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1 Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione 1. Un numero intero a (diverso da 0, ±1) è detto primo se ogni volta che divide un prodotto di due numeri divide almeno uno dei due numeri. In formule: t, s a t s a t a s Definizione 2. Un numero intero a (diverso da 0, ±1) è detto irriducibile se gli unici fattori di a sono ±1 e ±a. È stato anche dimostrato che: Teorema 1. a Z è primo se e solo se è irriducibile. Esercizio 2. Dimostrare che dati a, b, c Z se a divide b c e G.C.D.(a, b) = 1 allora a divide c. Per ipotesi a divide b c, quindi esiste k Z tale che: a k = b c. Inoltre sappiamo che il massimo comun divisore tra a e c è 1, perciò, usando Bezout, abbiamo che esistono due interi x e y tali che: a x + b y = 1 Moltiplicando entrambi i membri per c si ottiene: a x c + }{{} b c y = c cioè a (x c + k y) = c } {{ } a k Z Ovvero a divide c come volevamo dimostrare. Il risultato appena mostrato è fondamentale per discutere in maniera completa la risoluzione delle equazioni diofantee, ovvero delle equazioni: a x + b y = c con a, b, c Z e nelle incognite intere x, y. Sappiamo infatti come verificare se l equazione è risolvibile oppure no (il criterio necessario e sufficiente è che G.C.D.(a, b) divida c) e in caso affermativo come trovare una soluzione particolare. Ma come trovare tutte le soluzioni di una diofantea risolubile? Consideriamo l equazione diofantea: a x + b y = c

2 E indichiamo con A l insieme delle soluzioni di questa equazione (eventualmente A può anche essere vuoto se la diofantea non è risolubile). Consideriamo l equazione omogenea associata: a x + b y = 0 E indichiamo con A 0 l insieme delle soluzioni dell omogenea associata. Consideriamo il caso che la diofantea sia risolubile (cioè A non vuoto), abbiamo il seguente risultato: Teorema 2. Se ( x, ỹ) A (cioè sono una soluzione particolare dell equazione diofantea. Allora: A = {(x, y) x = x + x 0 y = ỹ + y 0 con (x 0, y 0 ) A 0 } Cioè tutte le soluzioni della diofantea sono ottenute aggiungendo ad una soluzione particolare tutte le soluzioni dell omogenea associata. Dim. Chiamiamo B l insieme {(x, y) x = x + x 0 y = ỹ + y 0 con (x 0, y 0 ) A 0 } e mostriamo che A = B. Consideriamo (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) in A (cioè soluzioni della diofantea: a x + b y = c Allora la loro differenza (x 1 x 2, y 1 y 2 ) è tale che: a (x 1 x 2 ) + b (y 1 y 2 ) = a x 1 + b y } {{ } 1 (a x 2 + b y 2 ) = 0 } {{ } =c =c Abbiamo quindi dimostrato che A B. Ora mostriamo il viceversa: prendiamo un elemento di B e facciamo vedere che appartiene ad A. Ovvero prendiamo un elemento ( x, ỹ) di A, un elemento (x 0, y 0 ) di A 0 e dimostriamo che: ( x, ỹ) + (x 0, t 0 ) = ( x + x 0, ỹ + y 0 ) appartiene ad A: a ( x + x 0 ) + b (ỹ + y 0 ) = a x + b ỹ + a x } {{ } 0 + b y 0 = c } {{ } =c =0 A questo punto per poter risolvere completamente le equazioni diofantee ci rimane da risolvere le equazioni omogenee. Consideriamo dunque una generica diofantea omogenea: a x + b y = 0 Osserviamo che è sicuramente risolubile perchè qualsiasi sia il massimo comun divisore tra a e b sicuramente divide 0 (o più banalmente perché la

