Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara"

Transcript

1 Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara

2

3 Indice Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 1 1. Soluzioni 3 Capitolo. Rette e piani Suggerimenti 19. Soluzioni 1 Capitolo 3. Gruppi, spazi e sottospazi vettoriali Suggerimenti 48. Soluzioni 48 Capitolo 4. La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Suggerimenti 56. Soluzioni 57 Capitolo 5. Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) Suggerimenti 69. Soluzioni 69 Capitolo 6. Determinante e inversa di una matrice Suggerimenti 84. Soluzioni 85 Capitolo 7. Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali Suggerimenti 106. Soluzioni 107 Capitolo 8. Applicazioni lineari Suggerimenti 186. Soluzioni 188 Capitolo 9. Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Suggerimenti 47. Soluzioni 49 Capitolo 10. Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali Suggerimenti 89. Soluzioni 90 Capitolo 11. Endomorfismi e matrici simmetriche Suggerimenti 305. Soluzioni 305 Capitolo 1. Rette e piani con le matrici e i determinanti Suggerimenti 3. Soluzioni 34 Capitolo 13. Coniche Suggerimenti 339. Soluzioni 34 Capitolo 14. Quadriche Suggerimenti 38. Soluzioni 385 iii

4 iv INDICE Capitolo 15. Coordiante omogenee e proiezioni Suggerimenti 408. Soluzioni 408

5 INDICE v

6 Avvertenze importanti. L eserciziario è scaricabile gratuitamente dalla rete. Si tratta semplicemente di una raccolta di esercizi. Sicuramente contiene errori di conto e di scrittura (e forse anche altro). Quasi ogni capitolo è così strutturato: Testo degli esercizi, Suggerimenti e brevi spiegazioni sulle tecniche utilizzate per la risoluzione, Soluzione di tutti gli esercizi proposti. L eserciziario contiene sostanzialmente: i Fogli di esercizi assegnati e parzialmente svolti nelle ore di esercitazione per i corsi: Geometria, c.l. in Ingegneria Edile/ Architettura, dall a.a 00/03 all a.a. 009/010. Geometria e Algebra, c.l. in Ingegneria e Scienze dell Informazione e dell Organizzazione - Rovereto, dall a.a 00/03, all a.a. 006/007. Geometria e Algebra, Ingegneria a-l, a.a. 010/011. I corsi sono tenuti dal Prof. Alessandro Perotti, ad eccezione di Geometria e Algebra, c.l. in Ingegneria e Scienze dell Informazione e dell Organizzazione - Rovereto, a.a. 006/007, tenuto dal Prof. Gianluca Occhetta. Alcuni esercizi (segnalati) sono presi dal libro di testo M.P. Manara - A. Perotti - R. Scapellato, Geometria e Algebra Lineare (Teoria ed esercizi), ed. Esculapio, 00. La maggior parte degli esercizi degli appelli d esame e delle provette dei precedenti corsi.

7

8 CAPITOLO 1 Operazioni tra matrici e n-uple Esercizio 1.1. Date le matrici A = B = e dati λ = 5, µ =, si calcoli AB, BA, A+B, B A, λa+µb. Esercizio 1.. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, µ R, calcolare A+B, B A, λa+µb, AB, BA, A : A = B = λ = 1, µ = 0 A = B = λ =, µ = Esercizio 1.3. Date le seguenti matrici: A 1 = ; A = ; A = ; A 4 = ; A 5 = ; A 6 = ; calcolare, quando possibile, i prodotti A i A j per i,j = 1,,3,4,5,6. Esercizio 1.4. Date le matrici A = [ ] I 4 = calcolare i prodotti AI 4 e I 4 A T. Esercizio 1.5. Date le matrici calcolare 3A B e AB T. A = [ ] B = [ ] Esercizio 1.6. Calcolare la potenza A 3 della matrice Esercizio 1.7. Data la matrice A = calcolare, se esiste, l inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I). Esercizio 1.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I) A = A =

9 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-uple Esercizio 1.9. Date le matrici 0 A = 0 3 calcolare AB, BA, BC e CB. B = C = Esercizio Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M (R)) } a b I = a,b,c R 0 c Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I. Esercizio Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A,B non nulle tali che AB = 0. Esercizio 1.1. Sia A = e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che dove λ, x R. B = λi x 0 0 Esercizio Date le matrici A = e C = determinare la matrice B tale che A+B = C. Esercizio Date le matrici 1 A =, B = 1 3 stabilire se D è combinazione lineare di A, B, C. 1, C = 1 1 Esercizio Date le matrici 1 k A =, B = , D = 3 3, C = stabilire se esistono valori di k per cui C è combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere tale combinazione lineare. Esercizio Si considerino le seguenti n-uple di numeri reali, con n =,3 o 4: ( ) 1 u 1 = (1,0) u =, u 3 = ( 3, 14 ), 5 u 4 = (0, 1 ), u 5 = ( 1,1,, ) u 6 = (0,0, 13 ), 3 Si calcoli quando possibile u i +u j, u i u T j, λ u i, con λ = 0,,, i,j = 1,...6 Esercizio Dimostrare che un numero complesso coincidente con il proprio coniugato è necessariamente reale. Esercizio Si risolva il sistema Ax = b dove 1 3 A =, x = 4 Esercizio Siano A e B matrici 3 3 tali che Si dimostri che deve necessariamente essere: [ x1 x ] b = AB = BA B M 3 3 A = λi 3 per qualche λ R

10 1. SOLUZIONI 3 Esercizio 1.0. Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi a) 1 3 A = 0 3 6, x 1 x = x b = x 3 4 b) A = , x = x 1 x b = x x 1 3 c) A = 0 1 1, x = x b = x 3 0 Esercizio 1.1. Si dica per quali valori di k R il sistema Ax = b dove A = , x = x 1 x b = k +1 x 3 1 ammette soluzione. In caso positivo si determinino esplicitamente tali soluzioni. - Esercizio 1.1. Date le matrici A = 1. Soluzioni B = e dati λ = 5, µ =, calcolare AB, BA, A+B, B A, λa+µb ( 1) AB = = 3 3+( 1) ( 1) 3 0+( 1) ( 1) 3 6 BA = = ( 1) A+B = = 3+( 1) B A = = ( 1) A+B = + = Esercizio 1.. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, µ R, calcolare A+B, B A, λa+µb, AB, BA, A : A = B = λ = 1, µ = 0 A = B = λ =, µ =

11 4 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-uple Comiciamo dalla prima coppia di matrici: 4 3 A+B = 1 6 λa+µb = 1 A+0 B = 1 [ 1 A = BA = ] 1 B A = 3 6 AB = 4 1 A 3 3 = A A = 6 6 Analogamente per la seconda coppia di matrici: A+B = 3 4 B A = λa+µb = A B = AB = BA = A = A A = Esercizio 1.3. Date le seguenti matrici: A 1 = ; A = ; A = ; A 4 = 1 10 ; A 5 = ; A 6 = ; calcolare, quando possibile, i prodotti A i A j per i,j = 1,,3,4,5,6. Ricordiamo che una matrice è detta n m se ha n righe e m colonne. Inoltre è possibile moltiplicare due matrici A e B solamente se A è del tipo n m B è del tipo m k (cioè se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B). Il risultato è una matrice C del tipo n k. Scriviamo solo i prodotti che è possibile effettuare: 3 A 1 A 3 = A A 1 = A A 4 = A A 5 = A 3 A = A 3 A 6 = A 4 A = A 4 A 6 = A 5 A 1 = A 5 A 4 = 4 0 A 5 A 5 = A 6 A 1 = A A 4 = A A 5 = 4 1 1

12 1. SOLUZIONI 5 Esercizio 1.4. Date le matrici A = [ ] I 4 = calcolare i prodotti AI 4 e I 4 A T. Notiamo che la matrice quadrata I 4 è detta matrice identica di ordine 4. In generale le matrici identiche (dei differenti ordini) vengono indicate I. Esercizio 1.5. Date le matrici calcolare 3A B e AB T. AI 4 = [ ] = A 1 1 I 4 A T = I 4 3 = 3 = AT 4 4 A = [ ] B = [ ] 3A B = [ ] [ ] = [ AB T = [ ] 3 = 1 Notiamo che la matrice [ 1 ] è detta matrice scalare. Esercizio 1.6. Calcolare la potenza A 3 della matrice ] Si tratta di eseguire due prodotti: A 3 = A A A = = Esercizio 1.7. Data la matrice A = calcolare, se esiste, l inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I). Sia B la matrice cercata. Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere. Sia quindi x y B = z w

13 6 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-uple la generica matrice e calcoliamo il prodotto AB: 1 1 x y x+z y +w AB = = 3 z w 3x+z 3y +w Dalla condizione AB = I segue x+z = 1 y +w = 0 3x+z = 0 3y +w = 1 x = 1 z y = w 3(1 z)+z = 0 3( w)+w = 1 Di conseguenza perché B verifichi la condizione AB = Ideve essere [ ] B = x = 5 y = 1 5 z = 3 5 w = 1 5 E immediato verificare che tale matrice B soddisfa anche la condizione BA = I, di conseguenza B è la matrice inversa di A cercata. Metodi più efficaci per calcolare l inversa di una matrice verranno introdotti successsivamente. Esercizio 1.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I) A = A = Consideriamo la matrice A = Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere. Sia quindi x y B = z w la generica matrice. Si ha AB = Dalla condizione AB = I segue x+z = 1 y +w = 0 3x+3z = 0 3y +3w = x y x+z y +w = z w 3x+3z 3y +3w x = 1 z y = w 3(1 z)+3z = 0 3( w)+3w = 1 x = 1 z y = w 3 = 0 0 = 1 La terza e la quarta equazione sono impossibili, di conseguenza tutto il sistema non ammette soluzione. Questo indica che la matrice A non ammette inversa. e sia Consideriamo ora la matrice la generica matrice. Si ha AB = A = B = x y z w x y x z y w = z w 3x+z 3y +w

