Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:"

Transcript

1 Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione 1. Un numero intero a (diverso da 0, ±1) è detto primo se ogni volta che divide un prodotto di due numeri divide almeno uno dei due numeri. In formule: t, s a t s a t a s Definizione 2. Un numero intero a (diverso da 0, ±1) è detto irriducibile se gli unici fattori di a sono ±1 e ±a. È stato anche dimostrato che: Teorema 1. a Z è primo se e solo se è irriducibile. Esercizio 2. Dimostrare che dati a, b, c Z se a divide b c e G.C.D.(a, b) = 1 allora a divide c. Per ipotesi a divide b c, quindi esiste k Z tale che: a k = b c. Inoltre sappiamo che il massimo comun divisore tra a e c è 1, perciò, usando Bezout, abbiamo che esistono due interi x e y tali che: a x + b y = 1 Moltiplicando entrambi i membri per c si ottiene: a x c + }{{} b c y = c cioè a (x c + k y) = c } {{ } a k Z Ovvero a divide c come volevamo dimostrare. Il risultato appena mostrato è fondamentale per discutere in maniera completa la risoluzione delle equazioni diofantee, ovvero delle equazioni: a x + b y = c con a, b, c Z e nelle incognite intere x, y. Sappiamo infatti come verificare se l equazione è risolvibile oppure no (il criterio necessario e sufficiente è che G.C.D.(a, b) divida c) e in caso affermativo come trovare una soluzione particolare. Ma come trovare tutte le soluzioni di una diofantea risolubile? Consideriamo l equazione diofantea: a x + b y = c

2 E indichiamo con A l insieme delle soluzioni di questa equazione (eventualmente A può anche essere vuoto se la diofantea non è risolubile). Consideriamo l equazione omogenea associata: a x + b y = 0 E indichiamo con A 0 l insieme delle soluzioni dell omogenea associata. Consideriamo il caso che la diofantea sia risolubile (cioè A non vuoto), abbiamo il seguente risultato: Teorema 2. Se ( x, ỹ) A (cioè sono una soluzione particolare dell equazione diofantea. Allora: A = {(x, y) x = x + x 0 y = ỹ + y 0 con (x 0, y 0 ) A 0 } Cioè tutte le soluzioni della diofantea sono ottenute aggiungendo ad una soluzione particolare tutte le soluzioni dell omogenea associata. Dim. Chiamiamo B l insieme {(x, y) x = x + x 0 y = ỹ + y 0 con (x 0, y 0 ) A 0 } e mostriamo che A = B. Consideriamo (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) in A (cioè soluzioni della diofantea: a x + b y = c Allora la loro differenza (x 1 x 2, y 1 y 2 ) è tale che: a (x 1 x 2 ) + b (y 1 y 2 ) = a x 1 + b y } {{ } 1 (a x 2 + b y 2 ) = 0 } {{ } =c =c Abbiamo quindi dimostrato che A B. Ora mostriamo il viceversa: prendiamo un elemento di B e facciamo vedere che appartiene ad A. Ovvero prendiamo un elemento ( x, ỹ) di A, un elemento (x 0, y 0 ) di A 0 e dimostriamo che: ( x, ỹ) + (x 0, t 0 ) = ( x + x 0, ỹ + y 0 ) appartiene ad A: a ( x + x 0 ) + b (ỹ + y 0 ) = a x + b ỹ + a x } {{ } 0 + b y 0 = c } {{ } =c =0 A questo punto per poter risolvere completamente le equazioni diofantee ci rimane da risolvere le equazioni omogenee. Consideriamo dunque una generica diofantea omogenea: a x + b y = 0 Osserviamo che è sicuramente risolubile perchè qualsiasi sia il massimo comun divisore tra a e b sicuramente divide 0 (o più banalmente perché la

