Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee"

Transcript

1 Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che: 1 e 1 sono gli unici interi che dividano ogni intero; 0 è l unico intero che sia diviso da ogni intero. a, b Z ( a b a b a b a b ) L insieme dei divisori (in Z) di un intero n si indica come D(n). Dunque, per ogni n Z, D(n) := {a Z : a n}, ad esempio, D(6) = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6}. Un massimo comun divisore tra a e b è poi un intero d per il quale valgano le due condizioni: ovvero, in modo equivalente: i.) d a d b; e ii.) c Z ( (c a c b) c d ) ; i.) d D(a) D(b); e ii.) c D(a) D(b), c d. Dunque, un massimo comun divisore tra a e b è un divisore comune ad a e b che sia diviso da ogni altro divisore comune ad a e b. Alcune osservazioni immediate sulla nozione di massimo comun divisore sono le seguenti: Se d è un massimo comun divisore tra a e b allora d e d sono gli unici massimi comun divisori tra a e b, dunque: calcolare un massimo comun divisore tra due interi equivale a calcolarli tutti; per ogni a, b Z, i divisori comuni ad a e b sono tutti e soli i divisori comuni ad a e b ; quindi i massimi comun divisori tra a e b sono tutti e soli i massimi comun divisori tra a e b. Quest ultima osservazione mostra che nel calcolare massimi comun divisori tra numeri interi è sempre possibile ridursi a calcolare massimi comun divisori tra interi non negativi. Ad esempio, i massimi comun divisori tra e sono precisamente i massimi comun divisori tra 7811 e , così come quelli tra e o quelli tra 7811 e Inoltre, il calcolo dei massimi comun divisori tra 0 ed un arbitrario intero è immediato, come segue da queste altre due osservazioni: se a e b sono interi e a b, allora a è un massimo comun divisore tra a e b; in particolare, per ogni a Z, si ha che a è un massimo comun divisore tra a e 0. Pertanto: Il problema di calcolare un massimo comun divisore tra numeri interi si riduce sempre al problema di calcolare un massimo comun divisore tra numeri interi positivi. Sino a questo momento non si è ancora stabilito se questo problema abbia sempre soluzione, cioè se, assegnati comunque due interi a e b esista un massimo comun divisore tra a e b. Il teorema fondamentale dell aritmetica suggerisce un metodo per calcolare un massimo comun divisore tra a e b, quello che viene insegnato sin dalla scuola elementare: supponendo, come lecito, a e b positivi, basta esprimere sia a che b come prodotti di potenze di numeri primi (positivi) a due a due distinti, con esponenti positivi: a = p λ1 1 pλ2 2 pλs s b = q µ1 1 qµ2 2 qµt t ; si ottiene un massimo comun divisore tra a e b come prodotto di tutti i primi che appaiono in entrambe le fattorizzazioni (i fattori comuni... ), ciascuno elevato al minimo degli esponenti con cui Avvertenza: Queste note integrano, ma non sostituiscono, le corrispondenti parti del libro di testo. 1

2 appare (... col minimo esponente). Ciò è facile da verificare (lo si faccia per esercizio) e mostra che la risposta alla domanda formulata sopra è positiva. Grazie anche alle osservazioni precedenti possiamo concludere che: Se a e b sono interi allora: se a = b = 0, l unico massimo comun divisore tra a e b è 0; altrimenti, se almeno uno tra a e b è diverso da zero, a e b hanno esattamente due massimi comun divisori, uno opposto dell altro. In ogni caso, dunque, esiste uno ed un solo massimo comun divisore non negativo tra a e b. Il massimo comun divisore non negativo tra due interi a e b viene spesso indicato con il simbolo MCD(a, b). Il metodo di calcolo di un massimo comun divisore tra due interi a e b appena ricordato è molto rapido ed efficace nel caso in cui a e b siano numeri di valore assoluto sufficientemente piccolo da renderne semplice la scomposizione in fattori primi. Quando si ha a che fare con numeri più grandi questo metodo risulta invece spesso impraticabile, dal momento che non sono noti metodi che permettano di scomporre in tempi ragionevolmente brevi numeri interi arbitrari; anzi, il calcolo dei fattori primi di un intero può rivelarsi di estrema complessità computazionale. Per questo è molto importante disporre di un metodo alternativo, quello fornito dall algoritmo euclideo, che ora illustreremo e che si dimostra essere invece molto efficiente. Per semplificare la discussione, introduciamo una definizione. Per ogni a, b Z chiamiamo combinazione lineare di a e b a coefficienti in Z ogni numero intero che si possa scrivere come αa + βb per opportuni α, β Z. In altri termini, una combinazione lineare di a e b (a coefficienti in Z; talvolta lasceremo sottintesa questa specificazione) è la somma di un multiplo di a per un multiplo di b. Ad esempio, sono combinazioni lineare di a e b i numeri 3a + 7b, 15a 2b, 19b. Lemma 1. Siano a, b, c Z. Se c divide a e b allora c divide ogni combinazione lineare di a e b a coefficienti in Z. Dimostrazione Se c a e c b, esistono interi h e k tali che a = hc e b = kc. Scelti comunque α, β Z si ha allora αa + βb = α(hc) + β(kc) = (αh + βk)c, dunque c divide αa + βb. Un caso particolare del precedente lemma è il punto centrale del ragionamento che suggerisce e giustifica l algoritmo euclideo: Lemma 2. Siano a, b, q, r Z tali che a = bq + r. Allora i divisori comuni ad a e b sono tutti e soli i divisori comuni a b e r. In particolare, i massimi comun divisori tra a e b sono precisamente i massimi comun divisori tra b e r. Dimostrazione Sia c un divisore comune a b e r. Poiché a è combinazione lineare di b e r, allora c a per il Lemma 1. Dunque c è un divisore comune ad a e b. Abbiamo così provato l inclusione D(a) D(b) D(b) D(r). Per provare l inclusione opposta, osserviamo che r = a bq è combinazione lineare di a e b, quindi, come per il passaggio precedente, ogni divisore comune ad a e b divide r ed è così un divisore comune a b e r. Abbiamo ora dimostrato l uguaglianza D(a) D(b) = D(b) D(r), cioè che a e b da una parte e b ed r dall altra hanno gli stessi divisori comuni, quindi anche gli stessi massimi comun divisori. Supponiamo ora di voler calcolare un massimo comun divisore tra due interi a e b; come visto sopra possiamo supporre che essi siano entrambi positivi. Possiamo ovviamente anche supporre a b, infatti se a < b basta scambiare tra loro a e b, dal momento che MCD(a, b) = MCD(b, a). Come sappiamo, si può effettuare la divisione aritmetica (con resto) di a per b. Esistono dunque (e sono univocamente determinati) due numeri naturali q (il quoziente) e r (il resto) tali che a = bq + r e r < b. Il Lemma 2 mostra che vale l uguaglianza MCD(a, b) = MCD(b, r). Possiamo dunque tradurre il nostro problema originale (calcolare un massimo comun divisore tra a e b) con il problema, simile, 2

