Alcune note sulle serie di potenze 1

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1 Alcune note sulle serie di potenze Contents G. Falqui Preliminari 2 Serie di potenze 3 3 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze 7 3. Esempi notevoli Formula di Eulero Derivazione ed integrazione per serie 5 4. Applicazioni Prodotto di serie 2 Preliminari Nel corso di Matematica I (o Istituzioni di Matematica) sono stati illustrati i concetti di serie numerica ed i criteri per la convergenza di una serie. Ricordiamo brevemente che il concetto di serie numerica formalizza la nozione di somma infinita, nel seguente modo: sia data una successione di numeri (reali o complessi) {a n } n=. Il simbolo n= a n (.) si dice serie numerica (associata alla o definita dalla) successione {a n }. A partire dalla (.) si considera la successione delle somme parziali, ovvero la Queste sono note non formali delle lezioni relative alle serie di potenze tenute durante il corso di Matematica II e Complementi di Matematica nell a/a 2006/2007. Commenti e correzioni saranno benvenuti. Per una esposizione più sistematica, si può consultare il libro di J. Stewart, Calcolo, Vol. I, Apogeo Editori, Milano (2002).

2 successione {s n } n= definita da s n = n a k, n =, 2,...,, (.2) k= e.g., s = a, s 2 = a + a 2 e così via. Se vale che lim n s n = S, con S finito, si dice che la serie n= a n è convergente, e S si chiama somma della serie. Se il limite o non esiste, o, se esiste, è infinito, la serie si dice non convergente. Esempio. Riportiamo qui l esempio della serie geometrica di ragione r, con r < anche perchè ci sarà utile in seguito. Consideriamo dunque n= rn. La successione delle somme parziali s n ad essa associata è data da s =, s 2 = + r, s 3 = + r + r 2, s 4 = + r + r 2 + r 3,..., Fissiamo n e consideriamo: s n = + r + r r n r s n = r + r r n + r n. (.3) Sottraendo termine a termine, s n r s n ( r)s n = r n s n = rn r. Dunque dato che r < si ha che la serie geometrica è convergente, e la sua r n somma è S = lim n r = r. Criterio del confronto. Siano a n e b n serie a termini non negativi. Allora:. Se a n b n n e b n è convergente, allora a n è convergente. 2. a n b n n e b n non è convergente, allora a n non è convergente. Definizione. Una serie a n si dice assolutamente convergente se la serie dei valori assoluti (o moduli, nel campo complesso) a n è convergente. Osservazione. Una serie assolutamente convergente è convergente. Non è, in generale, vero il viceversa. 2

3 Criterio del rapporto. Questo criterio permette di stabilire (condizionatamente) la convergenza assoluta di una serie calcolando il limite del rapporto tra due termini successivi. In particolare, il criterio si formula così Sia lim a n+ = L; Allora: n a n. Se L < (strettamente), a n è assolutamente convergente e dunque convergente; 2. Se L > (strettamente), a n non è convergente. 3. Se L = il criterio non dice nulla. Ancora, risulta spesso molto utile, per le serie a termini alternati il Criterio di Leibniz: sia a n una serie a termini alternati (cioè di segno alternativamente positivo e negativo, ovvero, in una formula, a n = ( ) n b n, con b n > 0). Supponiamo inoltre che la successione dei numeri positivi b n sia decresente, (b n+ < b n, n). Allora la serie ( ) n b n è convergentre, e, inoltre, se S è la sua somma (S = n ( )n b n ), e s n denota la sua n-esima somma parziale, si ha S s n < b n+. A parole: per una serie a termini alternati che soddisfi le ipotesi di cui sopra, la somma parziale n-esima stima il valore della somma della serie con un errore che in modulo è non superiore a primo termine che si trascura. 2 Serie di potenze Le serie di potenze (centrate in x 0, dove x 0 è un numero reale o complesso) possono essere pensate come generalizzazioni dei polinomi di Taylor. In generale, esse sono definite da espressioni del tipo n b n (x x 0 ) n (2.) dove b n sono numeri reali (o complessi). Esse possono essere viste come serie nelle quali il termine generale a n = b n (x x 0 ) n dipende dal parametro x attraverso il fattore (x x 0 ) n. È chiaro che, per i valori di x per i quali la serie converge, la serie (o meglio, la somma della serie) definirà una funzione di x. Il problema primo che ci si pone, data un serie 3

