Alcune nozioni di base di Logica Matematica

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Alcune nozioni di base di Logica Matematica"

Transcript

1 Alcune nozioni di base di Logica Matematica Ad uso del corsi di Programmazione I e II Nicola Galesi Dipartimento di Informatica Sapienza Universitá Roma November 1, 2007 Questa é una breve raccolta di alcune nozioni preliminari, come proposizione, predicato, connettivo, tavole di verità ecc., necessarie alla comprensione di alcuni concetti e all utilizzo di alcuni strumenti esposti nel corso di Programmazione I. Per l approfondimento necessario dei concetti e delle nozioni qui esposte, gli studenti sono rimandati al corso di Logica Matematica. 1 Proposizioni e Predicati Una proposizione è una affermazione per la quale, definito un contesto, possiamo stabilire se sia vera o falsa. Ad esempio 2 é un numero pari è una proposizione vera, mentre gli asini volano é una proposizione falsa (almeno nel mondo reale). Un predicato su n variabili libere è una relazione tra le n variabili. Ad esempio x é un numero pari è un predicato su una sola variabile, x. Il dominio di una variabile è l insieme dei valori che tale variabile può assumere. Di un predicato non possiamo dire se sia vero o falso. Quando però tutte le variabili di un predicato vengono istanziate con un valore del loro dominio, allora il predicato diventa una proposizione ed ha senso dire se sia vera o falsa. Ad esempio per il predicato x è un numero pari non possiamo dire se sia vero o falso. Se il dominio di x è l insieme dei numeri naturali (interi maggiori o uguali di 0), ed istanziamo x con 4, il nostro prediato diventa la proposizione 4 è un numero pari che é vero. D altra parte se istanziamo x con 5 il predicato x è un numero pari diventa la proposizione 5 è un numero pari che invece è chiaramente falsa. Altri esempi di predicati sono: x y = z, un predicato sulle variabili x,y e z; 3 y = z, un predicato sulle variabili y e z. I valori di verità vero e falso, che normalmente si denotano con 1 e 0, sono detti anche valori booleani (da George Boole, un matematico vissuto alla fine dell 1800). Quando il dominio di una variabile sono i valori di verità, la variabile si dice booleana. È consuetudine, anche se non sempre rispettata, usare le lettere a, b, c,... per indicare variabili booleane, le lettere A, B, C... per denotare 1

2 proposizioni, ed invece usare le letere x, y, z,... per indicare variabili numeriche, cioé il cui dominio è un insieme di numeri (reali, naturali, interi, razionali, ecc.) 1.1 Connettivi Logici e Tavole di Verità Così come siamo abituati a definire operazioni tra numeri (pr esempio la somma o il prodotto), è possibile definire operazioni tra valori booleani. Gli operatori booleani sono detti connettivi logici e, visto che i valori di verià sono sono solo due, la loro definizione viene data in forma estensiva attraverso il formalismo delle tavole di verità. I connettivi logici sono: la congiunzione, indicata con il simobolo ; la disgiunzione, indicata con il simbolo ; la negazione, indicata con il simbolo. È possibile far vedere (nel corso di Logica) che questi tre connettivi sono sufficienti per poter definire qualunque altro operatore booleano. Formano cioé ciòo che viene chiamata una base completa. Comunque altri due operatori hanno un ruolo particolarmente importante e verranno quindi menzionati a parte: l implicazione, indicata dal segno ; l equivalenza indicata dal segno. A B A A B A B A B A B La congiunzione A B di due proposizioni A e B è vera solo quando entrambi A e B assumono valore vero, mentre è falsa in ogni altro caso. La disgiunzione A B di due proposizioni A e B invece è falsa solo quando entrambi A e B sono falsi, ed è vera in ogni altro caso. L implicazione A B di due proposizioni va intuita come segue: se è vera A allora deve necessariamente essere vera B. Per tanto, l unico caso in cui A B sarà falsa è quando A è vera e B è falsa (si noti infatti che se A è falsa l implicazione A B è sempre vera indipendentemente dal valore di B). Infine l equivalenza A B deve essere vera nel caso in A e B assumono gli stessi valori. Come detto prima ogni operatore può essere definito a partire dai soli, e. Mostriamo infatti che per esempio A B si può ottenere come A B. Per verificarlo usiamo le tavole di verità, mostrando come le colonne corrispondenti alle due proposizioni siano uguali. Ciò vuol dire che dato un valore per A ed uno per B, A B e A B hanno sempre lo stesso valore. Contemporanemente mostriamo che A B può scriversi come (A B) (B A). 2