3 di calcolare un massimo comun divisore tra b e r. Il vantaggio di questa riformulazione consiste in questo, che se consideriamo la grandezza dei due numeri a e b come misura (grossolana!) della difficoltà del nostro problema (nel senso che è, probabilmente, più facile calcolare un massimo comun divisore tra due numeri più piccoli piuttosto che tra due numeri più grandi), allora l aver sostituito la coppia (b, r) alla coppia (a, b) ha semplificato il problema, perché b < a e r < b. È possibile che si abbia r = 0. In questo caso, b a e quindi b è un massimo comun divisore tra a e b. Se invece r > 0, possiamo ripetere per b e r il procedimento effettuato per a e b: dividendo b per r otteniamo, b = rq 1 + r 1 e r 1 < r, dove, ancora, q 1, r 1 N e i massimi comun divisori tra r e r 1 sono i massimi comun divisori tra b e r, quindi tra a e b. Se r 1 = 0 (cioè se r b), allora r è un massimo comun divisore tra a e b, in caso contrario possiamo effettuare un altra divisione, quella tra r e r 1, ottenendo q 2, r 2 N tali che: r = r 1 q 2 + r 2 e r 2 < r 1, se r 2 = 0 allora r 1 è il massimo comun divisore cercato, altrimenti si proseguirà dividendo r 1 per r 2. Dovrebbe essere a questo punto chiaro il procedimento: ad ogni passo si verifica se il resto r t dell ultima divisione effettuata: r t 2 = r t 1 q t + r t, è 0; in questo caso il penultimo resto r t 1 (vale a dire, l ultimo resto diverso da 0, o, ancora, l ultimo divisore) è il massimo comun divisore positivo tra a e b, se invece r t 0 si effettua un altra divisione, tra il divisore r t 1 ed il resto r t della divisione precedente. È ancora da chiarire un solo punto, cioè se questo procedimento termina, ovvero se, iterando questo procedimento, si perviene ad una divisione con resto 0. La risposta è affermativa. Infatti, la sequenza dei resti ottenuti nelle successive divisioni è strettamente decrescente: b > r > r 1 > r 2 > r 3 > 0 e una sequenza strettamente decrescente di numeri naturali minori di b può avere al più b termini, dal momento che l insieme {n N b n} ha b elementi. Dunque r t = 0 per qualche t < b. Pertanto l algoritmo termina, fornendo un massimo comun divisore tra a e b, dopo al più b divisioni (ad essere pedanti, si dovrebbe specificare che, affinché tutto ciò che è stato appena scritto abbia senso in ogni caso, si devono sottintendere le posizioni r 0 := r e r 1 := b). Notiamo che l algoritmo euclideo appena descritto fornisce un altra dimostrazione, costruttiva, dell esistenza di un massimo comun divisore tra due arbitrari interi. Possiamo riassumere la discussione precedente e schematizzare l algoritmo euclideo per la ricerca di un massimo comun divisore come segue: Assegnati due numeri interi a e b, si intende calcolare un massimo comun divisore d tra a e b. 1 se uno tra a e b è 0, si pone d uguale all altro e l algoritmo termina. Altrimenti: 2 si sostituiscono a e b con a e b, nell ordine; 3 se a < b si scambiano tra loro a e b; 4 a partire dalla divisione di a per b si effettuano divisioni aritmetiche successive, come sopra specificato, finché non si ottenga 0 come resto: a = bq + r b = rq 1 + r 1 r = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3. r t 3 = r t 2 q t 1 + r t 1 r t 2 = r t 1 q t + r t r t 1 = r t q t dove b > r > r 1 > r 2 > > r t > 0. A questo punto, si pone d = r t e l algoritmo termina. 3