4 di potenze della forma (2.), è dunque determinare per quali valori di x essa converge. Osservazioni preliminari: ) La serie (2.) converge sempre (cioè, indipendentemente dalla scelta dei coefficienti numerici a n ) almeno per x = x 0 ; infatti, per x = x 0, la sequenza dei termini generali si banalizza a a 0 = b 0, 0, 0, 0, 0, e dunque per x = x 0 non siamo in presenza di una serie, ma di una somma finita (anzi, di un solo numero non nullo!). 2) x = x 0 può essere l unico punto in cui una serie converge; ad esempio, n!(x x 0 ) n n non converge per alcun x diverso da x 0. Se riprendiamo l esempio della serie geometrica, notiamo che essa è una serie di potenze; infatti (scrivendo x al posto di r, e rinumerando i termini nella espressione data più sopra) si ha che la serie geometrica di ragione x si scrive come x n, ovvero è proprio della forma (2.), con: x 0 = 0, b n = n. Il risultato base della teoria delle serie di potenze si può formulare nel seguente modo: Teorema: Supponiamo che la serie di potenze a n (x x 0 ) n (2.2) converga assolutamente per x = x x 0 ; allora converge assolutamente per x x 0 < x x 0 < x x 0 (2.3) Osservazione. Il risultato dice che, se x è una variabile reale, se la serie (2.2) converge assolutamente in un punto x diverso da x 0, allora converge in tutto 4

5 l intervallo simmetrico di semiapiezza x x 0 ; se x è complesso, allora la serie converge in tutto il cerchio di raggio r = x x 0 centrato in x 0. Dimostrazione. Poniamo per semplicità x 0 = 0 e x > 0. Dall ipotesi sappiamo che la serie numerica a n (x ) n, con x > 0 converge assolutamente. Consideriamo la serie (2.2), e riscriviamo il suo termine generale come a n x n = a n ( x x ) n x n ; la serie dei moduli si scriverà, analogamente, come a n ( x ) n = a n ( x n x n x. } {{ } =r n La condizione (2.3) si traduce nel caso x 0 = 0 nella condizione x < x, ovvero 0 < r <. Quindi abbiamo che il termine generale della serie dei moduli qui sopra è maggiorato dal termine generale della serie a n x n, che è convergente. Dunque, il criterio del confronto assicura la convergenza assoluta della serie (2.2) per x < x. Il caso delle serie di potenze centrate in x 0 0 è del tutto analogo. Osserviamo ora che, se riusciamo a stabilire che la serie data a n(x x 0 ) n converge per x = x 2, con x 2 x 0 > x x 0, allora possiamo concludere che la serie converge in tutto l intervallo (o cerchio, se siamo sui complessi) x x 0 < x 2 x 0 ; di fatto, data la serie a n(x x 0 ) n, si danno tre casi:. La serie converge solo in x = x 0 2. La serie converge per tutti gli x reali (o complessi) 3. Esiste un numero positivo R tale che la serie converge in x x 0 < R e non converge per x x 0 > R. Il numero R in questione si chiama raggio di convergenza della serie (2.). Talvolta si compendiano i casi e 2 qui sopra dicendo che nel caso, il raggio è zero, e nel caso 2, il raggio è infinito. Il problema tipico che ci si pone in questo ambito è il seguente: data una serie di potenze, si vuole determinare il suo raggio di convergenza; se questo è 5

6 finito (e non nullo, beninteso), ci si può domandare che cosa succede se x assume i valori estremi, ovvero se x x 0 = R. Esempio 2. Consideriamo la serie n= 2 n n 3 xn. (2.4) Vogliamo calcolare per quali valori (reali) di x essa converge. Utilizziamo il criterio del rapporto. Detto a n il termine generale di (2.4) si ha: e dunque, semplificando, a n+ a n+ a n = 2n+ (n+) 3 x n+, 2 n x n n 3 (n + = 2 x a n n ) n } {{ } =(+ n )3 ). Otteniamo lim a n+ = 2 x lim ( + n a n n n )3 = 2 x. Quindi, per il criterio del rapporto, la serie converge assolutamente per 2 x <, x < 2, mentre non converge per x >. Dunque la serie (2.4) ha raggio di convergenza 2 R =. 2 Resta da esaminare il caso x = ± ; sostituendo direttamente nella (2.4) 2 questi valori di x si ottiene per x = 2 si ha n= n 3, per x = 2 si ha ( ) n Entrambe queste serie convergono, per cui l insieme dei valori reali per i quali 2 n n= x n converge è l intervallo chiuso [, ]. n Esercizio. Si dimostri che la serie ( 3 )n n + 3 x n 6 n= n 3