3 coppia (0, 0) è soluzione). Indichiamo con d il massimo comun divisore tra a e b, si ha dunque che: r, t Z a = d r b = d t Allora l equazione diofantea associata possiamo riscriverla: Semplificando per d otteniamo: d r x = d t y r x = t y Quindi r divide t y (perché r per un intero è uguale a t y), inoltre r è primo con t (perché ottenuti da a e b dividendo per il massimo comun divisore) dunque r divide y cioè: y = r k al variare di r in Z Sostituendo nella equazione si ottiene: E semplificando: r x = t r k x = t k Le soluzioni dell omogenea sono dunque infinite e sono date dalle coppie ( t k, r k) al variare di k in Z (dove r e t sono ottenuti rispettivamente dalla divisione di a e b per d). 1. Trovare tutte le soluzioni in Z dell equazione diofantea omo- Esempio genea: 57x + 190y = 0 Il massimo comun divisore tra 57 e 190 è 19 (per trovarlo si può applicare l algoritmo di Euclide). Dividiamo quindi per 19 entrambi i membri dell equazione e otteniamo l equazione equivalente: 3x + 10y = 0 Le soluzioni di questa equazione sono, per quanto detto sopra, le coppie: ( 10k, 3k) al variare di k in Z Una riprova del fatto che queste siano tutte soluzioni (ma non del fatto che siano TUTTE le soluzioni che segue solo dalla dimostrazione precedente) si ottiene sostituendo al posto della x e della y rispettivamente 10k e 3k: 3 ( 10k) + 10 (3k) = 30k + 30k = 0

4 Esercizio 3. Stabilire se la seguente equazione diofantea è risolubile e in caso affermativo trovarne tutte le soluzioni intere: 300x + 84y = 36 Innanzitutto calcoliamo il massimo comun divisore tra 300 e 84 per stabilire se divide 36 e quindi se l equazione è risolubile oppure no. Applichiamo l algoritmo di Euclide: 300 = = = = Dunque G.C.D.(300, 84) = 12 che divide 36. L equazione che dobbiamo risolvere è equivalente a quella che otteniamo dividendo entrambi i membri per il G.C.D.: 25x + 7y = 3 A questo punto dividiamo la risoluzione vera e propria in due parti: 1. Ricerca di una soluzione particolare di 25x + 7y = 3. Applicando Euclide a 25 e 7 si ha: 25 = = = = Dai passaggi dell algoritmo di Euclide abbiamo che: 1 = = = Risaliamo quindi l algoritmo di Euclide per trovare la soluzione particolare: 1 = 4 (7 4) = = = 2 (25 7 3) 7 = Riassumendo abbiamo dunque: 1 = Moltiplicando entrambi i membri per 3 otteniamo: = 3 E dunque una soluzione particolare è data dalla coppia (6, 14). 2. Determinazione di tutte le soluzioni della omogenea associata: 25x + 7y = 0

5 Ovvero: 25x = 7y, dunque 1 25 divide 7y e 25 è coprimo con 7 (ovvero hanno come massimo comun divisore 1), perciò 25 divide y. Cioè esiste t Z tale che y = 25t. Sostituendo in 25x = 7y si ottiene 25x = 7 25t e dividendo per 25 entrambi i membri: x = 7t. Dunque le soluzioni della omogenea sono date dalle coppie: ( 7t, 25t) al variare di t in Z. Esercizio 4. Calcolare: (1377) in Z 11 Ricordiamo che in Z 11 il prodotto tra due elementi [a] 11 e [b] 11 è, per definizione, [a b] 11. Perciò anche [a 3 ] 11 = [a a a] 11 = [a] 11 [a] 11 [a] 11 = [a] 3 11 Per fare questo conto conviene innanzitutto scegliere i rappresentanti più comodi dei vari elementi di Z 11 coinvolti in questo calcolo: sappiamo che [a] 11 = [b] 11 se a e b hanno lo stesso resto nella divisione per 11, perciò vediamo che resto hanno nella divisione per 11 i numeri grandi coinvolti in questo calcolo = = Da questo conto abbiamo che: Si ha dunque che: [ (1377) [1377] 11 = [2] 11 [3413] 11 = [3] 11 ] 11 = [ 23 3 ] 11 = [ ] 11 A questo punto per completare l esercizio bisogna trovare l inverso di 6 in Z 11 (che esiste in quanto 6 è primo con 11 e quindi invertibile in Z 11 ), infatti calcolare: [ 5 6 ] 11 significa moltiplicare 5 per l inverso di 6 in Z 11. Come si fa a trovare l inverso di 6 in Z 11? Bisogna trovare quel numero intero a tale che: [a] 11 [6] 11 = [1] 11 Ovvero trovare quell intero a tale che 6 a ha resto 1 nella divisione per 11. Ora, possiamo accorgersi che per a = 2 si ha 6 2 = 12 che appunto ha resto 1 Ripetiamo il ragionamento fatto in generale solo per ripassarlo, ovviamente non importerebbe si potrebbe applicare immediatamente il risultato ottenuto precedentemente.

