Ancora sugli insiemi. Simbologia

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1 ncora sugli insiemi Un insieme può essere specificato in vari modi; il più semplice è fare un elenco dei suoi elementi. d esempio l insieme delle nostre lauree triennali è { EOOM, EON, EOMM, EOMK EOTU} L, Questo metodo è applicabile soltanto ad insiemi finiti (cioè composti da un numero finito di elementi). In alternativa un insieme può essere specificato attraverso una proprietà di cui godono i suoi elementi; ad esempio l insieme dei numeri pari P può essere descritto come P m Z m k, con k Z { } Si legge P è l insieme degli m appartenenti a Z tali che mk, con k appartenente a Z. Simbologia bbiamo usato il simbolo di appartenenza e la barra verticale che significa tali che. ltri simboli che incontreremo spesso sono che si legge per ogni e che si legge esiste (almeno) un. Quindi ad esempio la proposizione, vuol dire per ogni numero reale, esiste un tale che è il quadrato di. Si tratta di una proposizione vera o falsa? 1

2 Simbologia / Equivalentemente potrei dire "ogni numero reale è il quadrato di un altro numero reale". Questa affermazione è evidentemente falsa: i quadrati sono sempre positivi o nulli, se fosse negativo non potrebbe essere il quadrato di un numero reale. Vediamo un altro esempio; la proposizione m Z, n Z n > m si legge "per ogni numero intero m, esiste un numero intero n più grande di m"; si tratta di una affermazione ovviamente vera, che corrisponde al fatto che l'insieme dei numeri interi Z non è limitato superiormente. Invece m N n N, m n si legge "esiste un numero naturale m tale che, per ogni numero naturale n, m è minore o uguale a n". E' una proposizione vera? Insieme complementare Finora abbiamo visto le operazioni di unione e di intersezione di insiemi; l'ultima operazione che dobbiamo considerare è l'insieme complementare. Dato un insieme, l'insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad si chiama appunto insieme complementare di e si indica con. Scriviamo: { } hiaramente ( ) (il complementare del complementare coincide con l'insieme di partenza). d esempio se { 0 1} allora { < 0 oppure > 1}

3 Leggi di De Morgan Tra unione, intersezione e complementare ci sono due importantissime relazioni che si chiamano leggi di De Morgan: ( ( ) ) In parole, il complementare della intersezione è l'unione dei complementari; Il complementare della unione è la intersezione dei complementari. Possiamo convincerci con un semplice esempio: insieme degli studenti milanesi (e quindi sono i non milanesi) insieme degli studenti maschi (e quindi sono le femmine). L'intersezione di e di sono i maschi milanesi; che cosa è ( )? Leggi di De Morgan / hiaramente, saranno gli studenti che non sono maschi milanesi; quindi o non sono maschi (sono femmine) o non sono milanesi. La negazione della intersezione è la unione delle negazioni: ( ) nalogamente, ( ) è l'insieme degli studenti che non sono o maschi o milanesi; quindi devono essere per forza femmine non milanesi; la negazione della unione è la intersezione delle negazioni: ( ) appresentate graficamente entrambe le situazioni che abbiamo considerato e verificate i risultati. Fabio ellini 010 3

4 appresentazione grafica appresentazione grafica / 4

5 La retta reale Gli elementi di, i numeri reali, sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta; ad ogni punto corrisponde uno ed un solo numero reale. X La distanza tra due punti e è data da Y d (, ) dove a se a a a se > 0 a < 0 Sarebbe corretto scrivere semplicemente d(,) -, senza il valore assoluto? Fabio ellini 010 Intervalli aperti e chiusi I più semplici sottoinsiemi di sono gli intervalli. i sono fondamentalmente due tipi di intervalli: gli intervalli aperti, che non contengono gli estremi a e b { a < b} I < che si indicano con I ( a, b ) e gli intervalli chiusi I { a b} che si indicano con I [ a, b] che invece contengono gli estremi a e b. a a b b Fabio ellini 010 5

6 Intervalli illimitati Posso anche considerare intervalli illimitati superiormente del tipo I { > a} oppure I { a} a a Oppure intervalli illimitati inferiormente del tipo I { < b} oppure I { b} L'intersezione di due intervalli aperti è un intervallo aperto; l'intersezione di due intervalli chiusi è un intervallo chiuso. Il complementare di un intervallo aperto è la unione di due intervalli chiusi; il complementare di un intervallo chiuso è la unione di due intervalli aperti. Fabio ellini 010 Intorni Si chiama intorno aperto di raggio r del punto l'intervallo aperto (-r, +r). Lo indichiamo con I r ( ) ( r, + r ) rappresenta l'insieme dei punti della retta che hanno una distanza da inferiore a r, quindi lo posso anche scrivere come Del tutto analogamente potrei considerare l'intorno chiuso he corrisponde a { d (, r} I r ( ) ) < [ r r ] I r ( ), + I r { d (, r} ( ) ) Fabio ellini 010 6

7 7 Il piano Fabio ellini 010 Il piano in matematica si indica con ed è in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle coppie di numeri reali (,): ogni punto P del piano è infatti identificato in modo univoco dalla sua ascissa e dalla sua ordinata : { }, ), ( P Sottoinsiemi del piano Fabio ellini 010 Provate a disegnare questi sottoinsiemi del piano: { } { } { } E D b a 1 ), ( ), ( ), (

8 Distanza tra due punti nel piano La distanza tra due punti nel piano P 1 e P può essere calcolata attraverso il teorema di Pitagora (la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull' ipotenusa). 1, P ) ( 1 ) + ( 1 ) d ( P P 1 P 1 1 Intorni nel piano Il concetto di intorno aperto di raggio r di un punto P nel piano è molto simile a quello della retta reale: { Q d ( Q, P r} I r ( P ) ) < Graficamente si tratta semplicemente di un cerchio di raggio r con centro in P (da cui devo togliere il bordo, cioè la circonferenza, in quanto la disuguaglianza è stretta). Se fosse stato invece I r { Q d ( Q, P r} ( P ) ) sarebbe incluso anche il bordo. 8

9 Teorema di Pitagora Quello che abbiamo appena visto si basa sulla distanza tra due punti nel piano, che a sua volta si basa sul teorema di Pitagora: "In un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa". Ma come si fa a dimostrare il teorema di Pitagora? 9

10 Quiz matematico Un isola è abitata da due tipi di abitanti: i sinceri (che dicono sempre la verità) e i mentitori (che dicono sempre il falso). un bivio incontro due persone, e con una sola domanda rivolta a uno dei due devo scoprire la direzione giusta per la città. ome faccio? 10