7 converge in ( 3, 3] (ovvero per 3 < x 3). Esercizio Sui calcoli per quali valori di x reali la serie converge. ( ) n(x + 2)n n 2 n n= 3 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze L idea della rappresentazione di una funzione come serie di potenze si può intuire riconsiderando la serie geometrica (Esempio ), con r = x. Quando leggiamo da sinistra a destra la relazione Per x < x n = x, (3.) vogliamo significare che se x < la serie in questione converge; al variare di x nell intervallo (, ) definisce una funzione f di x a valori reali, e, finalmente, questa funzione non è nient altro che il reciproco di ( x), cioè f(x) = ( x). Consideriamo ora il problem di construire il polinomio k-esimo di Taylor associato a f(x) = x centrato in x 0 = 0 2. Per farlo dobbiamo calcolare f(0) e il valore delle derivate di f(x) in x = 0 fino all ordine k. Ovviamente, f(0) = ; poi, per la derivata prima, f (x) = Per la derivata seconda, ( x) 2( ) = ( x) 2 f (0) =. f (x) = d dx ( x) = 2 2 ( x) ( ) = 2 3 ( x) f (0) = 2, 3 e per la derivata terza, f (x) = d 2 dx ( x) = ( x) ( ) = ( x) f (0) =. 4 2 Serie (o polinomi) di Taylor centrati in x 0 = 0 si dicono solitamente serie (o polinomi) di Mc Laurin. 7

8 Non è difficile convincersi (o dimostrare per induzione) che, per la derivata j-esima vale la formula d j dx j ( x) = j! dj ( x) j+, e dunque dx j ( x) x=0 = j!, j N. Quindi, per ogni k finito, il polinomio di Taylor di ordine k centrato in zero (ovvero il polinomio di Mc Laurin di ordine k) di è dato da3 x + x + x 2 + x k. Allora posso leggere la relazione (3.), da destra a sinistra, come la serie geometrica n xn rappresenta la funzione nell intervallo x <, cioè generalizza x la nozione di polinomio di Taylor. In generale, rappresentare una funzione in serie di potenze nell intorno di x = x 0 significa esprimerla mediante una somma infinita di termini della forma a n (x x 0 ) n, n = 0,,.... Talvolta (poche volte) la rappresentazione in serie di potenze di una funzione può essere trovata con metodi elementari (cioè, trucchi ). Un esempio è il seguente: Sia f(x) = + x 2. Per esprimerla in serie di potenze centrate in x 0 = 0, basta notare che f(x) = + x = 2 ( x 2 ), e dunque che, con la sostituzione x 2 = y, abbiamo (nella nuova variabile y) una funzione della quale conosciamo lo sviluppo in serie di potenze (è la solita serie geometrica...); quindi lo sviluppo in serie (in y) di f sarà f(y) = che è assolutamente convergente per y < ; sostituendo y = x 2 in questa formula si ha lo sviluppo + x = ( x 2 ) n = 2 y n ( ) n x 2n. (3.2) 3 Si ricordi che in generale, il polinomio di Taylor di ordine k di una funzione f(x), centrato in x = x 0 è dato dal polinomio in x P k (f)(x) = f(x 0 ) + f (0)(x x 0 ) + 2! f (x 0 )(x x 0 ) 2 + 3! f (x 0 )(x x 0 ) k! f( k)(x 0 )(x x 0 ) k. 8

9 Esercizio. Calcolare lo sviluppo in serie di potenze nell intorno di x 0 = 0 della funzione g(x) = 4 x 2 Suggerimenti: a) g(x) = x 2 4 x 2, e 4 x2 = 4( ( x 2 )2 ). Un metodo algoritmico (ma non sempre il più efficace) per calcolare lo sviluppo in serie di una funzione f(x) si basa sulla osservazione (riportata anche più sopra) che lo sviluppo in serie di una funzione generalizza la nozione di polinomio di Taylor. Dunque, se una serie di potenze n 0 a n(x x 0 ) n rappresenta una funzione f(x) dovrà valere a 0 = f(x 0 ), a = f (x 0 ), a 2 = f (x 0 ) 2(!), a 3 = f (x 0 ),...,a k = 3! x2 d k dx k f(x) x=x0 k! Leggendo queste relazioni da destra a sinistra si ha che i coefficienti a k dello sviluppo in serie di una funzione f(x) nell intorno di x = x 0 sono dati dai valori che la derivata k-esima di f assume in x = x 0, divisi per k!. Osservazioni. ) La serie geometrica è un esempio lampante del fatto che la serie di potenze centrata in 0 di rappresenta la funzione solo nell intervallo x x <, cioè un intervallo più piccolo dell insieme di definizione della funzione di partenza. Come vederemo più sotto, lo stesso accade per f(x) = arctan(x). 2) Il metodo del calcolo delle derivate è algoritmico, ma può essere pesante, in quanto richiede il calcolo di tutte le derivate della funzione. 3. Esempi notevoli. La funzione esponenziale. Cerchiamo lo sviluppo in serie di f(x) = exp x = e x nell intorno di x 0 = 0. Abbiamo f(0) = e 0 =, f (x) = e x f (0) =, e, in generale, d k dx k ex = e x dk dx ex k x=0 = Dunque la serie di potenze di e x nell intorno di x = 0 è data da n! xn (3.3) 9.