4 Anche se non essenziali per la comprensione dell algoritmo, si possono fare alcune osservazioni marginali. Innanzitutto, il passo 2 non è necessario in senso stretto, dal momento che è possibile effettuare divisioni aritmetiche anche tra interi negativi, o tra un positivo e un negativo. Tuttavia, è consigliabile eseguirlo per evitare inutili complicazioni di calcolo. Anche il passo 3 si sarebbe potuto omettere dalla descrizione dell algoritmo, per un motivo di tipo diverso. Infatti, se a e b sono positivi e a < b, allora la divisione aritmetica di a per b fornisce quoziente 0 e resto a. Dunque se eseguiamo il passo 4 dell algoritmo senza aver prima scambiato tra loro a e b, la prima divisione (di a per b) fornisce r = a e quindi la seconda, quella tra b e r = a, è precisamente quella da cui saremmo partiti se avessimo eseguito il passo 3. Ciò mostra che l unico scopo del passo 3 è quello di evitare una divisione inutile (ancorché banale). Osservazione più rilevante, a proposito del passo 4, è che, come abbiamo già detto, l algoritmo terminerà dopo al più b divisioni. Come esempio di applicazione dell algoritmo euclideo, supponiamo di voler calcolare il massimo comun divisore positivo d tra 2547 e Passando ai valori assoluti dei due numeri considerati, e tenendo conto che 2547 < 7431, procediamo come al passo 4 dopo aver posto a = 7431 e b = Eseguiamo dunque le divisioni: 7431 = 2547[2] = 2337[1] = 210[11] = 27[7] = 21[1] = 6[3] = 3[2] Come evidenziato dalle frecce in colore, ogni divisione successiva alla prima ha per dividendo e per divisore il divisore ed il resto della divisione precedente. Come si può capire, è importante, eseguendo l algoritmo, non confondere i ruoli tra i successivi divisori (indicati sopra come b, r, r 1,...) ed i successivi quozienti (indicati come q, q 1, q 2,...). I primi vanno riutilizzati nella divisione seguente, i secondi no. Allo scopo di evitare questa possibile confusione può essere utile adottare qualche artificio grafico. In questo caso, i quozienti sono stati scritti tra parentesi quadre. Tornando al nostro specifico esempio, poiché l ultimo resto non nullo è 3, concludiamo che 3 è un massimo comun divisore tra 2562 e Un ulteriore osservazione su questo algoritmo è che esso può essere reso ancora più efficace da una piccola modifica. Infatti, l algoritmo si basa su una ripetuta applicazione del Lemma 2, e nell enunciato del Lemma 2 non è richiesto che gli interi q ed r siano proprio il quoziente ed il resto della divisione aritmetica di a per b. Ora, è possibile effettuare un altro tipo di divisione tra interi che rispetti la condizione a = bq + r dell ipotesi del Lemma 2: Lemma 3 (Divisione euclidea). Siano a, b Z. Se b 0 esistono q, r Z tali che a = bq + r e r b /2. Dimostrazione Assegnati a e b come richiesto dall enunciato, effettuiamo la divisione aritmetica tra a e b. Otteniamo così q, r Z tali che a = b q + r e 0 r < b. Se r b /2, allora abbiamo concluso la ricerca di q e r: basterà porre r = r e q = q, a questo punto avremo a = bq + r e r = r b /2, come richieso dall enunciato. Se invece r > b /2, allora si ha b r < b ( b /2 ) = b /2. In questo caso, poniamo r := r b. Poiché r < b si ha allora r < 0, e quindi r = r = b r < b /2. Dunque la condizione r b /2 è soddisfatta. Inoltre r = b + r, dunque a = b q + r = b q + ( b + r ) = bq + r, 4