3 A B A A B A B B A (A B) (B A) A B Una tautologia è una proposizione che risulta essere sempre vera indipentementemente dai valori che assumono le proposizioni che la compongono. La sua tavola di verità sar à quindi formata da una colonna di tutti 1. Diremo che due proposzioni A e B sono equivalenti (e scriveremo A B), se hanno la stessa tavola di verità o, in altre parole, se A B è una tautologia. Tre le equivalenza logiche più importanti vanno menzionate le seguenti proprietà: Equivalenze Logiche Commutatività del : (A B) (B A); Commutatività del : (A B) (B A); Associatività del : A (B C) (A B) C; Associatività del : A (B C) (A B) C; Idempotenza : (A A) A; Idempotenza : (A A) A; Elemento neutro : (A 1) A; Elemento neutro : (A 0) A; Elemento nullo : (A 0) 0; Elemento nullo : (A 1) 1; Distributività del rispetto al : A (B C) (A B) (A C); Distributività del rispetto al : A (B C) (A B) (A C); Assorbimento: A (B A) A; Assorbimento: A (B A) A; Leggi Negazione: 0 1; 1 0; Doppia negazione: ( A) A; Terzo Escluso: A A 1; Leggi di De Morgan: (A B) A B; Leggi di De Morgan: (A B) A B Definizione del : A B A B; 3

4 2 Predicati e Quantificatori Per costruire predicati si possono usare variabili numeriche x, y, z,..., operatori tra numeri e operatori relazionali. Gli operatori numerici sono: la somma +, il prodotto, la divisione /, la divisione intera div, il resto della divsione intera mod. Tra gli operatori relazionali useremo: <,, >,, =,. Si faccia attenzione al fatto che un espressione del tipo x + 7 non è un predicato. Se infatti sostituiamo x per esempio con 3, otteniamo che non è una proposizione in quanto non valutabile vera o falsa. Mentre l espressione x + 7 4, è invece un predicato. Infatti sostituendo x con 3 si ottiene che è un espresssione valutabile vera o falsa e quindi una proposizione. Immaginiamo di voler scrivere una predicato P rimo(n) che esprima che un n è un numero primo. Ricordiamo che un numero n è primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. La proprietà che x è divisibile per y si può esprimere con il predicato x mod y = 0. Visto che un numero non può essere divisibile per un numero più grande, allora perchè n sia primo deve essere che n mod 2 0, e che n mod 3 0 ecc. fino a n mod (n 1) 0, ovvero che (n mod 2 0) (n mod 3 0) (n mod (n 1) 0) Poiché n è una variabile libera, non possiamo sapere di quante congiunzioni deve essere formato il predicato P rimo(n). Per scrivere un predicato di questo tipo si userà un quantificatore universale. Usando questo quantificatore il predicato P rimo(n) può essere scritto come segue: i : 2 i n : n mod i 0 La sintassi usuale del quantificatore universale è la seguente: i : D(i) : P (i) La i viene detta variabile legata al quantificatore, mentre P (i) è un predicato che esprime quali valori la variabile i deve assumere, ovvero il dominio di i. Il predicato i : D(i) : P (i) sarà vero se per ogni valore di i che verifica P (i), si verifica D(i). Se invece di una congiunzione abbamo una disgiunzione di un numero indefinito di espressioni, allora useremo un quantificatore esistenziale, la cui sintassi è analoga a quella del. i : P (i) : D(i) Questa espressione è vera se per almeno un i che verifica P (i) si verifica D(i). Ad esempio un numero è composto se non è primo, ovvero se si verifica la seguente proprietà: i : 1 < i < n : n mod i = 0. Le leggi di De Morgan espresse prima per le proposizioni valgono anche per i quantificatori: i : P (i) : D(i) i : P (i) : D(i); i : P (i) : D(i) i : P (i) : D(i) 4