10 Proposizione. La serie (3.3) converge per ogni x reale e quindi si può scrivere, senza ulteriori specificazioni, e x = n! xn. Verifichiamo l affermazione sulla convergenze della serie in questione. Si ha Semplificando, a n+ (n+)! x n n! a n = xn+ a n+ x = a n n + lim a n+ = 0, x R, n a n. e dunque il criterio del rapporto ci dice appunto che questa serie converge per tutti i valori di x reali. Osserviamo inoltre che la serie (3.3) converge anche per x = z complesso. Si può dunque vedere la serie z n come una definizione n! dell esponenziale in campo complesso. 2 Le funzioni cos(x) e sin(x). Consideriamo lo sviluppo in serie di cos(x) sempre nell intorno di x 0 = 0. Notiamo che: d dx cosx = sin(x); d 2 dx cosx( = d 2 dx ( sin(x))) = cos(x); d 3 dx cos(x) = sin(x); d 4 cos(x) = cos(x). 3 dx4 Dunque le derivate hanno un andamento periodico in n, di periodo 4; infatti, iterando la formula qui sopra (e chiamando per comodità di notazione d0 f(x) dx 0 f(x)), si ha: d n d cos(x) = cos(x), se n = 4k; dxn d n d cos(x) = cos(x), se n = 4k + 2; dxn n cos(x) = sin(x), se n = 4k + ; dxn n cos(x) = sin(x), se n = 4k + 3. dxn (3.4) 0

11 Per calcolare lo sviluppo in serie di Taylor in un intorno di 0 di cos(x) si devono calcolare il valore delle derivate di cos(x) in x = 0; dalla formula qui sopra si ha d n dx cos(x) n x=0 =, se n = 4k; d n dx cos(x) = n x=0 =, se n = 4k + 2; d n dx cos(x) n x=0 = 0, se n = 4k + ; d n dx cos(x) = 0, se n = 4k + 3. n (3.5) Dunque, lo sviluppo in serie di Taylor centrato in x 0 = 0 di cos(x) è: + ( ) 2 x2 + 4! x4 + = ( ) n (2n)! x2n. (3.6) Proposizione. Lo sviluppo in serie qui dato di cos(x) converge per ogni x reale. Per verificare questo fatto, è utile fare una premessa di carattere abbastanza generale. Vogliamo applicare anche qui il criterio del rapporto. Peraltro, così come l abbiamo enunciato, sembra che qui non abbia senso, dato che i coefficienti a, a 3, a 5 eccetera (cioè i coefficienti di posto dispari, in una sola frase) sono nulli. Si può però notare che la serie di potenze qui sopra, scritta nella variabile y = x 2 è ( ) n (2n)! yn, ovvero, ha tutti i coefficienti a n non nulli. Applichiamo dunque il criterio del rapporto a quest ultima rappresentazione. Abbiamo Semplificando, a n+ a n = a n+ a n = y n+ (2n+2)! y n (2n)! y (2n + 2)(2n + ) lim n. a n+ = 0, y R, a n il che verifica l asserto, dato che, in particolare, vale per y = x 2. Anche qui osserviamo che questo procedimento può essere visto come la definizione della funzione cos(z) per z C, dato che la convergenza della serie è assoluta.

12 Esercizio Verificare che lo sviluppo in serie di Taylor centrato nell origine di sin(x) è ( ) n sin(x) = (2n + )! x2n+. (3.7) e che questo sviluppo converge per ogni x reale, nonché ogni z complesso. Esercizio Calcolare lo sviluppo in serie di Mc Laurin di cosh(x) = ex + e x, e sinh(x) = ex e x, 2 2 o notando che la derivata di cosh(x) è sinh(x) e viceversa, oppure utilizzando le proprietà dello sviluppo in serie dell esponenziale. 3.2 Formula di Eulero Interpretando le formule (3.3, 3.6, e 3.7) possiamo dare la dimostrazione della formula di Eulero (che verrà usata nella teoria delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine), e iθ = cos(θ) + i sin(θ). (3.8) L osservazione di base è la seguente: dalla definizione di funzione esponenziale come funzione inversa del logaritmo naturale, e dunque, sostanzialmente, dal fatto che d dx ex = e x, (3.9) abbiamo calcolato lo sviluppo in serie di e x come (3.3). Dal fatto che la serie converge assolutamente per tutti gli x, possiamo definire l esponenziale di un numero complesso z come la somma della serie corrispondente, ovvero, porre per definizione e z z n =, z C. n! In particolare, per z = iθ puramente immaginario (e dunque θ reale) abbiamo: e i θ = i n θ n. n! 2

