ESERCIZIO N 4. Fatturato Supermercati [0;500) 340 [500;1000) 368 [1000;5000) 480 [5000;10000) 37 [10000;20000) 15 taglia = 1240

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1 ESERCIZIO N 4 Fatturato Supermercati [0;500) 340 [500;1000) 368 [1000;5000) 480 [5000;10000) 37 [10000;20000) 15 taglia = 1240 PUNTO a CALCOLO MODA E QUARTILI La moda rappresenta quell'elemento del campione casuale che si ripete più volte. In altri termini, è la modalità del carattere con frequenza assoluta più elevata. Quando abbiamo una distribuzione di frequenze in cui le modalità sono raggruppate per classi di modalità, la moda corrisponde al punto medio della classe di modalità con frequenza assoluta più elevata. Nel nostro caso: la frequenza assoluta più elevata si ha in corrispondenza della classe [1000;5000), pertanto il punto medio sarà uguale a: MODA= ( )/2 = 3000 Passiamo al calcolo dei quartili. Non avendo a disposizione i dati del campione grezzo, dobbiamo costruire una tabella con gli estremi delle classi e le frequenze cumulate assolute (introducendo successivamente anche le cumulate relative). Partiamo dal calcolo della mediana che in altri termini corrisponde 0 0 al secondo quartile. Dobbiamo individuare la coppia di estremi consecutivi "a" e "b" tali che: la frequenza cumulata assoluta di "a" sia minore della taglia/2 e la frequenza cumulata assoluta di "b" sia maggiore della taglia/ poiché: 340 < 1240/2 e 708 > 1240/ Quindi la mediana si trova in [500;1000). Il passo successivo consiste nel calcolo della mediana. Pertanto aggiungiamo alla tabella sopra riportata la colonna delle frequenze cumulate relative ( che si ottengono dividendo le frequenze cumulate assolute per la taglia). Nel nostro caso tali estremi corrispondono a: 500 e 1000 A questo punto bisogna verificare che l'estremo "a" abbia frequenza cumulata ,27 relativa minore di 0,5 e l'estremo ,5709 "b" abbia frequenza cumulata relativa ,958 maggiore di 0,5.

2 Il calcolo della mediana consisterà in un'intersezione tra: y=0,5 (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) y=0,5 (y-0,27)/(0,5709-0,27)=(x-500)/( ) Facendo le opportune sostituzioni e risolvendo per "x" otteniamo: y=0,5 x=q2=m=mediana= 882 Ora passiamo al calcolo del primo quartile, ossia, quello che lascia a sinistra il 25 % dei dati. Procediamo in maniera pressochè analoga al calcolo della maediana. Dobbiamo individuare la coppia di estremi consecutivi "a" e "b", tali che: la frequenza cumulata relativa di "a" sia minore di 0,25 e la frequenza cumulata relativa di "b" sia maggiore di 0, Il primo quartile è contenuto ,27 nell'intervallo [0;500) ,5709 Infatti: ,958 0 < 0,25 e 0,27 > 0,25. y=0,25 y=0,25 y=0,25 y/0,27 = x/500 0,925= x/500 x=q1=primo QUARTILE= 463 Dopo le oppurtune sostituzioni, risolvendo per "x" il sistema abbiamo ricavato il primo quartile. Calcoliamo, ora, il terzo quartile, ossia, quello che lascia a sinistra del campione il 75 % dei dati. Così come abbiamo fatto per la mediana e il primo quartile, individuiamo la coppia di estremi consecutivi "a" e "b" tali che: la frequenza cumulata relativa di "a" sia minore di 0,75 e la freq. Cum. Relativa di "b" sia maggiore di 0,75.

3 0 0 0 Il terzo quartile si trova tra gli estremi , e 5000, infatti: ,5709 0,5709 < 0,75 e 0,958 > 0, ,958 Impostiamo il sistema per trovare Q3: y=0,75 y=0,75 y=0,75 (y-0,57)/(0,958-0,57) = (x ) / ( ) 0,46= (x-1000)/4000 x=q3=2855,67 y=0,75 Il terzo quartile è 2856 x=2856 Punto b Determinare quanti supermercati hanno avuto un fatturato < 1000 e quanti un fatturato compreso tra 1000 (incluso) e (escluso). (Fatturato < 1000) / taglia = 708 /1240 = 0,57= p Si evince che il 57 % dei supermercati ha un fatturato ,27 inferiore a 1000 euro, lo si deduce rapportando ,5709 la frequenza cumulata assoluta di 1000 alla ,958 taglia; da tale passaggio ricaviamo, infatti, il 57esimo percentile che è quel valore che lascia a sinistra del campione casuale il 57 % dei dati. 708 supermercati hanno un fatturato inferiore a 1000 euro.

4 Passiamo a calcolare quanti supermercati hanno un fatturato che è compreso tra 1000 (incluso) e (escluso). Ci interessa ispezionare l'intervallo [1000; 10000). fatturato [0;500) [500;1000) [1000;5000) [5000;1000) [10000;20000) #supermercati Il numero di supermercati con un fatturato compreso tra 1000 euro (incluso) e euro (escluso) è pari a: = /1240 = 0,42 0,42 * 100 = 42 il 42% dei supermercati ha fatturato compreso tra 1000 euro e euro. Punto c Determinare la percentuale di supermercati con un fatturato di almeno 1000 euro. fatturato [0;500) [500;1000) [1000;5000) [5000;1000) [10000;20000) #supermercati (fatturato >= 1000) / taglia si tratta di sommare le frequenze assolute delle ultime 3 classi di modalità, sopra cerchiate = 532/1240= 0,429 = 0,43 *100= 43 il 43% dei supermercati ha un fatturato di almeno 1000 euro. Punto d Entro quale intervallo ricade all'incirca il 70 % del fatturato? % 15% 70% dei dati Il 70%, circa, dei dati (fatturato), si colloca nell'intervallo compreso tra il 15esimo e l'85esimo percentile. Andiamo quindi a calcolare i percentili, al fine di poter determinare l'intervallo preciso.

5 0 0 0 Per calcolare il 15esimo percentile dobbiamo ,27 individuare la coppia di estremi consecutivi ,5709 "a" e "b" tali che: ,958 la frequenza cumulata relativa di "a" sia minore di 0,15 e la frequenza cumulata relativa di "b" sia maggiore di 0,15. y=0,15 y=0,15 y=0,15 y/0,27 = x/500 0,555 = x/500 x=277,78 = y=0, , , ,958 (y-0,57)/(0,958-0,57) = (x-1000)/( ) y=0,85 y=0,85 y=0,85 0,72= (x-1000)/ ,6 = x x=3886,60 = esimo percentile Infine possiamo concludere dicendo che: circa il 70 % dei dati ricade nell'intervallo [278;3887], ossia tra il 15esimo e l'85esimo percentile.

6 Punto e Costruire il poligono delle densità. La densità è pari al rapporto tra la frequenza relativa e l'ampiezza della classe di modalità. Fatturato Supermercati frequenza cumulata relativa densità ampiezza classe [0;500) 340 0,27 0, [500;1000) 368 0,3 0, [1000;5000) 480 0,4 0, [5000;10000) 37 0,03 0, [10000;20000) 15 0,012 0, taglia = 1240 Calcolo densità densità ampiezza classe 0,27/500= 0, ,3/500= 0, ,4/4000= 0, ,03/5000= 0, ,01/10000= 0, la frequenza relativa si calcola come rapporto tra la frequenza assoluta e la taglia. 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0, Istogramma delle densità Abbiamo costruito l'istogramma delle densità, utile per confronti, previsioni, per riempire gli spazi bianchi, ponendo sull'asse delle ascisse le classi di modalità, ossia, il fatturato e sull'asse delle ordinate i valori relativi alle densità. classi

7 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0, Poligono delle densità Serie1 Viene di seguito riportato il poligono delle densità (modello teorico). Sull'asse delle ascisse troviamo le classi di modalità; mentre sulle ordinate le densità. Si può osservare che: dalla terza classe di modalità in poi, aumenta notevolmente l'ampiezza delle classi, pertanto i valori delle densità divengono via via minori e meno significativi. Esercizio n 8 Durante un viaggio sono stati effettuati tre rifornimenti di carburante per un totale di 35 euro. Il prezzo al litro è: 1,36; 1,28; 1,30. Calcolare il prezzo medio al litro. Applichiamo il procedimento della media aritmetica campionaria: Media aritmetica = m = (1,36 + 1,28 + 1,30) / 3 = 1,31 euro. Prezzo medio al litro. Esercizio n 9 Uno scommettitore puntando una somma iniziale pari a 2 euro ha conseguito un capitale di 432 euro in 3 giocate successive. Facendo riferimento ai dettagli delle giocate riportati sul foglio delle tracce, si procede al calcolo della vincita media riportata. Per poter calcolare la vincita media riportata, applichiamo la media aritmetica ponderata (pesata) assumendo come pesi ( coefficienti di ponderazione) il numero delle volte in cui avviene la giocata. #VOLTE Media pesata = [( numeri * pesi) / pesi] VINCITE EURO GIOCATE 2,00 3 Media pesata = [( 2 * 3) + ( 6 * 8 ) + (48* 9)] /(3+8+9) = 24,3 6, , ,67