6 1 nella divisione per 11, ma se non ce ne accorgiamo esiste un algoritmo per calcolare l inverso? La risposta è sì infatti cercare a in Z tale che: [a] 11 [6] 11 = [1] 11 significa cercare la soluzioni di 6 a = k, ovvero trovare una soluzione della diofantea 6 a 11 k = 1 e poi prendere il valore di a. Cerchiamo una di queste soluzioni attraverso l algoritmo di Euclide: Da questo si ha: 11 = = = = 6 5 = 6 (11 6) = E quindi una soluzione della diofantea è (2, 1) e la a (inverso di 6 che cercavamo) è 2. Abbiamo dunque che 6 1 (l inverso di 6) in Z 11 è 2 e perciò: [ (1377) ] 11 = [5] 11 [2] 11 = [10] 11 6 Osserviamo che lo stesso calcolo per esempio in Z 12 non sarebbe stato possibile, in quanto 6 non è invertibile in Z 12 (non è coprimo con 12). Esercizio 5. Risolvere in Z 14 le seguenti congruenze: 1. 21x x x 49 (14) vuol dire che cerchiamo valori interi di x per cui esiste un k intero con 21x = k, ovvero: 21x 14k = 49 Senza applicare Euclide è abbastanza immediato osservare che 7 è il massimo comun divisore tra 21 e divide 49 e quindi la diofantea 21x 14k = 49 (e di conseguenza la congruenza 21x 49 (14)) ha soluzione: determiniamole tutte. Dividiamo per 7 entrambi i membri della diofantea, si ottiene: È facile osservare che: Perciò: 3x 2k = = = 1 7

7 Da cui una soluzione particolare della diofantea è data dalla coppia (7, 7). Ora cerchiamo le soluzioni dell omogenea associata 3x = 2k, in realtà per risolvere la congruenza, ci interessa solo la x e quindi determiniamo direttamente quella osservando che 2 divide 3x ma è primo con 3 e quindi divide 2, perciò x = 2 t al variare di t in Z (se avessimo dovuto risolvere la diofantea avremmo trovato che k deve essere 3t). A questo punto gli interi che risolvono la congruenza sono gli x del tipo: x = 7 }{{} soluzione particolare + 2t }{{} soluzioni omogenea t Z Facendo variare t in Z in modo che il valore di x sia compreso tra 0 e 13 otteniamo le 7 soluzioni della congruenza Z 14 : [7] 14, [9] 14, [11] 14, [13] 14, [5] 14, [3] 14, [1] Nel caso della seconda congruenza basta notare che il massimo comun divisore 7 non divide 50 e perciò non esistono soluzioni. Esercizio 6. Calcolare al variare di n Z il massimo comun divisore tra: 1. 4n + 3 e 8n n + 2 e 8n 16. Abbiamo dimostrato che G.C.D.(a, b) = G.C.D.(a, b k a) con k intero. Usiamo questa proprietà per risolvere questo esercizio. 1. Si tratta di cercare di ridurre uno delle due quantità ad un numero non dipendente da n e quindi che sappiamo fattorizzare: G.C.D.(4n+3, 8n 5) = G.C.D.(4n+3, 8n 5 2 (4n+3)) = G.C.D.(4n+3, 11) Ora i divisori positivi di 11 sono 1 e 11 perciò abbiamo due casi possibili: { 4n + 3 = 11 k G.C.D.(4n + 3, 8n 5) = 11 altrimenti G.C.D.(4n + 3, 8n 5) = 1 Possiamo riassumere meglio usando le congruenze quanto detto sopra (che in poche parole significa: se 4n + 3 è un multiplo di 11 allora il massimo comun divisore è 11, altrimenti è 1). Ci chiediamo per quali n Z si ha che 4n + 3 = 11k, ovvero per quali n Z: 4n (11) 4n 3(11) Ora possiamo osservare che 3 è l inverso di 4 in Z 11 e moltiplicando da entrambe le parti per 3 otteniamo: n 9 (11) Ovvero n 2 (11). Questo significa che il massimo comun divisore è 11 quando il resto della divisione di n per 11 è 2.