5 2.1 Altri quantificatori non booleani Esistono altri quanficatori non booleani che si usano per abbreviare espressioni aritmetiche. Se E(i) è un espressione aritmetica con variabile libera i, allora l espressione n i=1 E(i) abbrieva la somma E(1) + E(2) E(n). è detto simbolo di sommatoria. A modo di esempio si consideri la somma dei quadrati dei primi n numeri: n 2. Questa può essere espressa come n i=1 Analogamente l espressione n i=1 E(i), abbrevia l espressione E(1) E(2)... E(n) e è detto simbolo di produttoria. A modo di esempio si consideri il prodotto dei primi n numeri, n 1 Usando il simbolo di produttoria questo prodotto può essere scritto come 3 Esercizi i 2 n i i=1 Problema1. Usando le tavole di verità mostrare che le equivalenza logiche su definite sono vere. Problema 2 Usando una catena di equivalenze logiche mostrare le seguenti due equivalenze: 1. A A 0; 2. A B B A. Problema 3 Siano 0,0 e 1 rispettivamente i valori dati alle variabili a b e c. Valutare le seguenti espressioni booleane: 1. c a b; 2. a b c; 3. (a b) c; Problema 4 Semplificare le seguenti proposizioni: 1. P (Q P ); 2. (P Q) Q; 3. (P Q) ((P R) (P Q)); 1 Anche noto come il fattoriale di n, n!. 5

6 4. (((P Q) R) P ). Problema 5 Semplificare i seguenti predicati: 1. (x è pari (x > 0)) (x è dispari (x > 0)) x 0; 2. ( fine (x = 0)) (x = 2) (x = 0) (x = 2); Problema 6 Siano Q(x) e R(x) due predicati che esprimono rispettivamente le seguenti proprietà: x è un numero razionale e x è un numero reale. Scrivere i predicati che esprimono le seguenti proprietà: 1. Ogni numero razionale è un numero reale; 2. Alcuni reali sono razionali; 3. Ci sono dei reali che non sono razionali Problema 7 Formalizzare come predicati le seguenti proprietà: 1. Esiste un intero pari che è multiplo di 13; 2. Tra due reali ne esiste sempre un terzo compreso tra i due; 3. L ultima cifra di un intero pari è pari; 4. Per ogni intero positivo esiste la sua radice quadrata. 6

Algebra booleana. Si dice enunciato una proposizione che può essere soltanto vera o falsa.

Algebra booleana. Si dice enunciato una proposizione che può essere soltanto vera o falsa. Algebra booleana Nel lavoro di programmazione capita spesso di dover ricorrere ai principi della logica degli enunciati e occorre conoscere i concetti di base dell algebra delle proposizioni. L algebra

Dettagli

Algebra di Boole ed Elementi di Logica

Algebra di Boole ed Elementi di Logica Algebra di Boole ed Elementi di Logica 53 Cenni all algebra di Boole L algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà 8), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni

Dettagli

Calcolatori: Algebra Booleana e Reti Logiche

Calcolatori: Algebra Booleana e Reti Logiche Calcolatori: Algebra Booleana e Reti Logiche 1 Algebra Booleana e Variabili Logiche I fondamenti dell Algebra Booleana (o Algebra di Boole) furono delineati dal matematico George Boole, in un lavoro pubblicato

Dettagli

Predicati e Quantificatori

Predicati e Quantificatori Predicati e Quantificatori Limitazioni della logica proposizionale! Logica proposizionale: il mondo è descritto attraverso proposizioni elementari e loro combinazioni logiche! I singoli oggetti cui si

Dettagli

Appunti di informatica. Lezione 2 anno accademico 2015-2016 Mario Verdicchio

Appunti di informatica. Lezione 2 anno accademico 2015-2016 Mario Verdicchio Appunti di informatica Lezione 2 anno accademico 2015-2016 Mario Verdicchio Sistema binario e logica C è un legame tra i numeri binari (0,1) e la logica, ossia la disciplina che si occupa del ragionamento

Dettagli

Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE

Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE Andrea Bobbio Anno Accademico 2000-2001 Algebra Booleana 2 Calcolatore come rete logica Il calcolatore può essere visto come una rete logica

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

Anno 1. Definizione di Logica e operazioni logiche

Anno 1. Definizione di Logica e operazioni logiche Anno 1 Definizione di Logica e operazioni logiche 1 Introduzione In questa lezione ci occuperemo di descrivere la definizione di logica matematica e di operazioni logiche. Che cos è la logica matematica?