5 avendo posto q = q + 1 se b > 0 (e quindi se b = b) e q = q 1 se b < 0. Con questa scelta di q e r le condizioni richieste dall enunciato sono soddisfatte, e così il lemma è dimostrato. Ad esempio la divisione aritmetica di 14 per 5 dà quoziente 2 e resto 4; la divisione euclidea appena introdotta dà quoziente 3 (aumentato di 1 rispetto al precedente, perché il divisore 5 è positivo) e resto 1: infatti 14 = 5[3] + ( 1). Possiamo eseguire l algoritmo euclideo per la ricerca di un massimo comun divisore effettuando quest ultimo tipo di divisioni anziché quelle aritmetiche. Uno svantaggio (se così si può dire, anche questo sarebbe evitabile) è che eseguiremo divisioni anche tra numeri negativi, un significativo vantaggio è che la successione dei resti r, r 1, r 2,... verificherà le condizioni: r b /2; r 1 r /2 b /4; r 1 r 2 /2 b /8;..., che, per dirla in termini informali, garantiscono che la successione dei resti decrescerà, nella maggior parte dei casi, più rapidamente di quanto non accadeva con la versione originaria dell algoritmo. Ciò significa che possiamo aspettarci di dover effettuare meno divisioni, e quindi di terminare più rapidamente l algoritmo. A titolo di esempio, si possono confrontare il procedimento seguito prima per il calcolo del massimo comun divisore tra 7431 e 2547 con una versione dello stesso calcolo eseguito effettuando divisioni euclidee anziché aritmetiche: 7431 = 2547[2] = 2337[1] = 210[11] = 27[7] = 21[1] = 6[3] = 3[2] 7431 = 2547[3] + ( 210) 2547 = ( 210)[ 12] = 27[ 8] = 6[4] = 3[2] Esercizio. Si sarebbero potute eseguire le divisioni nella colonna di sinstra, senza alterare il risultato finale, tralasciando i segni meno dei divisori, e quindi assicurando che tutte le divisioni fossero tra numeri positivi. Ad esempio, dopo la prima divisione: 7431 = 2547[3] + ( 210), la seconda avrebbe potuto essere 2547 = 210[12] Basandosi sul Lemma 2 e su osservazioni precedenti, spiegare perché questa procedura è sempre lecita. Equazioni diofantee Oltre al calcolo dei massimi comun divisori, l algoritmo euclideo permette di risolvere un altro importante problema. Un equazione diofantea è un equazione in cui appaiano solo indeterminate e numeri interi che si intenda risolvere in Z, cioè per la quale siano ammesse come soluzioni solo numeri interi. Ci occupiamo qui di un particolare tipo di equazione diofantea: quella cosiddetta lineare a due indeterminate, cioè una equazione diofantea della forma ax + by = c, ( ) dove a, b e c sono numeri interi. Risolvere l equazione ( ) significa dunque trovare le coppie di interi (u, v), che rendano vera l uguaglianza se sostituiti a x e y, cioè tali che au + bv = c. Osserviamo subito che è possibile che la ( ) non ammetta soluzioni. Ad esempio, per a = b = 0 e c = 1 otteniamo l equazione 0x + 0y = 1 che, ovviamente, non ammette soluzioni. Facendo uso della terminologia introdotta sopra, è chiaro che ( ) ammette soluzioni (intere) se e solo se c è combinazione lineare di a e b a coefficienti in Z. Ciò permette di dimostrare la prima importante osservazione su questo genere di equazioni. Lemma 4. Siano a, b, c Z, e sia d un massimo comun divisore tra a e b. Se d non divide c, allora l equazione diofantea ax + by = c non ammette soluzioni. Dimostrazione Supponiamo che l equazione abbia soluzioni. Allora esistono u, v Z tali che au + bv = c, dunque c è combinazione lineare di a e b a coefficienti in Z. Dal Lemma 1 segue allora che d divide c. Dunque, se supponiamo che d non divida c dobbiamo trarre la conclusione che la nostra equazione non ha soluzioni. 5

