuni scalari reali k 1 e k 2. Imponendo il passaggio per Q si ottiene q : { 2x y + 5 = 0 x + 3y 2z + 1 = 0 Il fascio F ha quindi equazione: F : µ(2x y + 5) + ν(x + 3y 2z + 1) = 0, µ, ν R. d) La retta cercata, che denoto con la lettera p ha direzione v p = (l, m, n) perpendicolare alle direzioni delle rette r e t. Ora v r = (2, 4, 7) e v t = (1, 3, 1). Segue che l, m, n devono soddisfare il sistema: { 2l + 4m + 7n = 0 l 3m + n = 0 Risolvendo il sistema si ottiene che p ha direzione individuata dal vettore v p = (5, 1, 2). La retta p è intersezione dei piani contenenti rispettivamente le rette r e t e paralleli ad p (più precisamente la contengono, ma per noi è sufficiente il fatto che sia parallela). I piani contenenti la retta r sono i piani di equazione: cioè: x + 3y 2z 1 + k(2x y) = 0, (2k + 1)x + (3 k)y 2z 1 = 0. Un tale piano è perpendicolare a p se e solo se il suo vettore normale è ortogonale a v p, cioè se: 5(2k + 1) + (3 k) + 4 = 0, da cui k = 4 3. Sostituendo tale valore nell equazione si ottiene 5x 13y + 6z + 3 = 0. La retta t ha equazione cartesiana data da: { 3x + y 5 = 0 t : x z 2 = 0 I piani contenenti la retta t sono i piani di equazione: cioè: Imponendo che sia perpendicolare a p si ha: 3x + y 5 + k(x z 2) = 0, (k + 3)x + y kz 2k 5 = 0. 5(k + 3) k = 0, da cui k = Sostituendo tale valore nell equazione si ottiene 5x + 7y + 16z 3 = 0. L equazione cartesiana di p è quindi data da: { 5x 13y + 6z + 3 = 0 p : 5x + 7y + 16z 3 = 0 e) Calcoliamo le immagini dei vettori della base canonica e 1 = (1, 0) e e 2 = (0, 1), tramite R L. Si ottiene facilmente R L (e 1 ) = ( 3 5, 4 5 ) e R L(e 2 ) = ( 4 5, 3 5 ). La matrice associata a R L è la matrice: R L è la riflessione rispetto alla retta L. ( ).
14 3) a) Calcoliamo le immagini dei vettori della base canonica E 2 = {1, x, x 2 } di R 2 [x] tramite T : T (1) = x + x 2, T (x) = 1 + x 2, T (x 2 ) = 1 + x. La matrice A è la matrice le cui colonne sono le coordinate delle tre immagini rispetto alla base E 2, ovvero: A = b) Notiamo che la matrice A è simmetrica, quindi diagonalizzabile. Determiniamo gli autovalori di A con la rispettiva molteplicità algebrica. Il determinante di A λi è uguale a: det(a λi) = det λ λ λ = λ λ = λ 3 + λ + 2λ + 2 = λ(λ 1)(λ + 1) + 2(λ + 1) = (λ + 1)(λ 2 λ 2) = (λ + 1) 2 (λ 2). Gli autovalori di A sono λ 1 = 1 con molteplicità algebrica 2 e λ 2 = 2 con molteplicità algebrica 1. c) Determiniamo l autospazio Λ 1 di A relativo all autovalore λ 1. Esso è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo la cui matrice dei cofficienti è A λ 1 I, cioè il sistema: Un semplicissimo procedimento di Gauss porta alla forma: L autospazio Λ 1 ha quindi equazione cartesiana data da Λ 1 : x + y + z = 0 ed equazione in forma parametrica: x = s + t Λ 1 : y = s s, t R. z = t Una sua base B Λ1 è costituita dai vettori (1, 1, 0) e (1, 0, 1). Λ 1 ha la dimensione attesa 2, equivalente a dire che la molteplicità geometrica dell autovalore λ 1 è pari a 2. Determiniamo ora l autospazio Λ 2 di A relativo all autovalore λ 2. Esso è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo la cui matrice dei cofficienti è A λ 2 I, cioè il sistema: Utilizzando ancora il procedimento di Gauss si perviene alla forma:
15 L autospazio Λ 1 ha quindi equazione cartesiana data da Λ 2 : { x z = 0 y z = 0 ed equazione in forma parametrica: Λ 1 : x = s y = s s R. z = s Una sua base è B Λ2 = {(1, 1, 1)}. L autovalore λ 2 ha quindi molteplicità geometrica 1. d) A è diagonalizzabile. Una sua forma diagonale è data dalla matrice D data da: D = Una matrice diagonalizzante P, relativa alla forma diagonale D è data da: P = e) A è simmetrica, quindi R 3 possiede una base ortogonale costituita da autovettori di A. Dalla risoluzione del punto precedente sappiamo che una base di R 3 costituita da autovettori di A è la base B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}. Tale base non è ortogonale. I primi due vettori sono ortogonali al terzo, ma non ortogonali tra loro. Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt alla prima coppia di vettori. Denotiamo i tre vettori della base B rispettivamente con v 1, v 2 e v 3. Costruiamo vettori w 1, w 2, w 3 ponendo w 1 := v 1 = (1, 1, 0), w 2 := v 2 proj w1 (v 2 ) = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = ( 1 2, 1 ) 2, 1, w 3 := v 3 proj w1 (v 3 ) proj w2 (v 3 ) = v 3 = (1, 1, 1). Una base ortogonale di R 3 costituita da autovettori di A è quindi la base O = {w 1, w 2, w 3 }.
ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura
Cognome Nome Matricola ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura (Primo appello/ii prova parziale 15/6/15 - Chiarellotto-Urbinati) Per la II prova: solo esercizi
DettagliDiagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari
CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3
DettagliCORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA
COGNOME NOME CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA SIMULAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA PARTE Per ottenere la sufficienza bisogna rispondere in modo corretto ad almeno
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO
DettagliTutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE110 A.A. 2014-2015 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez Tutori: Federico Campanini e Giulia Salustri Soluzioni Tutorato 13
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Primo Esonero del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 2//28 SOLUZIONI COMPITO I ESONERO Esercizio.
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
Dettagli(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai
DettagliRETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,
Dettaglix 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.
Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
DettagliProva scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski
10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale
DettagliESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI
ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI PAOLO FACCIN 1. Esercizi sulle applicazioni lineari 1.1. Definizioni sulle applicazioni lineari. Siano V, e W spazi vettoriali, con rispettive basi B V := (v 1 v n) e B W
DettagliEsercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliParte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
DettagliFederico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24
Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
Dettagli1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
Dettaglif(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))
Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,
DettagliRette e piani con le matrici e i determinanti
CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliRango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.
CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettagli1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo
FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di GEOMETRIA E ALGEBRA (mn). (Ing. per l Ambiente e il Territorio, Ing. Informatica - Sede di Mantova) A.A. 2008/2009. Docente: F. BISI. 1 Regole generali per l esame L esame
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
Dettaglila funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.
1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero
DettagliLezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari
Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio 1. Sia f: R 3 R 2 (x, y, z) (x + 2y + z, y + z). (1) Verificare che f è lineare. (2) Determinare una base di ker(f) e stabilire se f è iniettiva. (3) Calcolare w
DettagliRICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come
RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può
DettagliCONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE
CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).
DettagliApplicazioni lineari
CAPITOLO 8 Applicazioni lineari Esercizio 8.. Sia T : R 3 R 3 l applicazione definita da T(x,x,x 3 ) = (x,x,x 3 ). Stabilire se T è lineare. Esercizio 8.. Verificare che la funzione determinante definita
Dettagli2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.
DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
DettagliForme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :
Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:
DettagliFOGLIO 6 - Esercizi Riepilogativi Svolti. Nei seguenti esercizi, si consideri fissato una volta per tutte un riferimento proiettivo per
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Edile/Architettura Esercizi per il corso di GEOMETRIA 2 - aa 2007/2008 Docente: Prof F Flamini - Tutore: Dott M Paganin FOGLIO 6 - Esercizi
DettagliFUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)
1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
Dettagli4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI
119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO
DettagliProdotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S
Relazioni binarie Una relazione binaria può essere rappresentata con un grafo o con una matrice di incidenza. Date due relazioni R, S A 1 A 2, la matrice di incidenza a seguito di varie operazioni si può
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI. B si definisce surriettiva. 9 quando ogni elemento di. B risulta IMMAGINE di. almeno un elemento di A.