Dettagli

(anno accademico 2008-09)

(anno accademico 2008-09) Calcolo relazionale Prof Alberto Belussi Prof. Alberto Belussi (anno accademico 2008-09) Calcolo relazionale E un linguaggio di interrogazione o e dichiarativo: at specifica le proprietà del risultato

Dettagli

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

Dettagli

LOGICA PER LA PROGRAMMAZIONE. Franco Turini turini@di.unipi.it

LOGICA PER LA PROGRAMMAZIONE. Franco Turini turini@di.unipi.it LOGICA PER LA PROGRAMMAZIONE Franco Turini turini@di.unipi.it IPSE DIXIT Si consideri la frase: in un dato campione di pazienti, chi ha fatto uso di droghe pesanti ha utilizzato anche droghe leggere. Quali

Dettagli

Algebra di Boole. Le operazioni, nell algebra booleana sono basate su questi tre operatori: AND ( ), OR ( + ),NOT ( )

Algebra di Boole. Le operazioni, nell algebra booleana sono basate su questi tre operatori: AND ( ), OR ( + ),NOT ( ) Algebra di Boole L algebra di Boole prende il nome da George Boole, matematico inglese (1815-1864), che pubblicò un libro nel 1854, nel quale vennero formulati i principi dell'algebra oggi conosciuta sotto

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI

ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI Università di Salerno Fondamenti di Informatica Corso di Laurea Ingegneria Corso B Docente: Ing. Giovanni Secondulfo Anno Accademico 2010-2011 ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI Fondamenti di Informatica Algebra

Dettagli

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

Dettagli

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti

Dettagli

Esercitazione. Proposizioni. April 16, 2015. Esercizi presi dal libro di Rosen (useremo 0 per False e 1 per True). Problema 15, sezione 1.1.

Esercitazione. Proposizioni. April 16, 2015. Esercizi presi dal libro di Rosen (useremo 0 per False e 1 per True). Problema 15, sezione 1.1. Esercitazione Proposizioni April 16, 2015 Esercizi presi dal libro di Rosen (useremo 0 per False e 1 per True). Problema 15, sezione 1.1. 1. Consideriamo le proposizioni: - p : Gli orsi grizzly sono stati

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

Algebra Booleana ed Espressioni Booleane

Algebra Booleana ed Espressioni Booleane Algebra Booleana ed Espressioni Booleane Che cosa è un Algebra? Dato un insieme E di elementi (qualsiasi, non necessariamente numerico) ed una o più operazioni definite sugli elementi appartenenti a tale

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole

G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE 1. Algebre di Boole Nel file precedente abbiamo incontrato la definizione di algebra di Boole come reticolo: un algebra di Boole e un reticolo limitato, complementato e distributivo.

Dettagli

Codifica binaria e algebra di Boole

Codifica binaria e algebra di Boole Codifica binaria e algebra di Boole Corso di Programmazione A.A. 2008/09 G. Cibinetto Contenuti della lezione Codifica binaria dell informazione Numeri naturali, interi, frazionari, in virgola mobile Base

Dettagli

La Logica Proposizionale. (Algebra di Boole)

La Logica Proposizionale. (Algebra di Boole) 1 ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE ANGIOY La Logica Proposizionale (Algebra di Boole) Prof. G. Ciaschetti 1. Cenni storici Sin dagli antichi greci, la logica è intesa come lo studio del logos, che in greco

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

Linguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 11/04/2011. 18: Semantica della logica del prim ordine. <sacerdot@cs.unibo.it> Universitá di Bologna

Linguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 11/04/2011. 18: Semantica della logica del prim ordine. <sacerdot@cs.unibo.it> Universitá di Bologna Linguaggi 18: Semantica della logica del prim ordine Universitá di Bologna 11/04/2011 Outline Semantica della logica del prim ordine 1 Semantica della logica del prim ordine Semantica

Dettagli

Errori più comuni. nelle prove scritte

Errori più comuni. nelle prove scritte Errori più comuni nelle prove scritte Gli errori più frequenti, e reiterati da chi sostiene diverse prove, sono innanzi tutto meta-errori, cioè errori che non riguardano tanto l applicazione delle tecniche,

Dettagli

Parte 1. Vettori di bit - AA. 2012/13 1.1

Parte 1. Vettori di bit - AA. 2012/13 1.1 1.1 Parte 1 Vettori di bit 1.2 Notazione posizionale Ogni cifra assume un significato diverso a seconda della posizione in cui si trova Rappresentazione di un numero su n cifre in base b: Posizioni a n