6 Ad esempio, l equazione diofantea 2x + 6y = 3 non ha soluzioni. Ovviamente ciò significa che l equazione non ha soluzioni intere; essa ha ovviamente soluzioni razionali (cioè in Q), ad esempio (0, 1/2) o (1, 1/6), ma nessuna di esse è data da due numeri interi. Vedremo come l algoritmo euclideo permette non solo di dimostrare che vale anche l implicazione inversa di quella stabilita nel Lemma 4, cioè, nelle stesse notazioni, che se d divide c, allora l equazione diofantea ax + by = c ammette soluzioni, ma anche di trovare queste soluzioni. A questo scopo, iniziamo a considerare un caso banale, quello in cui almeno uno tra i coefficienti a e b è 0. Se a = 0, allora l equazione ( ) si riduce a by = c. Dire che questa ha una soluzione intera equivale a dire che b divide c. Inoltre, b è un massimo comun divisore tra a(= 0) e b, quindi è vero, in questo caso, che l equazione data ammette soluzioni se (e solo se, in accordo col Lemma 4) un massimo comun divisore tra a e b divide c. Naturalmente, sempre in questo caso, è semplicissimo determinare le soluzioni, qualora ne esistano: se b 0 esse sono tutte (e sole) le coppie (n, c/b) al variare di n in Z, mentre ogni coppia di numeri interi è soluzione se b = 0. In modo analogo si ragiona se b = 0. Supponiamo allora che sia a che b siano diversi da zero. Eseguiamo le divisioni successive previste dall algoritmo euclideo: a = bq + r b = rq 1 + r 1 r = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3. r t 3 = r t 2 q t 1 + r t 1 r t 2 = r t 1 q t + r t r t 1 = r t q t+1 Allora r t è uno dei due massimi comun divisori tra a e b; poniamo d := r t. Per risolvere l equazione diofantea ( ) proveremo prima a risolvere l equazione diofantea ax + by = d. ( ) Come già osservato, risolvere quest ultima equivale ad esprimere d come combinazione lineare di a e b a coefficienti in Z. La divisione in cui d = r t appare come resto permette di esprimere d come combinazione lineare dei due resti precedenti, r t 1 e r t 2, infatti da r t 2 = r t 1 q t + d traiamo d = r t 2 + [ q t ]r t 1. La divisione precedente, r t 3 = r t 2 q t + r t 1, fornisce poi r t 1 come combinazione lineare di r t 3 e r t 2, dando r t 1 = r t 3 +[ q t 1 ]r t 2. Se sostituiamo questa espressione per r t 1 nella espressione trovata prima per d otteniamo d = r t 2 + [ q t ]r t 1 = r t 2 + [ q t ] ( r t 3 + [ q t 1 ]r t 2 ) = [ q t ]r t 3 +[1+q t q t 1 ]r t 2, ed esprimiamo così d come combinazione lineare di r t 2 e r t 3, i due resti precedenti r t 1. Questi passaggi dovrebbero essere sufficienti a comprendere l intero procedimento. Per comodità di espressione poniamo r 0 := r, r 1 := b e r 2 := a. Ad ogni passo d è espresso come combinazione lineare (a coefficienti in Z) di due resti con pedici consecutivi, diciamo r i e r i+1 ; dalla divisione di r i 1 per r i si ottiene r i+1 = r i 1 + [ q i+1 ]r i. Sostituendo nell espressione di d r i+1 con, appunto, r i 1 + [ q i+1 ]r i si può scrivere d come combinazione lineare di r i 1 e r i, i due resti precedenti, nell ordine, r i e r i+1. Questo passaggio può essere reiterato finché non si ottenga un espressione di d come combinazione lineare di a = r 2 e b = r 1, cioè due interi α e β tali che αa + βb = d. Allora α e β forniscono una soluzione dell equazione ( ). Da questa si trae facilmente una soluzione per l equazione ( ). Infatti, avendo assunto per ipotesi che d divida c, si ha c = dh per un opportuno h Z. Allora, ponendo u := hα e v := hβ, si ha au + bv = ahα + bhβ = h(αa + βb) = hd = c, quindi u e v forniscono una soluzione di ( ). Abbiamo in questo modo provato che l equazione diofantea ( ) ammette soluzioni se d c. Ricordandoci del Lemma 4 possiamo dunque concludere col seguente teorema: Teorema 5 (Teorema di Bézout). Siano a, b Z, e sia d = MCD(a, b). Allora l equazione diofantea ax + by = c ammette soluzioni (in Z) se e solo se d divide c. Il Teorema di Bézout è spesso citato, in modo equivalente, anche in questa forma: 6

7 Teorema 5*. Siano a, b Z, e sia d = MCD(a, b). Allora l insieme {αa + βb α, β Z} delle combinazioni lineari di a e b a coefficienti in Z coincide con l insieme dz = {dk k Z} dei multipli di d in Z. Come già per la ricerca di un massimo comun divisore, grazie all algoritmo euclideo, non solo abbiamo stabilito esattamente quando un equazione diofantea del tipo a noi considerato ammette soluzioni, ma abbiamo anche individuato un metodo (piuttosto efficace) per determinarne una nel caso esista. Ad esempio, supponiamo di voler trovare soluzioni dell equazione diofantea 74x + 22y = 10. In questo caso è evidente che MCD(74, 22) = 2; poiché 2 divide 10 siamo certi che l equazione ammette soluzioni. Benché già conosciamo il massimo comun divisore 2, per trovare una soluzione mediante l algoritmo euclideo bisogna eseguire le divisioni successive: 74 = 22[3] = 8[2] = 6[1] = 2[3] sino ad ottenere 2 come ultimo resto non nullo. Da queste uguaglianze ricaviamo: 8 = [ 3] 6 = [ 2] 2 = 8 + 6[ 1]. A questo punto possiamo esprimere 2 come combinazione lineare di 74 e 22, mediante successive sostituzioni: 2 = 8 + 6[ 1] = 8 + ( [ 2] ) [ 1] (sostituendo 6) = [ 1] + 8[2] (eseguendo i calcoli... ) = 8[3] + 22[ 1] (... e raccogliendo i coefficienti di 8 e 22) = ( [ 3] ) [3] + 22[ 1] (sostituendo 8) = 74[3] + 22[ 9] + 22[ 1] (eseguendo i calcoli... ) = 74[3] + 22[ 10] (... e raccogliendo i coefficienti di 22 e 74 ). Abbiamo così ottenuto l espressione di 2 cercata. Questa mostra che la coppia (3, 10) è soluzione dell equazione diofantea 74x + 22y = 2. Moltiplicando per 5 (cioè per 10/2) si ottiene 74[15] + 22[ 50] = 10, dunque la coppia (15, 50) è soluzione della nostra equazione diofantea 74x+22y = 10. Alcune annotazioni: come è chiaro, il procedimento effettuato si sarebbe potuto semplificare in almeno due modi: avremmo potuto effettuare divisioni euclidee anziché aritmetiche, risparmiando qualche passaggio. In questo caso specifico, dividendo 22 per 8 avremmo potuto scrivere 22 = 8[3] + ( 2) piuttosto che 22 = 8[2] + 6, risparmiando sia una divisione che una sostituzione nella seconda parte dell algoritmo. Per quest ultima avremmo infatti ottenuto: 2 = [ 3] = 22 + ( [ 3] ) [ 3] = 22[10] + 74[ 3] e quindi 10 = 22[ 50] + 74[15], moltiplicando per 5 = 10/( 2). avendo osservato che 2 divide 74, 22 e10, avremmo potuto semplificare l equazione dividendo tutti i coefficienti per 2 e ottenendo 37x + 11y = 5, un equazione equivalente alla precedente. Avremmo poi proceduto con calcoli analoghi a quelli effettuati sopra, ma facilitati perché applicati a numeri già divisi per due. Una cosa molto importante da chiarire è che la soluzione trovata non è l unica. Infatti, come è immediato verificare, per ogni intero k si ha 74( k) + 22( 50 74k) = 10, il che fornisce infinite soluzioni alla nostra equazione. In effetti, in generale, ogni equazione diofantea del tipo che stiamo considerando (cioè lineare a due indeterminate) ha infinite soluzioni se ne ha almeno una. Detto in altri termini: ha nessuna o infinite soluzioni. Ciò si può far seguire dalla teoria delle equazioni congruenziali lineari ad una indeterminata, che viene trattata in altre note. Ci limitiamo qui a stabilire il nesso tra equazioni diofantee e equazioni congruenziali: 7

