A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO

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1 A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO Sono stati trattati gli elementi base per l'analisi e il dimensionamento dei sistemi di controllo nei processi continui. E' quindi importante: conoscere come si comporta un sistema nei vari domini: tempo, frequenza, piano di Gauss, trasformate di Laplace. individuare gli interventi da fare sui sistemi per fargli assumere il comportamento desiderato Il sistema di controllo preso come esempio è quello di un motore a corrente continua ad eccitazione separata. Gli argomenti sono quindi: funzioni di trasferimento (f.d.t.) nel dominio delle frequenze [diagrammi di Bode] f.d.t. nel dominio complesso [piano di Gauss (diagrammi polari Nyquist)] f.d.t. nel dominio delle Trasformate di Laplace [utilizzo delle antitrasformate per trovare la risposta nel dominio del tempo] f.d.t. di sistemi di controllo [con retroazione] per determinare: l'effetto dei disturbi (di tipo additivo e parametrici) l'errore a regime con ingressi canonici il tipo di risposta con ingressi canonici [impulso, gradino, rampa, parabola] velocità di risposta e larghezza di banda la stabilità [criteri di Bode, Nyquist e Routh-Hurwitz] reti compensatrici regolatori [PD, PI, PID] per intervenire sul comportamento del sistema il motore a corrente continua: controllo della velocità agendo sull'eccitazione separata RISPOSTA IN FREQUENZA Perché è così importante sapere come un sistema risponde alle sollecitazioni di segnali sinusoidali a frequenza variabile risposta in frequenza? Il motivo è semplice: Tutte le grandezze non sinusoidali, periodiche (per esempio l'onda quadra, l'onda triangolare, l'onda a denti di sega, lo stesso gradino inteso con periodo infinito ed altre) quando vengono applicate ad un sistema danno luogo ad una risposta (l'uscita) che dipende da come è fatto il sistema stesso, ossia dalla sua f.d.t.; Utilizzando il teorema di Fourier (che dice: qualsiasi segnale periodico, comunque variabile nel tempo, può essere scomposto nella somma di una serie di sinusoidi di ampiezza e fase opportune vedi tabella allegata) noi possiamo vedere quali sono le sinusoidi che passano amplificate/attenuate o sfasate, così da determinare se l'uscita (ottenuta come sovrapposizione delle singole sinusoidi componenti) segue o no fedelmente l'ingresso applicato. E' chiaro che i tempi di reazione dei sistemi fisici dipendono dalle costanti di tempo degli elementi che li compongono, basti pensare a τ = RC - τ = L/R dei circuiti elettrici che più si conoscono. Quindi deve essere nota la f.d.t. del sistema nel dominio delle frequenze, utilizzando la variabile [jω], come se si stesse studiando un circuito in corrente alternata. Possiamo trattare indifferentemente sistemi elettrici, meccanici, termici, idraulici ecc. partendo dalle equazioni differenziali nel dominio del tempo.

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3 Ci sono un'infinità di situazioni possibili per quanto riguarda la f.d.t. G(jω). Posso avere un circuito elettrico con resistenze, capacità, induttanze, amplificatori operazionali (che permettono di costruire degli integratori, derivatori ecc...), un sistema termico con isolanti, masse, e così via. Le f.d.t. normalmente hanno espressioni con fattori del tipo (1 + jωτ) sia a numeratore che a denominatore. Il contributo che danno i singoli fattori è del tipo: se a numeratore modulo con pendenza positiva e fase positiva (20 db/dec e + 90 ) se a denominatore modulo con pendenza negativa e fase negativa (-20 db/dec e - 90 ) Ci sono un'infinità di situazioni possibili per quanto riguarda le espressioni delle f.d.t. Le f.d.t. che destano più interesse sono quelle del 2 ordine, con la presenza a denominatore di due costanti di tempo. Per esempio il circuito RLC serie: ha le seguente equazione differenziale: e(t) = R i(t) + v L (t) + v C (t) = R i(t) + L d i(t) + v C (t) [1] dt ma: i(t) = C d v C (t) dt quindi: e(t) = RC d v C (t) + L d 2 v C (t) + v C (t) dt d t 2 come si nota abbiamo una equazione differenziale (perché ci sono le derivate) del 2 ordine (abbiamo la presenza della derivata seconda). Questa equazione dovrebbe fornire la soluzione, per esempio della v C (t), quando sono noti e(t) (che è l'ingresso preso in considerazione) e i parametri del circuito (R, L e C). Il metodo per risolvere l'equazione differenziale esiste ma non è immediato e quindi ci si appoggia a strumenti più semplici quali lo studio in frequenza oppure le trasformate di Laplace. Prima si è detto che qualsiasi grandezza può essere scomposta secondo il teorema di Fourier in somma di sinusoidi, quindi basta trovare le componenti della e(t), applicarle al circuito separatamente e vedere quali sono le componenti della v C (t), per poi sommarle ottenendo quanto cercato.