Dettagli

Sommario. Teoremi Maxterm Forme Canoniche Mappe di Karnaugh Fine lezione

Sommario. Teoremi Maxterm Forme Canoniche Mappe di Karnaugh Fine lezione Algebra di Boole e Funzioni Binarie Lezione Prima Sommario Variabili Binarie Negazione Somma Logica Prodotto Logico Relazioni- proprietà Funzioni Minterm Teoremi Maxterm Forme Canoniche Mappe di Karnaugh

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione

Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Oggetti sintattici e oggetti semantici Rosario Culmone, Luca Tesei Lucidi tratti dalla dispensa Elementi di Semantica Operazionale R. Barbuti, P.

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Fondamenti di calcolo booleano

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Fondamenti di calcolo booleano Breve introduzione storica Nel 1854, il prof. Boole pubblica un trattato ormai famosissimo: Le leggi del pensiero. Obiettivo finale del trattato è di far nascere la matematica dell intelletto umano, un

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Calcolo Relazionale Basi di dati e sistemi informativi 1. Calcolo Relazionale. Angelo Montanari

Calcolo Relazionale Basi di dati e sistemi informativi 1. Calcolo Relazionale. Angelo Montanari Calcolo Relazionale Basi di dati e sistemi informativi 1 Calcolo Relazionale Angelo Montanari Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine Calcolo Relazionale Basi di dati e sistemi informativi

Dettagli

Appunti di Logica Matematica

Appunti di Logica Matematica Appunti di Logica Matematica Francesco Bottacin 1 Logica Proposizionale Una proposizione è un affermazione che esprime un valore di verità, cioè una affermazione che è VERA oppure FALSA. Ad esempio: 5

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,

Dettagli

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado

Dettagli

Derivate Limiti e funzioni continue

Derivate Limiti e funzioni continue Derivate Limiti e funzioni continue Se il valore di una funzione f() si avvicina al valore l quando si avvicina ad 0 diciamo che f() ha come ite l per tendente ad 0. Noi per rappresentare questo fatto

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Una proposizione è una affermazione di cui si possa stabilire con certezza il valore di verità

Una proposizione è una affermazione di cui si possa stabilire con certezza il valore di verità Logica 1. Le roosizioni 1.1 Cosa studia la logica? La logica studia le forme del ragionamento. Si occua cioè di stabilire delle regole che ermettano di assare da un'affermazione vera ad un'altra affermazione

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI Prima di riuscire a scrivere un programma, abbiamo bisogno di conoscere un metodo risolutivo, cioè un metodo che a partire dai dati di ingresso fornisce i risultati attesi.

Dettagli

2. Semantica proposizionale classica

2. Semantica proposizionale classica 20 1. LINGUAGGIO E SEMANTICA 2. Semantica proposizionale classica Ritorniamo un passo indietro all insieme dei connettivi proposizionali che abbiamo utilizzato nella definizione degli enunciati di L. L

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

Lezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme:

Lezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: Lezione 1 Gli Insiemi La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: degli iscritti ad un corso di laurea delle stelle in cielo dei punti di un piano

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av

Dettagli

RETI E SOTTORETI. Copyright 2010 Marco Salatin Pagina 1

RETI E SOTTORETI. Copyright 2010 Marco Salatin Pagina 1 RETI E SOTTORETI Copyright 2010 Marco Salatin Pagina 1 COME CREARE UNA RETE DI COMPUTER Le maschere di rete Una maschera è uno schema usato per filtrare precisi caratteri o numeri da stringhe di caratteri

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

Funzioni funzione dominio codominio legge argomento variabile indipendente variabile dipendente

Funzioni funzione dominio codominio legge argomento variabile indipendente variabile dipendente Funzioni In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: 1. un insieme X detto dominio di f 2. un insieme Y detto codominio di f 3. una legge che ad ogni elemento x in X associa uno ed un solo elemento

Dettagli

Algebra Di Boole. Definiamo ora che esiste un segnale avente valore opposto di quello assunto dalla variabile X.

Algebra Di Boole. Definiamo ora che esiste un segnale avente valore opposto di quello assunto dalla variabile X. Algebra Di Boole L algebra di Boole è un ramo della matematica basato sul calcolo logico a due valori di verità (vero, falso). Con alcune leggi particolari consente di operare su proposizioni allo stesso

Dettagli

Utilizzo I mintermini si usano quando si considererà la funzione di uscita Q come Somma di Prodotti (S. P.) ossia OR di AND.

