CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

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1 CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni e la indichiamo con il simbolo {f n (x)} n, una legge che ad ogni numero naturale n associa una funzione, che viene indicata con f n (x). dove f n : A R, n. Osserviamo che l insieme di definizione é lo stesso per ogni funzione dunque non dipende da n. Diremo che la successione {f n (x)} n converge puntualmente in A se x A lim n f n (x) = f(x), cioé se x A si ha che ε > 0 n = n (ε, x) : f n (x) f(x) < ε, n > n (quindi vale la relazione di limite a partire da un indice che puó variare al variare del punto x che si considera nell insieme A). Diremo poi che la successione {f n (x)} n converge uniformemente alla funzione f(x) in A se ε > 0 n = n(ε) : f n (x) f(x) < ε, n > n, x A. (in altre parole esiste un indice che va bene per tutti i punti dell insieme A a partire dal quale vale la relazione di limite) Esempi : 1) f n : (0, ) R cosí definita f n (x) = a se 0 < x < 1 n, f n(x) = b, se 1 n x <, essendo a, b due numeri reali distinti. Si ha lim n f n (x) = b, x (0, ) con convergenza non uniforme. ) f n : [0, 1] R cosí definita f n (x) = x n. Si ha lim n f n (1) = 1, lim n f n (x) = 0, x [0, 1) con convergenza non uniforme. 3) f n : R R cosí definite f n (x) = x n+x. Si ha lim n f n (x) = 0, x R con convergenza non uniforme. TEOREMA 74 : Data la successione di funzioni {f n (x)} n con f n : [a, b] R continua in [a, b], n, se c é convergenza uniforme alla funzione f(x) in [a, b], allora si ha che la funzione f(x) é continua in [a, b]. In altre parole la convergenza uniforme di funzioni continue mantiene la continuitá anche alla funzione limite. 1

2 Il Teorema é falso se la convergenza é solo puntuale come mostra l esempio ) oppure il seguente Esempio: 4) f n : R R cosí definita f n (x) = arctg (n x). Si ha lim n f n (0) = 0, lim n f n (x) = π, x > 0, lim n f n (x) = π, x < 0. Ovviamente non c é convergenza uniforme. Osserviamo che. in caso di una successione di funzioni continue considerate in un intervallo [a, b] vale la seguente Proprietá ; La successione di funzioni {f n (x)} n converge uniformemente a f(x) in [a, b] se e solo se lim n max x [a,b] f n (x) f(x) = 0. Data una successione di funzioni continue {f n (x)} n con f n : [a, b] R che converge puntualmente ad una funzione f(x) in [a, b], sappiamo che b a f n(x)dx, n ma i) b a f(x)dx? b ii) lim n a f n(x)dx? iii) in caso di risposta affermativa alle due precedenti domande, che relazioni b ci sono tra lim n a f n(x)dx e b a f(x)dx? In caso di uguaglianza tra queste due ultime quantitá si parla di passaggio al limite sotto il segno di integrale. TEOREMA 75 : Data la successione di funzioni {f n (x)} n con f n : [a, b] R continua in [a, b], n, se c é convergenza uniforme alla b funzione f(x) in [a, b], allora si ha che lim n a f n(x)dx = b a f(x)dx. Dimostrazione Valgono le seguenti disuguaglianze b b b 0 f n (x)dx f(x)dx f n (x) f(x) dx b a a a max x [a,b] f n (x) f(x) dx (b a)max x [a,b] f n (x) f(x) e quest ultima quantitá tende a zero al divergere di n per la convergenza uniforme. Esempi : 5) f n : [0, ] R cosí definita f n (0) = 0, f n (x) = n se 0 < x < 1 n, a

3 f n (x) = 0, se 1 n x. Si ha lim n f n (x) = f(x) = 0, x [0, ] e non vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale. 6) f n : [0, + [ R cosí definita f n (x) = nxe nx. Si ha lim n f n (x) = f(x) = 0, x [0, ] e non vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Il problema che abbiamo appena affrontato in relazione all operazione di integrazione, puó analogamente essere posto per l operazione di derivazione ed, in questo caso, una risposta é data dal seguente TEOREMA 76 : Data la successione di funzioni {f n (x)} n con f n : [a, b] R derivabili e con derivata continua in [a, b], n, se x 0 [a, b] : lim n f n (x 0 ) = l R, inoltre la successione {f n(x)} n converge uniformemente ad una funzione g(x) in [a, b], allora si ha che la successione {f n (x)} n converge uniformemente in [a, b] ad una funzione f(x) derivabile e si ha lim n f n(x) = f (x) = g(x). Anche in relazione a questo Teorema vediamo alcuni Esempi : 7) f n : R R cosí definita f n (x) = esiste f (0). x + 1 n. Si ha lim n f n (x) = x, e non 8) f n : [, +π] R cosí definita f n (x) = 1 n sin nx. Si ha lim n f n (x) = f(x) = 0, x [, +π] inoltre f n(x) = cos nx, pertanto f n(0) = 1 mentre f (0) = 0. SERIE DI FUNZIONI Dato un insieme A R ed una successione di funzioni {f n (x)} n definite su A, costruiamo la successione delle somme parziali {s n (x)} n cosí definita s 1 (x) = f 1 (x), s n (x) = s n 1 (x) + f n (x), x A. Osserviamo che, se il primo indice é zero oppure un altro numero naturale, il procedimento é identico (con le dovute modifiche). Abbiamo cosí costruito la serie di funzioni n f n(x)(ossia il procedimento usato per le serie numeriche va effettuato in ogni punto x A ). Studiare serie di funzioni n f n(x) equivale a studiare la successione di funzioni {s n (x)} n quindi possiamo trasportare alle serie di funzioni le definizioni ed i Teoremi enunciati per le successioni di funzioni. Parleremo quindi di convergenza puntuale della serie n f n(x) in un insieme A R se 3

4 x A lim n s n (x) = S(x). (limite puntuale) convergenza uniforme della serie n f n(x) in un insieme A R se lim n s n (x) = S(x) uniformemente in A. Vale poi il seguente TEOREMA 77 : Data la serie di funzioni n f n(x) con f n : [a, b] R continua in [a, b], n, se la serie converge uniformemente alla funzione S(x) in [a, b], allora si ha che la funzione S(x) é continua in [a, b]. Per le serie di funzioni si pone anche la seguente Definizione : la serie n f n(x) é detta totalmente convergente in A se esiste una successione numerica {b n } n tale che f n (x) b n, x A e n b n é convergente. Vale il Teorema 78 : La convergenza totale implica la convergenza uniforme. Osserviamo che la proprietá di convergenza totale é detta anche test di Weierstrass per la convergenza uniforme (é Condizione Sifficiente per la convergenza uniforme). Esempi : x 1) Sia f n (x) : R R cosí definita f n (x) = x 4 +3n. La serie 4 n f n(x) é totalmente convergente poiché si ha f n (x) 1 4n in quanto la funzione f 3 n (x) ha massimo per x = n. ) Sia f n (x) : [a, b] R cosí definita f n (x) = ( 1) n 1 n. La serie n f n(x) é convergente uniformemente ma non totalmente in quanto si ha f n (x) = 1 n, e é la serie armonica che diverge. n 1 n Teorema 79 : Se n f n(x) é una serie di funzioni continue che converge uniformemente in [a, b], allora la funzione somma é continua in [a, b] e vale la seguente uguaglianza b a n f n(x)dx = b n a f n(x)dx. ( serie integrata termine a termine). Teorema 80 : Se n f n(x) é una serie di funzioni derivabili con derivata continua in [a, b] inoltre x 0 [a, b] : n f n(x 0 ) converge e la serie n f n(x) converge uniformemente ad una funzione g(x) in [a, b], allora la serie n f n(x) converge uniformemente ad una funzione f(x) derivabile in [a, b] e vale la seguente uguaglianza n f n(x)dx = f (x) = g(x), x [a, b]. ( serie derivata termine a termine). 4

5 SERIE DI POTENZE Data una successione numerica {a n } n considerato un punto x 0 R, chiamiamo serie di potenze di centro x 0 la serie + a n(x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a (x x 0 ) Si tratta dunque di una serie di funzioni nella quale si ha f n (x) = a n (x x 0 ) n. Per comoditá, considereremo x 0 = 0 ( ma tutto cio che diremo vale anche, con le dovute modifiche, se x 0 é un generico punto in R) cosí la serie diventa la seguente + a nx n che sicuramente converge ad a 0 per x = 0. Esempi : 1) le serie + n!xn e + nn x n convergono solo per x = 0 )la serie + xn n! converge assolutamente x R (vedi criterio del rapporto) 3)la serie + xn n+1 converge asolutamente per x < 1, non converge per x > 1 oppure per x < 1, diverge per x = 1 e converge per x = 1. Dagli esempi emerge quella che é la proprietá caratteristica delle serie di potenze ossia Teorema 81 : Data la serie di potenze + a nx n si possono presentare i seguenti casi : i) essa converge solo per x = 0 ii) essa converge x R iii) r > 0 : la serie converge per x < r, non converge per x > r e c é convergenza totale e quindi uniforme in ogni intervallo chiuso contenuto in ( r, r). Il numero r é detto raggio di convergenza della serie. Osserviamo che, in generale, non si puó dire cosa succede per x = r. Vediamo che, nell esempio 3), la serie converge per x = 1 mentre non converge per x = 1. Ci chiediamo, ora, come sia possibile trovare il raggio di convergenza di una serie di potenze. Forniamo due metodi : uno che vale quando si ha a n 0, n, l altro che vale sempre. Teorema 8 - (di D Alembert) : Data la serie di potenze + a nx n con a n 0, n, se lim n a n+1 a n = L, allora si ha che r = + se L = 0, r = 0 se L = +, r = 1 L se L R+. Teorema 83 - (di Cauchy - Hadamard) : Data la serie di potenze 5

6 + a nx n se lim n n a n = L, allora si ha che r = + se L = 0, r = 0 se L = +, r = 1 L se L R+. Data la serie di potenze + a nx n, si dice serie derivata la nuova serie di potenze + n=1 na nx n 1. Se una serie di potenze ha raggio di convergenza r 0, poiché essa converge uniformemente in ogni intervallo chiuso [a, b] contenuto in ( r, r), in tale intervallo [a, b] essa é pure derivabile termine a termine inoltre vale il seguente Teorema 84 : Ogni serie di potenze e la relativa serie derivata hanno stesso raggio di convergenza Vediamo una applicazione del precedente Teorema : sia + a nx n, una serie di potenze con raggio di convergenza r 0 e sia f(x) la sua somma, dunque si ha + a nx n = f(x), x : x < r. Allora per precedenti proprietá enunciate, si ha che la funzione f(x) é derivabile e f (x) = + n=1 n a nx n 1, x : x < r ; inoltre si ha anche x 0 f(t)dt = + a n n+1 xn+1. SERIE DI TAYLOR Data una funzione f : [a, b] R, preso un punto x 0 (a, b), ci chiediamo se esiste una serie di potenze di centro x 0 che converge a f(x) almeno in un intorno di x 0. In caso affermativo, diremo che f é sviluppabile in serie di potenze di centro x 0. Per i Teoremi visti in precedenza, vale il seguente: Teorema 85 : Se la serie di potenze + a n(x x 0 ) n ha raggio di convergenza r > 0 (cioé converge nell insiema A = {x R : x x 0 < r} con convergenza uniforme in ogni intervallo chiuso contenuto in A), allora la sua funzione somma f(x) ha derivata di ogni ordine data dalla seguente serie f (i) (x) = + n=i n(n 1)...(n i + 1)a n(x x 0 ) n i, x : x < r e si ha a n = f (n) (x 0) n!, pertanto infine si ottiene che f(x) = f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n ( ) n! In conclusione, se la funzione f é sviluppabile in serie di potenze, essa ha derivata di ogni ordine e la serie di potenze di cui essa é somma e del tipo (*). Tale serie é detta serie di Taylor di centro x 0. Osservazione : avere derivata di ogni ordine (anche in ogni punto del dominio), non basta perché una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor come mostra il seguente 6

7 Esempio : Sia f : R R cosí definita f(x) = e 1 x se x 0, f(0) = 0. Per questa funzione si ha che f (n) (x), n e x, inoltre si ha f (n) (0) = 0. Pertanto non puó valere la relazione ( ) con x 0 = 0 in quanto il secondo membro é identicamente nullo. Vediamo ora una Condizione Sufficiente per la sviluppabilitá in serie di Taylor. Teorema 86 : Sia f : [a, b] R tale che f (n) (x), n, x (a, b) inoltre supponiamo che M, L > 0 : f (n) (x) M L n, n, x (a, b), ( ) allora la funzione f é sviluppabile in serie di Taylor di centro un qualunque punto x 0 (a, b). Osserviamo che, in particolare, la proprietá ( ) é verificata se le derivate della funzione f sono equilimitate in (a, b) ossia se K > 0 : f (n) (x) K, n, x (a, b). Osserviamo, inoltre, che, nelle ipotesi del Teorema 86, vale la formula di Taylor arrestata a qualunque n N con il resto R n scritto, ad esempio, nella forma di Lagrange. La sviluppabilitá in serie della funzione f equivale, allora, a provare che lim n R n = 0. Nel caso particolare di x 0 = 0 si parla di serie di Mac-Laurin e la formula diventa f (n) (0) f(x) = x n. n! Vediamo ora alcuni casi particolari notevoli 1) f(x) = e x. La funzione é sviluppabile in serie di Mac-Laurin e si ha e x = x n n! = 1 + x + x! + x3 +..., x R 3! poiché f (n) (x) = e x, n, x da cui f (n) (0) = 1, n. ) f(x) = sin x. La funzione é sviluppabile in serie di Mac-Laurin poiché le sue derivate sono equilimitate. Si ha sin x = xn+1 ( 1) n (n + 1)! = x x3 3! + x5..., x R 5! poiché f (r) (0) = 0 se r é pari, mentre f (r) (0) = ( 1) n se r = n

8 3) f(x) = cos x. La funzione é sviluppabile in serie di Mac-Laurin poiché le sue derivate sono equilimitate. Si ha cos x = ( 1) n xn (n)! = 1 x! + x4..., x R 4! poiché f (r) (0) = 0 se r é dispari, mentre f (r) (0) = ( 1) n se r = n. 4) f(x) = ln(1 + x), x > 1. Si ha la seguente uguaglianza ln(1 + x) = n=1 ( 1) n+1 xn n = x x + x3..., x ( 1, 1]. 3 Dalla precedente uguaglianza per x = 1 si ottiene ln = + n=1 ( 1)n+1 1 n, in altre parole la somma della serie armonica a segni alterni é ln. 5) f(x) = (1 + x) α, x > 1 essendo α un generico numero reale. Posto ( α 0 ) = 1, ( α n) = α(α 1)...(α n+1 n! n 1, si ha la seguente uguaglianza (1 + x) α = ( α n) x n, x ( 1, 1). Questo quinto caso ha sottocasi particolari importanti ) α = 1. 1+x = + ( x)n, x ( 1, 1). (somma della serie geometrica di ragione x.) 5.) α = x = 1 + x + + n= (n 3)!! (n)!! x n, x ( 1, 1), dove si é usato il simbolo di semifattoriale che é cosí definito (n)!! = (n), (prodotto di tutti i numeri pari da fino a n ), (n + 1)!! = (n + 1), (prodotto di tutti i numeri dispari da 3 fino a n + 1). 5.3) α = x = (n 1)!! n=1 (n)!! x n, x ( 1, 1). Possiamo ottenere altri importanti sviluppi in serie di funzioni particolari utilizzando il Teorema di integrazione per serie. Ad esempio, dalla uguaglianze 1 1+x = + ( x ) n, ( che si ottiene come somma della serie geometrica di ragione x ), si ha arctg x = x x3 3 + x = + n=1 n 1 xn 1 ( 1), x ( 1, 1]. n 1 8

9 Per x = 1 si ha π 4 = + n=1 ( 1)n 1 1 n 1. 1 Dalla uguaglianze = x arcsin x = x + n=1 n=1 ( 1)n (n 1)!! (n)!! (n 1)!! (n)!! x n+1 ( x ) n, si ha, x ( 1, 1). n + 1 SERIE DI FOURIER Ricordiamo che una funzione f : R R si dice periodica di periodo T se si ha f(x + T ) = f(x), x R. Ovviamente una funzione periodica di periodo T é anche periodica di periodo kt, k N. Le funzioni trigonometriche sin x e cos x sono funzioni periodiche di periodo π inoltre, dati due numeri reali a, b ed un numero naturale k, la funzione a cos k x + b sin k x é periodica di periodo π k. In molte applicazioni vengono utilizzate combinazioni lineari di funzioni trigonometriche ossia funzioni del tipo a0 + n k=1 (a k cos k x + sin k x) dove a 0, a 1,..., a n, b 1,..., b n sono numeri reali assegnati. Tali funzioni sono dette polinomi trigonometrici e sono funzioni periodiche di periodo π, n N. Date due successioni numeriche {a n } +, {b n} + n=10, chiamiamo serie trigonometrica la seguente serie a (a k cos k x + b k sin k x) ( ) k=1 Se la serie trigonometrica ( ) é convergente ad una dunzione f(x), x R, allora, per la periodicitá dei polinomi trigonometrici, la funzione somma f(x) é sicuramente una funzione periodica di periodo π. Vale il seguente Teorema 87 : Se valgono le proprietá + a n < +, + n=1 b n < +, allora la serie trigonometrica ( ) converge totalmente e quindi uniformemente e la sua funzione somma é una funzione continua. Supponendo che una serie trigonometrica converga uniformemente ad una funzione f(x), ci chiediamo se ci siano legami tra la funzione somma ed i coefficienti della serie stessa. Tenuto conto della periodicitá delle funzioni coinvolte, possiamo restringere le nostre considerazioni ad un intervallo di ampiezza π ; abitualmente si considera l intervallo [, π]. Partiamo dall uguaglianza f(x) = a0 + + k=1 (a k cos k x + sin k x), che é vera uniformemente nell intervallo [, π], la moltiplichiamo per cos mx, con 9

10 m numero naturale o nullo fissato, poi integriamo nell intervallo indicato ed otteniamo π a0 π f(x) cos mx dx = cos mx dx + + k=1 (a π k cos k x cos mx dx + π b k sin k x cos mx dx), ricordando che, per la convergenza uniforma, la serie puó essere integrata termine a termine. Utilizzando i seguenti risultati π cos kx cos mx dx = 0 se m k, π m = k 0, π sin kx cos mx dx = 0, m, k, si ottiene cos kx cos mx dx = π, se a 0 = 1 π π f(x) dx, a n = 1 π π f(x) cos nx dx. (1) Con procedimento analogo, moltiplicando per sin mx e ricordando che π sin kx sin mx dx = 0 se m k, π sin kx sin mx dx = π, se m = k 0, si ottiene b n = 1 π π f(x) sin nx dx. () Le quantitá definite dalle uguaglianze (1) e () sono chiamate coefficienti di Eulero-Fourier della funzione f. A questo punto possiamo pensare di invertire il procedimento ossia : presa una funzione f(x) integrabile nell intervallo [, π], costruiti i suoi coefficienti di Eulero-Fourier utilizzando le uguaglianze (1) e (), possiamo considerare la serie trigonometrica generata da tali coefficienti. Ovviamente la domanda é : la serie cosí costruita converge? e converge alla funzione f(x)? In caso di risposta affermativa a queste domande diremo che la funzione é sviluppabile in serie di Fourier. Ci proponiamo, ora, di fornire Condizioni Sufficienti affinché una funzione sia sviluppabile in serie di Fourier ed, a questo scopo, premettiamo la seguente : Definizione : Una funzione f : [a, b] R si dice regolare a tratti in [a, b] se esiste una suddivisione D = {x 0, x 1,..., x n } dell intervallo [a, b] tale che la funzione f é continua e monotona in (x r, x r+1 ), r = 0, 1,..., n 1 inoltre lim x x + r f(x), lim x x r f(x), e sono finiti. Una funzione f : R R si dice regolare a tratti su R se lo é in ogni intervallo chiuso e limitato [a, b] R. Se f é una funzione definita in un intorno di un punto x 0, poniamo f(x + 0 ) = lim x x + f(x), f(x 0 ) = lim 0 x x f(x), qualora tali limiti esistano. 0 Vale il seguente Teorema 88 : Se f : R R é una funzione periodica di periodo π regolare a tratti, allora la serie di Fourier ad essa associata converge a 10

11 1 [f(x+ ) + f(x )] (media aritmetica tra limite destro e limite sinistro) in ogni punto x R. In particolare la serie converge a f(x) in ogni punto x di continuitá della funzione. Osserviamo che se f é una funzione pari allora si ha b n = 0, n ; mentre se f é una funzione dispari allora si ha a n = 0, n. Vediamo ora alcuni Esempi : 1) sia f la funzione periodica di periodo π ottenuta prolungando su R la funzione tale che f(x) = 0, se < x 0, f(x) = 1, se 0 < x π. I cofficienti di Eulero-Fourier di questa funzione sono i seguenti a 0 = 1, a n = 0, b n = 1 ( 1)n nπ, n N pertanto la serie di Fourier associata a questa + sin(k+1)x k=0 k+1 che, per il Teorema 88 converge a funzione é la seguente 1 + π f(x) in tutti i punti x mπ, m Z. Osserviamo che nel punto x 0 = 0 la serie precedente converge a 1 esattamente come afferma il Teorema. Per x = π, per la convergenza della serie alla funzione assegnata, sempre in base al Teorema enunciato, si ottiene la seguente uguaglianza π = 4 + che fornisce una formula di approssimazione del numero π. k=0 ( 1) k k+1, ) sia f la funzione periodica di periodo π ottenuta prolungando su R la funzione tale che f(x) = 1, se < x 0, f(x) = 1, se 0 < x π. I cofficienti di Eulero-Fourier di questa funzione sono i seguenti a 0 = 0, a n = 0, b n = (1 ( 1)n ) nπ funzione é la seguente 4 π, n N pertanto la serie di Fourier associata a questa + sin(k+1)x k=0 k+1 che, per il Teorema 88 converge a f(x) in tutti i punti x mπ, m Z. Osserviamo che nel punto x 0 = 0 la serie precedente converge a 0 esattamente come afferma il Teorema. 3) sia f la funzione periodica di periodo π ottenuta prolungando su R la funzione f(x) = x, se < x π. I cofficienti di Eulero-Fourier di questa funzione sono i seguenti a 0 = 0, a n = 0, b n = n ( 1)n+1, n N pertanto la serie di Fourier associata a questa funzione é la seguente + n=1 sin n x n che, per il Teorema 88 converge a f(x) in tutti i punti x mπ, m Z {0}. Osserviamo che per x = ± π la serie precedente converge a 0. 4) sia f la funzione periodica di periodo π ottenuta prolungando su R la funzione f(x) = x, se < x π. I cofficienti di Eulero-Fourier di questa funzione sono i seguenti a 0 = π, a n = 0, se n é pari, a n = 4 π n, se n é dispari e b n = 0 n N, pertanto la serie di Fourier associata a questa funzione é la seguente π 4 + cos(k+1)x π k=0 (k+1). che, per il Teorema 88 converge a f(x) in tutti i punti x R. 11

12 Per x = π, si ha π = π uguaglianza π 8 = + k=0 1 (k+1). + 4 π + k=0 1 (k+1), da cui si ha la seguente Forniamo, ora, una Condizione sufficiente per la convergenza uniforme della seria di Fourier. Teorema 89 : Se f : R R é una funzione periodica di periodo π, derivabile (escluso al piú un numero finito di punti in ogni intervallo chiuso contenuto in R) con derivata regolare a tratti, allora la serie di Fourier associata alla funzione f converge totalmente e quindi uniformemente in ogni intervallo chiuso contenuto in R. Vogliamo ora scrivere la serie di Fourier in forma esponenziale. A questo scopo ricordiamo le formule di Eulero ( cos nx = einx +e inx, sin nx = einx e inx i ), per cui si ha a n=1 (a n cos n x+b n sin n x) = a0 + + n=1 (a n einx +e inx e +b inx e inx n i ) = = a0 + + n=1 [( an + bn i )einx + ( an bn i )e inx ] = + n= c ne inx, dove si é posto c 0 = a0, c n = an ibn, se n = 1,, 3..., c n = an+ibn, se n = 1,, 3,.... Tramite le precedenti uguaglianze si ha infine c n = 1 π π f(x)e inx dx. 1

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