Elettronica e Telecomunicazioni Classe Quinta. La trasformata di Laplace

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1 Elettronica e Telecomunicazioni Classe Quinta La trasformata di Laplace ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI CLASSE QUINTA A INFORMATICA

2 INDICE Segnali canonici Trasformata di Laplace Teoremi sulla trasformata di Laplace Funzione di Trasferimento Anti-trasformata di Laplace Esempio del circuito RC Disegno del grafico nel dominio del tempo del segnale

3 Segnali canonici I segnali canonici sono utili per analizzare il comportamento di un sistema lineare. Potremmo definirli come i segnali di uso più comune per valutare la risposta del sistema. Ecco alcuni dei segnali canonici più usati:

4 Segnali canonici

5 Segnali canonici

6 Segnali canonici

7 Segnali canonici

8 Segnali canonici

9 Trasformata di Laplace Si constata che data una rete elettrica, noto il segnale d ingresso e(t), per ottenere l uscita u(t), bisogna risolvere una equazione differenziale che è in genere di non facile soluzione. La trasformata di Laplace è un operatore matematico che consente di semplificare lo studio di un sistema. Questo studio avviene nel dominio complesso; successivamente si torna nel dominio del tempo attraverso l operatore inverso: antitrasformata di Laplace.

10 Applicando la trasformata di Laplace ad un sistema, a prima vista sembra di allungare il procedimento per la risoluzione dell uscita. In effetti occorre trasformare ogni elemento del circuito iniziale ed ogni segnale applicato nel suo equivalente con Laplace.

11 Vantaggi della Trasformata di Laplace I principali vantaggi che si ottengono con l introduzione della T.d.L. sono: Le equazioni differenziali sono tramutate in equazioni algebriche; Nota l uscita nel dominio di s U(s) anti-trasformando si può risalire alla u(t); il sistema può essere rappresentato mediante la sua funzione di trasferimento (F.d.T.);

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13 La trasformata di Laplace dei segnali canonici Gradino unitario: u(t) 1 / s Impulso unitario (delta di Dirac) (t) 1

14 La trasformata di Laplace dei segnali canonici Rampa unitaria: r(t) 1 / s 2 Parabola unitaria p(t) 1 / s 3 Segnale sinusoidale s(t) Segnale cosinusoidale s(t) ω s 2 +ω 2 s s 2 +ω 2

15 Teoremi sulle trasformate di Laplace

16 Teoremi sulle trasformate di Laplace

17 La trasformata di Laplace per la resistenza, l induttanza e la capacità Nel caso in cui il condensatore e/o l induttore siano inizialmente scarichi:

18 La trasformata di Laplace per la resistenza, l induttanza e la capacità Nel caso invece in cui il condensatore e/o l induttore siano inizialmente carichi ad un valore V c (0) per il condensatore e i L (0) per l induttore:

19 Un esempio: il circuito RC Determinare la tensione di uscita ai capi del condensatore C: Passo 1: si trasforma il circuito, i suoi elementi ed i segnali ad esso applicati Laplace I(s) V i (s) 1/sC V c (s) Il circuito trasformato adesso è lineare e per esso vale la legge di Ohm.

20 Passo 2: si ricava la corrente I(s) Passo 3: si ricava la tensione di uscita V out (s) Passo 4: definiamo una nuova grandezza data dal rapporto fra V out (s) e Vi(s)

21 La funzione di trasferimento La F(s) determinata appena adesso prende il nome di FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (F.d.T) del circuito. Essa è il rapporto tra la L-Trasformata della risposta di un sistema e la L-Trasformata della corrispondente sollecitazione d'ingresso. G(s) =

22 Poli e zeri della F.d.T Prendono il nome di ZERI gli n valori finiti di s che annullano il Numeratore della F.d.T. Prendono il nome di POLI gli m valori finiti di s che annullano il Denominatore della F.d.T. La F.d.T. è sempre data dal rapporto di due polinomi: Se chiamiamo z1, zn gli n ZERI e p1,, pm gli m POLI, la F.d.T. si potrà scrivere come:

23 ANTITRASFORMATA DI LAPLACE

24 ESEMPI DI ANTITRASFORMATA

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26 c

27 Antitrasformata di Laplace (esempio del circuito RC visto prima) Da quanto visto prima, al punto 3 dell esercizio precedente, avevamo trovato che: Da cui: = s + 1 RC 1 RC V in (s) Passo 5: Utilizzando la formula di antitrasformazione: dove a = 1/RC e K=1/RC, si ottiene: K s+a k e at V out t = K e at = 1 RC e 1 RC t

28 Disegno del grafico della tensione di uscita V out (t) Passo 6: si determinano i limiti della V out (t) per t 0 e per t Per t 0 V out 0 = 1 RC e 1 RC 0 = 1 RC Per t V out = 1 RC e 1 RC = 1 RC 1 e = 0 Passo 7: si disegna il grafico V out (t) 1/RC Curva esponenziale descrescente t