Teoria delle code. Sistemi stazionari: M/M/1 M/M/1/K M/M/S

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1 Teoria delle code Sistemi stazionari: M/M/1 M/M/1/K M/M/S Fabio Giammarinaro 04/03/2008

2 Sommario INTRODUZIONE... 3 Formule generali di e... 3 Leggi di Little... 3 Cosa cerchiamo... 3 Legame tra N e le altre grandezze... 4 Calcolo delle probabilità... 4 M/M/ Considerazioni iniziali... 5 e Condizioni di stazionarietà... 6 N... 6 Le altre grandezze di interesse... 7 M/M/1/K... 8 Considerazioni iniziali Condizione di stazionarietà (fattore di perdita) N M/M/S Considerazioni iniziali Condizione di stazionarietà e L SCHEMA RIASSUNTIVO

3 INTRODUZIONE Formule generali di e Leggi di Little Tempo speso nel intero sistema = tempo speso in coda + tempo speso in servizio [s] = [s] + # clienti nel sistema = frequenza degli arrivi tempo speso nel sistema [numero puro] = # clienti in coda = frequenza degli arrivi tempo speso in coda [numero puro] = Cosa cerchiamo sono parametri del sistema e in genere vengono dati dal problema, quindi basta trovare N (o L nel caso M/M/s) e si trovano le altre grandezze di interesse tramite le leggi di Little 3

4 Legame tra N e le altre grandezze Avendo mi calcolo : poi infine : Calcolo delle probabilità L unica conoscenza necessaria è la formula del calcolo del valore atteso (o media di insieme) di una variabile aleatoria (nell esempio n): 4

5 M/M/1 Considerazioni iniziali e per il caso M/M/1 vengono considerati nel seguente modo: La frequenza di arrivo e la velocità di servizio sono indipendenti dallo stato attuale del sistema. Le produttorie che compaiono nella e nella si riscrivono nel seguente modo: è considerato = 0 in quanto non posso servire nessuno se nel mio sistema non ci sono clienti. Esempio: (con n=3) E per vale lo stesso discorso. e Si definisce: (fattore di utilizzazione) Questo rappresenta quanto è utilizzato il servente. È una probabilità. Quando è più prossimo a 1 rappresenta il servente operoso, quando si avvicina a 0 rappresenta l inoperosità del servente. Tenendo conto della 1.1 e della 1.2, la si riscrive: 5

6 Notiamo che la serie al denominatore assomiglia a una serie geometrica, ma la serie geometrica parte da 0. Possiamo portare dentro la serie 1, in modo da partire da 0, visto che qualsiasi numero alla 0 da 1 e il suo contributo è sempre +1. Otterremo così: Adesso abbiamo una serie geometrica di ragione. Ricordiamo che la serie geometrica converge a quando. Nel nostro caso non può essere negativo, quindi l unica condizione è ; riscriviamo utilizzando la somma della serie: infatti rappresenta la probabilità che nel sistema ci siano zero clienti. è calcolato sottraendo alla probabilità certa (100%) il fattore di utilizzazione. Tenendo conto della 1.1 e della 1.2, la si riscrive nel seguente modo: Considerando la formula di si riscrive così: Condizioni di stazionarietà È necessario avere per la convergenza della serie geometrica implica che: (condizione di stazionarietà) Questa condizione deve sempre essere verificata! Se i serventi non riuscirebbero a star dietro alla frequenza degli arrivi: SI CREA CODA INFINITA; IL SISTEMA ESPLODE! La condizione di stazionarietà deve essere verificata anche perché se così non fosse la serie geometrica non convergerebbe. N A noi interessa calcolare N (cioè il valore atteso della variabile aleatoria n) in modo da ricavare tutte le grandezze di interesse tramite le leggi di Little. Partiamo dal calcolo del valore atteso di N: Sostituito la vista sopra nella formula generale del valore atteso Portato fuori dalla serie perché non dipende da 6

7 A questo punto l ultima è quasi una serie geometrica, tranne per la presenza di. Osserviamo che: Ma non è altro che la derivata di, cioè: Sostituendo nella serie e portando un fuori: Ma la somma delle derivate è = alla derivata della somma, cioè: Al posto della serie geometrica è stato sostituita la sua somma, già vista in precedenza: È stato svolta la derivata di cioè È stato semplificato il termine al denominatore È stato sostituito con Quindi si è ottenuto: Le altre grandezze di interesse Tramite le leggi di Little si ricavano tutte le altre grandezze di interesse: 7

8 M/M/1/K Considerazioni iniziali Sono ammessi solo k clienti nel sistema (in tutto il sistema!). Di conseguenza k-1 clienti in coda (1 in servizio). Quindi: k-1 clienti in coda + 1 in servizio = k -1+1 = k (# clienti nell intero sistema) Il dipende dallo stato in cui si trova il sistema: Se i clienti nel sistema sono < k si possono ancora avere ingressi (fino a k va bene). Quando i clienti nel sistema sono k non si possono più accettare clienti perché il sistema ha raggiunto il suo massimo (cioè k) La produttoria che compare nella e nella si riscrive nel seguente modo: Per quanto riguarda valgono le stesse considerazioni iniziali fatte per il sistema M/M/1: Il tempo di servizio è indipendente dallo stato attuale del sistema. La produttoria che compare nella e nella si riscrive nel seguente modo: è considerato = 0 in quanto non posso servire nessuno se nel mio sistema non ci sono clienti. Condizione di stazionarietà Per il sistema M/M/1/K non sono necessarie condizioni di stazionarietà in quanto nel sistema sono accettati solo k clienti. Il sistema si AUTOLIMITA! 8

9 Definiamo la si riscrive: Notare il k come estremo della somma, visto che qui si possono avere al massimo k clienti nel sistema. Si nota che la serie al denominatore assomiglia a una serie geometrica, ma la serie geometrica parte da 0. Possiamo portare dentro la serie 1, in modo da partire da 0, visto che qualsiasi numero alla 0 da 1 e il suo contributo è sempre +1. Otterremo così: Non è ancora una serie geometrica perché non va da 0 a. Si consideri solo la serie al denominatore come differenza di due serie: La somma da 0 a k è scritta come la somma da o a meno la somma da k+1 a La prima serie e una classica serie geometrica e converge a Si consideri solo la seconda serie al secondo membro: Si imposti un cambio di variabile così definito: m = n-k-1. Si ottiene quindi: Da questa si porti fuori, si ottiene : 9

10 Risolvendo la serie geometrica: Concludendo: Tornando a : Il in questo caso è definito nel seguente modo: Sono ammessi clienti fino a k, quindi la probabilità di averne k+1 clienti, k+2 clienti, k+3clienti,.. è zero! Tenendo conto della 2.1 e della 2.2, la si riscrive nel seguente modo: Sostituendo il appena ricavato: Riscrivendo: 1- (fattore di perdita) Non tutti i clienti sono accettati, si rende quindi necessario quantificare questa perdita. 1- si definisce come fattore di perdita, cioè la probabilità di perdere clienti. Quando si perdono clienti? Quando mi trovo in cioè: 10

11 La serie contiene solo un elemento:, visto che dopo sono tutti zero per come è definito È stato riscritto con k al posto dell indice n Quindi: N Sostituito Portato fuori perché non dipende da n Portato fuori un (all interno resta ) in questo modo all interno della serie si ottiene la derivata di. Riscrivendo: Ma la somma delle derivate è = alla derivata della somma, cioè: Guardando solo la serie all interno: 11 La somma da 0 a k è scritta come la somma da o a meno la somma da k+1 a La prima serie e una classica serie geometrica e converge a Si consideri solo la seconda serie del membro di destra: Si imposti un cambio di variabile: m = n-k-1. Si ottiene quindi: Da questa si porti fuori, si ottiene :

12 Risolvendo la serie geometrica: Mettendo insieme il risultato della prima serie (converge a Tornando indietro: ) e di quest ultima: Che risulta essere uguale a: Concludendo: 12

13 M/M/S Considerazioni iniziali È un sistema con s serventi e coda infinita il è indipendente dallo stato Mentre il dipende dallo stato in cui si trova il sistema: Condizione di stazionarietà La condizione di stazionarietà si riferisce al lavoro di tutti gli s serventi in parallelo, la massima produttività possibile. Per il caso M/M/S definito così: e Come accennato nelle considerazioni iniziali, il è indipendente dallo stato. La produttoria che compare nella e nella si riscrive nel seguente modo: Mentre per il vanno distinti vari casi (per induzione): 13

14 Generalizzando: Distinguiamo vari casi (per induzione): Quest ultimo Concludendo: Guardando il denominatore: non è perché nel caso M/M/S è = Si parte dalla : 14

15 Si divide la serie come somma da 1 a s-1 e da s a. Visto che,dal caso di quando, la sostituiamo al posto dell argomento della serie. Portiamo l 1 dentro la prima serie Ora guardando l ultima serie: Impongo e si ottiene: Sostituiamo quest ultimo termine al posto della serie nell equazione di e otteniamo: L Ora invece di calcolarci N come al solito, ci calcoliamo L. Dopo con le formule di Little si ricavano le altre grandezze. è definito in questo modo: Il valore atteso di è definito come: È stato sostituito: Impostiamo il cambio di variabile e otteniamo: 15

16 Uso la formula di nel caso, cioè: È stata usata la formula di con: È stato portato fuori dalla serie in quanto non dipende da m È stato portato fuori dalla serie in quanto non dipende da m; rimane all interno della serie Segue che: È stato portato fuori dalla serie un. All interno rimane È stato sostituito con (la derivata di rispetto a ) La somma della derivata è uguale alla derivata della somma Quindi: Svolto la derivata 16

17 SCHEMA RIASSUNTIVO Le formule in riquadro vengono riportate qui di seguito: M/M/1 M/M/1/K M/M/S per 17

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