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1 ...4 Risposta temporale: esercizi Esercizio. Calcolare la risposta al gradino del seguente sistema: G(s) X(s) = s (s+)(s+) Y(s) Per ottenere la risposta al gradino occorre antitrasformare la seguente funzione: Y(s) = G(s)X(s) = s(s+)(s+) Il valore iniziale y() e il valore finale y( ) della funzione : y() = lim s sy(s) = G( ) =, Scomposizione in fratti semplici: dove Y(s) = y( ) = lim s sy(s) = G() = 5 s(s+)(s+) = s + (s+) + (s+) = sy(s) s= = (s+)(s+) = 5 s= = (s+)y(s) s= = s(s+) = 4 s= = (s+)y(s) s= = s(s+) = s= La risposta al gradino del sistema G(s) è quindi la seguente:.5 = L - [Y(s)] = 5 4e t + e t Si noti che la pendenza del tratto iniziale per t = + è: ẏ( + ) = lim s s R. Zanasi - Controlli Automatici - /. SISTEMI DINAMICI LINEARI

2 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 Esercizio. Sistema massa-molla-smorzatore. Calcolare la risposta x(t) del sistema ad un gradino di forza F(t) = in ingresso. Utilizzare i parametri m =, b = e =. m F x b Equazione differenziale del sistema: d [mẋ(t)] = F(t) bẋ(t) x(t) mẍ(t)+bẋ(t)+x(t) = F(t) dt Funzione di trasferimento del sistema (m =, b = e = ): X(s) F(s) = ms +bs+ = s +s+ = (s+) + di forza F(t) = : F(s) = X(s) = G(s)F(s) = s s[(s+) + ] La scomposizione in fratti semplici può essere fatta anche nel seguente modo: X(s) = s[(s+) + ] = s αs+β (s+) + I parametri α e β si determinano imponendo l uguaglianza tra le due funzioni: X(s) = s s+ (s+) + = [ s s+ (s+) + + ] (s+) + Antitrasformando si ottiene: [ x(t) = e t cos(t)+ ] sin(t) L andamento temporale è di tipo oscillatorio smorzato:.6 I poli dominanti del sistema sono:.4. p, = σ ±jω = ±j Il tempo di assestamento è: = σ = s Il periodo dell oscillazione è:. 4 5 = π ω. s R. Zanasi - Controlli Automatici - /. SISTEMI DINAMICI LINEARI

3 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 Esercizio. Sia dato il seguente sistema G(s): 8(s+) (.s+)(s+)(s +s+) (s } {{ } +s+4) poli dominanti ) Disegnare l andamento qualitativo della risposta al gradino del sistema G(s). Soluzione. Ilsistemaèdominatodallacoppiadipolicomplessiconiugatip,.5±j. L andamento qualitativo è di tipo oscillatorio smorzato. ) Calcolare il valore a regime dell uscita del sistema:.5 = G() =.. ) Stimare qualitativamente il tempo di assestamento del sistema e il periodo dell eventuale oscillazione smorzata:.5 s = 6 s, π s =.6 s Esercizio. Sia dato il seguente sistema G(s): (+.s)(s +6s+8) (+.8s)(8+.s)(s } {{ } +6s+8) polo dominante ) Disegnare l andamento qualitativo della risposta al gradino del sistema G(s). Soluzione. Il sistema è dominato dal polo reale p =.5. L andamento qualitativo è di tipo aperiodico. ) Calcolare il valore a regime dell uscita del sistema: = G() = 4.. ) Stimare qualitativamente il tempo di assestamento del sistema e il periodo dell eventuale oscillazione smorzata:.5. s =. s, R. Zanasi - Controlli Automatici - /. SISTEMI DINAMICI LINEARI

4 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 4 Esercizio. In figura è mostrata la risposta al gradino x(t) = X = di un sistema dinamico G(s) caratterizzato solamente da poli stabili. Determinare: ) I poli dominanti del sistema: σ =.5, ω = π 6.8.8, p, = σ ±jω = ±j7.75. ) Il guadagno statico del sistema: G = X = 8 =.8. ) La pulsazione naturale ω n : ω n = σ +ω 8. Esercizio. In figura è riportata la risposta al gradino unitario di un sistema lineare G(s) a fase minima i cui tre poli p, e p hanno la stessa parte reale. Nei limiti della precisione del grafico determinare: ) Il guadagno statico del sistema: G =.5. ) La posizione del polo reale p : p = σ =.5 ) La parte immaginaria ω dei poli complessi coniugati p, : ω = π La posizione dei poli risulta quindi essere la seguente: p, =.5±j e p =.5. Esercizio. Stimare il tempo di assestamento del sistema G(s) alla risposta al gradino: (s+7)() ()()(4s+)(s } {{ } +s+) polo dominante = 6 s. R. Zanasi - Controlli Automatici - /. SISTEMI DINAMICI LINEARI

5 .4. RISPOSTA AL GRADINO.4 5 Esercizio. Sia dato il sistema massa-molla-smorzatore mostrato in figura. Esso è caratterizzato dall equazione differenziale M ÿ(t)+bẏ(t)+ = F(t). Viene inoltre fornita la risposta del sistema ad un gradino di forza F = N... M B F Nei limiti della precisione del grafico si chiede di determinare: ) La funzione di trasferimento G(s) del sistema in forma simbolica: Y(s) F(s) = M s +Bs+. ) La pulsazione ω della risposta al gradino del sistema: ω = π = π.4. ) I valori numerici della massa M, del coefficiente di attrito B e della rigidità : M = 5, B =, =. La risposta al gradino mostra chiaramente che il sistema è semplicemente stabile e privo di dissipazioni: B =, δ =. Sostituendo B = nell equazione caratteristica si ha: B = M s + = s, = ±j M = ±jω n = ±jω. Essendo δ =, la pulsazione naturale ω n coincide con la pulsazione ω: ω n = ω =. Il valore a regime del segnale in uscita coincide con il valore medio =.5 ed è uguale al prodotto tra l ampiezza F = dell ingresso e il guadagno statico G() del sistema: x = F G().5 = =. Il valore di M si determina facilmente sostituendo nell espressione di ω: ω = M = M 4 = 5. R. Zanasi - Controlli Automatici - /. SISTEMI DINAMICI LINEARI

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