Equazioni non lineari

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1 Dipartimento di Matematica tel Laboratorio di modellazione e progettazione materiali

2 Trovare il valore x R tale che f (x) = 0, f : R R Soluzioni (i valori di x per cui f (x) = 0) sono dette zeri o radici. Quante soluzioni? 1 0 (x = 0) 2 1 (2x + 3 = 0) 3 1 con molteplicità m = 2 (x 2 4x + 4 = (x 2) 2 = 0) 4 2 (x 2 5x + 6 = 0) 5 ( 1 x + sin(x) = 0) 6...

3 In generale non esiste una formula risolutiva non esistono metodi diretti ma solo iterativi Avremo due aspetti da analizzare: 1 Convergenza si/no 2 Velocità di convergenza (quando il metodo converge)

4 Il caso non lineare presenta diverse criticità rispetto al caso lineare Lineare 1 Convergenza non dipende da scelta x 0 2 Se metodo converge, limite è sicuramente soluzione (consistenza) Non lineare 1 Convergenza dipende in modo critico da scelta x 0 2 Metodi possono convergere a punti che non sono le soluzioni cercate (es. se ho più soluzioni e voglio approssimarne una in particolare)

5 Qualunque metodo si intenda applicare, sarà sempre necessario effettuare uno studio preliminare della funzione in modo da localizzare le eventuali radici, i.e. determinare un intervallo (possibilmente piccolo) che contenga una e una sola radice (sperabilmente quella che vogliamo approssimare).

6 Teorema (esistenza degli zeri per funzioni continue) Se f C[a, b] e f (a)f (b) < 0, c (a, b) t.c. f (c) = 0 In realtà posso solo dire che esistono in (a, b) un numero dispari di radici. Su questo teorema si basa il semplicissimo metodo di bisezione. Sia [a, b] l intervallo in cui si è isolata la radice x e m = a+b 2. Ho due possibilità (escludendo il caso fortuito f (m) = 0) Se f (m) è discorde con f (a), x [a, m] Se f (m) è discorde con f (b), x [m, b] In entrambi i casi, ovviamente x continua ad essere l unica radice nel nuovo intervallo di ampiezza dimezzata. E procedo iterativamente dimezzando ad ogni passo l ampiezza dell intervallo...

7 1 Dato [a 0, b 0 ]; x 0 = a 0+b Per k = 0, 1, 2,..., k max 1 Se f (a k )f (x k ) < 0 poni a k+1 = a k, b k+1 = x k, altrimenti poni a k+1 = x k, b k+1 = b k 2 Poni x k+1 = a k+1+b k+1 2 (approx corrente della soluzione) Errore? x k è il punto medio dell intervallo corrente [a k, b k ] e k = x k x b k a k 2 = b k 1 a k 1 4 =... = b 0 a 0 2 k+1 Quindi lim k e k = 0 indipendentemente dall intervallo iniziale [a 0, b 0 ]. Definizione Il metodo di bisezione è globalmente convergente, poichè la convergenza è sempre garantita, qualunque sia la stima iniziale della soluzione.

8 Stima dell errore Premessa Supponiamo di voler garantire un errore assoluto inferiore ad una certa tolleranza ɛ. Nel metodo di bisezione è possibile stabilire il numero massimo di iterazioni necessarie a soddisfare tale richiesta. Infatti se garantiamo b 0 a 0 2 k+1 < ɛ i.e. k + 1 log 2 ( b 0 a 0 ) ɛ avremo sicuramente anche e k ɛ.

9 Velocità di convergenza Definizione Sia {x k } una successione convergente a un limite x. Sia e k = x k x. Se esistono p 1 e una costante c > 0 (c < 1 se p = 1) tale che e k+1 lim k e p = c k (i.e. asintoticamente e k+1 = O(e p k )) allora si dice che la successione converge con ordine p. 1 p = 1 convergenza lineare 2 p = 2 convergenza quadratica 3 1 < p < 2 convergenza superlineare

10 Osservazione Se c è convergenza lineare, lim k e k+1 /e k < 1. Quindi (teorema della permanenza del segno) asintoticamente l errore deve diminuire in modo monotono (e k+1 < e k ). non garantisce decrescita monotona dell errore velocità di convergenza meno che lineare! (sublineare) Metodo bisezione quindi globalmente convergente ma molto lento Sfrutta solo il segno della funzione.

11 o delle tangenti Il metodo di Newton sfrutta informazioni sia sul valore di f (x) che di f (x) Sia x k la stima corrente della soluzione di f (x) = 0 Approssimiamo localmente f con la retta tangente passante per il punto (x k, f (x k )): r k (x) = f (x k ) + f (x k )(x x k ) e prendiamo lo zero di tale retta come approssimazione dello zero della funzione

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14 x k+1 t.c. r k (x k+1 ) = 0: f (x k ) + f (x k )(x k+1 x k ) = 0 x k+1 = x k f (x k) f, k = 0, 1,... (x k ) Richiede ad ogni passo f (x k ) e f (x k ) Se f (x k ) = 0 per qualche k il procedimento si blocca

15 Velocità di convergenza Teorema Sia f C 2 in un intorno della soluzione x. Se la successione {x k } generata dal metodo di Newton converge a x e f (x ) 0, allora l ordine di convergenza è almeno 2, p 2. (Abbiamo p = 2 se f (x ) 0, altrimenti p > 2) Richiede ad ogni passo f (x k ) e f (x k ) Se f (x k ) = 0 per qualche k il procedimento si blocca

16 È un procedimento globalmente convergente? Esempio f (x) = arctan(x) Banalmente la soluzione è x = 0 Applichiamo il metodo di Newton con tre stime iniziali diverse: x 0 = 1, x 0 = , x 0 = 1.46 Apparentemente tutte e tre ragionevolmente vicine alla soluzione esatta.

17 x 0 = 1

18 x 0 =

19 x 0 = 1.46

20 Teorema Sia f C 2 [a, b] chiuso e limitato. Se: 1 f (a)f (b) < 0 2 f (x) > 0 x [a, b] o f (x) < 0 x [a, b] (non si azzera mai in [a, b]) 3 f (x) 0 x [a, b] o f (x) 0 x [a, b] (non cambia segno in [a, b]) 4 f (a) < b a e f (b) < b a f (a) f (b) allora f (x) = 0 ha un unica radice x in [a, b] e il metodo di Newton converge a x x 0 [a, b].

21 Teorema (Teorema degli estremi di Fourier) Sia f C 2 [a, b] chiuso e limitato. Se: 1 f (a)f (b) < 0 2 f (x) 0 x [a, b] allora la radice x [a, b] esiste ed e unica, inoltre se 4 f (x) 0 x [a, b] 5 f (x 0 )f (x 0 ) > 0 x 0 [a, b] allora il metodo di Newton converge a x.

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