APPLICAZIONI LINEARI Siano V e W due spazi vettoriali, di dimensione m ed n sullo stesso campo di scalari R. Una APPLICAZIONE ƒ : V W viene definita APPLICAZIONE LINEARE od OMOMORFISMO se risulta, per
DettagliMATRICI E DETERMINANTI
MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione
DettagliMatrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).
Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliEquazioni alle differenze finite (cenni).
AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza
DettagliLE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE
LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini
DettagliGrandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze
Dettagli4. Proiezioni del piano e dello spazio
4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,
DettagliLe trasformazioni geometriche
Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie
DettagliEsercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara
Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara Indice Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 1 1. Soluzioni 3 Capitolo. Rette e piani 15 1. Suggerimenti 19. Soluzioni 1 Capitolo 3. Gruppi, spazi e
DettagliLezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine
Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione In questa lezione entriamo nel vivo della teoria delle applicazioni lineari. Per una applicazione lineare L : V W definiamo e impariamo a calcolare
DettagliSiano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. L : V W
Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. Definizione 1. La funzione L : V W si dice una applicazione
DettagliMATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica
DettagliPercorsi di matematica per il ripasso e il recupero
Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado
DettagliRELAZIONI BINARIE. Proprietà delle relazioni Data una relazione R, definita in un insieme non vuoto U, si hanno le seguenti proprietà :
RELAZIONI INARIE Dati due insiemi non vuoti, A detto dominio e detto codominio, eventualmente coincidenti, si chiama relazione binaria (o corrispondenza) di A in, e si indica con f : A, (oppure R ) una
DettagliEsempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica.
Esempio Risultati sperimentali Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati Esempio Interpolazione con spline cubica. Esempio 1 Come procedere? La natura del fenomeno suggerisce che una buona approssimazione
DettagliLEZIONE 17. B : kn k m.
LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliFASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:
FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente
Dettagli2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento
DettagliEsercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x
FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1
Dettaglia) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1
LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza
DettagliSpazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007
Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 9 e 16 Marzo 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Spazi lineari 9-16/03/2007 1 / 17 Condizionamento dei sistemi lineari
DettagliProva parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...
Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le
DettagliAnello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.
Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e
DettagliLa funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.
FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti
DettagliRichiami di algebra lineare e geometria di R n
Richiami di algebra lineare e geometria di R n combinazione lineare, conica e convessa spazi lineari insiemi convessi, funzioni convesse rif. BT.5 Combinazione lineare, conica, affine, convessa Un vettore
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliLe equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.
Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,
DettagliGEOMETRIA DELLE MASSE
1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro
Dettagli4. Operazioni binarie, gruppi e campi.
1 4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 4.1 Definizione. Diremo - operazione binaria ovunque definita in A B a valori in C ogni funzione f : A B C - operazione binaria ovunque definita in A a valori in
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE
DettagliSoluzione di equazioni quadratiche
Soluzione di equazioni quadratiche Soluzione sulla Retta Algebrica Inseriamo sulla Retta Algebrica le seguenti espressioni polinomiali x e x 3 e cerchiamo di individuare i valori di x per i quali i punti
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliLEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE
LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali
DettagliDOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA
DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA CORSO DI ALGEBRA, A.A. 2012-2013 Nel seguito D indicherà sempre un dominio d integrità cioè un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero. Indicheremo con
DettagliProof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme
G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero
DettagliLEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1
LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,
DettagliI tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione
Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora
DettagliLA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali
Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali LA RETTA Abbiamo visto che l'equazione generica di una retta è del tipo Y = mx + q, dove m ne rappresenta la pendenza e q il punto in cui la retta incrocia
Dettagli3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).
Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza
DettagliFUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI
ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliEsercizi svolti sui numeri complessi
Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =
Dettagli