8 2. G.C.D.(4n+2, 8n 16) = G.C.D.(4n+2, 8n 16 2 (4n+2)) = G.C.D.(4n+2, 20) I divisori positivi di 20 sono 1, 2, 4, 5, 10 e 20 quindi la discussione è un po più difficoltosa in questo caso: 4n + 2 = 20 k G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 20 4n + 2 = 10 k e G.C.D.(2, k) = 1 G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 10 4n + 2 = 5 k e G.C.D.(4, k) = 1 G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 5 4n + 2 = 4 k e G.C.D.(5, k) = 1 G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 4 4n + 2 = 2 k e G.C.D.(10, k) = 1 G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 2 altrimenti G.C.D.(4n + 2, 8n 16) = 1 Abbiamo avuto un caso in cui G.C.D.(4, k) = 1, osserviamo che questo implica G.C.D.(2, k) = 1 e in generale si ha che: Esercizio 7. G.C.D.(a t, k) = 1 G.C.D.(a, k) = 1 Esercizio 8. Scriviamo x y per indicare che l intero x divide l intero y. Si determini quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false nel dominio degli interi. 1. x y x y. 2. x y x y. 3. x y x y. 4. x y x y. 5. x y (x y y x). 6. x y (x y y x). 7. x y (x y y x). 1. La proposizione significa esiste x che divide qualsiasi y dobbiamo giudicarne la validità nel dominio degli interi. Questa proposizione è vera tra gli interi perchè un tale x esiste ed è 1. Infatti ogni intero y si può scrivere 1 y. 2. Per ogni x esiste un y suo multiplo. Anche questa proposizione è vera negli interi. Infatti qualsiasi sia l intero x riusciamo a trovare un elemento che è suo multiplo, per esempio y = 3x. (In generale un y della forma kx con k intero.) 3. Ogni x divide ogni y. Questa proposizione è falsa nel dominio degli interi, se x 1 e x 1 esiste sicuramente un y che non è diviso da x. (Per esempio 1 stesso.) 4. Esistono due elementi x, y tali che x divide y. Questa proposizione è vera, basta considerare per esempio x = 1 e y qualsiasi. OSSERVAZIONE: Anche per questa proposizione che sembra banalmente vera, è importante considerare il dominio di definizione. Consideriamo per esempio il dominio D = {3, 5, 28}, la proposizione è falsa in questo dominio!)

9 5. Per ogni coppia x, y se x divide y allora y divide x. Questa proposizione è falsa e l esempio che possiamo prendere è quello che abbiamo fatto per il punto precedente, con y 1 e y 1, infatti se x = 1 e y è diverso da 1, 1, allora x divide y, ma non è vero il viceversa. 6. Esistono due elementi x, y tali che x divide y e y divide x. Questa proposizione è vera, basta considerare x = y, infatti in questo caso è evidente che x divide y e che y divide x. 7. Per ogni x esiste un y che è diviso da x e divide x. Anche questa proposizione è vera perchè basta, sfruttando quanto detto al punto precedente, considerare y = x.

