Trasformate di Laplace

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1 TdL 1 TdL 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio complesso s Metodi per risolverle??? TdL 3 TdL 4 Definizione : Perche queste trasformate sono utili? si considerano sempre funzioni non nulle solo per 1. Hanno molte proprieta che aiutano a risolvere le equazioni differenziali Funzioni del tempo Funzioni complesse 2. Le trasformate si calcolano facilmente con delle trasformate notevoli TdL 5 TdL 6 1. Linearita : 3. Trasformata della derivata: 2. Trasformata dell integrale: Derivate di ordine n 1

2 TdL 7 TdL 8 4. Traslazione in frequenza: se 6. Cambiamento di scala nei tempi 5. Traslazione nel tempo: 7. Moltiplicazione per : TdL 9 TdL 10 Def: integrale di convoluzione non nulle per 1. Trasformata del gradino unitario: 8. Si dimostra che: Definizione: la di Dirach TdL 11 TdL Trasformata della di Dirach Si puo vedere come il di una successione di funzioni tali che: la funzione di Dirach si puo vedere come la derivata del gradino... 2

3 TdL 13 TdL Trasformata dell esponenziale : 4. Trasformata di :...basta applicare la proprieta di moltiplicazione per... TdL 15 TdL Trasformata di : Trasformata di e di...ricordiamo le formule di Eulero......basta ricordare le proprieta di moltiplicazione per traslazione in frequenza... e di TdL 17 TdL Trasformata di : 7. Trasformata di : 3

4 TdL 19 TdL 20 Applicazione: Se e un gradino unitario ed applichiamo le proprieta viste: Vogliamo risolvere l'equazione: Con condizioni iniziali: Si e ottenuta un equazione algebrica da cui esplicitare : TdL 21 Applicazione: sistema massa-molla (parte1, 32) TdL 22 Da questa equazione si puo tornare nel dominio del tempo, ANTITRASFORMANDO TdL 23 Applicazione: controllo di livello (parte 2, 1) TdL 24 Ipotesi: -serbatoio infinito -no disturbo -controllore proporzionale Risposta libera dipende dalle condizioni iniziali? Risposta forzata dipende dall ingresso 4

5 TdL 25 TdL 26 controllo di livello Trasformiamo con Laplace, con C.I. nulle ( e il RIFERIMENTO!): Antitrasformate A partire da si risale - sotto opportune ipotesi - ad calcolando :? Che vale per CAUSALE, cioe non nulla solo per e detta ascissa di convergenza...non ci interessa TdL 27 TdL 28 Antitrasformate Antitrasformate Ci interessa antitrasformare funzioni razionali fratte Deve essere n>m Se e causale, questa condizione e sempre verificata. Non applicheremo mai la definizione di antitrasformata! Altrimenti la teoria delle trasformate ricorre alle funzioni generalizzate...che non vedremo TdL 29 TdL 30 Vogliamo scrivere come: avremo r zeri: di molteplicita avremo q poli: di molteplicita 5

6 TdL 31 TdL 32 Per la proprieta di linearita la sua antitrasformata si potra calcolare cosi : Infatti si ha che: Ancora per le proprieta di linearita, traslazione in frequenza e moltiplicazione per. Risulta facile antitrasformare il singolo termine di questa sommatoria. TdL 33 TdL 34 Se sappiamo calcolare i coefficienti abbiamo automaticamente la Metodo 1: basato sul principio di identita dei polinomi - va bene per poli a molteplicita unitaria Metodo 2: basato sul calcolo dei residui - va bene per poli multipli Risolviamo l esercizio (parte2, 23) lasciato in sospeso, con entrambi i metodi Per analogia col caso massamolla! a. Risposta libera b. Risposta forzata a. Metodo 1 - qui conviene perche ci sono poli a molteplicita unitaria TdL 35 TdL 36 b. Metodo 2? 6

7 TdL 37 TdL 38 Per calcolare i coefficienti si applica questa formula: Dunque finiamo l esercizio: Per poli di molteplicita unitaria: Detta formula di Heaviside Derivata prima del denominatore! TdL 39 TdL 40 Espressione finale di : Applicazione: sistema massa-molla Antitrasformando: Soluzione dell equazione differenziale: Se e un gradino TdL 41 TdL 42 Espandendo in fratti semplici: Applicazione: controllo di livello Vedi lezione della scorsa settimana (parte 1,34) facendo qualche conto... Si e gia visto l andamento della aseconda cheleradici siano reali o complesse. vedi (parte 2, 4) 7

8 TdL 43 TdL 44 Studio qualitativo delle soluzioni CASI : TdL 45 TdL 46 Studio qualitativo delle soluzioni Osservazioni: se e una radice del denominatore di, allora lo sara anche il suo complesso e coniugato Per l andamento della funzione converge SEMPRE a zero Per l andamento e divergente, con velocita crescente con la molteplicita del polo; e limitata sse la molteplicita del polo e unitaria Nella scomposizione troveremo come coefficienti legati a i coefficienti : dunque dovremo antitrasformare Per l andamento e SEMPRE divergente TdL 47 TdL 48 Sviluppando si ottiene: 8

9 Studio qualitativo delle soluzioni TdL 49 Vediamo ancora due proprieta molto importanti: TdL 50 Osservazioni: Teorema del valore iniziale Per l andamento della funzione converge SEMPRE a zero IPOTESI: F(s) strettamente propria, cioe n>m. Per la funzione e limitata sse la molteplicita di p e unitaria Per l andamento e SEMPRE divergente solo per chi e curioso: se ha impusi - - nell origine il teorema non vale... riflettere sul perche! TdL 51 Teorema del valor finale: esempi TdL 52 Applicazione corretta: Teorema del valor finale IPOTESI: Tutti poli sono nel semipiano sinistro, con al piu un polo di molteplicita unitaria nell origine. C e un solo polo a parte reale negativa Applicazione scorretta:? E un teorema molto utile: si trova subito il valore regime della senza fare troppi calcoli! Ci sono due poli immaginari puri! Esercizi 1. Antitrasformare la funzione : TdL 53 Antitrasformiamo : TdL 54 fine! 9

10 TdL 55 TdL Carica e scarica di un circuito RC parallelo: a) Ingresso nullo, ma con condizioni iniziali diverse da zero : il circuito si scarica. Equazionidistato Per il secondo principio di Kirchhoff (al nodo A): A R C Applichiamo Laplace: TdL 57 TdL 58 b) Soluzione ad ingresso diverso da zero, ma condizioni iniziali nulle : il circuito si carica. Se R=10, C=1 si ha RC=10 e dunque: Se l ingresso e un gradino in corrente: Allora espandiamo in fratti semplici... TdL 59 TdL Antitrasformare la funzione: Innanzitutto troviamo i poli: Poi espandiamo in fratti semplici: fine! 10

11 TdL 61 TdL 62 Applichiamo la formula dei residui : Semplifichiamola sfruttando le formule di Eulero: Ma si poteva anche accoppiare i poli complessi e coniugati: Antitrasformando > ricordare la proprieta di traslazione in frequenza: Che non e molto agevole perche presenta coefficienti complessi... fine! TdL 63 TdL 64 Quello appena visto si dice metodo del COMPLETAMENTO DEI QUADRATI: 4. Antitrasformare la funzione : a. Si accoppiano i poli complessi e coniugati: Abbiamo gia i poli...stavolta facciamo attenzione agli zeri!! b. Si aggiustano le costanti al numeratore per avere: Infatti ci sono delle semplificazioni fra numeratore e denominatore: un fattore si elimina... Magari non ce ne siamo accorti... Ma facendo i conti nell espansione in fratti semplici il coefficiente legato ad risultera nullo! Se nell espansione un coefficiente risulta NULLO significa che ci sono delle semplificazioni di cui non ci si e accorti. fine! 11

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