13 Ora suddividiamo questa serie in due, sommando separatamente i termini di indice pari e indice dispari 4, ovvero scriviamo i n θ n n! = i n θ n n! n pari + n dispari i n θ n. n! Qui osserviamo che la somma su n pari si scrive come somma per n = 2k, k = 0,,, e quella su n dispari come somma per n = 2k +, k = 0,,, e dunque otteniamo e iθ = k=0 i 2 k θ 2 k (2k)! + k=0 i 2 k+ θ 2 k+ (2k + )! (3.0) A questo punto bisogna ricordare che con k pari i 2k = con k dispari i 2k = ( ) k i 2k+ (= i (i 2k ) = ( ) k i. Utilizzando la prima di queste due formule nella prima serie del membro destro di (3.0) e la seconda nella seconda serie si ha che (3.0) diviene e iθ = ( ) k θ 2 k k=0 (2k)! + i k=0 ( ) k θ 2 k+. (2k + )! Confrontando queste due espressioni rispettivamente con (3.6) ed (3.7) si ottengono proprio le formule di Eulero. La formula di Newton per ( + x) α Un altra funzione della quale è possibile calcolare semplicemente ed esplicitamente lo sviluppo in serie di McLaurin è la funzione f(x) = ( + x) α dove α è un numero reale (e.g., un generico numero razionale, α = p q, p e q coprimi). Basta osservare che la formula d dx ( + x)α = α( + x) α 4 Questa operazione è lecita perché la serie converge assolutamente. 3

14 vale per ogni α. Iterando, si ha che, per k =, 2,..., d k dx ( + k x)α = α (α ) (α k + ) ( + x) α k } {{ } k fattori Se definiamo il simbolo combinatorio generalizzato ( ) α = k k fattori { }} { α (α ) (α k + ), k k! ( ) α =, 0 otteniamo che la serie di McLaurin associata a ( + x) α è data da ( α )x k, dato che dk k dx ( + x)α k x=0 = α (α ) (α k + ). (3.) } {{ } k=0 k fattori Ci dobbiamo ora chiedere per quali valori di x questa serie converge (e dunque rappresenta effettivamente la funzione data. Applichiamo il criterio del rapporto, supponendo che α non sia un intero positivo anche perchè, in questo caso, ( + x) α è un polinomio. a k+ a k = ( α k+ ( α k ) ( x k+ α ) ) x k = x k+ ( α k) Quidi dobbiamo calcolare il limite per k dell ultimo rapporto. Abbiamo ( α ) k+ ( α k) = k+ fattori { }} { α (α ) (α k) (k + )! k! α (α ) (α k + ) } {{ } k fattori e dunque si ha lim a k+ = lim x (α k) = x, k a k k k + dato che lim α k k α = lim k k + k k + =. Dunque il raggio di convergenza della serie binomiale (3.) è e dunque possiamo dire che ( ) α ( + x) α = x k, per x <. k k=0 4

15 Analogamente si ha che ( x) α = ( ) α ( ) k x k, per x < k k=0 e, ad esempio, ( + x 2 ) α = nonchè varianti di queste formule. k=0 ( ) α x 2k, per x <, k 4 Derivazione ed integrazione per serie La proprietà di una funzione di potere essere rappresentatata in serie di potenze implica notevoli proprietà della stessa, proprietà che hanno, come vedremo, interesse in campo applicativo 5. Teorema: Sia f(x) rappresentabile (o sviluppabile) in serie di potenze in un intorno di x 0, cioè supponiamo che valga f(x) = a n (x x 0 ) n (4.) con la serie che ha raggio di convergenza non nullo (eventualmente, infinito). Allora f(x) è derivabile, e, nell intervallo di convergenza della serie qui sopra vale che f (x) è sviluppabile in serie di potenze, e la sua rappresentazione in serie è data da f (x) = na n (x x 0 ) n (4.2) n= Dimostrazione. La dimostrazione di questo fatto è una semplice applicazione del criterio del rapporto. Infatti, detto b n (x x 0 ) n il termine generale della serie (4.2), si ha b n (x x 0 ) n = na n+ (x x 0 ) n. Dunque b n+(x x 0 ) n+ b n (x x 0) n (n + )a n+2 (x x 0 ) na n+. 5 Cioè, proprietà che permettono di fare dei conti. 5

