Guardiamo ora però la cosa da un altro punto di vista analizzando il seguente grafico a forma di torta. La torta in 5 parti

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1 L EQUIVALENZA FRA I NUMERI RAZIONALI (cioè le frazioni), I NUMERI DECIMALI (quelli spesso con la virgola) ED I NUMERI PERCENTUALI (quelli col simbolo %). Ora vedremo che ogni frazione (sia propria, che impropria, che apparente) si può sempre trasformare nel suo corrispondente numero percentuale, cioè col simbolo %. Ecco come fare: se la frazione che vuoi trasformare è propria, per esempio 2/5 (1) (cioè col numeratore minore del denominatore e dunque di valore inferiore all unità) basta moltiplicarla per 100% e semplificare fin che si può, i numeri in alto con quelli in basso, vediamolo qui nei vari modi possibili: Come puoi vedere tutti i modi portano sempre allo stesso risultato e sono dunque da considerarsi equivalenti anche se diversi nel procedimento, di solito si usa il primo ma tu puoi scegliere quello che preferisci. ancora meglio sarebbe saperli fare tutti e tre. In ogni caso infatti ho diviso sia il numeratore che il denominatore per il loro MCD che è 5 ed ottengo sempre 40, il simbolo % che è sempre presente sino alla fine, caratterizza il risultato come percentuale rispetto ad un totale che si intende appunto sempre pari al 100%. Dunque si può dire che la frazione 2/5 equivale al 40% (ossia a 40 parti su 100 totali) e nulla sarebbe cambiato se al suo posto ci fosse stata la frazione equivalente non ridotta ai minimi termini, per esempio 4/10 oppure 20/50 come puoi verificare di persona con pochi calcoli (2). Guardiamo ora però la cosa da un altro punto di vista analizzando il seguente grafico a forma di torta. La torta in 5 parti Totale = 100% = 5/5 = 1 (1) Nota Bene : si scrive anche oppure (2) Nota Bene: una frazione si può ridurre ai minimi termini semplificandola subito col MCD oppure progressivamente coi divisori comuni.

2 Se prendo una torta divisa in 5 parti uguali, ognuna delle 5 fette corrisponde ad 1/5 del totale che è il 100% (ossia la frazione apparente 5/5 = 1 corrispondente all intero o unità), dunque ogni fetta è pari al 100% diviso per 5, cioè: Cioè ogni fetta della torta è il 20% del totale (il totale è sempre pari all unità e dunque al 100%). Dunque i 2/5 visti prima sono 2 fette da 20% ognuna e quindi il 40% del totale (ossia a 40 parti su 100 totali in cui immagino divisa la torta, come mostra il grafico seguente ove ogni fettina è l 1%)... mi sembra che i conti tornino! Si può inoltre ottenere la percentuale partendo da un numero decimale, infatti se prima ho mostrato che la frazione 2/5 equivale sempre al 40%, è anche vero per definizione di numero razionale (o frazione) che: ma allora per passare da decimale a percentuale (visto che 2/5 equivale al numero decimale 0,4 ) basterà anche qui moltiplicarlo semplicemente per 100% ; infatti come prima avremo: Concludendo: abbiamo dimostrato la tripla equivalenza fra frazioni, numeri decimali e numeri percentuali. In sintesi si può evidenziare questa tripla corrispondenza graficamente col seguente diagramma:

3 Tutto quello che abbiamo visto vale per ogni tipo di frazione, oltre che propria anche impropria ed apparente, infatti per esempio: se è apparente (cioè multipla dell unità): ovviamente qui la virgola nel numero decimale non è necessaria, dato che la divisione ci da un risultato intero. oppure sempre apparente (ma unitaria): invece se è impropria (cioè col numeratore maggiore del denominatore e dunque di valore superiore all unità ):

4 oppure sempre impropria: sarà: e il diagramma Consiglio: Non bisogna stupirsi se esistono percentuali superiori al 100%.infatti è come avere più di una torta invece di una sua sola porzione: in questo ultimo caso di torte ne hai addirittura sei e mezza! Non bisogna stupirsi neppure se esistono percentuali nulle o negative. infatti lo 0% corrisponderà allo zero dei numeri interi e quelle negative semplicemente ai loro numeri negativi corrispondenti! Abbiamo visto fino ad ora come trasformare una frazione e il suo valore decimale nella percentuale corrispondente. Vediamo ora una cosa altrettanto importante, ossia come trasformare una percentuale nella sua frazione o nel suo valore decimale corrispondenti. Per esempio voglio esprimere negli altri modi il 60%.Se prima per trasformare in percentuale bastava moltiplicare per 100%, ora all inverso basterà dividere per 100% infatti, semplificando come al solito col MCD ed eliminando i due simboli % si avrà: cioè 3 fette della torta di prima (ossia 3 per 20%) che equivalgono a poco più di metà torta, e dunque il diagramma sarà: altro esempio il 200% (ossia due torte intere):

5 oppure il 650% (ossia sei torte e mezza): Dulcis In Fundo L ultima maniera per calcolare una percentuale partendo da una frazione o viceversa è quella di usare una bella proporzione! Infatti nel primo caso si ha che: la percentuale cercata starà al 100% come la frazione corrispondente sta all unità x% : 100% = 2/5 : 1 si ricava dunque la percentuale incognita che varrà : x% = 2/5. 100% = 40% Mentre nel secondo si avrà che: la frazione cercata starà all unità come la percentuale corrispondente sta al 100% x : 1 = 40% : 100% si ricava dunque la frazione incognita che varrà: x = 40% /100% = 2/5 E chiaro (vista la corrispondenza fra frazioni e numeri decimali) che in entrambi i casi appena visti potrei sostituire la frazione 2/5 col suo valore decimale 0,4. E altrettanto chiaro che al posto della frazione propria 2/5 potrebbe esserci una qualsiasi frazione, apparente od impropria. Considerazione: In entrambi i casi i passaggi sono molto diretti e non necessitano di particolari suggerimenti (almeno spero!). B U O N O S T U D I O! Prof. Quintino Arena A.S. 2010/2011 Liceo Classico Psicopedagogico G.Cesare -M.Valgimigli