3 coppia (0, 0) è soluzione). Indichiamo con d il massimo comun divisore tra a e b, si ha dunque che: r, t Z a = d r b = d t Allora l equazione diofantea associata possiamo riscriverla: Semplificando per d otteniamo: d r x = d t y r x = t y Quindi r divide t y (perché r per un intero è uguale a t y), inoltre r è primo con t (perché ottenuti da a e b dividendo per il massimo comun divisore) dunque r divide y cioè: y = r k al variare di r in Z Sostituendo nella equazione si ottiene: E semplificando: r x = t r k x = t k Le soluzioni dell omogenea sono dunque infinite e sono date dalle coppie ( t k, r k) al variare di k in Z (dove r e t sono ottenuti rispettivamente dalla divisione di a e b per d). 1. Trovare tutte le soluzioni in Z dell equazione diofantea omo- Esempio genea: 57x + 190y = 0 Il massimo comun divisore tra 57 e 190 è 19 (per trovarlo si può applicare l algoritmo di Euclide). Dividiamo quindi per 19 entrambi i membri dell equazione e otteniamo l equazione equivalente: 3x + 10y = 0 Le soluzioni di questa equazione sono, per quanto detto sopra, le coppie: ( 10k, 3k) al variare di k in Z Una riprova del fatto che queste siano tutte soluzioni (ma non del fatto che siano TUTTE le soluzioni che segue solo dalla dimostrazione precedente) si ottiene sostituendo al posto della x e della y rispettivamente 10k e 3k: 3 ( 10k) + 10 (3k) = 30k + 30k = 0

4 Esercizio 3. Stabilire se la seguente equazione diofantea è risolubile e in caso affermativo trovarne tutte le soluzioni intere: 300x + 84y = 36 Innanzitutto calcoliamo il massimo comun divisore tra 300 e 84 per stabilire se divide 36 e quindi se l equazione è risolubile oppure no. Applichiamo l algoritmo di Euclide: 300 = = = = Dunque G.C.D.(300, 84) = 12 che divide 36. L equazione che dobbiamo risolvere è equivalente a quella che otteniamo dividendo entrambi i membri per il G.C.D.: 25x + 7y = 3 A questo punto dividiamo la risoluzione vera e propria in due parti: 1. Ricerca di una soluzione particolare di 25x + 7y = 3. Applicando Euclide a 25 e 7 si ha: 25 = = = = Dai passaggi dell algoritmo di Euclide abbiamo che: 1 = = = Risaliamo quindi l algoritmo di Euclide per trovare la soluzione particolare: 1 = 4 (7 4) = = = 2 (25 7 3) 7 = Riassumendo abbiamo dunque: 1 = Moltiplicando entrambi i membri per 3 otteniamo: = 3 E dunque una soluzione particolare è data dalla coppia (6, 14). 2. Determinazione di tutte le soluzioni della omogenea associata: 25x + 7y = 0

5 Ovvero: 25x = 7y, dunque 1 25 divide 7y e 25 è coprimo con 7 (ovvero hanno come massimo comun divisore 1), perciò 25 divide y. Cioè esiste t Z tale che y = 25t. Sostituendo in 25x = 7y si ottiene 25x = 7 25t e dividendo per 25 entrambi i membri: x = 7t. Dunque le soluzioni della omogenea sono date dalle coppie: ( 7t, 25t) al variare di t in Z. Esercizio 4. Calcolare: (1377) in Z 11 Ricordiamo che in Z 11 il prodotto tra due elementi [a] 11 e [b] 11 è, per definizione, [a b] 11. Perciò anche [a 3 ] 11 = [a a a] 11 = [a] 11 [a] 11 [a] 11 = [a] 3 11 Per fare questo conto conviene innanzitutto scegliere i rappresentanti più comodi dei vari elementi di Z 11 coinvolti in questo calcolo: sappiamo che [a] 11 = [b] 11 se a e b hanno lo stesso resto nella divisione per 11, perciò vediamo che resto hanno nella divisione per 11 i numeri grandi coinvolti in questo calcolo = = Da questo conto abbiamo che: Si ha dunque che: [ (1377) [1377] 11 = [2] 11 [3413] 11 = [3] 11 ] 11 = [ 23 3 ] 11 = [ ] 11 A questo punto per completare l esercizio bisogna trovare l inverso di 6 in Z 11 (che esiste in quanto 6 è primo con 11 e quindi invertibile in Z 11 ), infatti calcolare: [ 5 6 ] 11 significa moltiplicare 5 per l inverso di 6 in Z 11. Come si fa a trovare l inverso di 6 in Z 11? Bisogna trovare quel numero intero a tale che: [a] 11 [6] 11 = [1] 11 Ovvero trovare quell intero a tale che 6 a ha resto 1 nella divisione per 11. Ora, possiamo accorgersi che per a = 2 si ha 6 2 = 12 che appunto ha resto 1 Ripetiamo il ragionamento fatto in generale solo per ripassarlo, ovviamente non importerebbe si potrebbe applicare immediatamente il risultato ottenuto precedentemente.