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

1 n. Intero frazionato. Frazione

1 n. Intero frazionato. Frazione Consideriamo un intero, prendiamo un rettangolo e dividiamolo in sei parti uguali, ciascuna di queste parti rappresenta un sesto del rettangolo, cioè una sola delle sei parti uguali in cui è stato diviso.

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Numeri complessi e polinomi

Numeri complessi e polinomi Numeri complessi e polinomi 1 Numeri complessi L insieme dei numeri reali si identifica con la retta della geometria: in altri termini la retta si può dotare delle operazioni + e e divenire un insieme

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

DI D AGRA R MM M I M A BLOCC C H C I TEORI R A E D D E SERC R I C ZI 1 1

DI D AGRA R MM M I M A BLOCC C H C I TEORI R A E D D E SERC R I C ZI 1 1 DIAGRAMMI A BLOCCHI TEORIA ED ESERCIZI 1 1 Il linguaggio dei diagrammi a blocchi è un possibile formalismo per la descrizione di algoritmi Il diagramma a blocchi, o flowchart, è una rappresentazione grafica

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

A i è un aperto in E. i=1

A i è un aperto in E. i=1 Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque

Dettagli

Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli. Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it

Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli. Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it 3 4 5 Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it Qualche osservazione preliminare sul Teorema di Pitagora e le terne

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind

Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind Stefania Gabelli Dipartimento di Matematica, Università degli Studi Roma Tre Note per i corsi di Algebra Commutativa a.a. 2010/2011 1 Indice 1 Preliminari

Dettagli

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI Prima di riuscire a scrivere un programma, abbiamo bisogno di conoscere un metodo risolutivo, cioè un metodo che a partire dai dati di ingresso fornisce i risultati attesi.

Dettagli

DISPENSE DI MATEMATICA OLIMPIONICA

DISPENSE DI MATEMATICA OLIMPIONICA QUADERNO DI MATEMATICA A. S. MATHESIS - SEZIONE BETTAZZI A.A. 2010/2011 DISPENSE DI MATEMATICA OLIMPIONICA A. Astolfi G. Audrito A. Carignano F. Tanturri seconda edizione riveduta e ampliata da G. Audrito

Dettagli

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice Pseudo codice Pseudo codice Paolo Bison Fondamenti di Informatica A.A. 2006/07 Università di Padova linguaggio testuale mix di linguaggio naturale ed elementi linguistici con sintassi ben definita e semantica

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

ALGORITMI 1 a Parte. di Ippolito Perlasca. Algoritmo:

ALGORITMI 1 a Parte. di Ippolito Perlasca. Algoritmo: ALGORITMI 1 a Parte di Ippolito Perlasca Algoritmo: Insieme di regole che forniscono una sequenza di operazioni atte a risolvere un particolare problema (De Mauro) Procedimento che consente di ottenere

Dettagli

IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: FATTORIZZAZIONE IN NUMERI PRIMI.

IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: FATTORIZZAZIONE IN NUMERI PRIMI. IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: FATTORIZZAZIONE IN NUMERI PRIMI. PH. ELLIA Indice Introduzione 1 1. Divisori di un numero. 2 2. Numeri primi: definizioni. 4 2.1. Fare la lista dei numeri primi.

Dettagli

Esempi di algoritmi. Lezione III

Esempi di algoritmi. Lezione III Esempi di algoritmi Lezione III Scopo della lezione Implementare da zero algoritmi di media complessità. Verificare la correttezza di un algoritmo eseguendolo a mano. Imparare a valutare le prestazioni

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI I numeri naturali I numeri interi I numeri razionali Teoria degli insiemi (cenni) ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 L insieme N dei numeri naturali 4 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette: FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo 5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo X m a (mod n ) Oggetto di questo paragrafo è lo studio della risolubilità di congruenze del tipo: X m a (mod n) con m, n, a Z ed m, n > 0. Per l effettiva

Dettagli

Esempi di problemi di 1 grado risolti Esercizio 1 Problema: Trovare un numero che sommato ai suoi 3/2 dia 50