8 Lemma 6. Siano a, b, c, u Z. Allora u è soluzione dell equazione congruenziale ax c (mod b) se e solo se esiste v Z tale che (u, v) sia soluzione dell equazione diofantea ax + by = c. Dimostrazione Se u è soluzione di ax c (mod b), allora b divide au c, quindi au c = bk per un opportuno k Z. Ma allora au bk = c, dunque, ponendo v = k, si ha au + bv = c, il che significa che (u, v) è soluzione di ax + by = c. Viceversa, se esiste v Z tale che (u, v) sia soluzione di ax + by = c, cioè tale che au + bv = c, allora b divide bv = au c, dunque au c (mod b) e u è soluzione di ax c (mod b). Possiamo concludere, grazie al Lemma 6, che il problema di risolvere l equazione diofantea ax + by = c è equivalente al problema di risolvere l equazione congruenziale ax c (mod b). Infatti, ogni soluzione (u, v) della prima fornisce immediatamente la soluzione u della seconda; viceversa, se u è soluzione della seconda, allora non solo esiste v Z tale che (u, v) sia soluzione della prima, ma tale v è facile da determinare: basta risolvere l equazione (ad una sola indeterminata) au + by = c. A titolo di esempio, torniamo alla nostra equazione 74x + 22y = 10. Come abbiamo visto, la coppia (15, 50) ne fornisce una soluzione. Allora 15 è soluzione dell equazione congruenziale 74x 10 (mod 22). Utilizzando questa informazione, dalla teoria delle equazioni congruenziali deduciamo che l insieme di tutte le soluzioni di 74x 10 (mod 22) è [15] 11 = [4] 11 = 4+11Z = {4+11k k Z}. Pertanto le soluzioni (intere) di 74x+22y = 10 saranno tutte e sole le coppie (u, v) tali che u = 4+11k e v sia soluzione di 74u + 22y = 10, vale a dire: v = (10 74u)/22. Svolgendo tutti i calcoli, si ottiene (10 74u)/22 = ( 5 37(4 + 11k) ) /11 = 13 37k, quindi l insieme delle soluzioni della nostra equazione è { } (4 + 11k, 13 37k) k Z. Per k = 0 troviamo così la soluzione (4, 13), mentre la soluzione (15, 50) che avevamo calcolato sopra si ottiene per k = 1. Va infine menzionata una importante applicazione del Teorema di Bézout. Due interi a e b si dicono coprimi se e solo se 1 = MCD(a, b). È evidente che questa condizione equivale a richiedere che non esista alcun numero primo che divida sia a che b. Il Teorema di Bézout ha questo caso particolare (anch esso talvolta chiamato Teorema di Bézout, in effetti il Teorema 5 si può dedurre da questo enunciato): Corollario 7. Siano a, b Z. au + bv = 1. Allora a e b sono coprimi se e solo se esistono u, v Z tali che Dimostrazione Per il Teorema 5, esistono u, v Z tali che au + bv = 1 se e solo se MCD(a, b) divide 1. Poiché i soli divisori di 1 sono 1 e 1, questa condizione equivale a MCD(a, b) = 1, cioè a richiedere che a e b siano coprimi. Proposizione 8. Siano a e b due interi coprimi. Per ogni c Z, se a bc allora a c. Dimostrazione Per il Teorema di Bézout (o per il Corollario 7) si ha 1 = au + bv per opportuni u, v Z. Moltiplicando per c otteniamo c = acu + bcv. Dunque c è combinazione lineare di a e bc; poiché a divide a e, per ipotesi, bc allora il Lemma 1 prova che a divide c. 8

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

1 n. Intero frazionato. Frazione

1 n. Intero frazionato. Frazione Consideriamo un intero, prendiamo un rettangolo e dividiamolo in sei parti uguali, ciascuna di queste parti rappresenta un sesto del rettangolo, cioè una sola delle sei parti uguali in cui è stato diviso.