4 A questo punto basta studiare il circuito come se fosse in alternata, e l'espressione [1] diventa: E = R I + jω L I + 1 I jωc oppure: E = jωrc Vc + (jω) 2 LC Vc + Vc Se dovesse interessare la f.d.t. Vc/E avremo: _ Vc 1 G(jω) = = E (jω) 2 LC + jωrc + 1 A denominatore abbiamo un'equazione di 2 grado nella variabile (jω). Al variare dei parametri R, L e C abbiamo comportamenti diversi. La risposta in frequenza (modulo e fase), è la seguente:

5 Tornando alla f.d.t. ed analizzando solo il denominatore possiamo sostituire a (jω) una variabile di appoggio (s) : Vc(s) 1 1/LC k G(s) = = = = [2] E(s) s 2 LC + s RC + 1 s 2 + s R/L + 1/LC s ζ ω n s + ω n 2 dove: ω n è la pulsazione naturale ω n = 1/ LC ζ è il fattore di smorzamento ζ = τ C / 4 τ L Per certi valori di R, L e C possiamo avere della radici, dell'equazione di 2 grado, complesse e coniugate, in particolare quando ζ <= 1, ossia quando τ C 4 τ L. Le radici si chiamano anche poli della f.d.t. Nei grafici della pagina precedente si vede il comportamento del circuito al variare del fattore di smorzamento e per valori al di sotto di 0.7 abbiamo delle sovraelongazioni. L'effetto si ripercuote anche nel dominio del tempo con andamenti come nel seguente grafico: fig. 1 Quanto visto per il circuito RLC serie varrà anche per altri sistemi fisici, come può essere quello meccanico (massa-smorzatore-molla automobile) o lo stesso motore a corrente a corrente continua che ha elementi sia elettrici che meccanici e quindi più di una costante di tempo.

6 PIANO DI GAUSS DIAGRAMMI POLARI NYQUIST Il diagramma polare è un modo diverso da Bode per rappresentare le f.d.t. G(jω), solo che si usa un piano complesso (di Gauss) per disegnare modulo e fase al variare della pulsazione ω da 0 a +. I diagrammi di Nyquist sono tracciati con la variazione della pulsazione ω da - a +. Per i nostri scopi esamineremo solo la parte tra 0 e + (quella in blu dell'immagine). Esempio di grafico per un sistema del 2 ordine, come il circuito RLC analizzato precedentemente: Questo metodo di rappresentazione delle f.d.t. tornerà utile quando si andrà ad analizzare la stabilità di un sistema di controllo, attraverso il criterio di Nyquist.

7 LE TRASFORMATE DI LAPLACE Questo importante strumento permette di risolvere per esempio le equazioni differenziali attraverso le corrispondenti equazioni algebriche (simili nell'aspetto alle equazioni nel dominio delle frequenze). Diamo intanto alcune definizioni e teoremi importanti che verranno ripresi successivamente. Definizione Si dice Trasformata di Laplace o L-trasformata della funzione reale f(t), la funzione F così definita: con s R e tale che l integrale sia convergente. La funzione F(s) si indica anche con il simbolo L[f(t)]. Teorema della derivazione e dell'integrale (molto importanti per le equazioni differenziali) Ipotesi: f(t), f '(t) e f ''(t) siano L-trasformabili e sia L[f(t)] = F(s) allora: L[f '(t)] = s F(s) - f(0) L[f ''(t)] = s 2 F(s) s f(0) f ' (0) Se poi capita che la funzione e le sue derivate sono tutte nulle in t = 0 allora le formule si semplificano e diventano: L[f '(t)] = s F(s) L[f ''(t)] = s 2 F(s) ed in generale L[f (n) (t)] = s n F(s) La trasformata dell'integrale della funzione è il rapporto tra la trasformata e la variabile s: t L[ f(t) ]= F(s)/s 0 - Teorema del valore finale: lim f(t) = lim s F(s) t s 0 Teorema del valore iniziale: lim f(t) = lim s F(s) t 0 + s Già l'espressione della f.d.t. [2] di pag.5 è in forma algebrica (si era sostituita la variabile (j ω) con