Esempi di problemi di 1 grado risolti Esercizio 1 Problema: Trovare un numero che sommato ai suoi 3/2 dia 50 http://einmatman1c.blog.excite.it/permalink/54003 Esempi di problemi di 1 grado risolti Esercizio 1 Trovare un numero che sommato ai suoi 3/2 dia 50 Trovare un numero e' la prima frase e significa che

Dettagli

Limiti e forme indeterminate

Limiti e forme indeterminate Limiti e forme indeterminate Edizioni H ALPHA LORENZO ROI c Edizioni H ALPHA. Ottobre 04. H L immagine frattale di copertina rappresenta un particolare dell insieme di Mandelbrot centrato nel punto.5378303507,

Dettagli

I numeri. Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri?

I numeri. Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri? I numeri Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri? Come ti sarai reso conto, i numeri occupano un ruolo importante nella tua vita: dai numeri che esprimono il prezzo degli oggetti venduti in un

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO Così come avviene per i numeri ( 180 = 5 ), la scomposizione in fattori di un polinomio è la trasformazione di un polinomio in un prodotto di più polinomi irriducibili

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione

Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Oggetti sintattici e oggetti semantici Rosario Culmone, Luca Tesei Lucidi tratti dalla dispensa Elementi di Semantica Operazionale R. Barbuti, P.

Dettagli

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA Un conduttore ideale all equilibrio elettrostatico ha un campo elettrico nullo al suo interno. Cosa succede se viene generato un campo elettrico diverso da zero al suo

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

LEZIONE 17. B : kn k m.

LEZIONE 17. B : kn k m. LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA

UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA Tutti gli anni, affrontando l argomento della divisibilità, trovavo utile far lavorare gli alunni sul Crivello di Eratostene. Presentavo ai ragazzi una

Dettagli

I db, cosa sono e come si usano. Vediamo di chiarire le formule.

I db, cosa sono e come si usano. Vediamo di chiarire le formule. I db, cosa sono e come si usano. Il decibel è semplicemente una definizione; che la sua formulazione è arbitraria o, meglio, è definita per comodità e convenienza. La convenienza deriva dall osservazione

Dettagli

EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO

EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO VALORE AOLUTO EQUAZIONI CON VALORE AOLUTO Esercizi DIEQUAZIONI CON VALORE AOLUTO Esercizi Prof. Giulia Cagnetta ITI Marconi Domodossola (VB) *EQUAZIONI CON VALORE AOLUTO Data una qualsiasi espressione

Dettagli

Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem)

Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Raccolta di Esercizi di Matematica Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Contenuti: 8-1. L ordine Algebrico delle Operazioni 8-2. Problemi sulle Percentuali 8-3. Le Forme Standard e Point-Slope

Dettagli

Alcune proprietà dei numeri primi, II

Alcune proprietà dei numeri primi, II This is the last preprint. The final paper will appear in the website http: //matematica.uni-bocconi.it/langzac/home2.htm. Alcune proprietà dei numeri primi, II Alessandro Languasco & Alessandro Zaccagnini

Dettagli

PROBLEMI RISOLTI ED IRRISOLTI IN TEORIA DEI NUMERI.

PROBLEMI RISOLTI ED IRRISOLTI IN TEORIA DEI NUMERI. PROBLEMI RISOLTI ED IRRISOLTI IN TEORIA DEI NUMERI. PH. ELLIA Indice 1. Pitagora, Euclide, Diofante. 2 1.1. Pitagora. 2 1.2. Numeri geometrici. 2 1.3. Divisori di un numero, numeri perfetti. 8 1.4. Euclide.

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli I numeri complessi Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli 1 Introduzione Studiare i numeri complessi può sembrare inutile ed avulso dalla realtà;

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le funzioni nel discreto 3 1.1 Le funzioni nel discreto.................................. 3 1.1.1 La rappresentazione grafica............................