6 1 nella divisione per 11, ma se non ce ne accorgiamo esiste un algoritmo per calcolare l inverso? La risposta è sì infatti cercare a in Z tale che: [a] 11 [6] 11 = [1] 11 significa cercare la soluzioni di 6 a = k, ovvero trovare una soluzione della diofantea 6 a 11 k = 1 e poi prendere il valore di a. Cerchiamo una di queste soluzioni attraverso l algoritmo di Euclide: Da questo si ha: 11 = = = = 6 5 = 6 (11 6) = E quindi una soluzione della diofantea è (2, 1) e la a (inverso di 6 che cercavamo) è 2. Abbiamo dunque che 6 1 (l inverso di 6) in Z 11 è 2 e perciò: [ (1377) ] 11 = [5] 11 [2] 11 = [10] 11 6 Osserviamo che lo stesso calcolo per esempio in Z 12 non sarebbe stato possibile, in quanto 6 non è invertibile in Z 12 (non è coprimo con 12). Esercizio 5. Risolvere in Z 14 le seguenti congruenze: 1. 21x x x 49 (14) vuol dire che cerchiamo valori interi di x per cui esiste un k intero con 21x = k, ovvero: 21x 14k = 49 Senza applicare Euclide è abbastanza immediato osservare che 7 è il massimo comun divisore tra 21 e divide 49 e quindi la diofantea 21x 14k = 49 (e di conseguenza la congruenza 21x 49 (14)) ha soluzione: determiniamole tutte. Dividiamo per 7 entrambi i membri della diofantea, si ottiene: È facile osservare che: Perciò: 3x 2k = = = 1 7

7 Da cui una soluzione particolare della diofantea è data dalla coppia (7, 7). Ora cerchiamo le soluzioni dell omogenea associata 3x = 2k, in realtà per risolvere la congruenza, ci interessa solo la x e quindi determiniamo direttamente quella osservando che 2 divide 3x ma è primo con 3 e quindi divide 2, perciò x = 2 t al variare di t in Z (se avessimo dovuto risolvere la diofantea avremmo trovato che k deve essere 3t). A questo punto gli interi che risolvono la congruenza sono gli x del tipo: x = 7 }{{} soluzione particolare + 2t }{{} soluzioni omogenea t Z Facendo variare t in Z in modo che il valore di x sia compreso tra 0 e 13 otteniamo le 7 soluzioni della congruenza Z 14 : [7] 14, [9] 14, [11] 14, [13] 14, [5] 14, [3] 14, [1] Nel caso della seconda congruenza basta notare che il massimo comun divisore 7 non divide 50 e perciò non esistono soluzioni. Esercizio 6. Calcolare al variare di n Z il massimo comun divisore tra: 1. 4n + 3 e 8n n + 2 e 8n 16. Abbiamo dimostrato che G.C.D.(a, b) = G.C.D.(a, b k a) con k intero. Usiamo questa proprietà per risolvere questo esercizio. 1. Si tratta di cercare di ridurre uno delle due quantità ad un numero non dipendente da n e quindi che sappiamo fattorizzare: G.C.D.(4n+3, 8n 5) = G.C.D.(4n+3, 8n 5 2 (4n+3)) = G.C.D.(4n+3, 11) Ora i divisori positivi di 11 sono 1 e 11 perciò abbiamo due casi possibili: { 4n + 3 = 11 k G.C.D.(4n + 3, 8n 5) = 11 altrimenti G.C.D.(4n + 3, 8n 5) = 1 Possiamo riassumere meglio usando le congruenze quanto detto sopra (che in poche parole significa: se 4n + 3 è un multiplo di 11 allora il massimo comun divisore è 11, altrimenti è 1). Ci chiediamo per quali n Z si ha che 4n + 3 = 11k, ovvero per quali n Z: 4n (11) 4n 3(11) Ora possiamo osservare che 3 è l inverso di 4 in Z 11 e moltiplicando da entrambe le parti per 3 otteniamo: n 9 (11) Ovvero n 2 (11). Questo significa che il massimo comun divisore è 11 quando il resto della divisione di n per 11 è 2.

8 2. G.C.D.(4n+2, 8n 16) = G.C.D.(4n+2, 8n 16 2 (4n+2)) = G.C.D.(4n+2, 20) I divisori positivi di 20 sono 1, 2, 4, 5, 10 e 20 quindi la discussione è un po più difficoltosa in questo caso: 4n + 2 = 20 k G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 20 4n + 2 = 10 k e G.C.D.(2, k) = 1 G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 10 4n + 2 = 5 k e G.C.D.(4, k) = 1 G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 5 4n + 2 = 4 k e G.C.D.(5, k) = 1 G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 4 4n + 2 = 2 k e G.C.D.(10, k) = 1 G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 2 altrimenti G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 1 Abbiamo avuto un caso in cui G.C.D.(4, k) = 1, osserviamo che questo implica G.C.D.(2, k) = 1 e in generale si ha che: Esercizio 7. G.C.D.(a t, k) = 1 G.C.D.(a, k) = 1 Esercizio 8. Scriviamo x y per indicare che l intero x divide l intero y. Si determini quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false nel dominio degli interi. 1. x y x y. 2. x y x y. 3. x y x y. 4. x y x y. 5. x y (x y y x). 6. x y (x y y x). 7. x y (x y y x). 1. La proposizione significa esiste x che divide qualsiasi y dobbiamo giudicarne la validità nel dominio degli interi. Questa proposizione è vera tra gli interi perchè un tale x esiste ed è 1. Infatti ogni intero y si può scrivere 1 y. 2. Per ogni x esiste un y suo multiplo. Anche questa proposizione è vera negli interi. Infatti qualsiasi sia l intero x riusciamo a trovare un elemento che è suo multiplo, per esempio y = 3x. (In generale un y della forma kx con k intero.) 3. Ogni x divide ogni y. Questa proposizione è falsa nel dominio degli interi, se x 1 e x 1 esiste sicuramente un y che non è diviso da x. (Per esempio 1 stesso.) 4. Esistono due elementi x, y tali che x divide y. Questa proposizione è vera, basta considerare per esempio x = 1 e y qualsiasi. OSSERVAZIONE: Anche per questa proposizione che sembra banalmente vera, è importante considerare il dominio di definizione. Consideriamo per esempio il dominio D = {3, 5, 28}, la proposizione è falsa in questo dominio!)

9 5. Per ogni coppia x, y se x divide y allora y divide x. Questa proposizione è falsa e l esempio che possiamo prendere è quello che abbiamo fatto per il punto precedente, con y 1 e y 1, infatti se x = 1 e y è diverso da 1, 1, allora x divide y, ma non è vero il viceversa. 6. Esistono due elementi x, y tali che x divide y e y divide x. Questa proposizione è vera, basta considerare x = y, infatti in questo caso è evidente che x divide y e che y divide x. 7. Per ogni x esiste un y che è diviso da x e divide x. Anche questa proposizione è vera perchè basta, sfruttando quanto detto al punto precedente, considerare y = x.

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