16 Ma allora lim b n+(x x 0 ) n+ = lim a n+ (x x 0 ) n+, n b n (x x 0) n n a n (x x 0) n e dunque la serie della derivata converge dove converge quella della serie di partenza. Osservazione. Iterando il ragionamento, si vede che una funzione sviluppabile in serie di Taylor in un intervallo (aperto) I = (x 0 R, x 0 + R) ammette nello stesso intervallo I derivate di ogni ordine; tali derivate sono a loro volta sviluppabili in serie di potenze, e la loro rappresentazione in serie di potenze si ottiene per iterazione della formula con la quale la (4.2) si ottiene dalla (4.). Ad esempio, lo sviluppo inserie di f (x) sarà: f (x) = (n(n ))a n (x x 0 ) n 2, n=2 e così via. A questa proprietà notevole si dà il nome di derivazione termine a termine. In altre parole, questa proprietà generalizza al caso delle serie assolutamente convergenti la proprietà ben nota del fatto che la derivata di una somma finita di funzioni è la somma delle derivate dei singoli addendi. Analogamente al teorema di derivazione termine a termine vale anche un teorema di integrazione termine a termine. Esso dice che se per f(x) vale lo sviluppo (4.), cioè f(x) = a n (x x 0 ) n, allora f(x) è integrabile in ogni compatto contenuto in I, il suo integrale indefinito è a sua volta sviluppabile in serie di potenze in I, e si ha ( ) f(x) dx a n (x x 0 ) n a n dx = C + n + (x x 0) n+ Nota. Il modo più corretto di scrivere la formula di integrazione termine a termine è, e.g. nel caso x 0 = 0, il seguente: ( x ) a n (t n a n ) dt = n + xn+. 0 Esempio. Lo sviluppo in serie di arctan(x). Osserviamo che le prime derivate di f(x) = arctan(x) sono: f (x) = + x 2, f x (x) = 2 ( + x 2 ) 2, f (x) = 2 3 x2 ( + x 2 ) 3,... 6

17 e dunque risulta difficile pensare di dare una formula finita per il calcolo della derivata n-esima, con n generale. Per trovare lo sviluppo in serie di arctan(x) possiamo però procedere in questo modo. Osserviamo che noi conosciamo lo sviluppo in serie della derivata di arctan(x) in 0; infatti d dx arctan(x) = + x = ( ) n x 2n, per x < 2 Utilizzando la formula di integrazione termine a termine, e osservato che 6 x ( ) d dt arctan(t) dt = arctan(x) arctan(0) = arctan(x) 0 abbiamo che arctan(x) = = x 0 ( ( ) n t 2n ) dt = x (( ) n 0 ) t 2n dt = ( ) n n + x2n+. (4.3) Esercizio. Dimostrare che lo sviluppo in serie di potenze log( + x) in un intorno di x = 0 è ( ) n log( + x) = n + xn+ d Suggerimento: log( + x) = dx + x. Esercizio. Calocolare lo sviluppo inserie di Mc Laurin di f(x) = arcsin(x). 4. Applicazioni. Esercizio a Calcolare 0. cos(x) + x 2 /2 lim x 0 x 2 sin( x2 4 ) 6 Scegliendo la determinazione naturale (cioè più semplice) dell arco tangente, arctan(0) = 7

18 Soluzione Il limite proposto è una forma indeterminata del tipo [ 0 0 ]. Il denominatore va a zero come x 4 ; infatti, abbiamo che il suo sviluppo in serie è x 2 (sin(x 2 /4)) x 2 (x 2 /4 (x/4) 3 /3! + ) x 4 /4 + Dobbiamo dunque calcolare lo sviluppo di Mc Laurin del numeratore fino al quarto ordine. Ricordando che cos(x) = x 2 /2! + x 4 /4! + otteniamo che Dunque abbiamo Esercizio b cos(x) + x/2 = x 4 /4! + cos(x) + x 2 /2 x 4 /4! + lim = lim x 0 x 2 sin( x2 4 ) x 0 x 4 /4 + = 6. Si calcoli lim x 0 ( ) ( x) 2/3 sin (x) x x 2. Soluzione Anche qui si ha una forma indeterminata del tipo [ 0 0], ovvero che sia il numeratore (N) che il denominatore (D) tendono a zero per x 0. Dato che N e D sono sviluppabili in serie di Mc Laurin, possiamo calcolare il limite proposto attraverso il loro sviluppo in serie. Gli sviluppi in serie delle funzioni coinvolte sono: sin(x) = ( ) n x2n+ 2n +! = x x3 6 + x5 20 +, ( ) 2/3 ( x) 2/3 = ( + ( x)) 2/3 = ( x) n = 2 n 3 x 9 x2 4 8 x3 +, 8 (4.4)