Dettagli

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo 5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo X m a (mod n ) Oggetto di questo paragrafo è lo studio della risolubilità di congruenze del tipo: X m a (mod n) con m, n, a Z ed m, n > 0. Per l effettiva

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

Numeri complessi e polinomi

Numeri complessi e polinomi Numeri complessi e polinomi 1 Numeri complessi L insieme dei numeri reali si identifica con la retta della geometria: in altri termini la retta si può dotare delle operazioni + e e divenire un insieme

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI I numeri naturali I numeri interi I numeri razionali Teoria degli insiemi (cenni) ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 L insieme N dei numeri naturali 4 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO Così come avviene per i numeri ( 180 = 5 ), la scomposizione in fattori di un polinomio è la trasformazione di un polinomio in un prodotto di più polinomi irriducibili

Dettagli

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

19. Inclusioni tra spazi L p.

19. Inclusioni tra spazi L p. 19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

ESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765

ESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765 COMPLEMENTO A 10 DI UN NUMERO DECIMALE Sia dato un numero N 10 in base 10 di n cifre. Il complemento a 10 di tale numero (N ) si ottiene sottraendo il numero stesso a 10 n. ESEMPIO 1: eseguire il complemento

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 1.1 Che cos è un algoritmo CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 Gli algoritmi sono metodi per la soluzione di problemi. Possiamo caratterizzare un problema mediante i dati di cui si dispone all inizio

Dettagli

PROBLEMI RISOLTI ED IRRISOLTI IN TEORIA DEI NUMERI.

PROBLEMI RISOLTI ED IRRISOLTI IN TEORIA DEI NUMERI. PROBLEMI RISOLTI ED IRRISOLTI IN TEORIA DEI NUMERI. PH. ELLIA Indice 1. Pitagora, Euclide, Diofante. 2 1.1. Pitagora. 2 1.2. Numeri geometrici. 2 1.3. Divisori di un numero, numeri perfetti. 8 1.4. Euclide.

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

DI D AGRA R MM M I M A BLOCC C H C I TEORI R A E D D E SERC R I C ZI 1 1

DI D AGRA R MM M I M A BLOCC C H C I TEORI R A E D D E SERC R I C ZI 1 1 DIAGRAMMI A BLOCCHI TEORIA ED ESERCIZI 1 1 Il linguaggio dei diagrammi a blocchi è un possibile formalismo per la descrizione di algoritmi Il diagramma a blocchi, o flowchart, è una rappresentazione grafica

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Il principio di induzione e i numeri naturali.

Il principio di induzione e i numeri naturali. Il principio di induzione e i numeri naturali. Il principio di induzione è un potente strumento di dimostrazione, al quale si ricorre ogni volta che si debba dimostrare una proprietà in un numero infinito

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una

Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una NUMERI INTERI E NUMERI DECIMALI Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una cassetta sono contenuti 45 penne e che una lamiera misura 1,35 m. dl lunghezza,

Dettagli

I numeri. Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri?

I numeri. Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri? I numeri Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri? Come ti sarai reso conto, i numeri occupano un ruolo importante nella tua vita: dai numeri che esprimono il prezzo degli oggetti venduti in un

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Alla pagina successiva trovate la tabella

Alla pagina successiva trovate la tabella Tabella di riepilogo per le scomposizioni Come si usa la tabella di riepilogo per le scomposizioni Premetto che, secondo me, questa tabella e' una delle pochissime cose che in matematica bisognerebbe "studiare

Dettagli

ALGORITMI 1 a Parte. di Ippolito Perlasca. Algoritmo:

ALGORITMI 1 a Parte. di Ippolito Perlasca. Algoritmo: ALGORITMI 1 a Parte di Ippolito Perlasca Algoritmo: Insieme di regole che forniscono una sequenza di operazioni atte a risolvere un particolare problema (De Mauro) Procedimento che consente di ottenere

Dettagli

Appunti di Logica Matematica

Appunti di Logica Matematica Appunti di Logica Matematica Francesco Bottacin 1 Logica Proposizionale Una proposizione è un affermazione che esprime un valore di verità, cioè una affermazione che è VERA oppure FALSA. Ad esempio: 5

Dettagli

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice

+ / operatori di confronto (espressioni logiche/predicati) / + 5 3 9 = > < Pseudo codice. Pseudo codice Pseudo codice Pseudo codice Paolo Bison Fondamenti di Informatica A.A. 2006/07 Università di Padova linguaggio testuale mix di linguaggio naturale ed elementi linguistici con sintassi ben definita e semantica

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Limiti e forme indeterminate

Limiti e forme indeterminate Limiti e forme indeterminate Edizioni H ALPHA LORENZO ROI c Edizioni H ALPHA. Ottobre 04. H L immagine frattale di copertina rappresenta un particolare dell insieme di Mandelbrot centrato nel punto.5378303507,

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le funzioni nel discreto 3 1.1 Le funzioni nel discreto.................................. 3 1.1.1 La rappresentazione grafica............................

Dettagli

ESTRAZIONE DI RADICE

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza. L esponente della potenza è l indice della radice che può essere: quadrata (); cubica (); quarta (4); ecc. La base della

Dettagli

A i è un aperto in E. i=1

A i è un aperto in E. i=1 Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque

Dettagli

1A ARITMETICA. I numeri naturali e le quattro operazioni. Esercizi supplementari di verifica

1A ARITMETICA. I numeri naturali e le quattro operazioni. Esercizi supplementari di verifica A ARITMETICA I numeri naturali e le quattro operazioni Esercizi supplementari di verifica Esercizio Rappresenta sulla retta orientata i seguenti numeri naturali. ; ; ; 0;. 0 Esercizio Metti una crocetta

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: FATTORIZZAZIONE IN NUMERI PRIMI.

IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: FATTORIZZAZIONE IN NUMERI PRIMI. IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: FATTORIZZAZIONE IN NUMERI PRIMI. PH. ELLIA Indice Introduzione 1 1. Divisori di un numero. 2 2. Numeri primi: definizioni. 4 2.1. Fare la lista dei numeri primi.

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 1 RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 Numeri Binari 2 Sistemi di Numerazione Il valore di un numero può essere espresso con diverse rappresentazioni. non posizionali:

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

I numeri reali. Note per il corso di Analisi Matematica 1. G. Mauceri. a.a. 2003-04

I numeri reali. Note per il corso di Analisi Matematica 1. G. Mauceri. a.a. 2003-04 I numeri reali Note per il corso di Analisi Matematica 1 G. Mauceri a.a. 2003-04 2 I numeri reali Contents 1 Introduzione 3 2 Gli assiomi di campo 3 3 Gli assiomi dell ordine 4 4 Valore assoluto 5 5 I

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2 NLP -OPT 1 CONDIZION DI OTTIMO [ Come ricavare le condizioni di ottimo. ] Si suppone x* sia punto di ottimo (minimo) per il problema min f o (x) con vincoli g i (x) 0 i I h j (x) = 0 j J la condizione

Dettagli

Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind

Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind Stefania Gabelli Dipartimento di Matematica, Università degli Studi Roma Tre Note per i corsi di Algebra Commutativa a.a. 2010/2011 1 Indice 1 Preliminari

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e

Dettagli

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente

Dettagli

Flusso a costo minimo e simplesso su reti

Flusso a costo minimo e simplesso su reti Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO

PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO 9 PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO Il capitolo che sta per iniziare presenta alcuni argomenti dall aspetto un po arido. Tuttavia, nelle facoltà

Dettagli

Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso. Luigi De Giovanni, Laura Brentegani

Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso. Luigi De Giovanni, Laura Brentegani Ricerca Operativa Esercizi sul metodo del simplesso Luigi De Giovanni, Laura Brentegani 1 1) Risolvere il seguente problema di programmazione lineare. ma + + 3 s.t. 2 + + 2 + 2 + 3 5 2 + 2 + 6,, 0 Soluzione.

Dettagli

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI Prima di riuscire a scrivere un programma, abbiamo bisogno di conoscere un metodo risolutivo, cioè un metodo che a partire dai dati di ingresso fornisce i risultati attesi.

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009 ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali v.scudero www.vincenzoscudero.it novembre 009 1 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione)

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA Prerequisiti - Impiego di Multipli e Sottomultipli nelle equazioni - Equazioni lineari di primo grado e capacità di ricavare le formule inverse - nozioni base di fisica

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

Gli algoritmi. Gli algoritmi. Analisi e programmazione

Gli algoritmi. Gli algoritmi. Analisi e programmazione Gli algoritmi Analisi e programmazione Gli algoritmi Proprietà ed esempi Costanti e variabili, assegnazione, istruzioni, proposizioni e predicati Vettori e matrici I diagrammi a blocchi Analisi strutturata

Dettagli

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale 4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,

Dettagli

Elementi di informatica

Elementi di informatica Elementi di informatica Sistemi di numerazione posizionali Rappresentazione dei numeri Rappresentazione dei numeri nei calcolatori rappresentazioni finalizzate ad algoritmi efficienti per le operazioni

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

I numeri relativi. Il calcolo letterale

I numeri relativi. Il calcolo letterale Indice Il numero unità I numeri relativi VIII Indice L insieme R Gli insiemi Z e Q Confronto di numeri relativi Le operazioni fondamentali in Z e Q 0 L addizione 0 La sottrazione La somma algebrica La

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso

A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso 441 APPENDICE A4 NUMERI COMPLESSI A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso Si riepilogano i concetti e le operazioni elementari relativi ai numeri complessi. Sia z un numero complesso;

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli