Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

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1 libera e vincolata

2 Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata

3 Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di R 3, quindi ad ogni punto dello si associano 3 coordinate (x, y, z) dette ascissa, ordinata e quota. 3/ 92

4 Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di R 3, quindi ad ogni punto dello si associano 3 coordinate (x, y, z) dette ascissa, ordinata e quota. Dati due punti A = (a 1, a 2, a 3 ) e B = (b 1, b 2, b 3 ) la loro distanza è data da d(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2 3/ 92

5 Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di R 3, quindi ad ogni punto dello si associano 3 coordinate (x, y, z) dette ascissa, ordinata e quota. Dati due punti A = (a 1, a 2, a 3 ) e B = (b 1, b 2, b 3 ) la loro distanza è data da d(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2 Il punto medio di AB ha coordinate: ( a1 + b 1 M = 2, a 2 + b 2 2, a ) 3 + b 3 2 3/ 92

6 L equazione di un piano nello è della forma: ax + by + cz + d = 0

7 L equazione di un piano nello è della forma: ax + by + cz + d = 0 Se a = b = d = 0 si ha il piano xy (z = 0); se a = b = 0 si ha un piano parallelo al piano xy

8 L equazione di un piano nello è della forma: ax + by + cz + d = 0 Se a = b = d = 0 si ha il piano xy (z = 0); se a = b = 0 si ha un piano parallelo al piano xy Se b = c = d = 0 si ha il piano yz (x = 0); se b = c = 0 si ha un piano parallelo al piano yz

9 L equazione di un piano nello è della forma: ax + by + cz + d = 0 Se a = b = d = 0 si ha il piano xy (z = 0); se a = b = 0 si ha un piano parallelo al piano xy Se b = c = d = 0 si ha il piano yz (x = 0); se b = c = 0 si ha un piano parallelo al piano yz Se a = c = d = 0 si ha il piano xz (y = 0); se a = c = 0 si ha un piano parallelo al piano xz

10 Una retta nello può essere rappresentata come intersezione di due piani non paralleli, quindi algebricamente, da un sistema di 2 equazioni lineari. r : (o con equazioni equivalenti) { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

11 Una retta nello può essere rappresentata come intersezione di due piani non paralleli, quindi algebricamente, da un sistema di 2 equazioni lineari. r : (o con equazioni equivalenti) { a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 z x y

12 L asse x ha equazioni y = z = 0; l asse y ha equazioni x = z = 0; l asse z ha equazioni x = y = 0.

13 Dato il piano π di equazione π : ax + by + cz + d = 0 il vettore: #» n = (a, b, c) è ortogonale a π (vettore normale al piano).

14 Dato il piano π di equazione π : ax + by + cz + d = 0 il vettore: #» n = (a, b, c) è ortogonale a π (vettore normale al piano). z x y

15 Nello il luogo dei punti equidistanti da un punto dato (centro) si dice sfera. La distanza dei punti della sfera dal centro si dice raggio della sfera. L equazione di una sfera di centro P = (x 0, y 0, z 0 ) e raggio R è: ( ) ( ) ( ) 2 x x y y z z 0 = R 2 z y x

16 Definizione Si chiama R 2 l insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R R. 9/ 92

17 Definizione Si chiama R 2 l insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R R. R 2 è in corrispondenza biunivoca con i punti dell ordinario piano euclideo. 9/ 92

18 Definizione Si chiama R 2 l insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R R. R 2 è in corrispondenza biunivoca con i punti dell ordinario piano euclideo. Generalizzazione: il prodotto cartesiano R 3 = R R R = {(x, y, z) : x, y, z R} cioè l insieme delle terne ordinate di numeri reali è in corrispondenza biunivoca con i punti dello ordinario. 9/ 92