19 dove con i puntini indichiamo termini di ordine superiore a quelli scritti. Sostituendo (4.4) nel limite proposto otteniamo che il numeratore N diventa ed il numeratore diventa Quindi, N = ( 2 3 x 9 x2 + )x 2 = 2 3 x3 +, D = x x3 6 + x x = 6 x3 +. N lim x 0 D = lim 2 3 x3 + x 0 6 x3 + = lim x x3 6 x3 = 4. (4.5) Per risolvere l esercizio non è peraltro necessario ricordarsi a memoria gli sviluppi (4.4). Infatti sappiamo che: sin(0) = 0; sin (0) = cos(0) =, sin (0) = sin(0) = 0, sin (0) = cos(0) =. Dalla definizione di sviluppo di Mc Laurin (di una funzione sviluppabile in serie di Mc Laurin...), f (n) (0) f(x) = (4.6) n! abbiamo sin(x) = x 6 x3 +, e dunque vediamo che il primo termine non nullo dello sviluppo in serie di Mc Laurin del denominatore D = sin(x) x è il termine cubico 6 x3 (4.7) Quindi, per calcolare il limite proposto dobbiamo calcolare lo sviluppo di Mc Laurin del numeratore fino all ordine 3. Data la presenza a numeratore del fattore x 2, dobbiamo in ultima analisi calcolare lo sviluppo al primo ordine di ( x) 2/3. Utilizzando la definizione (4.6) ho Dato che, per x >, ( x) 2/3 = + d dx ( x)2/3 x=0 x + d dx ( x)2/3 = 2 3 ( x) /3 (= x ), 9

20 si ha che d dx ( x)2/3 x=0 = 2. Dunque il termine di ordine 3 nello sviluppo 3 del numeratore è 2 3 x3. (4.8) Il limite proposto si può dunque calcolare facendo il limite del rapporto di (4.7) e (4.8). Tale limite dà (come deve...) 4, ovvero il risultato del calcolo svolto in (4.5). Esercizio c Calcolare exp( x 2 ) dx con un errore inferiore a 00. Soluzione 0 L integrando è la serie esponenziale con argomento x 2. Tale serie converge assolutamente ed uniformemente per tutti i valori reali dell argomento, quindi possimo integrare termine a termine. Lo sviluppo in serie di Mc Laurin di exp( x 2 ) è exp(x 2 ) = i=0 ( ) nx2n n! Integrando termine a termine ottengo: 0 = x 2 + x 4 /2! x 6 /3! +. exp( x 2 ) dx = (x x3 3 + x5 0 + ) = ( ) n 0 (2n + )n!, (4.9) dato che il contributo dell estremo inferiore di integrazione è nullo. La serie così ottenuta è una serie a termini alternati, con il modulo del termine generale, ovvero decrescente e che tende a zero per n. (2n + )n! Posso quindi utilizzare il teorema di Leibnitz che dice che, se i=0 ( )n b n è una serie che soddisfa le ipotesi di cui sopra, essa converge (diciamo a S) ed inoltre N S ( ) n b n b N+ i= 20 i=0

21 ovvero, a parole, che la differenza tra la somma della serie e la sua n-sima somma parziale è limitata dal modulo del primo termine che si trascura. Quindi, riconsiderando la equazione (4.9), per risolvere il problema nella maniera più economica, dovrò trovare il più piccolo valore di n per il quale valga (2n + )n! 00 ovvero il minimo valore di n per il quale (2n + )n! 00. Conviene tabulare i primi valori di n e (2n + )n! come: [ ] Quindi il valore cercato di n è n = 4 e dunque, a meno di /00, 3 exp( x 2 ) dx ( ) n (2n + )n! 0 i=0 = /3 + /0 /42 = 5 Prodotto di serie = = In questa ultima sezione introduciamo il concetto di prodotto di serie di potenze. Per comodità di notazione, le serie saranno centrate in x 0 = 0. Siano f(x) = i=0 a nx n e g(x) = b nx n due serie di potenze con raggio di convergenza, rispettivamente r f ed r g. Allora il prodotto h(x) = f(x) g(x) è rappresentabile in serie di potenze in x < min(r f, r g ) come n h(x) = c n x n, dove c n = a j b n j. (5.) Questa definizione/risultato di serie di potenze è una diretta generalizzazione delle note regole di moltiplicazioni di polinomi 7. Infatti, scrivendo per esteso, si ha: h(x) = f(x) g(x) = (a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + )(b 0 + b x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + ) j=0 = (a 0 b 0 ) + (a b 0 + a 0 b ) x + (a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 )x 2 + (a 0 b 3 + a b 2 + a 2 b + a 3 b 0 ) x 3 +, 7 La dimostrazione della convergenza della serie prodotto è troppo lunga e tecnica per essere qui riportata. 2

22 cioè i coefficienti dello sviluppo di h(x) sono proprio dati dalla seconda delle formule (5.). La formula (5.) può essere utile per calcolare lo sviluppo in serie di potenze (in particolare, almeno i primi termini) di un prodotto di funzioni delle quali si conoscano gli sviluppi in serie di Mc Laurin, senza dover calcolare le derivate della funzione prodotto. Esercizio. Provare che lo sviluppo al settimo ordine di f(x) = sin(2 x)( + x 2 ) 2 è f(x) = 2 x 3 x x x7 + o ( x 8). Le formule (5.) possono essere usate per calcolare il reciproco di una serie di potenze. Ovvero: supponiamo che f(x) = sia una serie di potenze (centrata in x 0 = 0) con raggio di convergenza R, e sia f(0) = a 0 0. (5.2) Allora esiste un intervallo R < x < R, con R eventualmente più piccolo di R nel quale la funzione g(x) := è sviluppabile in serie di potenze, cioè f(x) rappresentabile come g(x) = b n x n, x < R. (5.3) I coefficienti b n si possono calcolare ricorsivamente attraverso la seconda formula (5.), utilizzando la seguente Proposizione ( principio di identità per le serie di potenze): Due serie f (x) = a nx n ed f 2 (x) = b nx n, assolutamente convergenti in x < R (eventualemnte, R = ) coincidono se e solo se vale l ugualglianza di tutti i coefficienti, ovvero se e solo se a n = b n, n = 0,, 2,.... (5.4) Prima di dimostrare questa proposizione, notiamo che essa rappresenta la naturale estensione al caso delle serie (convergenti) del principio di identità di polinomi di grado N finito. La validità della proposizione si può verificare, ad esempio, in questo modo. Se vale (5.4), allora, evidentemente, f (x) coincide con f 2 (x). Il viceversa è lievemente più sottile. Ricordiamo che, per x < R le funzioni f (x) ed f 2 (x), 22

23 definite come somma delle serie corrispondenti, sono infinitamente derivabili, e vale che d n dx nf(x) x=0 = n!a n, n = 0,, 2,.... Ora, se f (x) = f 2 (x) per x < R, allora vale che dn dx nf (x) = dn f dx n 2 (x), sempre per x < R e, a fortiori, il che dimostra l asserto. d n dx nf (x) d n x=0 = } {{ } dx nf 2(x) x=0 } {{ } =n!a n =n!b n Ritorniamo al problema di determinare lo sviluppo del reciproco di f(x) = a nx n, a 0 0, cioè di calcolare i coefficienti b n che compaiono nella (5.3). Osserviamo che, per definizione di reciproco, f(x)g(x) e possiamo (anche se è un modo un po barocco di rappresentarla) pensare alla costante come alla serie di potenze definita da = α n x n, con α 0 = 0, α i = 0 se i 0. (5.5) Questo di permette di scrivere = f(x)g(x) come ( a n x n )( b n x n ) = α n x n, con gli α n definiti da (5.5). Ricordando la definizione di coefficiente n-esimo del prodotto di serie di potenze e utilizzando il principio di identità delle serie, vediamo che i coefficienti c n della serie prodotto devono verificare le equazioni: c 0 = c = 0 c 2 = 0 c 3 = 0. c n = 0. a 0 b 0 = a 0 b + a b 0 = 0 a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 = 0 a 0 b 3 + a b 2 + a 2 b + a 3 b 0 = 0. n j=0 a jb n j = (5.6)

24 La seconda colonna (di infinite equazioni) di questa formula deve esser pensata come un sistema lineare nelle incognite {b j } j=0,..., con coefficienti noti dati dai coefficienti a i. Le proprietà di (5.6) che fanno sì che (ricorsivamente) il sistema sia risolubile sono le seguenti: ) a 0 0 2) la n esima equazione (con n ) si può riscrivere come n a 0 b n = a j b n j = (a b n + a 2 b n a n b 0 ) j= Infatti, tenuto conto della prima proprietà, si ha: b 0 = a 0 ; b n = a 0 ((a b n + a 2 b n a n b 0 ), n, dal che si evince che il sistema è ricorsivamente risolubile perchè, dalla seconda di queste, si vede che, una volta noti i coefficienti {b, b 2...,b n } è possibile calcolare esplicitamente il coefficiente b n. Esercizio. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin all ottavo ordine di Risultato: cos(x). cos(x) = + 2 x x x x8 + O ( x 0) Esercizio. Utilizzando il risultato precedente, nonchè le formule per il prodotto delle serie di potenze - calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al settimo ordine di g(x) = tan(x) Risultato tan(x) = x + 3 x x x7 + O ( x 8) Esercizio. Verificare che lo sviluppo di Mc Laurin al settimo ordine di è tanh(x) sinh(x) cosh(x) tanh(x) = x 3 x x x7 + O ( x 8). 24

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