8 la variabile (s)). Questo ci permette, utilizzando delle opportune tabelle di antitrasformazione, di ricavare l'andamento nel dominio del tempo di grandezze (considerate di uscita) quando se ne conoscono altre (considerate di ingresso). Facciamo un semplice esempio prendendo il circuito RLC serie di pag.3. Se il generatore e(t) vale 100V e lo applichiamo all'istante t=0 (gradino che vale 100), la sua trasformata di Laplace è: E(s) = 100/s la grandezza che vogliamo ricavare è la v c (t), e l'espressione che utilizziamo è la [2]: k Vc(s) = G(s) E(s) = = [3] s (s 2 LC + s RC + 1) s (s ζ ω n s + ω n2 ) conoscendo i valori di R, L e C e quindi di k, ζ e ω n avremo (se ζ 1 o τ C 4 τ L ): 100 k 100 k - ζω n t (1- ζ 2 ) v c (t) = e sen ( ω n (1- ζ 2 ) t + arctg ) [4] ω n 2 ω n 2 (1- ζ 2 ) ζ vedi la formula n.48 della tabella delle antitrasformate allegata. se ζ > 1 o τ C > 4 τ L avremo una antitrasformata più semplice, visto che le soluzioni dell'equazione di 2 a denominatore sono reali e distinte (vedi formula n.25 della tabella allegata). La rappresentazione grafica dell'equazione [4] avrà l'andamento di fig.1 di pag.5.

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32 Criterio generale di stabilità: un sistema è stabile se tutti i poli della funzione di trasferimento che lo descrive hanno parte reale negativa Il polinomio del denominatore della f.d.t. prende il nome di equazione caratteristica. Un sistema di controllo a catena chiusa è stabile se le radici dell'equazione caratteristica hanno parte reale negativa.

33 Se dovessimo rappresentare le radici sul piano di Gauss, per avere un sistema stabile, devono trovarsi sul semipiano di sinistra. Il piano di Gauss diventa luogo delle radici quando nella f.d.t. complessiva G cl (s) c'è la possibilità di cambiare il guadagno statico di G(s) della: G(s) G cl (s) = G(s) H(s) Per determinare velocemente se un sistema, e in particolare di controllo, è stabile abbiamo i seguenti criteri, tra matematici e grafici: Criterio di Routh-Hurwitz (matematico) E' sufficiente accertarsi che i poli della f.d.t. abbiano tutti parte reale negativa. C'è una procedura che consente di non dover ricavare i valori dei poli, ma solo di verificare se ci sono o no poli con parte reale positiva instabilità. Il criterio si divide in due parti: 1. Condizione necessaria affinché le radici di un polinomio abbiano tutte parte reale negativa è che nel polinomio siano presenti tutti i coefficienti dei termini tra quello di grado maggiore e quello costante e che abbiano tutti lo stesso segno. 2. Condizione sufficiente affinché le radici di un polinomio abbiano tutte parte reale negativa è che non si presenti inversione di segno nella prima colonna di una tabella costruita utilizzando i coefficienti del polinomio. Per come costruire la tabella fare riferimento agli esercizi fatti in classe e al testo. Il criterio di Routh-Hurwitz permette comunque il valore del guadagno limite oltre il quale il sistema può andare in instabilità. Criterio di Nyquist ristretto (grafico) Si basa sulla rappresentazione grafica sul piano di Gauss della f.d.t. ad anello aperto G(s)H(s). Premesso che un sistema normalmente è stabile in assenza di controllo e che può diventare instabile a causa della retroazione che ne consente il controllo, significa che la f.d.t. ad anello aperto G(s)H(s) non ha né zeri né poli con parte reale positiva (cioè a sfasamento minimo); questo permette di scrivere il seguente criterio: Criterio di Nyquist in forma ristretta: un sistema, a sfasamento minimo, è stabile solo se la curva di Nyquist della risposta in frequenza a catena aperta non circonda il punto del piano di coordinate -1 + j0. Ci sono due indicatori in grado di fornire elementi sull'andamento della risposta al gradino di un sistema di controllo: il margine di fase ed il margine di guadagno.

34 Il margine di fase è l'angolo di cui deve essere incrementata la fase della risposta in frequenza a guadagno unitario (intersezione della curva con la circonferenza di raggio unitario) perché raggiunga il valore di Il margine di guadagno è il valore di cui deve essere incrementato il guadagno della risposta in frequenza per raggiungere il valore unitario in corrispondenza della fase Criterio di Bode (grafico) Rappresentare la risposta in frequenza con i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase è più semplice che non rappresentarla con il diagramma di Nyquist. Il criterio di Bode è la riproposizione del criterio ristretto di Nyquist, con una formulazione duplice a seconda che si utilizzi il diagramma dei moduli o delle fasi: Un sistema è stabile se il valore del modulo (espresso in db) della risposta in frequenza a catena aperta, in corrispondenza alla pulsazione per la quale si ha una fase pari a -180, è negativo. Un sistema è stabile se il valore della fase della risposta in frequenza a catena aperta, in corrispondenza alla pulsazione per la quale il modulo espresso in db è nullo, ha valore assoluto minore di 180. Con i diagrammi di Bode del modulo e della fase è immediato trovare il valore del margine di fase e di guadagno. Del criterio di Bode esiste una versione approssimata, applicabile solo se il diagramma di Bode della G(s)H(s) taglia una sola volta l'asse delle pulsazioni ω. Le regole sono: se la pendenza con cui il grafico di GH interseca l'asse w è 20 db/dec, il sistema è stabile. se la pendenza con cui GH taglia l'asse w è 40 db/dec, il sistema può risultare: 1. incerto se l'intersezione avviene vicino al passaggio da -20 db/dec a -40 db/dec e in tal caso occorre applicare il criterio di Bode vero e proprio 2. instabile se l'intersezione non avviene vicino al passaggio da -20 db/dec a -40 db/dec. Nel caso GH tagli l'asse con pendenza 60 db/dec o maggiore, il sistema è sicuramente instabile.

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46 ELENCO DOMANDE PER LA TERZA PROVA E PER IL COLLOQUIO 1. Definizione e criterio generale di stabilità 2. Cos'è l'equazione caratteristica? Produrre un esempio 3. Qual è il criterio di Routh-Hurwitz? 4. Applicare il criterio di Routh-Hurwitz all'equazione caratteristica: 3 s s s + 7 (o altra espressione) 5. A cosa servono le trasformate di Laplace? 6. Le due formulazioni del criterio di Bode sulla stabilità 7. Cos'è il diagramma polare di una f.d.t.? 8. Come si ricava l'espressione GH =(δ ε) / ε? 9. Cos'è il luogo delle radici? 10. In un sistema di controllo quali sono gli effetti positivi e quelli negativi prodotti da un aumento del guadagno statico d'anello GH? 11. Come si determina il tipo di sistema e se un sistema è classificato di tipo 0 qual è l'errore a regime se l'ingresso è una rampa unitaria? Dimostrare. 12. Se un sistema è classificato di tipo 1 qual è, con dimostrazione, l'errore a regime se l'ingresso è un gradino unitario? 13. Ricavare l'equazione nel tempo della tensione ai capi del condensatore nel transitorio di carica nel circuito RC serie con le trasformate di Laplace. 14. L'equazione differenziale del circuito RLC serie e la corrispondente equazione alle trasformate di Laplace. 15. Descrivere i componenti di un sistema di controllo della velocità di un motore a corrente continua. 16. A cosa servono i regolatori PI, PD, PID e come si possono realizzare? 17. Cosa sono i disturbi additivi e parametrici? N.B. Tutte le domande sono per il colloquio. Le domande da 1 a 12 valgono per la 3 a prova

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