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Evelina De Gregori Alessandra Rotondi

al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Evelina De Gregori Alessandra Rotondi Evelina De Gregori Alessandra Rotondi al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze per la Scuola secondaria di primo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Test d'ingresso NUMERI

Dettagli

Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una

Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una NUMERI INTERI E NUMERI DECIMALI Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una cassetta sono contenuti 45 penne e che una lamiera misura 1,35 m. dl lunghezza,

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

NUMERI RAZIONALI E REALI

NUMERI RAZIONALI E REALI NUMERI RAZIONALI E REALI CARLANGELO LIVERANI. Numeri Razionali Tutti sanno che i numeri razionali sono numeri del tio q con N e q N. Purtuttavia molte frazioni ossono corrisondere allo stesso numero, er

Dettagli

Gli algoritmi. Gli algoritmi. Analisi e programmazione

Gli algoritmi. Gli algoritmi. Analisi e programmazione Gli algoritmi Analisi e programmazione Gli algoritmi Proprietà ed esempi Costanti e variabili, assegnazione, istruzioni, proposizioni e predicati Vettori e matrici I diagrammi a blocchi Analisi strutturata

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b : Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:

Dettagli

Esercizi Capitolo 5 - Alberi

Esercizi Capitolo 5 - Alberi Esercizi Capitolo 5 - Alberi Alberto Montresor 19 Agosto, 2014 Alcuni degli esercizi che seguono sono associati alle rispettive soluzioni. Se il vostro lettore PDF lo consente, è possibile saltare alle

Dettagli

NUMERI COMPLESSI. Esercizi svolti., e) i 34, f) i 7. 10 i

NUMERI COMPLESSI. Esercizi svolti., e) i 34, f) i 7. 10 i NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti 1. Calcolare le seguenti potenze di i: a) i, b) i, c) i 4, d) 1 i, e) i 4, f) i 7. Semplificare le seguenti espressioni: a) ( i) i(1 ( 1 i), b) ( + i)( i) 5 + 1 ) 10 i,

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

OGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE

OGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE 1 Mimmo Arezzo OGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE CONVERSAZIONE CON ALCUNI STUDENTI DI FISICA 19 DICEMBRE 2006 2 1 Preliminari Definizione 1.0.1 Un ordinamento parziale (o una relazione d ordine parziale)

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare

Appunti di Algebra Lineare Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI IL GIOCO DEL. OVVERO: 000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI EMANUELE DELUCCHI, GIOVANNI GAIFFI, LUDOVICO PERNAZZA Molti fra i lettori si saranno divertiti a giocare al gioco del, uno dei più celebri fra i giochi

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

CALCOLO DEL MASSIMO COMUN DIVISORE

CALCOLO DEL MASSIMO COMUN DIVISORE CALCOLO DEL MASSIMO COMUN DIVISORE Problema: "calcolare il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) di due numeri naturali, A e B, secondo l'algoritmo cosiddetto delle sottrazioni successive". L'algoritmo "delle

Dettagli

ISTITUTO COMPRENSIVO N 1 LANCIANO - SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO CURRICOLO VERTICALE - Classe Prima MATEMATICA a.s. 2014/2015

ISTITUTO COMPRENSIVO N 1 LANCIANO - SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO CURRICOLO VERTICALE - Classe Prima MATEMATICA a.s. 2014/2015 NUMERI. SPAZIO E FIGURE. RELAZIONI, FUNZIONI, MISURE, DATI E PREVISIONI Le sociali e ISTITUTO COMPRENSIVO N 1 LANCIANO - SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO CURRICOLO VERTICALE - Classe Prima MATEMATICA procedure

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

LA NOTAZIONE SCIENTIFICA

LA NOTAZIONE SCIENTIFICA LA NOTAZIONE SCIENTIFICA Definizioni Ricordiamo, a proposito delle potenze del, che = =.000 =.000.000.000.000 ovvero n è uguale ad seguito da n zeri. Nel caso di potenze con esponente negativo ricordiamo

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale 4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,

Dettagli

19. Inclusioni tra spazi L p.

19. Inclusioni tra spazi L p. 19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli