1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi

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1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a + (.2) a. Se 0 λ <, la serie (.) converge. 2. Se λ > la serie (.) diverge positivamente. Dim.. Per ipotesi, dato comunque un ε > 0, esiste un ε N tale che λ ε < a + a < λ + ε (.3) per ogni ε. Essendo λ <, possiamo scegliere ε > 0 in modo tale che λ + ε <. Fissiamo un ε siffatto e poniamo σ = λ + ε. Avremo a + < σ a (.4) per ogni ε. Supponiamo per un momento che sia ε =. Questo significa che la (.4) vale per ogni N e quindi possiamo scrivere a < σ a < σ 2 a 2 <... < σ a. Essendo σ <, la serie geometrica σ converge e un applicazione del criterio del confronto dimostra che la (.) converge.

2 Se ε >, consideriamo la serie resto = ε a (.5) Per questa serie la (.4) sussiste per ogni e quindi, per quello che abbiamo appena dimostrato, converge. D altra parte è noto che le serie (.5) e (.) hanno lo stesso carattere (non la stessa somma, in genere!) e quindi anche la (.) converge. 2. Per ogni ε > 0, esiste un ε N tale che la (.3) sussiste per ogni ε. Essendo λ >, possiamo scegliere ε > 0 in modo tale che λ ε >. Fissiamo un ε siffatto e poniamo σ = λ ε. Avremo per ogni ε. Se ε =, possiamo scrivere ed essendo σ >, risulta e dunque a + > σ a a > σ a > σ 2 a 2 >... > σ a σ = + a = +. (.6) Poiché la successione {a } non è infinitesima, la serie (.) non può convergere e quindi, essendo la serie a termini positivi, diverge positivamente. Se ε >, basta considerare la serie (.5). Osservazione Se esiste il ite (.2) ed è uguale a, in generale non si può dire niente. Consideriamo, per esempio, le due serie Essendo +, = + =, 2 ( + ). (+)(+2) (+) = + 2 =,

3 per entrambe le serie si ha λ =, pur avendo le due serie un diverso carattere: la prima diverge, mentre la seconda converge (ha somma uguale a ) (). 2 (Criterio della radice.) Sia (.) una serie a termini non negativi: a 0, =, 2,... Supponiamo che esista il seguente ite. Se 0 λ <, la serie (.) converge. 2. Se λ > la serie (.) diverge positivamente. Dim.. Per ogni ε > 0 esiste un ε N tale che a (.7) λ ε < a < λ + ε (.8) per ogni ε. Scegliamo un ε > 0 in modo tale che σ = λ + ε <. Dalla (.8) segue che a < σ per ogni ε. Essendo 0 < σ <, la serie geometrica converge, e quindi, per il criterio del confronto, converge anche la (.). 2. Per ogni ε > 0 esiste un ε N tale che la (.8) sussiste per ogni ε. Scegliamo un ε > 0 in modo tale che σ = λ ε >. () La prima serie è la serie armonica ed è noto che essa diverge. La convergenza della seconda si ottiene osservando che, essendo si ha n σ ( + ) = +, ( ( + ) = ) ( ) ( n ) = n + n +. 3

4 Abbiamo a > σ per ogni ε. Essendo σ >, deve aversi la (.6) e la (.) diverge. Osservazione 2 Gli stessi esempi riportati nell Osservazione mostrano che, anche per il criterio della radice, non si può dire nulla in generale nel caso in cui il ite (.7) esiste ed è uguale a (2). e 3 Siano a (.9) b (.0) due serie a termini non negativi: a 0, b > 0 ( =, 2,...). Supponiamo che esista 0 < l < + tale che a = l. (.) b Allora le serie (.9) e (.0) presentano lo stesso carattere, ossia la serie (.9) converge (diverge) se e solo se la serie (.0) converge (diverge). ossia Dim. Sia ε tale che 0 < ε < l. Per la (.) esiste un ε tale che l ε a b l + ε, > ε, (l ε)b a (l + ε)b, > ε. Un applicazione del criterio del confronto completa la dimostrazione. (2) Si ricordi che =. 4

5 Osservazione 3 Ricordiamo che se le due successioni {a } e {b } sono entrambe infinitesime e sussiste la (.), si dice che le due successioni sono infinitesimi dello stesso ordine. Osservazione 4 Si noti che la dimostrazione del Teorema 3 mostra che la tesi è ancora vera se esistono due costanti positive H,K > 0 tali che H b a K b definitivamente. Ricordiamo che una successione di numeri reali {α } è un infinitesimo di ordine α (essendo α > 0) se accade che a / α = l con 0 < l < +. 4 (Criterio dell ordine di infinitesimo.) Sia (.9) una serie a termini non negativi: a 0 ( =, 2,...). Supponiamo che {a } sia una successione infinitesima di ordine α. Allora. se α > la serie (.9) converge. 2. Se 0 < α la serie (.9) diverge positivamente. Dim. In virtù del Teorema 3, la serie (.9) e la serie armonica generalizzata α presentano lo stesso carattere (cfr. anche Osservazione 3). La tesi si ottiene ricordando che la serie armonica generalizzata converge se e solo se α >. 5

6 2 Un criterio di convergenza semplice 5 (Criterio di Leibniz.) Sia {a } una successione di numeri reali non crescente e infinitesima, ossia tale che a + a, La serie a termini di segno alterno ( ) a converge semplicemente. Dim. Omessa. a = 0. Osservazione 5 Si noti che, sotto le ipotesi del Criterio di Leibniz, nulla si può dire sulla convergenza assoluta. Si considerino, ad esempio, le due seguenti serie ( ) ( ) ;. 2 Entrambe convergono semplicemente per il Criterio di Leibniz, dato che ց 0, ց 0. 2 D altra parte la prima diverge assolutamente, mentre la seconda converge assolutamente: ( ) = = + ; ( ) 2 = < Alcuni criteri di convergenza assoluta Sia a (3.) una serie a termini di segno qualsiasi. Ricordiamo che la (3.) converge assolutamente se converge la serie seguente a. (3.2) 6

7 Applicando alla serie (3.2) i criteri dimostrati nel precedente paragrafo, si ottengono immediatamente i seguenti criteri di convergenza assoluta. 6 (Criterio del rapporto.) Sia (3.) una serie a termini non nulli (ossia a 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a + a. Se 0 λ <, la serie (3.) converge assolutamente. 2. Se λ > la serie (3.) diverge assolutamente. 7 (Criterio della radice.) Sia (3.) una serie a termini di segno qualsiasi. Supponiamo che esista il seguente ite a. Se 0 λ <, la serie (3.) converge assolutamente. 2. Se λ > la serie (3.) diverge assolutamente. 8 (Criterio dell ordine di infinitesimo.) Sia (3.) una serie a termini di segno qualsiasi. Supponiamo che {a } sia una successione infinitesima di ordine α. Allora. se α > la serie (.9) converge assolutamente. 2. Se 0 < α la serie (.9) diverge assolutamente. Osservazione 6 Si noti che mentre la convergenza assoluta di una serie implica la sua convergenza semplice, la divergenza assoluta non impedisce alla serie di convergere semplicemente (cfr. l Osservazione 5). 7

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