14 1. SOLUZIONI 7 Dalla condizione AB = I segue x z = 1 x = 1+z x = 1+z x = y w = 0 y = w y = w y = 1 3x+z = 0 3(1+z)+z = 0 z = 3 z = 3 3y +w = 1 3w+w = 1 w = 1 w = 1 Di conseguenza deve essere 1 B = 3 1 E immediato verificare che tale matrice B soddisfa anche la condizione BA = I, di conseguenza B è la matrice inversa di A cercata. Una tale matrice B inversa di A viene normalmente indicata con A 1. Esercizio 1.9. Date le matrici 0 A = 0 3 calcolare AB, BA, BC e CB. B = C = AB = BC = BA = CB = 0 9 Notiamo che AB BA, mentre BC = CB. Infatti il prodotto tra matrici non è in generale commutativo; nel secondo caso si presenta questa situazione particolare in quanto C = 3I. Esercizio Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M (R)) } a b I = a,b,c R 0 c Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I. Siano A = a b 0 c B = x y 0 z due generici elementi di I. Dobbiamo verificare che A+B e AB sono ancora elementi di I: a b x y a+x b+y A+B = + = I 0 c 0 z 0 c+z ax ay +bz AB = I 0 cz Notiamo che l unica condizione per l appartenenza a I è che l elemento di posizione, 1 si annulli. Esercizio Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A,B non nulle tali che AB = 0. Possiamo prendere per esempio Infatti A e B sono non nulle e AB = 0. A = B =

15 8 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-uple Esercizio 1.1. Sia A = e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che dove λ, x R. B = λi x 0 0 Sia b11 b B = 1 b 1 b la generica matrice. Si ha 1 1 b11 b AB = 1 b11 +b = 1 b 1 +b 0 1 b 1 b b 1 b b11 b BA = b11 b = 11 +b 1 b 1 b 0 1 b 1 b 1 +b Dalla condizione AB = BA segue b 11 +b 1 = b 11 b 1 +b = b 11 +b 1 b 1 = b 1 b = b 1 +b Di conseguenza B deve essere del tipo t s B = = 0 t Abbiamo quindi ottenuto che dove λ, x R. b 1 = 0 b = b 11 0 = 0 b 1 = 0 t t B = λi + 0 s = t x 0 0 b 11 = t b 1 = s b 1 = 0 b = t s 0 0 Esercizio Date le matrici A = e C = determinare la matrice B tale che A+B = C. E sufficiente osservare che se Quindi Esercizio Date le matrici 1 A =, B = 1 3 A+B = C A+A+B = A+C B = C A stabilire se D è combinazione lineare di A, B, C B = = , C = , D = 3 s,t R 0 1 1

16 1. SOLUZIONI 9 Si tratta di determinare se esiste soluzione dell equazione Esplicitando tale equazione otteniamo: x x Ax+By +Cz = + x 3x Ax+By +Cz = D y y z z x+y z x+y +z + = y y z 3z x+y +z 3x+y +3z Quindi: x+y z = 0 x+y z x+y +z 0 1 x+y +z = 1 = x+y +z 3x+y +3z 1 x+y +z = 1 3x+y +3z = Dobbiamo quindi risolvere il sistema lineare non omogeneo di quattro equazioni i tre incognite. Procedendo per sostituzione otteniamo x = y +z x = y +z 3y +3z = 1 3y +3z = 1 3y +z = 1 z = 3y 1 6y +6z = 3y +3z = 1 Anche senza procedere ulteriormente vediamo che la seconda e quarta equazione sono in contraddizione, quindi il sistema non ammette soluzione e D non è combinazione lineare di A,B e C. Esercizio Date le matrici 1 k A =, B =, C = stabilire se esistono valori di k per cui C è combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere tale combinazione lineare. Analogamente all esercizio precedente si tratta di determinare se esiste soluzione dell equazione Ax+By = C Esplicitando tale equazione otteniamo: x kx y 3y x+y kx+3y Ax+By = + = 0 x y y y x+y Quindi: x+y = 3 x+ = 3 x = 1 x = 1 x+y kx+3y 3 6 kx+3y = 6 kx+3 = 6 kx = 3 k = 3 = y x+y 1 3 y = 1 y = 1 y = 1 y = 1 x+y = 3 x+ = 3 x = 1 x = 1 Quindi Se k = 3 il sistema ammette la sola soluzione x = y = 1 e A+B = C. Se k 3 il sistema non ammette soluzione e C non è combinazione di A e B. Esercizio Si considerino le seguenti n-uple di numeri reali, con n =,3 o 4: ( ) 1 u 1 = (1,0) u =, u 3 = ( 3, 14 ), 5 u 4 = (0, 1 ), u 5 = ( 1,1,, ) u 6 = (0,0, 13 ), 3

17 10 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-uple Si calcoli quando possibile u i +u j, u i u T j, λ u i, con λ = 0,,, i,j = 1,...6 Cominciamo a calcolare le somme. Notiamo innazittutto che si possono sommare solo n-uple dello stesso tipo: u 1 +u = (1+ 1 ) ( ) 3,0+( ) =, = u +u 1 u 3 +u 4 = ( 3, 14 ) 7 = u 4 +u 3 u 5 +u 6 = ( 1,1, 53 ), 5 = u 6 +u 5 Notiamo che la somma di due n-uple è ancora una n-upla, e che la somma gode della proprietà commutativa. Calcoliamo ora i prodotti. Notiamo che si può solo moltiplicare una n-upla per la trasposta di una n-upla dello stesso tipo: 1 ) u 1 u T = (1,0) ( = 1 = u u T 1 u 3 u T 4 = ( 3, 14 ) = 79 8 = u 4 u T 3 u 5 u T 6 = ( 1,1,, ) = 16 3 = u 6 u T 5 Notiamo che il prodotto tra una n-upla e la trasposta di una n-upla da come risultato un numero (uno scalare). Calcoliamo infine i prodotti per scalare. 0u 1 = 0u = (0,0), 0u 3 = 0u 4 = (0,0,0), 0u 5 = 0u 6 = (0,0,0,0), u 1 = (,0), u = (1, 4), u 3 = ( 6, 1 ), 10, u 4 = (0, 1, 4), u 5 = (,,4, 4), u 6 = (0,0, 3 ), 6 u 1 = (,0), u = ( 1,4), u 3 = (6, 1 ),10, u 4 = (0,1,4), u 5 = (,, 4,4), u 6 = (0,0, 3 ),6 Notiamo che il prodotto tra uno scalare e una n-upla si può sempre calcolare e da come risultato una n-upla. Esercizio Dimostrare (utilizzando le matrici) che un numero complesso coincidente con il proprio coniugato è necessariamente reale. Sia Z = ai +bj un generico complesso, dove 1 0 I =, J = , 1 0 Sappiamo che il suo coniugato è Z = ai bj. Notiamo che a b a b Z =, Z =, b a b a

18 1. SOLUZIONI 11 Di conseguenza dall uguaglianza Z = Z segue a = a b = b b = b a = a Quindi Z = ai ed è un numero reale. Esercizio Si risolva il sistema Ax = b dove 1 3 A =, x = 4 b = 0 b = 0 [ x1 x ] b = Quindi Ax = b implica x 1 +3x = x 1 +4x = Ax = [ x1 x ] x1 +3x = x 1 +4x x 1 = 3x 4 6x +4x = x 1 = 7 x = 3 La matrice A è detta matrice dei coefficienti e la matrice b matrice o colonna dei termini noti del sistema x 1 +3x = x 1 +4x = Si dice anche più semplicemente che A e b (oppure A b) sono le matrici associate al sistema. Notiamo che si può passare da A al sistema o viceversa semplicemente aggiungendo o togliendo le incognite. Esercizio Siano A e B matrici 3 3 tali che Si dimostri che deve necessariamente essere: Sia AB = BA B M 3 3 A = λi 3 a 11 a 1 a 13 A = a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 per qualche λ R la generica matrice 3 3. Poichè AB = BA per ogni matrice B, in particolare deve valere per B = Di conseguenza: a a 11 a 1 a 13 AB = a = = BA a 1 = a 31 = a 1 = a 13 = 0. a La nostra matrice A deve quindi essere del tipo a A = 0 a a 3 0 a 3 a 33

19 1 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-uple Analogamente la relazione AB = BA deve valere in particolare per B = Di conseguenza: AB = 0 0 a 3 = = BA a 3 = a 3 = a 33 0 a 3 a 33 La nostra matrice A deve quindi essere del tipo a A = 0 a a 33 Ripetiamo lo stesso ragionamento con ottenendo B = AB = a 11 a = a 11 a = BA a 11 = a La nostra matrice A deve quindi essere del tipo a A = 0 a a 33 Utilizzando infine otteniamo B = a 11 a 11 0 a 11 a 33 AB = = = BA a 11 = a La nostra matrice A deve quindi essere del tipo a A = 0 a 11 0 = a = λi a Esercizio 1.0. Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi 1 3 x 1 a) A = 0 3 6, x = x b = x 3 per qualche λ R 4 33 x 1 3 b) A = 0 1 6, x = x b = x x 1 3 c) A = 0 1 1, x = x b = x 3 0

20 1. SOLUZIONI 13 a) Calcoliamo il prodotto 1 3 x 1 x 1 +3x +x 3 Ax = x = 3x +6x x 3 x 3 Quindi la condizione Ax = b implica x 1 +3x +x 3 = x 1 +3x +x 3 = 3x +6x 3 = 3 3x = 6 3 x 3 = 4 x 3 = x 1 = 3 ( 5) + = 13 x 1 = 13 x = 5 x = 5 x 3 = x 3 = b) Scriviamo direttamente il sistema associato a A e b aggiungendo le incognite: 4x 1 +33x +x 3 = 3 x +6x 3 = 4 0 = 4 Notiamo subito che l ultima equazione è impossibile, quindi il sistema non ammette soluzione. c) Scriviamo direttamente il sistema associato a A e b aggiungendo le incognite: x 1 +3x +x 3 = 3 x +x 3 = 4 0 = 0 Notiamo che il sistema ha tre incognite, ma solamente due equazioni (significative). Abbiamo quindi una variabile libera. Partiamo dall ultima equazione (significativa) aggiungendo un parametro. Poniamo per esempio x 3 = t (Potevamo equivalentemente porre x = t): x 1 +3x +x 3 = 3 x 1 = 3( t+4)+t 3 = t+9 x = t+4 x = t+4 x 3 = t x 3 = t x 1 = t+9 x = t+4 t R x 3 = t Notiamo che in questo caso il sistema ammette infinite soluzione: ogni valore assegnato a t permette di trovare una delle infinite soluzioni. Esercizio 1.1. Si dica per quali valori di k R il sistema Ax = b dove 1 1 A = k +1, x = x 1 x x 3 b = ammette soluzione. In caso positivo si determinino esplicitamente tali soluzioni Il sistema associato a A e b è x 1 x +x 3 = 0 x +x 3 = 1 (k +1)x 3 = 1 Cercando le soluzioni dell ultima equazione incontriamo subito una difficoltà: dovendo dividere per (k + 1) dobbiamo imporre la condizione k Dobbiamo quindi distinguere due casi:

21 14 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-uple Se k 1, otteniamo le soluzioni x 1 x +x 3 = 0 x 1 x +x 3 = 0 x 1 = k+ x +x 3 = 1 x = 1+ 1 k+1 = k+ k+1 x = k+ k+1 x 3 = 1 k+1 x 3 = 1 k+1 x 3 = 1 k+1 Quindi per ogni k 1 il sistema ammette la sola soluzione x 1 = k+4 k+1 x = k+ k+1 x 3 = 1 k+1 Se k = 1, sostituendo tale valore nel sistema otteniamo x 1 x +x 3 = 0 x +x 3 = 1 0 = 1 Quindi in questo caso il sistema è impossibile. k+1 + k+1 = k+4 k+1

22 CAPITOLO Rette e piani Esercizio.1. Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta del piano (a) Passante per i punti A(1,) e B( 1,3). (b) Passante per il punto C(,3) e parallela al vettore OP = ( 1,). (c) Di equazione Cartesiana y = x + 5. Determinare inoltre un punto appartenente a tale retta. Esercizio.. Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i punti A(1,0,) e B(3, 1,0). (b) Passante per il punto P(1,3,1) e parallela al vettore OQ = (,0,0). (c) Di equazioni Cartesiane y = 3x+1 y x+z = 0 Determinare inoltre un punto appartenente a tale retta. Esercizio.3. a) Determinare l equazione parametrica e Cartesiana del piano π passante per i punti A(1, 3, 1), B(,0,0) e C(0,1,1). Il punto P(0,,0) appartiene a tale piano? b) Determinare una equazione della retta passante per A ortogonale a π. Esercizio.4. Sia r la retta di R 3 passante per i punti A(1, 1,) e B(,0,1), e sia s la retta contenente C(1,3, 3) e parallela al vettore OD(,,3). a) Determinare la posizione reciproca delle due rette (cioè se sono incidenti, parallele o sghembe). b) Se sono incidenti determinarne il punto di intersezione. Esercizio.5. a) Determinare la posizione reciproca (cioè se sono incidenti, parallele o sghembe) delle rette r e r di equazioni parametriche: x = t x = s r : y = t+1 r : y = z = t+3 z = s+ b) Se le rette sono incidenti determinare l ampiezza dell angolo tra esse. Esercizio.6. Determinare la posizione reciproca (parallele, incidenti o sghembe) delle rette r e r di equazioni parametriche: x = t x = s r : y = t+1 r : y = 1 z = t z = s+1 Esercizio.7. a) Determinare equazioni parametriche della retta r passante per i punti A = (,3,1) e B = (0,0,1) e della retta s passante per i punti C = (0,0,0) e D = (4,6,0). b) Stabilire se r e s sono complanari. In caso affermativo, trovare un equazione cartesiana del piano contenente r e s. 15

23 16. RETTE E PIANI Esercizio.8. Si considerino le rette r 1 e r di equazioni x = 1+t r 1 : y = t r : z = 1+t x+y = 1 x y +z = a) Si mostri che le due rette sono incidenti. b) Si determini l equazione della retta ortogonale a r 1 e r e passante per il loro punto di intersezione. Esercizio.9. Si considerino le rette di equazioni cartesiane x+y = 0 x = 0 r : s : y z = 0 x+y +z = 0 a) Dopo avere verificato che le due rette sono incidenti, determinare l equazione cartesiana della retta passante per P(1,1,1) e incidente r e s. b) Determinare l equazione cartesiana del piano passante per C(1,, 3) e perpendicolare a r. c) Determinare equazioni cartesiane della retta passante per il punto P = (1, 1, 1) e perpendicolare alle due rette r e s. Esercizio.10. Sia r la retta nello spazio passante per i punti A = (0,0,1) e B = (, 1,0). Sia s la retta passante per i punti C = (1,1,1) e D = ( 1,0,0). a) Mostrare che le due rette sono complanari e trovare un equazione del piano π che le contiene. b) Trovare equazioni parametriche della retta per l origine ortogonale al piano π del punto a). Esercizio.11. a) Determinare equazioni parametriche ed equazioni cartesiane della retta r dello spazio passante per i punti A = (, 1,3) e B = (3,5,4). b) Stabilire se la retta r interseca il piano di equazione cartesiana x y +z = 0. Esercizio.1. Sia r la retta nello spazio di equazioni cartesiane x+z +1 = x+y z 3 = 0 e sia l la retta di equazioni parametriche x = t, y = t, z = 0. a) Determinare una equazione cartesiana del piano π contenente il punto P(1,, 3) e ortogonale alla retta l. b) Stabilire se esiste una retta passante per P, contenuta in π ed incidente la retta r. In caso affermativo determinare equazioni di tale retta. Esercizio.13. Si considerino i piani dello spazio π : x y +z = 0 e π : 8x+y z = 0. a) Stabilire la posizione reciproca dei due piani. b) Trovare un equazione cartesiana del piano passante per P = (1,1,1) e perpendicolare ai piani π e π. Esercizio.14. a) Determinare equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per i punti A = (,1,3) e B = (1,,1). b) Trovare un equazione cartesiana del piano π parallelo alla retta r e all asse z e passante per l origine. Esercizio.15. a) Determinare equazioni parametriche e cartesiane del piano π passante per i punti A = ( 1, 1, 1) e B = (,0,1) e perpendicolare alla retta r di equazioni cartesiane x = y 1 = 0. b) Trovare un equazione cartesiana del piano π parallelo al piano π e passante per il punto C = (0,1,).

24 . RETTE E PIANI 17 Esercizio.16. Nello spazio si considerino la due rette di equazioni: x = 1+t r : y = 1 t s : x+y 1 = x y +z = 0 z = 3 a) Mostrare che le due rette sono sghembe. b) Determinare un equazione del piano contenente la retta r e parallelo alla retta s. c) Determinare un equazione del piano parallelo alle due rette ed equidistante da esse. Esercizio.17. Si considerino le rette r 1,r,r 3 di equazioni r 1 : x = 3t+1, y = t, z = 3t+1 r : x = s, y =, z = s r 3 : x 1 = z = 0 a) Si determini un equazione del piano π contenente le rette r 1 e r. b) Si stabilisca se il piano π contiene r 3. c) Si calcoli la proiezione ortogonale del punto P(1,,0) sul piano π 1. Esercizio.18. Si considerino i piani π 1,π,π 3 di equazioni π 1 : z 3 = 0 π : x+y + = 0 π 3 : 3x+3y z +9 = 0 e la retta r = π 1 π. a) Si stabilisca se il piano π 3 contiene r. b) Si trovi un equazione cartesiana del piano π 4 passante per l origine e contenente r. c) Si calcoli la proiezione ortogonale dell origine sul piano π 1. Esercizio.19. Si considerino i piani π 1,π,π 3 di equazioni π 1 : 3x+3y z = 9 π : x+y + = 0 π 3 : x+y +z = 1 e la retta r = π 1 π. a) Si stabilisca se il piano π 3 contiene r. b) Si trovi un equazione cartesiana del piano π 4 passante per l origine e contenente r. c) Si calcoli la proiezione ortogonale dell origine sul piano π 1. Esercizio.0. Si considerino la retta r di equazione x = +t r : y = 3 t z = 1 e la famiglia di piani π k : x+ky z = 1 dove k è un parametro reale. a) Si determini per quali k il piano π k risulta parallelo a r. b) Per il valore di k trovato al punto precedente calcolare la distanza tra π k e r. Esercizio.1. Nel piano, si considerino le rette r 1,r,r 3 di equazioni x = 1 t r 1 : r : x y +1 = 0, r 3 : x+y = 0. y = t a) Si trovi un equazione cartesiana della retta r parallela a r 1 e passante per il punto A = r r 3. b) Si trovi un equazione cartesiana della retta s perpendicolare a r 1 e passante per A. c) Si calcoli l angolo tra le rette r 1 e r e tra le rette r e r 3. Esercizio.. Verificare che i quattro punti P 1 = (1,,1), P = (,1,0), P 3 = ( 1,0, 1), P 4 = (0,0, 1) sono complanari e determinare un equazione cartesiana del piano che li contiene.

25 18. RETTE E PIANI Esercizio.3. Siano π 1 il piano di equazioni parametriche: x = 1+u+v, y = +u v, z = 3+u, e π il piano di equazione cartesiana x y +z +1 = 0. u,v R a) Si scriva l equazione cartesiana di π 1. b) Si scrivano le equazioni parametriche della retta r = π 1 π. c) Detta s la retta di equazioni parametriche: x = 1+t, y = t, z = 3+t, si verifichi che r e s sono sghembe. Esercizio.4. Siano r e s le rette di equazioni: x = 1+t r : y = 3t t R, s : z = 1 3x y = z = a) Si determini l equazione cartesiana del piano π 1 contenente r e s. b) Si determini l equazione cartesiana del piano π perpendicolare a r e s e passante per il punto C(0,1,1). Esercizio.5. Si considerino i tre piani di equazioni π 1 : x+y +z = 0, π : x y z +1 = 0, π 3 : x+kz = 1 a) Stabilire la posizione reciproca dei tre piani (paralleli, incidenti in un punto o in una retta...) al variare di k in R. b) Si determini l equazione del piano per l origine e perpendicolare alla retta r : π 1 π. Esercizio.6. Si considerino le rette r 1 e r di equazioni: y +z = x = t r 1 : r : y = t t R x = 1 z = 1+t a) Si verifichi che le due rette sono incidenti e se ne determini il punto P di intersezione. b) Si trovi un equazione parametrica della retta passante per P e ortogonale a r 1 e r. Esercizio.7. Siano assegnati il punto A = (1,,1) il piano π e la retta s di equazioni x = 1+t π : x+z = 4, s : y = z = 0 a) Si determini il punto B, proiezione ortogonale di A su π e la retta r passante per A e per B. b) Indicato con C il punto di intersezione tra s e r e con D il punto di intersezione tra s e π, si determini un equazione della retta CD. c) Si determini l angolo tra r e la retta CD. Esercizio.8. Nello spazio, si considerino le rette r 1,r di equazioni x = 3t x+y = 0 r 1 : y = t r : z +y 3 = 0 z = 1+t a) Determinare la loro posizione reciproca. b) Determinare un equazione cartesiana del piano π contenente le due rette. c) Determinare un equazione parametrica della retta passante per P = (, 5, 1) e perpendicolare alle rette r 1 e r. Esercizio.9. Nello spazio, si considerino i piani π 1,π di equazioni π 1 : 3x y +z = 0, π : x+y = 0. a) Scrivere equazioni parametriche della retta r intersezione di π 1 e π. b) Determinare un equazione cartesiana del piano ortogonale ai due piani assegnati e passante per il punto P = (,1,0). c) Trovare la proiezione ortogonale del punto P sulla retta r.

26 1. SUGGERIMENTI 19 Esercizio.30. Siano r la retta passante per i punti A = (1,0,) e B = ( 1,1,1) e s la retta di equazioni parametriche x = 1+t s : y = 1 t t R z = 1+t a) Si determini un equazione cartesiana del piano perpendicolare a r e passante per il punto Q di intersezione tra l asse delle y e il piano contenente r e s. b) Si trovino equazioni cartesiane e parametriche della retta perpendicolare ad r e s e passante per il punto P = (1,3,1). Esercizio.31. Dati i punti i O(0,0), A(,1), B(1,3), determinare l isometria f(x,y) = (x,y ) tale che f(o) = O, f(a) = A, f(b) = B nei seguenti casi. Stabilire in particolare se si tratta di una traslazione, rotazione, riflessione e glissoriflessione trovando gli eventuali punti fissi. ( ) ( ) ( ) a) O 1 = 3,, A 3 = 1,, B 7 =,. ( b) O = (1, 0), A ) ( =,, B ) =, ( c) O = (0, 0), A = ) ( ) 5, 11 9, B = 5 5, 13. ( ) ( 5 ) 1 d) O = (, 1), A = 5, 7 3, B = 5 5, 4. 5 Esercizio.3. Si considerino i punti del piano A = (0,0), B = (t,0), C = (0,1) e A = (,), B = ( ) ( + 3,3, C 3 =,+ ) 3. a) Per quali valori di t esiste un isometria diretta che trasforma i punti A, B, C nei punti A, B, C rispettivamente? b) Per i valori di t determinati al punto precedente, trovare le equazioni dell isometria. c) Stabilire se l isometria f in b) ha dei punti fissi, cioè tali che f(p) = P. 1. Suggerimenti In R l equazione parametrica della retta passante per P(x 0,y 0 ) e di direzione parallela al vettore u = (u 1,u ) è: x = x 0 +u 1 t r : t R y = y 0 +u t In R la generica equazione cartesiana di una retta è: r : ax+by +k = In R 3 l equazione parametrica della retta passante per P(x 0,y 0,z 0 ) e di direzione parallela al vettore u = (u 1,u,u 3 ) è: x = x 0 +u 1 t r : y = y 0 +u t t R z = z 0 +u 3 t In R 3 la generica equazione cartesiana di una retta è data dall intersezione di due piani: a 1 x+b 1 y +c 1 z = k 1 r : a x+b y +c z = k -

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

Appunti ed esercizi. di Meccanica Razionale

Appunti ed esercizi. di Meccanica Razionale Appunti ed esercizi di Meccanica Razionale Università degli Studi di Trieste - Sede di Pordenone Facoltà di Ingegneria Appunti ed esercizi di Meccanica Razionale Luciano Battaia Versione del 29 dicembre

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo

Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo Appunti al corso di Algebra Anno accademico 23-24 1 Prodotti diretti. Siano M e N due moduli sullo stesso anello A, non necessariamente

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind

Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind Stefania Gabelli Dipartimento di Matematica, Università degli Studi Roma Tre Note per i corsi di Algebra Commutativa a.a. 2010/2011 1 Indice 1 Preliminari

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

Capitolo Dodicesimo CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Capitolo Dodicesimo CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Capitolo Dodicesimo CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI CAMPI SCALARI Sono dati: un insieme aperto A Â n, un punto x = (x, x 2,, x n )T A e una funzione f : A Â Si pone allora il PROBLEMA

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

Costruzioni con riga e compasso. Fabio Stumbo Dipartimento di Matematica Università di Ferrara Ferrara, I f.stumbo@unife.it

Costruzioni con riga e compasso. Fabio Stumbo Dipartimento di Matematica Università di Ferrara Ferrara, I f.stumbo@unife.it ostruzioni con riga e compasso Fabio Stumbo Dipartimento di Matematica Università di Ferrara Ferrara, I f.stumbo@unife.it INDIE 2 Indice 1 Note storiche 3 2 ostruzioni fondamentali 8 2.1 Definizione e

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

Appunti dalle Lezioni di MECCANICA RAZIONALE

Appunti dalle Lezioni di MECCANICA RAZIONALE Università degli Studi de L Aquila Appunti dalle Lezioni di MECCANICA RAZIONALE tenute dal prof. Raffaele ESPOSITO i INDICE Indice.......................................................................

Dettagli

STUDIO DEL MODELLO DI ISING SU GRAFI FRATTALI

STUDIO DEL MODELLO DI ISING SU GRAFI FRATTALI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN FISICA STUDIO DEL MODELLO DI ISING SU GRAFI FRATTALI Relatore: Correlatore: Dott. DAVIDE CASSI Dott.ssa

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette: FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente

Dettagli

Note integrative ed Esercizi consigliati

Note integrative ed Esercizi consigliati - a.a. 2006-07 Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile (CIS) Note integrative ed consigliati Laura Poggiolini e Gianna Stefani Indice 0 1 Convergenza uniforme 1 2 Convergenza totale 5 1 Numeri

Dettagli

Soluzione numerica di problemi alle derivate parziali

Soluzione numerica di problemi alle derivate parziali Soluzione numerica di problemi alle derivate parziali Metodi alle differenze finite Prof. LAURA GORI Anno Accademico 1998-99 1. Generalità sulle equazioni alle derivate parziali Un equazione differenziale

Dettagli

Lezioni di Teoria dei Gruppi. Andrea Mori Dipartimento di Matematica Università di Torino

Lezioni di Teoria dei Gruppi. Andrea Mori Dipartimento di Matematica Università di Torino Lezioni di Teoria dei Gruppi Andrea Mori Dipartimento di Matematica Università di Torino Maggio 2005 Questo lavoro è dedicato alla memoria di Lia Venanzangeli (1959 2004) amica e compagna. Gigni de nihilo

Dettagli

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 3 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 31 Prodotti scalari Definizione 311 Sia V SV(R) Un prodotto scalare su V è un applicazione, : V V R (v 1,v 2 ) v 1,v 2 tale che: i) v,v = v,v per ogni v,v V ; ii)

Dettagli

F U N Z I O N I. E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC "DERIVE")

F U N Z I O N I. E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC DERIVE) F U N Z I O N I E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC "DERIVE") I N D I C E Funzioni...pag. 2 Funzioni del tipo = Kx... 4 Funzioni crescenti e decrescenti...10

Dettagli

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Anno Accademico 005-006 Francesco Pellicano Professore Associato di Meccanica Applicata alle Macchine Biografia dell autore Francesco Pellicano è nato a Roma il9 luglio

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli