Funzioni di più variabili

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1 Funzioni di più variabili Introduzione Funzioni reali di più variabili reali Una unzione reale di due variabili è una unzione : D R dove il dominio D è un sottoinsieme di R. ESEMPI: - / ln. Considerazioni del tutto analoghe valgono anche per le unzioni di n variabili per semplicità ci limitiamo al caso n.

2 Dominio di una unzione di due variabili / Il dominio di una unzione di due variabili è un sottoinsieme di R ; può essere determinato in modo del tutto analogo al dominio delle unzioni di una variabile. ESEMPI: - / ln. D D D D R R { R } { R } Dominio di una unzione di due variabili / Nel terzo caso il dominio è un insieme chiuso costituito da tutti i punti che stanno al di sopra della parabola incluso il bordo; nel quarto caso è un insieme aperto costituito da tutti i punti di R eccetto la retta -.

3 Intorni e punti interni in R Ricordiamo che nel piano un intorno del punto è un cerchio di raggio r centrato nel punto ; possiamo scrivere { R } I r < r Come nel caso di R un punto è un punto interno del dominio di una unzione se ha un intorno tutto contenuto nel dominio: I r è punto D interno di D se esiste I r tale che Intorni e punti interni / Un insieme in cui ogni punto è punto interno si chiama insieme aperto come ad esempio gli intervalli aperti di R. Quali sono i punti interni dei domini delle unzioni degli esempi?

4 Graico di una unzione di due variabili / Una unzione di due variabili associa a una coppia di valori un unico valore. Il suo graico sarà perciò un sottoinsieme di R 3 possiamo pensare a una supericie. ESEMPI Graico di una unzione di due variabili / Per le unzioni di una variabile solitamente non è diicile disegnare un graico qualitativo attraverso lo studio di unzione; per le unzioni di due variabili può essere molto complicato e spesso per studiarle se ne calcolano numericamente i valori.

5 Curve di livello / Un modo espressivo di rappresentare le unzioni di due variabili è attraverso le loro curve di livello o insiemi di livello. DEFINIZIONE La amiglia delle curve di livello di una unzione è la amiglia delle curve k al variare di k in R. ESEMPI Se le curve di livello hanno equazione k cioè sono circonerenze centrate in ; se k la corrispondente curva di livello è costituita dal solo punto. Curve di livello / Se le curve di livello hanno equazione k sono cioè delle iperboli equilatere. Per k la corrispondente curva di livello è data dall unione dell asse e dell asse. 3 Se - / le curve di livello hanno equazione - / k che equivale a - k ; sono pertanto una amiglia di parabole traslate verticalmente. 4 Se ln le curve di livello hanno equazione ln k che equivale a e k ; sono pertanto una amiglia di rette inclinate a 45.

6 Curve di livello / La rappresentazione con le curve di livello si incontra spesso basta pensare alle carte topograiche punti alla stessa quota o o alle previsioni del tempo punti che hanno la stessa pressione atmoserica. Curve di livello /

7 Calcolo dierenziale per unzioni di due variabili Quasi tutti i concetti incontrati nello studio delle unzioni di una variabile si estendono alle unzioni di più variabili; in questa introduzione ci limitiamo al concetto di derivata parziale. DEFINIZIONE Sia un punto interno al dominio di. Le derivate parziali di nel punto sono: lim h lim h h h h h Derivate parziali Come le derivate ordinarie le derivate parziali sono limiti di rapporti incrementali in cui però viene atta variare solo una delle variabili per volta. Lo studio delle derivate parziali consente di capire l inluenza di ciascuna variabile indipendente sul valore della unzione; se ad esempio nel punto la derivata parziale rispetto a è positiva aumentando la il valore della unzione aumenta. Se invece è negativa aumentando la il valore della unzione diminuisce. Le derivate parziali dipendono dal punto ; il vettore prende il nome di gradiente della unzione nel punto.

8 Calcolo delle derivate parziali Le derivate parziali possono essere calcolate con le usuali regole di derivazione; è suiciente trattare le rimanenti variabili indipendenti come ossero delle costanti. ESEMPI Calcolo delle derivate parziali ln

9 Ottimizzazione per unzioni di più variabili Un tipico problema che si presenta nelle applicazioni economiche è la ricerca dei massimi e dei minimi delle unzioni di più variabili. Si parla di ottimizzazione libera se le variabili indipendenti non sono soggette a ulteriori vincoli di ottimizzazione vincolata se invece sono presenti dei vincoli. Nell analisi economica sono più requenti i problemi del secondo tipo ad esempio massimizzazione della soddisazione di un consumatore con il vincolo di un certo reddito massimo da spendere oppure minimizzazione dei costi di produzione di una quantità assegnata di un bene. Ottimizzazione libera / Nel caso della ottimizzazione libera una condizione necessaria ainché un punto sia un estremante è espressa dal teorema di Fermat: TEOREMA Sia un punto interno del dominio di e sia dierenziabile nel punto. Se è un estremante allora [ ]

10 Ottimizzazione libera / Il teorema aerma in analogia al caso delle unzioni di una variabile che una condizione necessaria ainché un punto sia un estremante è che le derivate parziali si annullino. Tali punti vengono detti punti stazionari. ESEMPI L unico punto stazionario è ; dal graico possiamo osservare che si tratta di un punto di minimo assoluto. Ottimizzazione libera /3 L unico punto stazionario è ; in questo caso però non si tratta di un estremante vedere il graico. Un punto di questo tipo prende il nome di punto di sella. Non ci sono punti stazionari Non ci sono punti stazionari ln

11 Ottimizzazione libera /4 Vediamo un esempio un po più complicato: le derivate parziali sono date da per trovare i punti stazionari dobbiamo risolvere il sistema che corrisponde a Ottimizzazione libera /5 Le soluzioni della prima equazione sono e. Le soluzioni della seconda equazione sono e -. Le soluzioni del sistema sono pertanto i quattro punti stazionari A B- C D-. Con gli strumenti a disposizione il teorema di Fermat non possiamo stabilire se si tratti di estremanti o no; analogamente al caso delle unzioni di una variabile è necessario lo studio delle derivate di ordine superiore. Per questi argomenti e per la ottimizzazione vincolata rinviamo ai corsi di Matematica per l Economia.

12 Ottimizzazione libera /6 Dall analisi del graico di oppure dalle sue curve di livello osserviamo che i punti A e D- sono punti di sella il punto B- è un punto di massimo relativo il punto C è un punto di minimo relativo