Utilizzo I mintermini si usano quando si considererà la funzione di uscita Q come Somma di Prodotti (S. P.) ossia OR di AND. IPSI G. Plana Via Parenzo 46, Torino efinizione di Mintermine onsiderata una qualunque riga della tabella di verità in cui la funzione booleana di uscita Q vale, si definisce mintermine il prodotto logico

Dettagli

Transitori del primo ordine

Transitori del primo ordine Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli

Dettagli

I.I.S. Primo Levi Badia Polesine A.S. 2012-2013

I.I.S. Primo Levi Badia Polesine A.S. 2012-2013 LGEBR DI BOOLE I.I.S. Primo Levi Badia Polesine.S. 2012-2013 Nel secolo scorso il matematico e filosofo irlandese Gorge Boole (1815-1864), allo scopo di procurarsi un simbolismo che gli consentisse di

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,

Dettagli

Esempi ed esercizi Aritmetica degli elaboratori e algebra di commutazione

Esempi ed esercizi Aritmetica degli elaboratori e algebra di commutazione Esempi ed esercizi Aritmetica degli elaboratori e algebra di commutazione Fondamenti di Informatica Michele Ceccarelli Università del Sannio ceccarelli@unisannio.it Angelo Ciaramella DMI-Università degli

Dettagli

Lezione 8. La macchina universale

Lezione 8. La macchina universale Lezione 8 Algoritmi La macchina universale Un elaboratore o computer è una macchina digitale, elettronica, automatica capace di effettuare trasformazioni o elaborazioni su i dati digitale= l informazione

Dettagli

BIT? Cosa c è dietro a questo nome? Che cos è il bit? Perché si usa? Come si converte un numero binario?

BIT? Cosa c è dietro a questo nome? Che cos è il bit? Perché si usa? Come si converte un numero binario? BIT? Cosa c è dietro a questo nome? Che cos è il bit? Perché si usa? Come si converte un numero binario? Cosa c è dietro a questo nome? BIT è un acronimo e deriva da BInary digit, cioè cifra binaria Che

Dettagli

Linguaggio del calcolatore. Algebra di Boole AND, OR, NOT. Notazione. And e or. Circuiti e reti combinatorie. Appendice A + dispense

Linguaggio del calcolatore. Algebra di Boole AND, OR, NOT. Notazione. And e or. Circuiti e reti combinatorie. Appendice A + dispense Linguaggio del calcolatore Circuiti e reti combinatorie ppendice + dispense Solo assenza o presenza di tensione: o Tante componenti interconnesse che si basano su e nche per esprimere concetti complessi

Dettagli

Informatica. Rappresentazione dei numeri Numerazione binaria

Informatica. Rappresentazione dei numeri Numerazione binaria Informatica Rappresentazione dei numeri Numerazione binaria Sistemi di numerazione Non posizionali: numerazione romana Posizionali: viene associato un peso a ciascuna posizione all interno della rappresentazione

Dettagli

Comparatori. Comparatori di uguaglianza

Comparatori. Comparatori di uguaglianza Comparatori Scopo di un circuito comparatore é il confronto tra due codifiche binarie. Il confronto può essere effettuato per verificare l'uguaglianza oppure una relazione d'ordine del tipo "maggiore",

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

L anello dei polinomi

L anello dei polinomi L anello dei polinomi Sia R un anello commutativo con identità. È possibile costruire un anello commutativo unitario, che si denota con R[x], che contiene R (come sottoanello) e un elemento x non appartenente

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Variabili e tipi di dato

Variabili e tipi di dato Variabili e tipi di dato Tutte le variabili devono essere dichiarate, specificandone il tipo La dichiarazione deve precedere l uso Il tipo è un concetto astratto che esprime: L allocazione di spazio per

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

Ancora sugli insiemi. Simbologia

Ancora sugli insiemi. Simbologia ncora sugli insiemi Un insieme può essere specificato in vari modi; il più semplice è fare un elenco dei suoi elementi. d esempio l insieme delle nostre lauree triennali è { EOOM, EON, EOMM, EOMK EOTU}

Dettagli

Aritmetica: operazioni ed espressioni

Aritmetica: operazioni ed espressioni / A SCUOLA DI MATEMATICA Lezioni di matematica a cura di Eugenio Amitrano Argomento n. : operazioni ed espressioni Ricostruzione di un abaco dell epoca romana - Museo RGZ di Magonza (Germania) Libero da

Dettagli

II.f. Altre attività sull euro

II.f. Altre attività sull euro Altre attività sull euro II.f È consigliabile costruire modelli in carta o cartoncino di monete e banconote, e farli usare ai bambini in varie attività di classe fin dal primo o al più dal secondo anno.

Dettagli

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Lezione 2 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Rappresentazione dei numeri

Dettagli

Lezione 9: Cambio di base

Lezione 9: Cambio di base Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire

Dettagli

Funzioni. Funzioni /2

Funzioni. Funzioni /2 Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Serie numeriche

Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 25 1 Definizione e primi esempi 2 Serie a

Dettagli

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

x u v(p(x, fx) q(u, v)), e poi

x u v(p(x, fx) q(u, v)), e poi 0.1. Skolemizzazione. Ogni enunciato F (o insieme di enunciati Γ) è equisoddisfacibile ad un enunciato universale (o insieme di enunciati universali) in un linguaggio estensione del linguaggio di F (di

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

5A un multiplo di 3 5B una potenza di 5 5C divisibile per 7 e per 11 5D. D. 6 Le soluzioni dell equazione 1 + 3x 2x 2 = 0 sono 3 ± 17 6D 3 ± 17

5A un multiplo di 3 5B una potenza di 5 5C divisibile per 7 e per 11 5D. D. 6 Le soluzioni dell equazione 1 + 3x 2x 2 = 0 sono 3 ± 17 6D 3 ± 17 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA 0 Settembre 008 Spnz0000 Ingegneria - Scienze Matematiche Fisiche Naturali - Scienze Statistiche Test di Matematica D. Il numero è uguale a A 5 B 5 C D 0 0 D.

Dettagli

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva

Dettagli

Variabili logiche e circuiti combinatori

Variabili logiche e circuiti combinatori Variabili logiche e circuiti combinatori Si definisce variabile logica binaria una variabile che può assumere solo due valori a cui si fa corrispondere, convenzionalmente, lo stato logico 0 e lo stato

Dettagli

Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica

Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica Liceo Scientifico Statale P. Paleocapa, Rovigo XX Settimana della Cultura Scientifica e Tecnologica 19 marzo 2010 Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica Prof.

Dettagli

Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche

Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 17 index

Dettagli

ESERCIZI DI PREPARAZIONE E

ESERCIZI DI PREPARAZIONE E ESERCIZI DI PREPARAZIONE E CONSOLIDAMENTO PER I FUTURI STUDENTI DEL PRIMO LEVI si campa anche senza sapere che cos è un equazione, senza sapere suonare uno strumento musicale, senza conoscere il nome del

Dettagli

Complemento al corso di Fondamenti di Informatica I corsi di laurea in ingegneria, settore dell informazione Università la Sapienza Consorzio Nettuno

Complemento al corso di Fondamenti di Informatica I corsi di laurea in ingegneria, settore dell informazione Università la Sapienza Consorzio Nettuno Rappresentazione di numeri Complemento al corso di Fondamenti di Informatica I corsi di laurea in ingegneria, settore dell informazione Università la Sapienza Consorzio Nettuno Un numero e un entità teorica,

Dettagli

Le variabili. Olga Scotti

Le variabili. Olga Scotti Le variabili Olga Scotti Cos è una variabile Le variabili, in un linguaggio di programmazione, sono dei contenitori. Possono essere riempiti con un valore che poi può essere riletto oppure sostituito.

Dettagli

Processo di risoluzione di un problema ingegneristico. Processo di risoluzione di un problema ingegneristico

Processo di risoluzione di un problema ingegneristico. Processo di risoluzione di un problema ingegneristico Processo di risoluzione di un problema ingegneristico 1. Capire l essenza del problema. 2. Raccogliere le informazioni disponibili. Alcune potrebbero essere disponibili in un secondo momento. 3. Determinare

Dettagli

1 Insiemi e terminologia

1 Insiemi e terminologia 1 Insiemi e terminologia Assumeremo come intuitiva la nozione di insieme e ne utilizzeremo il linguaggio come strumento per studiare collezioni di oggetti. Gli Insiemi sono generalmente indicati con le

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Sistemi di Numerazione Sistema decimale La

Dettagli