Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano

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Elena Forti
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1 Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza dei prezzi per camera di alcuni agriturismi, situati nella regione Basilicata. Prezzi Frequenze Da 20 a 30 euro 5 Da 30 a 40 euro 20 Da 40 a 60 euro 15 Da 60 a 90 euro 10 a) Definire il tipo di variabile statistica analizzata b) Calcolare gli indici di posizione e variabilità ritenuti più adeguati per la variabile in oggetto. c) Illustrare le proprietà della media aritmetica. Esercizio 2 Si consideri una popolazione di 200 famiglie di un comune, classificate secondo le variabili Tipo di automobile e Occupazione svolta dal capofamiglia : Tipo di automobile Totale Lavoratore autonomo Lavoratore dipendente Disoccupato Totale a) Si analizzi l associazione o connessione tra i due caratteri. Esercizio 3 Si supponga che il voto conseguito ad un certo esame universitario possa essere descritto da una variabile casuale normale con media pari a 24 e varianza pari a 4. Si calcoli: a) La probabilità che uno studente riceva un voto compreso tra 23 e 26; b) La probabilità che uno studente riceva un voto maggiore di 28; c) La probabilità che uno studente riceva un voto minore di 20; Esercizio 4 Nella tabella seguente si riporta la distribuzione del reddito dichiarato nelle cinque province di una nota regione: Province Reddito (in migliaia di euro) A 75 B 23 C 10 D 9 E 7 a) Si calcoli la concentrazione del reddito dichiarato nella regione.

Prezzi Frequenze Da 20 a 30 euro 5 Da 30 a 40 euro 20 Da 40 a 60 euro 15 Da 60 a 90 euro 10 a) Definire il tipo di variabile statistica analizzata b) Calcolare gli indici di posizione e variabilità

2 SVOLGIMENTO Esercizio 1. a) La variabile prezzo per camera è di tipo quantitativa. Essa è divisa in classi. Le modalità sono: 20-30, 30-40, 40-60, b) La moda della variabile è la modalità che si presenta più frequentemente nel collettivo esaminato, quindi è la modalità con la frequenza più alta. In questo caso, poiché la variabile è divisa in classi, la classe modale sarà quella con la densità di frequenza più alta. Calcoliamo le densità di frequenze: Prezzi Valori centrali ampiezza delle classi Frequenze densità di frequenza Da 20 a 30 euro ,50 Da 30 a 40 euro ,00 Da 40 a 60 euro ,75 Da 60 a 90 euro ,33 La classe modale è, dunque, euro. Per calcolare la mediana, avendo una distribuzione di frequenza divisa in classi, è necessario calcolare la funzione di ripartizione empirica: Valori centrali delle classi Frequenze assolute frequenze relative frequenze assolute cumulate Funzione di ripartizione empirica Prezzi Da 20 a 30 euro ,1 5 0,1 Da 30 a 40 euro ,4 25 0,5 Da 40 a 60 euro ,3 40 0,8 Da 60 a 90 euro , La classe mediana è la prima per la quale accade che la funzione di ripartizione è maggiore o uguale a 0,5. In questo caso la classe mediana è Per individuare il valore assunto dall individuo mediano all interno della classe si può utilizzare la seguente formula:

In questo caso, poiché la variabile è divisa in classi, la classe modale sarà quella con la densità di frequenza più alta.

3 Per cui la mediana sarà, secondo questo approccio, pari approssimativamente a 40 euro. Per calcolare la media, consideriamo i valori centrali delle classi. Applicando la formula si ottiene: [ ] Il prezzo medio per camera è 46,5 euro. Per quanto riguarda gli indici di variabilità, possiamo calcolare la varianza, lo scarto quadratico medio e il coefficiente di variazione: [ ] c) Le proprietà della media aritmetica sono: 1.La media aritmetica è sempre un valore compreso tra il valore minimo e massimo della distribuzione. In questo esempio, la media è pari a 46,5, valore compreso tra in minimo (20) e il massimo (90). 2.La media aritmetica è quel valore che, sostituito a tutti i valori che assume la variabile, non ne altera la somma ; 3. La somma degli scarti dalla media aritmetica è sempre nulla. [ ] [ ] [ ] [ ] Inoltre, la media aritmetica è quel valore che rende minima la somma degli scarti al quadrato. 4.Se aggiungiamo (sottraiamo) o moltiplichiamo (dividiamo) una costante ad ogni valore della distribuzione, la media aritmetica sarà modificata dello stesso ammontare. Per esempio, se aggiungiamo 2 ad ogni valore della nostra distribuzione e poi moltiplichiamo ogni valore per 3, la risultante media sarà:

Per quanto riguarda gli indici di variabilità, possiamo calcolare la varianza, lo scarto quadratico medio e il coefficiente di variazione: [ ] c) Le proprietà della media aritmetica sono: 1.

4 La media sarà pari a:, per cui

5 Esercizio 2. Le variabili sono qualitative, quindi misuriamo il grado di associazione mediante l indice medio quadratico di contingenza del Pearson, detto anche indice di connessione o associazione. Riferendoci alla sua formulazione più semplice dal punto di vista del calcolo, si ha: ( ) Procediamo per gradi: Dalla tabella originaria, riportata in basso, calcoliamo le frequenze congiunte al quadrato Tipo di automobile Totale Lavoratore autonomo Lavoratore dipendente Disoccupato Totale Tipo di automobile Lavoratore autonomo Lavoratore dipendente Disoccupato Frequenze congiunte al quadrato Calcoliamo poi il denominatore, ponendo in ogni cella nella tabella sottostante il prodotto Tipo di automobile Lavoratore autonomo Lavoratore dipendente Disoccupato n i+ n +j Procediamo con il dividere ogni cella della tabella dei quadrati delle frequenze congiunte per la corrispondente cella della tabella contenente il prodotto

quadrato Tipo di automobile Totale Lavoratore autonomo 10 40 50 Lavoratore dipendente 60 40 100 Disoccupato 40 10 50 Totale 110 90 200 Tipo di automobile Lavoratore autonomo 100 1600 Lavoratore

6 Tipo di automobile Lavoratore autonomo 0,02 0,36 Lavoratore dipendente 0,33 0,18 Disoccupato 0,29 0,02 Il totale di tutti gli elementi presenti nell ultima tabella è pari a 1,19. Per cui, 1,19-1 = 0,19. Ovviamente, se volessimo conoscere il valore dell indice, basterebbe moltiplicare per N il valore ottenuto dell indice. Quindi, L indice di connessione varia da un minimo pari a zero (in caso di indipendenza in distribuzione) ad un massimo pari a {min(k,h) 1} (in caso di perfetta connessione); nel nostro caso il massimo è pari a 1. Rapportando il valore osservato dell indice di connessione al suo massimo, si ottiene l indice normalizzato: [ ]

Ovviamente, se volessimo conoscere il valore dell indice, basterebbe moltiplicare per N il valore ottenuto dell indice.

7 Esercizio 3. La variabile possiede media pari a 24 e varianza pari a 4. Lo scarto quadratico medio è pari a 2. a) Calcolare la probabilità che uno studente riceva un voto compreso tra 23 e 26; Standardizziamo i due estremi dell intervallo Guardando sulle tavole della normale standardizzata troviamo: ( ) ( ) Quindi, la probabilità che uno studente riceva un voto compreso tra 23 e 26 è pari a : b) Calcolare la probabilità che uno studente riceva un voto maggiore di 28; Standardizziamo il voto 28: Sulle tavole troviamo la probabilità che Z sia minore di 2: ( ) Poiché desideriamo trovare la probabilità che uno studente riceva un voto maggiore di 28, allora abbiamo: d) Calcolare la probabilità che uno studente riceva un voto minore di 20; Standardizziamo il voto 20: Sulle tavole troviamo la probabilità che X sia minore di 2, pari a 0, Per la simmetria, la probabilità che x sia minore di -2, ossia minore di 20, abbiamo:

Quindi, la probabilità che uno studente riceva un voto compreso tra 23 e 26 è pari a : b) Calcolare la probabilità che uno studente riceva un voto maggiore di 28; Standardizziamo il voto 28: Sulle

8 Esercizio 4. Riportiamo la tabella originaria: Province Reddito (in migliaia di euro) A 75 B 23 C 10 D 9 E 7 Innanzitutto ordiniamo le unità statistiche rispetto al reddito dichiarato. Ai fini del calcolo del rapporto di concentrazione, determiniamo i valori in termini relativi delle unità statistiche cumulate e delle intensità cumulate: Province Reddito (in migliaia di euro) Unità relative cumulate (p l ) Intensità relative cumulate (q l ) Differenze (p i -q l ) E 7 0,200 0,056 0,144 D 9 0,400 0,129 0,271 C 10 0,600 0,210 0,390 B 23 0,800 0,395 0,405 A Totale ,210 Il rapporto di concentrazione del Gini può essere così determinato: Di seguito si riporta la spezzata di Lorenz 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,200 0,400 0,600 0,800 1,000

Unità relative cumulate (p l ) Intensità relative cumulate (q l ) Differenze (p i -q l ) E 7 0,200 0,056 0,144 D 9 0,400 0,129 0,271 C 10 0,600 0,210 0,390 B 23 0,800 0,395 0,405 A 75 -- -- --

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