19 Definizione Si chiama R 2 l insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero il prodotto cartesiano R R. R 2 è in corrispondenza biunivoca con i punti dell ordinario piano euclideo. Generalizzazione: il prodotto cartesiano R 3 = R R R = {(x, y, z) : x, y, z R} cioè l insieme delle terne ordinate di numeri reali è in corrispondenza biunivoca con i punti dello ordinario. Definizione Spazio reale n-dimensionale è l insieme R n = R... R. n volte 9/ 92

20 Distanza euclidea Definizione Distanza euclidea o distanza tra due punti P 1 (x 1, x 2,..., x n ) e P 2 (y 1, y 2,..., y n ) di R n è d(p 1, P 2 ) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. 10/ 92

21 Distanza euclidea Definizione Distanza euclidea o distanza tra due punti P 1 (x 1, x 2,..., x n ) e P 2 (y 1, y 2,..., y n ) di R n è d(p 1, P 2 ) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. Per n = 2 si ha la solita distanza nel piano. 10/ 92

22 Distanza euclidea Definizione Distanza euclidea o distanza tra due punti P 1 (x 1, x 2,..., x n ) e P 2 (y 1, y 2,..., y n ) di R n è d(p 1, P 2 ) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. Per n = 2 si ha la solita distanza nel piano. 10/ 92

23 Definizione Una funzione reale di due variabili reali è una corrispondenza tra un sottoinsieme D di R 2 (dominio della funzione o insieme di definizione della funzione) e l insieme dei numeri reali, cioè è una legge f che associa a ogni punto P(x, y) D (ovvero a ogni coppia di numeri reali, cioè a ogni vettore #» x = (x, y) D) un numero reale indicato con f (x, y) o f ( #» x ), #» x R 2. Generalità. Limiti e continuità 11/ 92

24 Definizione Una funzione reale di due variabili reali è una corrispondenza tra un sottoinsieme D di R 2 (dominio della funzione o insieme di definizione della funzione) e l insieme dei numeri reali, cioè è una legge f che associa a ogni punto P(x, y) D (ovvero a ogni coppia di numeri reali, cioè a ogni vettore #» x = (x, y) D) un numero reale indicato con f (x, y) o f ( #» x ), #» x R 2. Una funzione reale di n variabili reali è una corrispondenza tra un sottoinsieme D di R n (dominio della funzione o insieme di definizione della funzione) e l insieme dei numeri reali, cioè è una legge f che associa a ogni punto P(x 1, x 2,..., x n ) D (ovvero a ogni n-pla di numeri reali, cioè a ogni vettore #» x = (x 1, x 2,..., x n ) D) un numero reale indicato con f (x 1, x 2,..., x n ) o f ( #» x ), #» x R n. Generalità. Limiti e continuità 11/ 92

25 Definizione f : D R 2 R: f si dirà limitata superiormente se f (D) è un sottoinsieme limitato superiormente di R, cioè se: M R : f (P) M P D Generalità. Limiti e continuità

26 Definizione f : D R 2 R: f si dirà limitata superiormente se f (D) è un sottoinsieme limitato superiormente di R, cioè se: M R : f (P) M P D f si dirà limitata inferiormente se f (D) è un sottoinsieme limitato inferiormente di R, cioè se: m R f (P) m P D Generalità. Limiti e continuità

27 Definizione f : D R 2 R: f si dirà limitata superiormente se f (D) è un sottoinsieme limitato superiormente di R, cioè se: M R : f (P) M P D f si dirà limitata inferiormente se f (D) è un sottoinsieme limitato inferiormente di R, cioè se: m R f (P) m P D Generalità. Limiti e continuità f si dirà limitata se f (D) è un sottoinsieme limitato di R, cioè se: k R f (P) k P D

28 Definizione La funzione f : D R 2 R ammette minimo in D se esiste un punto P 0 tale che f (P 0 ) f (P) P D Generalità. Limiti e continuità

29 Definizione La funzione f : D R 2 R ammette minimo in D se esiste un punto P 0 tale che f (P 0 ) f (P) P D La funzione f : D R 2 R ammette massimo in D se esiste un punto P 1 tale che f (P 1 ) f (P) P D Generalità. Limiti e continuità

30 Definizione La funzione f : D R 2 R ammette minimo in D se esiste un punto P 0 tale che f (P 0 ) f (P) P D La funzione f : D R 2 R ammette massimo in D se esiste un punto P 1 tale che f (P 1 ) f (P) P D Generalità. Limiti e continuità

31 Definizione La funzione f : D R 2 R ammette minimo in D se esiste un punto P 0 tale che f (P 0 ) f (P) P D La funzione f : D R 2 R ammette massimo in D se esiste un punto P 1 tale che f (P 1 ) f (P) P D Generalità. Limiti e continuità Il punto P 0 si dirà punto di minimo, il punto P 1 si dirà punto di massimo.

32 Grafico di una funzione di 2 variabili È impossibile rappresentare geometricamente funzioni di più di 2 variabili, mentre il grafico di una funzione di 2 variabili è una porzione di superficie la cui proiezione sul piano xy è l insieme di definizione di f. Ogni retta perpendicolare al piano xy incontra al più in un punto il grafico di una funzione di 2 Generalità. Limiti e continuità

33 z Generalità. Limiti e continuità x y f(x, y) = sen x cos y

34 z Generalità. Limiti e continuità x y f(x, y) = sen x 2 + y 2 + 1

35 z Generalità. Limiti e continuità x f(x, y) = x 2 + y y

36 Curve di livello Oltre alla rappresentazione nello tridimensionale si usa la rappresentazione mediante curve di livello. Definizione Curva di livello della funzione z = f (x, y) è la curva del piano xy di equazione f (x, y) = c, corrispondente alla proiezione ortogonale sul piano xy dei punti della sezione della superficie di equazione z = f (x, y) con il piano di equazione z = c. Generalità. Limiti e continuità

37 Curve di livello Oltre alla rappresentazione nello tridimensionale si usa la rappresentazione mediante curve di livello. Definizione Curva di livello della funzione z = f (x, y) è la curva del piano xy di equazione f (x, y) = c, corrispondente alla proiezione ortogonale sul piano xy dei punti della sezione della superficie di equazione z = f (x, y) con il piano di equazione z = c. Quindi la curva di livello è la proiezione sul piano xy dei punti della superficie di equazione z = f (x, y) aventi lo stesso valore z. Generalità. Limiti e continuità

38 Curve di livello Oltre alla rappresentazione nello tridimensionale si usa la rappresentazione mediante curve di livello. Definizione Curva di livello della funzione z = f (x, y) è la curva del piano xy di equazione f (x, y) = c, corrispondente alla proiezione ortogonale sul piano xy dei punti della sezione della superficie di equazione z = f (x, y) con il piano di equazione z = c. Quindi la curva di livello è la proiezione sul piano xy dei punti della superficie di equazione z = f (x, y) aventi lo stesso valore z. Le curve di livello della funzione f (x, y) = 1 x 2 y 2 sono circonferenze di raggio 1 c 2 con 0 c 1. Generalità. Limiti e continuità

39 Curve di livello di una funzione rappresentate sulla superficie plot3d and contour Z Generalità. Limiti e continuità Y X

40 Curve di livello di una funzione rappresentate sul piano xy plot3d and contour Z Generalità. Limiti e continuità Y X

41 Consideriamo un altro esempio, la funzione f (x, y) = 2(x 2 + y 2 )e ( x 2 y 2 ) : 2*(x**2+y**2)*exp(-x**2-y**2) Generalità. Limiti e continuità

42 La seguente figura mostra le curve di livello di f (x, y) = 2(x 2 + y 2 )e ( x 2 y 2 ) rappresentate sulla superficie: 2*(x**2 + y**2)*exp(-x**2 - y**2) Generalità. Limiti e continuità

43 La seguente figura mostra le curve di livello di f (x, y) = 2(x 2 + y 2 )e ( x 2 y 2 ) rappresentate sul piano xy: 2*(x**2 + y**2)*exp(-x**2 - y**2) Generalità. Limiti e continuità

44 La seguente figura mostra le curve di livello di f (x, y) = 2(x 2 + y 2 )e ( x 2 y 2 ) rappresentate sia sulla superficie che sul piano xy: *(x**2 + y**2)*exp(-x**2 - y**2) Generalità. Limiti e continuità

45 Limiti e continuità La definizione di limite per una funzione di 2 variabili si ottiene dalla definizione generale Definizione f : D R 2 R, P 0 (x 0, y 0 ) punto di accumulazione per D. Il limite di f per P che tende a P 0 è l R e si scrive lim f (x, y) = l P P 0 se per ogni intorno U di l esiste un intorno V di P 0 tale che per ogni P V, P P 0 si abbia f (x, y) U. Generalità. Limiti e continuità 25/ 92

46 Limiti e continuità La definizione di limite per una funzione di 2 variabili si ottiene dalla definizione generale Definizione f : D R 2 R, P 0 (x 0, y 0 ) punto di accumulazione per D. Il limite di f per P che tende a P 0 è l R e si scrive lim f (x, y) = l P P 0 se per ogni intorno U di l esiste un intorno V di P 0 tale che per ogni P V, P P 0 si abbia f (x, y) U. In generale, [ ] [ ] lim f (x, y) lim lim f (x, y) lim lim f (x, y) P P 0 x x0 y y 0 y y 0 x x 0 Generalità. Limiti e continuità 25/ 92

47 Esempio lim P O xy x 2 + y 2 non esiste Generalità. Limiti e continuità

48 Esempio lim P O xy x 2 + y 2 non esiste Avviciniamoci all origine seguendo la retta di equazione y = mx: lungo tale retta la funzione diventa mx 2 f (x, mx) = (1 + m 2 )x 2 = m 1 + m funzione è costante e lim f (x, mx) = m P O : quindi lungo la retta la m 2. Generalità. Limiti e continuità

49 Esempio lim P O xy x 2 + y 2 non esiste Avviciniamoci all origine seguendo la retta di equazione y = mx: lungo tale retta la funzione diventa mx 2 f (x, mx) = (1 + m 2 )x 2 = m 1 + m funzione è costante e lim P O f (x, mx) = m : quindi lungo la retta la m 2. Ma al variare della retta (cioè di m) varia anche il valore del limite, cioè il limite non esiste. Si osservi che lim x 0 [ ] [ ] lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = 0 y 0 y 0 x 0 Generalità. Limiti e continuità

50 Osservazione Continuano a valere anche per le funzioni di due variabili i teoremi sui limiti visti per le funzioni di una variabile e, in particolare, i teoremi di unicità del limite, di permanenza del segno e i teoremi sulle operazioni con i limiti. Generalità. Limiti e continuità

51 Definizione Una funzione f : D R 2 R si dice continua in P 0 D se lim f (P) = f (P 0 ) P P 0 Generalità. Limiti e continuità

52 Definizione Una funzione f : D R 2 R si dice continua in P 0 D se lim f (P) = f (P 0 ) P P 0 Se f è continua in ogni punto di D si dirà continua in D. Generalità. Limiti e continuità

53 Definizione Una funzione f : D R 2 R si dice continua in P 0 D se lim f (P) = f (P 0 ) P P 0 Se f è continua in ogni punto di D si dirà continua in D. Vale il Teorema di Weierstrass: Una funzione f (x, y) continua in un insieme compatto (cioè chiuso e limitato) D possiede in tale insieme massimo e minimo. Generalità. Limiti e continuità

54 Definizione Una funzione f : D R 2 R si dice continua in P 0 D se lim f (P) = f (P 0 ) P P 0 Se f è continua in ogni punto di D si dirà continua in D. Vale il Teorema di Weierstrass: Una funzione f (x, y) continua in un insieme compatto (cioè chiuso e limitato) D possiede in tale insieme massimo e minimo. Generalità. Limiti e continuità

55 Derivate Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 D. Diremo derivata direzionale di f nel punto P 0 nella direzione #» e il limite: f (P 0 + t #» e ) f (P 0 ) lim t 0 t se esiste finito. La derivata direzionale di f in P 0 nella direzione #» e si indicherà con D #» e f (P 0 ). Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor 29/ 92

56 Derivate Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 D. Diremo derivata direzionale di f nel punto P 0 nella direzione #» e il limite: f (P 0 + t #» e ) f (P 0 ) lim t 0 t se esiste finito. La derivata direzionale di f in P 0 nella direzione #» e si indicherà con D #» e f (P 0 ). Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Osservazione La derivata direzionale misura il tasso di variazione di f (x, y) quando ci si muove da P 0 seguendo il vettore #» e. 29/ 92

57 Se la direzione del vettore è quella di un asse coordinato la derivata direzionale prende il nome di derivata parziale. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

58 Se la direzione del vettore è quella di un asse coordinato la derivata direzionale prende il nome di derivata parziale. Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 = (x 0, y 0 ) D. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

59 Se la direzione del vettore è quella di un asse coordinato la derivata direzionale prende il nome di derivata parziale. Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 = (x 0, y 0 ) D. Se la funzione (della sola variabile x) f (x, y 0 ) è derivabile in x 0, si dice che la funzione f (x, y) ammette derivata parziale rispetto a x nel punto (x 0, y 0 ). Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

60 Se la direzione del vettore è quella di un asse coordinato la derivata direzionale prende il nome di derivata parziale. Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 = (x 0, y 0 ) D. Se la funzione (della sola variabile x) f (x, y 0 ) è derivabile in x 0, si dice che la funzione f (x, y) ammette derivata parziale rispetto a x nel punto (x 0, y 0 ). Se la funzione (della sola variabile y) f (x 0, y) è derivabile in y 0, si dice che la funzione f (x, y) ammette derivata parziale rispetto a y nel punto (x 0, y 0 ). Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

61 Se la direzione del vettore è quella di un asse coordinato la derivata direzionale prende il nome di derivata parziale. Definizione f : D R 2 R definita in un intorno del punto P 0 = (x 0, y 0 ) D. Se la funzione (della sola variabile x) f (x, y 0 ) è derivabile in x 0, si dice che la funzione f (x, y) ammette derivata parziale rispetto a x nel punto (x 0, y 0 ). Se la funzione (della sola variabile y) f (x 0, y) è derivabile in y 0, si dice che la funzione f (x, y) ammette derivata parziale rispetto a y nel punto (x 0, y 0 ). Le derivate parziali sono date dai seguenti limiti (se esistono finiti): Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor lim Δx 0 f (x + Δx, y 0 ) f (x 0, y 0 ) f (x 0, y + Δy) f (x 0, y 0 ) ; lim Δx Δy 0 Δy

62 Le derivate parziali sono indicate con uno dei seguenti simboli: f x(x 0, y 0 ); D x f (x 0, y 0 ); f y(x 0, y 0 ); D y f (x 0, y 0 ); f x (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

63 Le derivate parziali sono indicate con uno dei seguenti simboli: f x(x 0, y 0 ); D x f (x 0, y 0 ); f y(x 0, y 0 ); D y f (x 0, y 0 ); f x (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) Definizione Il vettore che ha per componenti le derivate parziali di f si dice gradiente di f calcolato in (x 0, y 0 ) e si indica con uno dei simboli: Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor f (x 0, y 0 ); Df (x 0, y 0 ); gradf (x 0, y 0 )

64 Per poter calcolare le derivate parziali di f in un punto (x 0, y 0 ) è necessario che anche i punti (x 0 + Δx, y 0 ) e (x 0, y 0 + Δy) appartengano al dominio di f : supporremo quindi che (x 0, y 0 ) sia interno a D. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

65 Per poter calcolare le derivate parziali di f in un punto (x 0, y 0 ) è necessario che anche i punti (x 0 + Δx, y 0 ) e (x 0, y 0 + Δy) appartengano al dominio di f : supporremo quindi che (x 0, y 0 ) sia interno a D. Una funzione è derivabile in un punto se in tale punto ammette tutte le derivate parziali. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

66 Per poter calcolare le derivate parziali di f in un punto (x 0, y 0 ) è necessario che anche i punti (x 0 + Δx, y 0 ) e (x 0, y 0 + Δy) appartengano al dominio di f : supporremo quindi che (x 0, y 0 ) sia interno a D. Una funzione è derivabile in un punto se in tale punto ammette tutte le derivate parziali. Per le funzioni di 2 o più variabili i concetti di derivabilità e continuità non sono legati, cioè esistono funzioni discontinue che sono derivabili. In particolare la derivabilità di una funzione non implica l esistenza del piano tangente (l analogo della retta tangente per le funzioni di una variabile). Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

67 Osservazione La retta tangente al grafico di una funzione di una variabile è la migliore approssimazione lineare del grafico della funzione, cioè la differenza tra l incremento della funzione passando al punto x 0 al punto x 0 + Δx e l incremento calcolato sulla retta tangente (nel punto (x 0, f (x 0 ))) è un infinitesimo di ordine superiore a 1 rispetto all infinitesimo Δx: Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor 33/ 92

68 Osservazione La retta tangente al grafico di una funzione di una variabile è la migliore approssimazione lineare del grafico della funzione, cioè la differenza tra l incremento della funzione passando al punto x 0 al punto x 0 + Δx e l incremento calcolato sulla retta tangente (nel punto (x 0, f (x 0 ))) è un infinitesimo di ordine superiore a 1 rispetto all infinitesimo Δx: Nello si ha: Definizione Se f è derivabile con derivate continue in (x 0, y 0 ), il piano di equazione: z f (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor si dirà piano tangente al grafico di z = f (x, y) nel punto (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )). Il piano tangente al grafico di una funzione di due variabile è la migliore approssimazione lineare del grafico della funzione. 33/ 92

69 f (x, y) derivabile in un insieme aperto D: le derivate parziali sono funzioni di due variabili che possono essere derivabili in D. Derivando le derivate parziali si ottengono le derivate parziali seconde. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor 34/ 92

70 Definizione Le derivate di f, se esistono, si indicano con x 2 f x 2 = ( ) f x x 2 f y x = ( ) f y x Le derivate di f y si indicano con 2 f x y = ( ) f x y 2 f y 2 = ( ) f y y

71 Definizione Le derivate di f, se esistono, si indicano con x 2 f x 2 = ( ) f x x 2 f y x = ( ) f y x Le derivate di f y si indicano con 2 f x y = ( ) f x y 2 f y 2 = ( ) f y y Queste funzioni si dicono derivate parziali seconde di f e sono indicate anche: f xx D 2 xxf f xy D 2 xyf ecc.

72 Definizione Le derivate di f, se esistono, si indicano con x 2 f x 2 = ( ) f x x 2 f y x = ( ) f y x Le derivate di f y si indicano con 2 f x y = ( ) f x y 2 f y 2 = ( ) f y y Queste funzioni si dicono derivate parziali seconde di f e sono indicate anche: f xx D 2 xxf f xy D 2 xyf ecc. Le derivate f xx e f yy si dicono derivate seconde pure, le altre derivate seconde miste.

73 Esempio f (x, y) = e x (y 2 xy + x) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

74 Esempio Si ha: f (x, y) = e x (y 2 xy + x) f x = ex ( y y 2 xy + x) f y = ex (2y x) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

75 Esempio Si ha: f (x, y) = e x (y 2 xy + x) f x = ex ( y y 2 xy + x) 2 f x 2 = ex ( 2y +2+y 2 xy +x) 2 f x y = ex (2y x 1) f y = ex (2y x) 2 f y x = ex ( 1+2y x) 2 f y 2 = 2ex Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

76 Esempio Si ha: f (x, y) = e x (y 2 xy + x) f x = ex ( y y 2 xy + x) 2 f x 2 = ex ( 2y +2+y 2 xy +x) 2 f x y = ex (2y x 1) f y = ex (2y x) 2 f y x = ex ( 1+2y x) 2 f y 2 = 2ex Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Le due derivate miste sono uguali.

77 Teorema (di Schwarz) f : D R 2 R derivabile due volte nell aperto D. Se le derivate seconde miste sono continue nel punto (x 0, y 0 ) D esse sono uguali in tale punto. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

78 Teorema (di Schwarz) f : D R 2 R derivabile due volte nell aperto D. Se le derivate seconde miste sono continue nel punto (x 0, y 0 ) D esse sono uguali in tale punto. Quindi nelle ipotesi del Teorema di Schwarz una funzione di 2 variabili ha tre derivate seconde. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

79 Si possono definire le derivate terze di una funzione e anche per le derivate terze miste (se sono continue) varrà il Teorema di Schwarz e quindi, sotto tali ipotesi, avremo le quattro derivate: 3 f x 3 ; 3 f x 2 y ; 3 f x y 2 ; e così via per le derivate di ordine superiore. 3 f y 3 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

80 Si possono definire le derivate terze di una funzione e anche per le derivate terze miste (se sono continue) varrà il Teorema di Schwarz e quindi, sotto tali ipotesi, avremo le quattro derivate: 3 f x 3 ; 3 f x 2 y ; 3 f x y 2 ; 3 f y 3 e così via per le derivate di ordine superiore. Analogo discorso vale per le funzioni di n variabili: ad esempio si avrà, per una funzione di 3 variabili: 5 f x y 2 z 2 = 5 f y z x z y. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

81 Dall equazione del piano tangente si ha f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) =f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )Δx + f y (x 0, y 0 )Δy ) ( (Δx) 2 + (Δy) 2 per (Δx, Δy) (0, 0) + o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor 39/ 92

82 Dall equazione del piano tangente si ha f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) =f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )Δx + f y (x 0, y 0 )Δy ) ( (Δx) 2 + (Δy) 2 + o per (Δx, Δy) (0, 0) cioè approssimo f (x, y) con un polinomio di primo grado. Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor 39/ 92

83 Dall equazione del piano tangente si ha f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) =f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )Δx + f y (x 0, y 0 )Δy ) ( (Δx) 2 + (Δy) 2 + o per (Δx, Δy) (0, 0) cioè approssimo f (x, y) con un polinomio di primo grado. Se la funzione è più regolare (ad esempio è derivabile 2 volte con derivate seconde continue) è possibile fornire un approssimazione di tipo polinomiale migliore. Teorema (Sviluppo di Taylor con resto di Peano) f : D R 2 R, D aperto, derivabile 2 volte con derivate seconde continue in un intorno del punto (x 0, y 0 ) D Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )Δx + f y (x 0, y 0 )Δy+ + 1 [ 2 ] f 2 x 2 (x 0, y 0 ) (Δx) f x y (x 0, y 0 )ΔxΔy + 2 f y 2 (x 0, y 0 ) (Δy) 2 ( ) 39/ 92

84 Osservazione L espressione precedente può essere anche scritta: f (P 0 + ΔP) = f (P 0 ) + f (P 0 ), ΔP ΔP Hf (P 0)ΔP t + o( ΔP 2 ) dove ΔP = (Δx, Δy) è il vettore dell incremento infinitesimo e Hf (x 0, y 0 ) è la matrice (simmetrica per il Teorema di Schwarz): Hf (x 0, y 0 ) = 2 f x 2 (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f y 2 (x 0, y 0 ) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor per

85 Definizione La matrice Hf (x 0, y 0 ) = 2 f x 2 (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f y 2 (x 0, y 0 ) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor si chiama matrice hessiana di f in (x 0, y 0 ).

86 La funzione di secondo grado in Δx, Δy q (Δx, Δy) = = 2 f x 2 (x 0, y 0 ) (Δx) f x y (x 0, y 0 )ΔxΔy + 2 f si dice forma quadratica hessiana y 2 (x 0, y 0 ) (Δy) 2 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

87 Segno di una forma quadratica Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 si dice con a, b, c non tutti nulli definita positiva se q(u, v) > 0 per (u, v) (0, 0) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Analogo in R n

88 Segno di una forma quadratica Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 si dice con a, b, c non tutti nulli definita positiva se q(u, v) > 0 per (u, v) (0, 0) definita negativa se q(u, v) < 0 per (u, v) (0, 0) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Analogo in R n

89 Segno di una forma quadratica Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 si dice con a, b, c non tutti nulli definita positiva se q(u, v) > 0 per (u, v) (0, 0) definita negativa se q(u, v) < 0 per (u, v) (0, 0) semidefinita positiva se q(u, v) 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Analogo in R n

90 Segno di una forma quadratica Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 si dice con a, b, c non tutti nulli definita positiva se q(u, v) > 0 per (u, v) (0, 0) definita negativa se q(u, v) < 0 per (u, v) (0, 0) semidefinita positiva se q(u, v) 0 semidefinita negativa se q(u, v) 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Analogo in R n

91 Segno di una forma quadratica Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 si dice con a, b, c non tutti nulli definita positiva se q(u, v) > 0 per (u, v) (0, 0) definita negativa se q(u, v) < 0 per (u, v) (0, 0) semidefinita positiva se q(u, v) 0 semidefinita negativa se q(u, v) 0 indefinita se q(u, v) assume sia valori positivi che negativi Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor Analogo in R n

92 Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 è definita positiva se e solo se a > 0 e ab c 2 > 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

93 Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 è definita positiva se e solo se a > 0 e ab c 2 > 0 definita negativa se e solo se a < 0 e ab c 2 > 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

94 Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 è definita positiva se e solo se a > 0 e ab c 2 > 0 definita negativa se e solo se a < 0 e ab c 2 > 0 semidefinita se e solo se ab c 2 = 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

95 Definizione Una forma quadratica q(u, v) = au 2 + 2buv + cv 2 è definita positiva se e solo se a > 0 e ab c 2 > 0 definita negativa se e solo se a < 0 e ab c 2 > 0 semidefinita se e solo se ab c 2 = 0 indefinita se e solo se ab c 2 < 0 Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

96 Per una funzione di n variabili x 1, x 2,..., x n la matrice hessiana sarà: 2 f x 2 (P 0 ) 1 2 f (P 0 ) x 2 x 1. 2 f (P 0 ) x n x 1 2 f 2 f (P 0 )... (P 0 ) x 1 x 2 x 1 x n 2 f 2 f x2 2 (P 0 )... (P 0 ) x 2 x n f 2 f (P 0 )... x n x 2 xn 2 (P 0 ) Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor

97 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) libera vincolata 46/ 92

98 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) Massimo profitto, minimo rischio, massima utilità, ecc. libera vincolata 46/ 92

99 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) Massimo profitto, minimo rischio, massima utilità, ecc. 1. Estremi all interno di un insieme aperto D (ricerca di estremi liberi). libera vincolata 46/ 92

100 = ricerca del massimo o del minimo di una funzione (o di entrambi) Massimo profitto, minimo rischio, massima utilità, ecc. 1. Estremi all interno di un insieme aperto D (ricerca di estremi liberi). 2. Estremi su un sottoinsieme (non aperto) dell insieme di definizione definito spesso da un sistema di equazioni della forma g i (x 1,..., x n ) = 0 con i = 1,..., m, m < n. libera vincolata 46/ 92

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